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第21章《一元二次方程》單元檢測卷
一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2﹣2y+1＝0 B．3y2﹣2＝3（y2﹣2y）
C．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a≠0） D．
2．若關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常數(shù)項為0，則m的值為（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
3．若關于x的方程（x﹣2）2＝m+1有實數(shù)根，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
4．若是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則a+b+c＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
5．若關于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一個實數(shù)根為2025，則方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定有實數(shù)根（　　）
A．1 B． C．﹣2025 D．
6．若關于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0沒有實數(shù)根，則直線y＝kx+3不經(jīng)過的象限為（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．初中畢業(yè)前夕，某數(shù)學學習興趣小組的成員互贈紀念卡片作為畢業(yè)禮物．小組里每兩名成員之間互相贈送一張卡片（即A送給B一張，B也送給A一張）．已知全組共贈送了306張卡片，如果該興趣小組的人數(shù)為x人，根據(jù)題意，下列方程正確的是（　　）
A． B．x（x﹣1）＝306
C． D．x（x+1）＝306
8．關于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的兩個根x1，x2滿足x1＝2x2+3，且x1＞x2，則m的值為（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
9．換元法是一種重要的轉(zhuǎn)化方法，如：解方程x4﹣5x2+6＝0，設x2＝a，原方程轉(zhuǎn)化為a2﹣5a+6＝0．已知m，n是實數(shù)，滿足（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，則n的取值范圍是（　　）
A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3
10．已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的兩個根，且，則c的值是（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
11．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+n2，下列結論正確的是（　　）
A．B﹣A的最大值是0 B．B﹣A的最小值是﹣1
C．當B＝2A時，x為正數(shù) D．當B＝2A時，x為負數(shù)
12．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2mm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4mm/s的速度移動，如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設出發(fā)時間為t s．有下列結論：①當t＝2s時，；②△PBQ的面積可以為35mm2；③t＝1s時的四邊形APQC的面積大于t＝5s時的四邊形APQC的面積．其中，正確結論的是（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）
13．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，則m+n的值是 　 　 ．
14．已知x＝1是關于x的一元二次方程的解，則m﹣1+a的值為 　 　 ．
15．若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，則的值為　 　 ．
16．公安部提醒市民，騎車必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售500個，6月份銷售720個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．則該品牌頭盔銷售量的月增長率為 　 ．
17．定義新運算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，則x的值為　 　 ．
18．如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，AB＝4，BE＝1，點F為正方形ABCD所在平面內(nèi)一點，連接FE，F(xiàn)D，F(xiàn)E＝BE，DF的最大值為α，DF的最小值為b，則a2+2ab+b2的值為　 　 ．
三、解答題（本題共8小題，共72分．）
19．（8分）用指定的方法解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0（直接開平方法） （2）x2+4x﹣5＝0（配方法）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法） （4）2x2﹣7x+3＝0（公式法）
20．（8分）象棋是一種源自中國的傳統(tǒng)棋類游戲，具有悠久的歷史和深厚的文化底蘊．九年級（1）班利用課余時間開展象棋比賽，班主任要求每個選手都與其他選手恰好比賽一局，信息如下：
（1）若該班級共有n個參賽選手，則每個選手都要與 　 　 個選手比賽一局，比賽總共有 　 　 局；
（2）求這次比賽共有多少個選手參加？
21．（8分）定義：如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，則稱這樣的方程為“鄰根方程”．
（1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“鄰根方程”，求m的值．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均為常數(shù)）為“鄰根方程”，請寫出b，c滿足的數(shù)量關系，并說明理由．
22．（8分）綜合與實踐
主題：將一張長為80cm，寬為40cm的長方形硬紙板制作成一個有蓋長方體收納盒．
方案設計：如圖①，把硬紙板的四角剪去四個相同的小長方形，折成一個如圖②所示的有蓋長方體收納盒，EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分．
任務一：若收納盒的高為x cm，用x的代數(shù)式表示收納盒的底面ABCD的邊BC，AB的長；
任務二：若收納盒的底面積為600cm2，求該收納盒的高．
23．（10分）某建筑公司承包了一項某旅游景點的改造工程，經(jīng)公開招標，最終確定由甲和乙兩個工程隊共同參與改造．已知乙隊的工作效率是甲隊的，甲隊先單獨做了4天，之后甲隊和乙隊又合作了12天，正好如期完成了整項工程的改造．
（1）求甲隊單獨完成整項工程需要多少天？
（2）工程改造結束后，正逢五一假期，該旅游景點為吸引游客，發(fā)售了代表該景點的特色套裝紀念品，每套紀念品進價30元，為合理定價，發(fā)售前進行了市場調(diào)查，售價40元時，每天可賣800套，而售價每漲3元，日銷售量就減少60套，若想每天獲利12000元，且售價不超過55元，那么該紀念品的售價應為多少元？
24．（10分）關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的取值范圍．
（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，設，求y關于m的函數(shù)關系式．點（a，y1），（4﹣a，y2）為其圖象上兩點，已知y1＜y2，求整數(shù)a的值．
25．（10分）關于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求實數(shù)a的取值范圍．
（2）求代數(shù)式的最大值或最小值．
26．（10分）閱讀材料：
轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學思想之一，在研究新問題或復雜問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決，例如，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）問題：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝　﹣3　 ，x3＝　　 ；
（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解；
（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝21m，寬AB＝8m，點P在AD上（AP＞PD），小華把一根長為27m的繩子一段固定在點B，把長繩PB段拉直并固定在點P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點C，求AP的長．
參考答案
一、選擇題
1．C
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷如下：
A．含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故原說法不正確，不符合題意；
B．方程整理后是一元一次方程，故原說法不正確，不符合題意；
C．是一元二次方程，故原說法正確，符合題意；
D．不是整式方程，故原說法不正確，不符合題意；
故選：C．
2．A
【解答】解：由條件可知m2﹣4＝0且m≠2，
∴m＝﹣2．
故選：A．
3．D
【解答】解：∵關于x的方程（x﹣2）2＝m+1有實數(shù)根，
∴m+1≥0，
解得：m≥﹣1，
故選：D．
4．D
【解答】解：由題意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0，
故選：D．
5．D
【解答】解：由條件可知20252a﹣2025b＝c，
∴，即，
∴是方程cx2+bx＝a（ac≠0）的實數(shù)根．
故選：D．
6．C
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k﹣1）＜0，解得k＜﹣2，
∴一次函數(shù)y＝﹣2x+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．
故選：C．
7．B
【解答】解：設該興趣小組的人數(shù)為x人，則每個同學需送出（x﹣1）張卡片，
由題意得：x（x﹣1）＝306，
故選：B．
8．C
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故選：C．
9．D
【解答】解：∵（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，
∴（m2﹣2m）2+4（m2﹣2m）+6﹣n＝0，
設m2﹣2m＝b，
∴b+1＝（m﹣1）2，
∵（m﹣1）2≥0，
∴b+1≥0，
原方程可化為b2+4b+6﹣n＝0，
∴n﹣2＝（b+2）2，
∵（b+2）2≥1，
∴n﹣2≥1，
∴n≥3，
故選D．
10．B
【解答】解：由條件可知m+n＝﹣4，mn＝c，
∴，
解得c＝﹣2，
經(jīng)檢驗：c＝﹣2是原方程的解，
故選：B．
11．B
【解答】解：∵B﹣A＝（2x2+4x+n2）﹣（x2+6x+n2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴B﹣A的最小值為：﹣1，
當B＝2A時，2x2+4x+n2＝2（x2+6x+n2），
解得：x，
∵n2≥0，
∴x≤0，
故選：B．
12．C
【解答】解：①當t＝2s時，AP＝2×2＝4（mm），BQ＝4×2＝8（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8（mm），
∴PQ8（mm），結論①正確；
②假設△PBQ的面積可以為35mm2，
當運動時間為t s時，AP＝2t mm，BQ＝4t mm，BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）（mm），
根據(jù)題意得：BP BQ＝35，
即（12﹣2t） 4t＝35，
整理得：4t2﹣24t+35＝0，
解得：t1，t2，
∴假設成立，
∴△PBQ的面積可以為35mm2，結論②正確；
③當t＝1s時，AP＝2×1＝2（mm），BQ＝4×1＝4（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣2＝10（mm），
∴S四邊形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ12×2410×4＝124（mm2），
當t＝5s時，AP＝2×5＝10（mm），BQ＝4×5＝20（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣10＝2（mm），
∴S四邊形APQC＝S△ABC﹣S△PBQ12×242×20＝124（mm2），
∵124＝124，
∴t＝1s時的四邊形APQC的面積等于t＝5s時的四邊形APQC的面積，結論③不正確．
綜上所述，正確的結論是2個．
故選：C．
二、填空題
13．5．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4，
∴m＝1，n＝4，
∴m+n＝5．
故答案為：5．
14．1．
【解答】解：由題意得：
，
解得m＝2，
故關于x的一元二次方程為4x2﹣3x﹣2a＝0，
因為x＝1是關于x的一元二次方程的解，
所以4﹣3﹣2a＝0，
解得a，
所以m﹣1+a1．
故答案為：1．
15．-6
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的兩根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，
∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣6×1＝﹣6．
故答案為：﹣6．
16．20%．
【解答】解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
根據(jù)題意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），
即該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．
故答案為：20%．
17．﹣4或19
【解答】解：∵，xΘ1＝17，
∴當x≥1時，
xΘ1＝x﹣2×1＝17，
∴x＝19，
當x＜1時，
xΘ1＝x2+1＝17，
解得x＝4（舍去）或﹣4．
綜上所述，x的值為﹣4或19．
故答案為：﹣4或19．
18．100．
【解答】解：由題意，如圖，當DF所在直線過E時，可得DF的最大值與最小值．
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3．
∴DE5．
∴DF的最小值為4，最大值為6．
∴a＝4，b＝6．
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（4+6）2＝100．
故答案為：100．
三、解答題
19．解：（1）（x+2）2﹣25＝0（直接開平方法）
x+2＝±5
∴x1＝3，x2＝﹣7．
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）
（x+2）2＝9
x+2＝±3
∴x1＝﹣5，x2＝1；
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）
（x+2﹣5）2＝0
∴x1＝x2＝3；
（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法），
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
x
x1＝3，x2．
20．解：（1）由題意可知，若該班級共有n個參賽選手，則每個選手都要與（n﹣1）個選手比賽一局，比賽總共有n（n﹣1）局，
故答案為：（n﹣1），；
（2）設這次比賽共有n個選手參加，則比賽總共有n（n﹣1）局，
依題意得：，
整理得：n2﹣n﹣1980＝0，
解得：n1＝45，n2＝﹣44（不符合題意，舍去），
答：這次比賽共有45個選手參加．
21．解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝m，
∵方程是鄰根方程，
∴|﹣3﹣m|＝1，
∴﹣3﹣m＝±1，
∴m＝﹣2，或m＝﹣4；
（2）在x2+bx+c＝0中，
x1+x2＝﹣b，x1 x2＝c，
∵|x1﹣x2|＝1，
∴4x1x2＝b2﹣4c＝1．
22．解：任務一：∵長方形硬紙板的長為80cm，寬為40cm，收納盒的高為x cm，
∴BC＝（40﹣2x）cm，AB（40﹣x）（cm），
答：該收納盒的底面ABCD的邊BC的長為30cm，AB的長為35cm；
任務二：設該收納盒的高為x cm，則BC＝（40﹣2x）cm，AB＝（40﹣x）cm，
根據(jù)題意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x1＝10，x2＝50（不符合題意，舍去）．
答：該收納盒的高為10cm．
23．解：（1）設甲隊單獨完成整項工程需要x天，則甲隊的工作效率為，乙隊的工作效率為，
由題意得：12（）＝1，
解得：x＝25，
經(jīng)檢驗，x＝25是原方程的解，且符合題意，
答：甲隊單獨完成整項工程需要25天；
（2）設該紀念品的售價應為m元，則每套利潤為（m﹣30）元，每天銷售[80060]套，
由題意得：（m﹣30）[80060]＝12000，
整理得：m2﹣110m+3000＝0，
解得：m＝50，m2＝60（不符合題意，舍去），
答：該紀念品的售價應為50元．
24．解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝4m﹣3≥0，
解得：m，
∴實數(shù)m的取值范圍為m；
（2）∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2﹣2m+1，
∴y＝（x1﹣x2）2+5＝（x1+x2）2﹣4x1x2+5＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m+1）+5＝4m+2，
∵4＞0，
∴y隨m的增大而增大，
∵點（a，y1），（4﹣a，y2）為其圖象上兩點，且y1＜y2，m，
∴a＜4﹣a，
∴a＜2，
又∵a為整數(shù)，
∴a＝1，
∴整數(shù)a的值為1．
25．解：（1）由條件可得a2x2﹣（2a+1）x+1＝0．
∵有兩個實數(shù)根x1，x2，
Δ＝（2a+1）2﹣4a2
＝4a+1≥0，
∴，
同時，二次系數(shù)a2≠0，即a≠0，
∴a的取值范圍為，且a≠0；
（2）由根系關系，得．
∴令
＝a2﹣2a﹣1+1
＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1．
當a＝1時，y最小＝﹣1．
26．解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左邊因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，x3；
故答案為：﹣3；；
（2）方程x的兩邊平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
經(jīng)檢驗，當x＝﹣1時，1，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程x的解是：x＝3；
（3）設AP＝x m，則PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，BP，CP，
∴27．
∴27．
∴x2﹣21x+90＝0，
∴x1＝15，x2＝6．
經(jīng)檢驗，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6，不合題意，舍去．
答：AP的長為15m．

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