資源簡介

第22章《二次函數》單元測試卷
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．如果函數是二次函數，那么m的值一定是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．1或2
2．已知二次函數，若對于范圍內的任意自變量，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，函數和（是常數，且）在同一平面直角坐標系內的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．已知二次函數圖象的頂點坐標為，且圖象經過點，將二次函數的圖象向右平移個單位，圖象經過點，在平移后的圖象上，當時，函數的最小值為，則n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
5．如圖所示，在平面直角坐標系中有兩條拋物線，它們的頂點，都在軸上，平行于軸的直線與兩條拋物線相交于，，，四點，若，，，則的長度為（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．在平面直角坐標系中，二次函數（為常數）的圖象過點，且與軸有兩個交點，則該二次函數圖象的頂點坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．在水分、養料等條件一定的情況下，某植物的生長速度（厘米/天）和光照強度（勒克斯）之間存在一定關系．在低光照強度范圍（）內，與近似成一次函數關系；在中高光照強度范圍內，與近似成二次函數關系．其部分圖象如圖所示．根據圖象，下列結論正確的是（ ）

A．當時，隨的增大而減小 B．當時，有最大值
C．當時， D．當時，
8．如圖，拋物線與軸交于點，將拋物線向右依次平移兩次，分別得到拋物線，與軸交于點，直線與這3條拋物線的6個交點的橫坐標之和是（ ）
A．18 B．20 C．36 D．24
9．如圖，在邊長為的正方形中，動點P從點A出發沿A→B的方向以1 cm/s的速度運動；同時，動點Q從點D出發沿D→C→B的方向以的速度運動．當點Q到達點B時，點P，Q同時停止運動．設的面積為y（），運動時間為x（），下列能大致反映y與x之間函數關系的圖象是（ ）
B．
C． D．
10．拋物線的對稱軸為直線，其部分圖象交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，如圖所示，則下列結論：
①；
②；
③（m為任意實數）；
④點，，是該拋物線上的點，且．
其中正確的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．二次函數的函數值自變量之間的部分對應值如表：此函數圖象的開口方向是 (填“向上”或“向下”)；當時， ．
12．已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則的取值范圍是 ．
13．已知拋物線 的對稱軸為直線．
（1）的值為 ．
（2）若拋物線 向下平移個單位長度后，在范圍內與軸只有一個交點，則的取值范圍是 ．
14．如圖，一古橋的橋洞可近似看成拋物線型，其解析式為，現要對這座古橋進行加固，須臨時安裝一些垂直于地面的支撐桿，要求相鄰支撐桿之間的距離為，但最邊緣的支撐桿到橋洞底部的的距離可以不大于，即圖中，，則最多可安裝支撐桿 條．

15．如圖，點是正方形的邊上的一個動點，，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，面積的最小值為 ．
16．二次函數為常數，且經過，一次函數經過，一次函數經過．已知，，其中為整數，則的值為 ．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）在平面直角坐標系中，已知拋物線，設該拋物線的對稱軸為．
(1)若，求該拋物線的對稱軸；
(2)已知，拋物線上，若對于，，都有，求的取值范圍．
18．（6分）在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經過，與y軸交于點B，連接，．
(1)求a的值及點B的坐標；
(2)將拋物線L平移得到拋物線，設平移后點A，B的對應點分別為，若平移后拋物線的頂點落在x軸上，且，求平移后拋物線的表達式．
19．小朋在學習過程中遇到一個函數．
下面是小朋對其探究的過程，請補充完整：
(1)觀察這個函數的解析式可知，x的取值范圍是全體實數，并且y有______值（填“最大”或“最小”），這個值是______；
(2)進一步研究，當時，y與x的幾組對應值如下表：
x 0 1 2 3 4 …
y 0 2 1 0 2 …
結合上表，畫出當時，函數的圖像；
(3)結合（1）（2）的分析，解決問題：
若關于x的方程有一個實數根為2，則該方程其它的實數根約為______（結果保留小數點后一位）．
20．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和，與x軸的另一個交點為點C，其頂點D的橫坐標為1．
(1)求拋物線的表達式；
(2)求四邊形的面積；
(3)若直線與x軸交于點N，在第一象限內與拋物線交于點M，當m取何值時，使得有最大值，并求出最大值；
(4)當時，二次函數的最大值與最小值的差為9，求n的取值范圍．
21．（10分）已知二次函數（，為常數，）．
(1)求證：若該函數的圖象與軸一定有兩個不同的交點；
(2)若，，該函數圖象經過，兩點，若，分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，求的取值范圍．
(3)若該二次函數滿足：當時，總有隨的增大而減小，且圖象經過點，求的最大值．
22．（10分）綜合與實踐
項目式學習：安全用電，防患未然
項目背景 近年來，隨著電動自行車保有量不斷增多，火災風險持續上升．據悉，約的火災都在充電時發生．某校八年級數學創新小組，開展以“安全用電，防患未然”為主題的項目式學習，對電動自行車充電車棚的消防設備進行研究．
素材1 調查分析：圖1懸掛的是8公斤干粉滅火器，圖2是其噴射截面示意圖，在中，米，噴嘴O到地面的距離米．
素材2 模型構建：由于干粉滅火器只能撲滅明火，不能撲滅電池內部的燃燒，在火災發生時需要大量的水持續給電池降溫，才能保證電池內部自燃熄滅，不會復燃．學校考慮給新建的電動自行車充電車棚安裝消防噴淋頭，如圖3，噴淋頭噴灑的水柱最外層的形狀為拋物線． 學校的停車棚左側靠墻建造，如圖4，其截面示意圖為矩形，創新小組以點O為坐標原點，墻面所在直線為y軸，建立平面直角坐標系． 已知消防噴淋頭的出水口M到墻面的水平距離為2米，到地面高度為米，即米，米，水噴射到墻面D處，且米．
素材3 問題解決：已知車棚寬度為8米，電動車的電池距離地面高度為米．創新小組想在噴淋頭M的同一水平線上加裝一個噴淋頭N，使消防噴淋頭噴灑的水柱可以覆蓋所有電動車電池．
任務解決
任務1 （1）求圖2中地面有效保護直徑的長度；
任務2 （2）求該水柱外層所在拋物線的函數解析式； （3）按照此安裝方式，噴淋頭M的地面有效保護直徑為多少米？
任務3 （4）噴淋頭N距離噴淋頭M至少為多少米？
23．（12分）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，點P是x軸下方拋物線上不與點C重合的一動點，設點P的橫坐標為m．
(1)請直接寫出b，c的值；
(2)如圖，當時，求m的值；
(3)過點P作y軸的平行線交于點M，點N在上，且，的長記為l．
①求l關于m的函數解析式；
②當l取某一個值時，是否存在三個符合條件的點P，其中兩個點的橫坐標之差為1？若存在，求出此時l的值；若不存在，請說明理由．
24．（12分）如圖，已知拋物線經過點，與軸交于點，點關于拋物線對稱軸的對稱點是點，且點的橫坐標與縱坐標相等．
(1)求該拋物線的表達式；
(2)直線與拋物線交于點，與線段交于點（不與點、重合），那么的值是否隨的變化而變化？若不變，試求出這個不變的值；若變化，試說明如何變化；
(3)上下平移該拋物線，如果新拋物線上存在點，軸上存在點，使得四邊形是菱形，求新拋物線的表達式．
參考答案
一．選擇題
1．A
【分析】本題考查了二次函數的定義、一元二次方程的應用，熟練掌握二次函數的定義是解題關鍵．先根據二次函數的定義可得，且，再解一元二次方程即可得．
【詳解】解：∵函數是二次函數，
∴，且，
解得或（舍去），
故選：A．
2．D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．依據題意，由，可得拋物線的對稱軸是直線，又拋物線開口向上，故當時，y隨x的增大而增大，又對于范圍內的任意自變量x，都有，從而，再結合，進而可以得解．
【詳解】解：∵，
∴拋物線的對稱軸是直線．
又拋物線開口向上，
∴當時，y隨x的增大而增大．
又∵對于范圍內的任意自變量x，都有，
∴，
∴，
又，
∴，
故選：D．
3．B
【分析】本題考查了一次函數和二次函數圖象的綜合判斷，熟練掌握一次函數及二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．分別對各選項中二次函數的開口方向、對稱軸及一次函數所經過的象限進行分析，即可判斷答案．
【詳解】A、二次函數的圖象開口向上，，則一次函數的圖象經過一、三、四象限，故選項A錯誤；
對于B，C，D，由一次函數的圖象可得，則二次函數的圖象應開口向上，對稱軸是，應在y軸右側，故B選項正確，C，D選項錯誤．
故選B．
4．A
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質、二次函數的平移及最值問題．首先確定平移后的函數解析式，再根據二次函數的性質得到最小值的位置，進而求解n的值即可．
【詳解】解：原二次函數頂點為，設解析式為，
代入點得，即，
向右平移個單位后，解析式為，
代入點得方程，
解得，
∴平移后函數為，對稱軸為直線，頂點坐標為，
解方程，得或，
∵當時，函數的最小值為，
∴必須包含或，且不跨越對稱軸（否則最小值在頂點處為），
∴或，
解得或，
故選：A．
5．D
【分析】本題主要考查中點坐標公式，熟練掌握中點公式是解題的關鍵．設的長度為，則，，，，求出，，即可得到答案．
【詳解】解：設平行于軸的直線與軸交于點．
設的長度為，則，，，．
由中點公式可得，．
．
故選：D．
6．C
【分析】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數與一元二次方程之間的關系，二次函數的性質，先把點A坐標代入解析式，求出或，再根據二次函數與軸有兩個交點可求出，則，據此求出二次函數解析式，并化為頂點式求出頂點坐標即可．
【詳解】解：∵二次函數（為常數）的圖象過點，
∴，
解得或，
∵二次函數與軸有兩個交點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴二次函數解析式為，
∴該二次函數圖象的頂點坐標為，
故選：C．
7．B
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質、二次函數與不等式等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．
根據拋物線可直接判斷A選項；根據拋物線以及相關數據可得拋物線的對稱軸為，進而判定B選項；根據函數圖象可判定C選項；根據二次函數的對稱性可判定D選項．
【詳解】解：A．當時，隨的增大先增大、后減小，即A選項錯誤，不符合題意；
B．由函數圖象可知：拋物線的對稱軸為，即當時，有最大值，則B選項正確，符合題意；
C．由函數圖象可知：當時，，即C選項錯誤，不符合題意；
D．當時，由圖象知，對應的值有兩個，即D選項錯誤，不符合題意．
故選B．
8．C
【分析】本題主要考查了二次函數的平移問題，根據平移得出二次函數關系式，是解題的關鍵．先求出的坐標，得出拋物線向右每次平移的距離為4，根據二次函數為零時兩個根的關系即可解答．
【詳解】解：將代入拋物線，
得或，即，
故拋物線向右每次平移距離為4，
設，，，，，的橫坐標分別為，，，，，，
，同時在拋物線和直線上，
即，的橫坐標為的根，
，
，
，
直線與這3條拋物線的6個交點的橫坐標之和．
故選C．
9．B
【分析】本題考查一次函數與二次函數，正方形的性質，動點問題，正確作出圖形是解題的關鍵。
根據點Q所在正方形的不同邊上，分類討論，逐一計算，即可解答。
【詳解】解：①當點Q在上時，如圖
有，，
∴（）．
此時y與x之間的函數為一次函數．
②當點Q在上時，如圖
有，，
∴，
∴（）．
此時y與x之間的函數為二次函數．
綜上所述，符合當時，圖像為一次函數；時，圖像為二次函數，只有B選項．
故選B．
10．A
【分析】本題考查圖象與二次函數系數之間的關系．由拋物線的圖象與x軸有2個交點，依據根的判別式可知與0的關系，可判斷①；根據對稱軸推理a、b關系，可判斷②；根據當時，拋物線有最大值，即得出對于任意實數m均有，可判斷③；根據拋物線的遞增情況，判斷函數值的大小，可判斷④．
【詳解】解：①圖象與x軸有2個交點，依據根的判別式可知，正確；
②拋物線的對稱軸為直線，即，
∴，正確；
③圖象開口向下，對稱軸為直線，
∴時，有最大值，對于任意實數m均有，即，正確；
④∵在拋物線上的對稱點為，
∵，
∴，錯誤；
故選：A．
二．填空題
11． 向上
【分析】本題考查了二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并理解是關鍵．依據題意，根據拋物線的對稱性，、時的函數值相等，然后列式計算即可得解．
【詳解】解：由題意得，、時的函數值都是相等，
此函數圖象的對稱軸為直線，即直線．
又當時，隨的增大而減小，
拋物線開口向上．
拋物線的對稱軸是直線，
當時與當時的函數值相等．
當時，，
當時，．
故答案為：向上，．
12．
【分析】本題主要考查了二次函數圖象的性質，
先配方可得拋物線的性質，再根據題意得，求出解集即可．
【詳解】解：∵二次函數，
∴拋物線開口向上，對稱軸是，當時，有最小值，離對稱軸越遠函數值越大．
∵，當時，函數取最大值，當時，函數取最小值，
∴，
解得．
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的平移，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
（）由題意可知，求出的值即可；
（）由題意可知平移后函數解析式為，然后通過二次函數的平移，二次函數的性質即可求解．
【詳解】（）由題意可知，
解得，
故答案為：；
（）由題意可知平移后函數解析式為，
當頂點在軸上時，，
解得，即需向上平移個單位長度，不符合條件；
由于拋物線關于對稱，
∴拋物線在內對稱，
若存在交點，始終有兩個交點，若只有一個交點，則拋物線與軸交點只能在，
故當時，，解得，
當時，，解得，
∴的取值范圍是，
故答案為：．
14．14
【分析】本題考查二次函數的應用，關鍵是利用數形結合的思想解答．
令，求出的值，然后結合實際情況得出結論．
【詳解】解：令，則，
解得或，
∴，
∵相鄰支撐桿之間的距離為，，，
∴在軸右側，共7條，
同理在軸左側最多安裝7條，
∴最多可安裝支撐桿14條，
故答案為：14．
15．
【分析】本題考查的是二次函數的應用、正方形性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質是解題關鍵，過點F作交延長線于點H，先證，設，用含a的式子表示，再根據二次函數性質求最值即可．
【詳解】解：過點F作交延長線于點H，
，
在正方形中，，
，
，
四邊形是直角梯形，
，
，
，
，
，
設，
，
，
，
面積的最小值為，
故答案為：．
16．或5
【分析】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合．根據二次函數對稱軸的性質，一次函數與坐標軸的交點坐標列式計算即可．
【詳解】解∶∵二次函數為常數，且經過，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函數經過，一次函數經過．
∴，
當時，
，，
∴，，
∵，，為整數，
∴ ，
此時；
當時，，，
，，
∴，，
∵，，為整數，
∴ ，
此時；
故答案為：或5
三．解答題
17．（1）解：當時，，
∴拋物線的對稱軸為直線．
（2）解：∵
∴拋物線的開口向上，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴當時，隨增大而增大，當時，隨增大而減小，
∵，，
當點在點左側時，即，
∴，
當點在點右側時，即，
∴．
①當，即時，此時點在對稱軸右側或頂點處，
當點在點左側時，即，
由圖象知，恒成立，
即時符合題意；
當點在點右側時，即，
則，
∵關于對稱軸的對稱點，
此時要使，應有：，
化簡得：，
又∵，
∴應有，
即；
綜上，；
②當，即時，此時點在對稱軸左側，
當點在點左側時，即，
則，
∵關于對稱軸的對稱點，
此時要使，應有：，
化簡得：，
又∵，
∴，
即；
當點在點右側時，即，
由圖象知，恒成立，
∴；
綜上：；
由①②得，．
18．（1）解：由題意，將點代入拋物線中，
，
，
∴拋物線的表達式為，
∴令，則，
∴；
（2）由題意，∵拋物線的表達式為，
∴拋物線的頂點坐標為，
∵平移后拋物線的頂點落在軸上，
∴拋物線向下平移了4個單位，
∴可設平移后拋物線的表達式為，
，
∴點，的縱坐標均為，
∴點的橫坐標為，點的橫坐標為，
，
又∵，
，
∴或，
∴平移后拋物線的表達式為或．
19．（1）解：∵ ，
∴y有最小值，這個值是0；
故答案為：最小；0
（2）根據列表，描點連線，如圖，
（3）依題意，有一個實數根為2，
則過點
的解即為與的交點的橫坐標，
且過點
如圖，作過點的直線，與交于點
根據函數圖像的交點可知點的橫坐標約為
則該方程其它的實數根約為
故答案為：
20．（1）解：∵拋物線經過點和，且頂點橫坐標為1，
∴，
解得，
∴拋物線解析式為．
（2）解：令，則，解得，，
∴，
當時，，
∴，
如圖所示，連接，
∵，，，
∴．
（3）解：當時，，
∴，，
∴，
∵，
∴當時，有最大值，最大值為．
（4）解：∵對稱軸為直線，
∴拋物線上橫坐標為的點關于直線的對稱點的橫坐標為4，
①當時，
當時，最大值為，
當時，最小值為，
∴，解得（舍）．
②當時，
當時，最大值為4，當時，最小值為，
∴，
∴；
③當時，
當時，最大值為4，當時，最小值為，
∴，
∴（舍），（舍）
綜上所述，n的取值范圍為．
21．（1）證明：∵，，
∴該函數圖象與軸一定有兩個不同的交點；
（2）解：∵，，
∴，
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
∵，分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，
∴點在點的左側時，
∴，
解得，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴；
當點在點的右側時，即，解得且，無解集，
∴點在點的右側，不成立，
綜上可得的取值范圍為；
（3）解：由拋物線的對稱軸為直線，
當，即時，拋物線的開口向上，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，總是存在有隨的增大而增大，結論不成立；
當，即時，拋物線開口向下，
∴當時，隨增大而減小，
∵當時，總有隨的增大而減小，
∴拋物線的對稱軸不在軸右側，即，
∴，，
∵拋物線過點，
∴，即，
∴，即是的二次函數，其圖象為一條拋物線，這條拋物線的開口向下，對稱軸為直線
∴當時，隨的增大而減小，
∵，
∴當時，的最大值為，
∴當僅當，時，的最大值是．
22．解：（1）∵，，
∴，
在中，由勾股定理得米，
∴米，
∴圖2中地面有效保護直徑的長度為；
（2）由題意得，點M的坐標為，，
設該水柱外層所在拋物線的函數解析式為，
把代入中得：，解得，
∴該水柱外層所在拋物線的函數解析式為；
（3）在中，當時，解得或，
∴，
∴米，
∴噴淋頭M的地面有效保護直徑為米；
（4）設噴淋頭N在噴淋頭M的右側，且二者相距t米，
則噴淋頭N的水柱外層所在拋物線的函數解析式為，
當拋物線恰好經過時，
則，
解得或（舍去），
∴噴淋頭N距離噴淋頭M至少為米．
23．（1）解：將A、B代入，
∴，
解得；
（2）由（1）可得，
在上截取，連接，
∵，
∴，
在中，，
解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
∴直線BP的解析式為，
當時，解得或，
∴；
（3）①∵，軸，
∴的中點縱坐標與N點縱坐標相同，
直線BC的解析式為，
∵，
∴，
∴的中點坐標為，
∴，
∴；
②存在三個符合條件的點P，其中兩個點的橫坐標之差為1，理由如下：
設其中兩個點的橫坐標分別為s，t，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
24．（1）解：對于，
當時，，
∴，
∵點關于拋物線對稱軸的對稱點是點，
∴，又點的橫坐標與縱坐標相等，
∴，
∴，
將代入得，
整理得，
∴或，
當時，，，此時和重合，不符合題意；
∴，
∵拋物線經過點，
∴，即，
解得，
∴，，
∴該拋物線的表達式為；
（2）解：的值不變，且，理由如下，
如圖，
∵直線與與線段交于點（不與點、重合），
∴，
設直線的解析式為，
將代入得，，
解得，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
當時，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：設平移后的解析式為，
∵點在上，點在軸上，
∴設，，
∵四邊形是菱形，
∴其對角線和相互平分，且，
∵，，
∴的中點為，
的中點為，
∴，，
解得，
將代入，
并整理得，
∴，
由兩點之間的距離公式得，
，
∵，
∴，
∴，即，
當時，，
則，
∴，
∴；
當時，
，
則，
∴，
∴；
綜上，新拋物線的解析式為或．

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