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第23章《旋轉》單元檢測卷
一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）
1．下列說法中，正確的是（　　）
A．“麗麗把教室的門打開”屬于平移現象
B．能夠互相重合的兩個圖形成軸對稱
C．“小明在蕩秋千”屬于旋轉現象
D．“鐘表的鐘擺在擺動”屬于平移現象
2．中國的傳統節日春節被正式列入世界非物質文化遺產！剪窗花、貼窗花是中國人過年的傳統習俗之一．下面剪紙中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐標系中，點A（2，3）關于原點對稱的點的坐標為（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
4．如圖，△ABC與△A′B′C′關于點O成中心對稱，下列結論中不一定成立的是（　　）
A．OB＝OB′ B．BC∥B′C′
C．點A的對稱點是點A′ D．∠ACB＝∠A′B′C′
5．如圖，在4×4的正方形網格中，△MNP繞某點旋轉一定的角度得到△M1N1P1，則旋轉中心是（　　）
A．點A B．點B C．點C D．點D
6．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D為邊AB上一點，將△ADC繞點C逆時針旋轉得到△BEC，點A，D的對應點分別為B，E，連接DE．則下列結論一定正確的是（　　）
A．∠DCB＝∠DEB B．CD＝DE C．AC∥BE D．BC⊥DE
7．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置，連接C′B，則∠C′BA的度數為（　　）
A．15° B．20° C．30° D．45°
8．將點A（2，0）繞著原點順時針方向旋轉60°得到點B，則點B的坐標是（　　）
A．（，﹣3） B．（，3） C．（3，） D．（3，）
9．在平面直角坐標系中，若A，B兩點的坐標分別是（﹣5，4），（3，1），將點B向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點C，則點A，C關于（　　）
A．x軸對稱 B．y軸對稱
C．原點對稱 D．直線y＝x對稱
10．如圖，△ABC中，，AC＝2，O是AC的中點．將△BCO繞點C旋轉180°得△PCQ，連接AP，則AP的長是（　　）
A． B． C．4 D．5
11．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△DBE，延長AC分別交BD，DE于點F，G，連接BG．下列結論：①∠FGE＝120°；②AG⊥BD；③DG＝BG；④AG＝DE+BE，其中正確的個數是（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖，邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF，則在點E運動過程中，DF的最小值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）
13．若點P（m，3）與點Q（3，2﹣n）關于原點成中心對稱，則m+n的值是 　 　 ．
14．如圖，將△ABC繞點A逆時針方向旋轉一定角度得到△ADE，使點D落在BC上，AC與DE相交于點F．若∠C＝40°，DE⊥AC，則∠BAD＝ 　 　 度．
15．如圖，在△ABC中，AB＝10，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為 　 　 ．
16．如圖，P是等邊△ABC內一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，則∠APB＝　 　 ．
17．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側），將線段CD繞點D順時針旋轉120°得到線段DE，連接BE，F為BE的中點，連接CF，在點D運動的過程中，線段CF的長的最小值是　 　 ．
18．一副三角板按圖1方式拼接在一起，其中邊OA，OC與直線EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不動，將三角板AOB繞著點O順時針旋轉一個角度α，（如圖2），在轉動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方，當OB平分由OA，OC，OD其中任意兩邊組成的角時，α的值為 　 　 ．
三、解答題（本題共8小題，共72分．）
19．（8分）如圖，△ABC和△DEF關于點O成中心對稱．
（1）找出它們的對稱中心O；
（2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周長．
20．（8分）如圖，由4個全等的正方形組成的L形圖案，請按下列要求畫圖：
（1）在圖案①中添加1個正方形，使它成軸對稱圖形（不能是中心對稱圖形）；
（2）在圖案②中添加1個正方形，使它成中心對稱圖形（不能是軸對稱圖形）；
（3）在圖案③中改變1個正方形的位置，從而得到一個新圖形，使它既成中心對稱圖形，又成軸對稱圖形．
21．已知△OAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A，B的坐標分別是A（3，1），B（2，2）．
（1）按要求作圖：
①先將△OAB繞原點O逆時針旋轉90°，得到△OA1B1；
②再作出△OA2B2，使它與△OA1B1關于原點成中心對稱．
（2）直接寫出點A1，B1的坐標．
22．（8分）如圖所示，點P的坐標為（1，3），把點P繞坐標原點O逆時針旋轉90°后得到點Q．
（1）求點Q的坐標；
（2）若把點Q向右平移a個單位長度，再向下平移a個單位長度，得到的點M（m，n）落在第四象限，求a的取值范圍．
23．（10分）如圖，D是等邊三角形ABC內一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：△AEB≌△ADC；
（2）連接DE，若∠ADC＝96°，求∠BED的度數．
24．（10分）在△ABC中，∠ABC＜90°，將△ABC在平面內繞點B順時針旋轉（旋轉角不超過180°），得到△DBE，其中點A的對應點為點D，連接CE，CE∥AB．
（1）如圖1，試猜想∠ABC與∠BEC之間滿足的等量關系，并給出證明；
（2）如圖2，若點D在邊BC上，DC＝2，AC，求AB的長．
25．（10分）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為3，E，F分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D按逆時針方向旋轉90°得到△DCM．
（1）證明：△DEF≌△DMF．
（2）若AE＝1，求FM的長．
26．（10分）已知△ABC和△ADE都是等邊三角形．
【模型感知】（1）如圖1，求證：BE＝CD；
【模型應用】（2）如圖2，當點D在CB的延長線上時，求證：AB+BD＝BE；
【類比探究】（3）如圖3，當點D在射線BC上時，過點E作EF⊥AB于點F．猜想線段AB，BF與BD之間存在的數量關系，并證明你的猜想．
參考答案
一、選擇題
1．C
【解答】解：A、“麗麗把教室的門打開”屬于旋轉現象，故A選項錯誤，不符合題意；
B、能夠互相重合的兩個圖形不一定成軸對稱，故B選項錯誤，不符合題意；
C、“小明在蕩秋千”屬于旋轉現象，故C選項正確，符合題意；
D、“鐘表的鐘擺在擺動”屬于旋轉現象，故D選項錯誤，不符合題意．
故選：C．
2．D
【解答】解：根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可得：
A、圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A不符合題意；
B、圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B不符合題意；
C、圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C不符合題意；
D、圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故D符合題意，
故選：D．
3．C
【解答】解：∵點A（2，3），
∴A點關于原點對稱的點為（﹣2，﹣3），
故選：C．
4．D
【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′'關于O成中心對稱，
∴OB＝OB′，∠ACB＝∠A′C′B′，點A的對稱點是點A′，BC∥B′C′，
故A，B，C正確，D不正確．
故選：D．
5．B
【解答】解：連接PP1，NN1，
根據旋轉圖形的性質，可知旋轉中心在對應頂點連線的垂直平分線上，
∴分別作出PP1，NN1的垂直平分線，PP1，NN1的垂直平分線的交點為B，
∴旋轉中心是點B，
故選：B．
6．A
【解答】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵將△ADC繞點C逆時針旋轉得到△BEC，
∴∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠A＝∠CDE＝∠ABC＝∠CED，
∴點B，點E，點C，點D四點共圓，
∴∠DCB＝∠DEB，
故選：A．
7．C
【解答】解：如圖，連接BB′；由題意得：
AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′為等邊三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′與△BAC′中，
，
∴△BB′C′≌△BAC′（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，
故選：C．
8．A
【解答】解：如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，
依題意，得OB＝OA＝2，∠COB＝60°，
在Rt△OBC中，OC＝OB cos60°＝2，
BC＝OB sin60°＝23，
∴B（，﹣3）．
故選：A．
9．B
【解答】解：∵將點B（3，1）向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點C，
∴點C坐標為（5，4），
∵A（﹣5，4），
∴點A，C關于y軸對稱．
故選：B．
10．D
【解答】解：∵AB＝BC，AC＝2，O是AC的中點，
∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，
∴BO4，
∵將△BCO繞點C旋轉180°得△PCQ，
∴∠Q＝∠BOC＝90°，AQ＝AC+CQ＝AC+OC＝3，PQ＝BO＝4，
∴AP5．
故選：D．
11．C
【解答】解：∵△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△DBE，
∴∠ABF＝60°，∠A＝∠D，
∵∠A＝30°，
∴∠A+∠ABF+∠AFB＝180°，
∴30°+60°+∠AFB＝180°，
∴∠AFB＝90°，
∴AG⊥BD；
∴②正確；
∴∠DFG＝90°，
∵∠A＝∠D＝30°，
∴∠DGF＝60°，
∴∠FGE＝120°；
∴①正確；
AB＝BD，∠ABF＝60°，如圖，連接AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠DAF＝30°，
在△ABG和△ADG中，
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴DG＝BG，
∴③正確；
連接CE，如圖，
∵將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，
∵AG＝AC+CG，
∴AG＝DE+CG，
∵∠CBE＝60°，BC＝BE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴CE＝BE，
∵∠FGE＝120°，
∴BE＝CE＞CG+GE，
∴AG≠DE+BE，
∴④錯誤；
綜上所述，正確的為①②③，共3個；
故選：C．
12．C
【解答】解：如圖，連接BF，
由旋轉可得，CE＝FC，∠ECF＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAE，
∵邊長為8的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，
∴∠CAE＝30°，BD＝4，
∴∠CBF＝30°，
即點F的運動軌跡為直線BF，
∴當DF⊥BF時，DF最短，
此時，DFBD4＝2，
∴DF的最小值是2，
故選：C．
二、填空題
13．2
【解答】解：∵點P（m，3）與點Q（3，2﹣n）關于原點成中心對稱，
∴m＝﹣3，2﹣n＝﹣3，
∴n＝5，
則m+n＝﹣3+5＝2．
故答案為：2．
14．50
【解答】解：由旋轉得，∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
即∠B＝∠ADE＝∠ADB．
∵DE⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠CDF＝50°．
∵∠ADB+∠ADE+∠CDF＝2∠ADB+50°＝180°，
∴∠ADB＝65°，
∴∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝50°．
故答案為：50．
15．25．
【解答】解：過A作AD⊥A1B于D，如圖：
在△ABC中，AB＝10，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝10，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴ADAB＝5，
∴S△A1BA10×5＝25，
又∵S陰影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S陰影＝S△A1BA＝25，
故答案為：25．
16．150°
【解答】解：將△PBC繞點B逆時針旋轉60°得△DAB，
∵BD＝BP，∠DBP＝∠ABC＝60°，
∴△BDP為等邊三角形，∠DPB＝60°，
由旋轉可知AD＝PC＝10，DP＝BP＝8，
∵AP2+DP2＝62+82＝102＝AD2，
∴△ADP是直角三角形，∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝150°．
17．1．
【解答】解：連接CE，取BC的中點N，連接NF，如圖所示：
∵△CDE為等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵點N為BC的中點，點F為BE的中點，
∴NF是△BCE的中位線，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴點F的軌跡為直線NF，且∠CNF＝30°，
當CF⊥NF時，CF最短，
∵AB＝BC＝4，
∴CN＝2，
在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
∴CFCN＝1，
∴線段CF長度的最小值為1；
故答案為：1．
18.30°或90°或105°．
【解答】解：當OB平分∠AOD時，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB∠AOD＝60°α＝45°，
∴α＝30°，
當OB平分∠AOC時，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°α＝45°，
∴α＝90°；
當OB平分∠DOC時，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
綜上所述，旋轉角度α的值為30°或90°或105°；
故答案為：30°或90°或105°．
三、解答題
19．解：（1）如圖所示，點O即為所求．（作法不唯一）；
（2）∵△ABC 和△DEF 關于點O成中心對稱，
∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6，
∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝7+5+6＝18．
答：△DEF 的周長為18．
20．解：如圖所示．
（1）如圖（1），圖（2），圖（3）所示；
（2）如圖（4）所示；
（3）如圖（5），圖（6）所示．
21．解：（1）①如圖1，△OA1B1即為所求；
②如圖2，△OA2B2即為所求；
（2）由圖可知，點A1的坐標（﹣1，3）；點B1的坐標（﹣2，2）．
22．解：（1）過點P作PA⊥x軸于A，過點Q作QB⊥x軸于B，如圖所示：
∴∠OBQ＝∠PAO＝90°，
∴∠P+∠POA＝90°，
由旋轉的性質得∠POQ＝90°，OQ＝OP，
∴∠QOB+∠POA＝90°，
∴∠QOB＝∠P，
∴△OBQ≌△PAO（AAS），
∴OB＝PA，QB＝OA，
∵點P的坐標為（1，3），
∴OB＝PA＝3，QB＝OA＝1，
∴點Q的坐標為（﹣3，1），
（2）∵點Q（﹣3，1）向右平移a個單位長度，向下平移a個單位長度后，得到點M，
∴點M的坐標為（﹣3+a，1﹣a），
∵點M在第四象限，
∴，
解得a＞3，
∴a的取值范圍為a＞3．
23．（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋轉得AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°﹣∠BAD，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
（2）解：∵AE＝AD，∠EAD＝60°，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠AED＝60°，
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB＝∠ADC＝96°，
∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝96°﹣60°＝36°，
∴∠BED的度數是36°．
24．解：（1）∠ABC＝∠BEC，理由如下：
∵△ABC在平面內繞點B順時針旋轉（旋轉角不超過180°），得到△DBE，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BEC；
（2）如圖2，過點D作DF⊥CE于點F，
∵△ABC在平面內繞點B順時針旋轉（旋轉角不超過180°），得到△DBE，
∴AC＝DE，BC＝BE，∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵CE∥AB，
∴∠BCE＝∠ABC，
∴∠DBE＝∠BEC＝∠BCE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠DCE＝60°，且DF⊥CE，
∴∠CDF＝30°，
∴CFCD＝1，DFCF，
在Rt△DEF中，EF4，
∴CE＝EF+CF＝5＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3＝AB，
∴AB的長為3．
25．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝90°，
∵∠DCM＝∠A＝90°，∠EDM＝90°，DE＝DM，
∴∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三點共線，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDF＝45°＝∠EDF，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS）；
（2）解：∵AE＝CM＝1，正方形ABCD的邊長為3，
∴BE＝3﹣1＝2，
∵△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF，
設EF＝MF＝x，
則BF＝BM﹣MF＝4﹣x，
∵EB2+BF2＝EF2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴，
∴．
26．解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∵CD＝CB+BD＝AB+BD，
∴AB+BD＝BE；
（3）線段AB，BF與BD之間存在的數量關系是：AB＝BD+2BF，證明如下：
方法一：設DE與AB交于點K，在AB上截取AT＝BD，如圖所示：
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE，
∴∠EAT+∠AKE＝180°﹣∠AED＝120°，∠EDB+∠BKD＝180°﹣∠ABC＝120°，
又∵∠AKE＝∠BKD，
∴∠EAT＝∠EDB，
在△EAT和△EDB中，
，
∴△EAT≌△EDB（SAS），
∴ET＝EB，
∵EF⊥AB，
∴TF＝BF，
∴BT＝2BF，
∴AB＝AT+BT＝BD+2BF．
（3）方法二：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
即∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠BAE，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
，
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，∠C＝∠ABE＝60°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°﹣∠ABE＝30°，
∵BE＝2BF，
∴CB＝CD+BD＝2BF+BD，
即AB＝2BF+BD．

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