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第24章《圓》章節測試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．已知的直徑為5，若，則點與的位置關系是（ ）
A．點在內 B．點在上 C．點在外 D．無法判斷
2．下列命題中，假命題是（ ）
A．如果兩條弧是等弧，則它們所對的弦相等
B．同圓或等圓中，如果兩條弧不相等，則它們所對的弦也一定不相等
C．如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經過圓心，并且垂直于這條弦
D．如果一條直線經過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧
3．一個圓錐的底面半徑為3，高為2，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
4．已知扇形的半徑為 ，圓心角為，則扇形的弧長為（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，則這個三角形的外接圓的直徑是（ ）
A．8 B． C． D．4
6．如圖，是的直徑，切于點，線段交于點，連接．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑重合，點D對應的刻度值為，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，正五邊形內接于，點是劣弧上一點（點不與點重合），則的度數為（　　）
A． B． C． D．
9．如圖1是圓形干果盤，其示意圖如圖2所示，四條隔板，，，
長度相等，橫縱隔板互相垂直交于隔板的三等分點，測得，則該干果盤的半徑為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于、兩點，點在線段上，與軸交于、兩點，當與該一次函數的圖象相切時，的長度是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．6
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．如圖，是的直徑，、是上兩點，連接、．若，，則的度數為 ．
12．如圖，在中，，以點O為圓心，長為半徑作，將繞點B按逆時針方向旋轉得到，使點落在上，邊交線段于點C，若，則的度數為 ．
13．如圖，A點是上直徑所分的半圓的一個三等分點，B點是弧的中點，P點是上一動點，的半徑為3，則的最小值為 ．
14．我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提出了著名的“割圓術”．所謂“割圓術”，是用圓內接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，并以此求取圓周率的方法．劉徽指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．例如，的半徑為2，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積估計的面積，，所以的面積近似為，由此可得的估計值為，若用圓內接正十二邊形估計的面積，可得的估計值為 ．
15．如圖，四邊形是正方形，．執行下面操作：第一次操作以點A為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點E，得到扇形；第二次操作以點B為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點F，得到扇形；第三次操作以點C為圓心，以為半徑順時針作弧交的延長線于點G，得到扇形，依此類推進行操作，其中，、、，…的圓心依次按A，B，C，D循環，所得曲線叫做“正方形的漸開線”，則經過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為 ．（結果保留π）
16．如圖，在直線上有相距5cm的兩點和（點在點的右側），以為圓心作半徑為1cm的圓，過點作直線．將以的速度向右移動（點始終在直線上），則與直線在 秒時相切．
三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題；每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）
17．如圖，，交于點C，D，是半徑，且于點F．
(1)求證：．
(2)若，，求直徑的長．
18．如圖，的周長等于，正六邊形內接于．
(1)求圓心到的距離．
(2)求正六邊形的面積．
19．如圖1，某公園有一個圓形音樂噴泉，為了保障游客安全，管理部門打算在噴泉周圍設置一圈防護欄現在對噴泉進行測量和規劃，其示意圖如圖2所示，相關信息如下：
信息二：點為噴泉中心，是噴泉邊緣的一條弦，米，是弦的中點，連接并延長，交劣弧于點，米．
信息二：已知防護欄要距離噴泉邊緣1米，以為圓心，為半徑作防護欄所在圓．請根據以上信息解答下列問題
(1)求噴泉的半徑；
(2)要在防護欄上每隔1.5米安裝一盞景觀燈，大約需要安裝多少盞景觀燈？（取3，結果保留整數）
20．停車楔（圖1），又稱車輪止退器、駐車楔、三角木，是用于防止車輛不必要移動的裝置，使用時將停車楔放置在地面和輪胎之間，即可防止輪胎的滑動．如圖2為停車楔工作模型側面示意圖，水平地面與車輪切于點，為的直徑，射線與射線交于點，于點，連接．
(1)求證：平分．
(2)若，，求車輪的半徑．
21．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．
(1)若 ABC的外接圓的圓心為，則圓心的坐標為_________，的半徑為_________；
(2) ABC的外接圓與軸的另一個交點坐標是________．
(3)中所對的圓周角是________度，的長度________．
22．如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點C，并與兩腰，分別相交于D，E兩點，連接，．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．
23．如圖，在 ABC中，，以為直徑作，與交于點D，與交于點E，點F是外一點，，．
(1)求證：是的切線．
(2)若，．
①求的長；
②求圖中由，線段，，所組成的封閉圖形的面積．
24．如圖，是正方形的外接圓．
(1)如圖1，若是上的一點，Q是上的一點，且．
①求證：．
②若，求的直徑．
(2)如圖2，若點P在上，過點作，求證：．
25．【問題呈現】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明過程．
證明：如圖2，在上截取，連接、、和，∵M是的中點，，又，，，
又，，，即
(1)【理解運用】如圖1，、是的兩條弦，，點M是的中點，于點D，求的長；
(2)【變式探究】如圖3，若點M是中點，【問題呈現】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數量關系？并加以證明．
(3)【實踐應用】根據你對阿基米德折弦定理的理解完成下面問題：
如圖4，是的直徑，點A是圓上一定點，點D是圓上一動點，且滿足，若，的半徑為10，求長．
參考答案
一、選擇題
1．C
【分析】本題考查了點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．判斷圓的半徑與的大小即可解答．
【詳解】解：圓的半徑，點P到O的距離，
∴，
∴點P在圓外，
故選：C．
2．B
【分析】此題考查了弧、弦之間的關系，垂徑定理的推論．根據弧、弦之間的關系，垂徑定理的推論進行判斷即可．
【詳解】解：A. 如果兩條弧是等弧，則它們所對的弦相等，是真命題，故選項不符合題意；
B. 同圓或等圓中，如果兩條弧不相等，則它們所對的弦有可能相等，選項是假命題，故選項符合題意；
C. 如果一條直線平分弦所對的兩條弧，那么這條直線經過圓心，并且垂直于這條弦，是真命題，故選項不符合題意；
D. 如果一條直線經過圓心，并且垂直弦，那么該直線平分這條弦和弦所對的弧，是真命題，故選項不符合題意；
故選：B
3．B
【分析】本題考查圓錐的體積．根據圓錐的體積=×底面積×高，即可求解．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為2，
∴它的體積，
故選：B．
4．A
【分析】本題考查了求扇形的弧長，正確理解扇形弧長公式是解題的關鍵．根據扇形的弧長公式計算，即得答案．
【詳解】解：，圓心角為，
．
故選：A．
5．C
【分析】本題考查了三角形的外接圓的性質，直角三角形角的性質以及勾股定理．根據所對的直角邊等于斜邊的一半，然后根據勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
根據勾股定理得：，
即，
解得：，
∴這個三角形的外接圓的直徑是，
故選：C．
6．A
【分析】本題考查了切線的性質、圓周角定理，掌握相關定理的應用是解題的關鍵．
首先根據是的直徑，切于點，可求得的度數，然后根據圓周角定理，即可求解．
【詳解】解：∵是的直徑，切于點，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故選：A ．
7．A
【分析】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，圓周角定理是解題的關鍵．
如圖，記的中點為，連接，由題意知，，四點共圓，由圓周角定理可得，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，記的中點為，連接，
由題意知，，
∵，
∴四點共圓，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
8．C
【分析】本題主要考查了正多邊形和圓的性質以及圓周角定理，熟練掌握正多邊形內角與圓心角的關系以及圓周角定理是解題的關鍵．先連接、，利用正五邊形的性質求出圓心角的度數，再根據圓周角定理求出的度數．
【詳解】解：連接、，
∵ 五邊形是正五邊形
∴
∴
∴
故選：C．
9．A
【分析】本題主要運用垂徑定理和勾股定理求解．過點O作于點K，連接，
由垂徑定理求出，根據題意再求出，最后利用勾股定理即可計算圓的半徑．
【詳解】解：如圖，過點O作于點K，連接，
則，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
則該干果盤的半徑為．
故選∶A．
10．C
【分析】本題考查了切線的判定與性質、一次函數圖象上點的坐標特征、勾股定理、平行線分線段成比例定理，根據一次函數的圖象與軸、軸分別交于、兩點，求出和的長，根據勾股定理求出，設與軸相切于點，連接，，設，根據列出關于的方程，求出，即可求出答案．
【詳解】解：當時，，
當時，，
，
一次函數的圖象與軸、軸分別交于、兩點，
，，
，，
在中，
，
如圖，設與直線軸相切于點，連接，，
，，
設，
．
，
，
解得，
．
故選：C．
二、填空題
11．
【分析】本題考查了圓周角定理，三角形內角和定理．由直徑可得，再結合三角形內角和定理得到，由等弧所對的圓周角相等，得到，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：是的直徑，
，
，
，
，
，
故答案為：．
12．
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質與判定，圓的基本性質，三角形外角的性質，由旋轉的性質得到，，證明是等邊三角形，得到，再由三角形外角的性質可得答案．
【詳解】解：由旋轉的性質可得，，
∵點落在上，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13．
【分析】本題考查了垂徑定理及勾股定理，作點關于的對稱點，連接，交于點，則最小，連接，，求出，然后根據勾股定理求出解答即可．
【詳解】作點關于的對稱點，連接，交于點，則最小，連接，，
∵點與關于MN對稱，點是半圓上的一個三等分點，
，
∵點是弧的中點，
，
，
又∵，
，
．
故答案為：．
14．3
【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，直角三角形的性質，
先畫出圖形，并作，可求出中心角，再根據“含直角三角形的性質”得，然后求出，即可得正十二邊形的面積，最后根據圓的面積公式得出答案.
【詳解】解：是正十二邊形的一條邊，點O是正十二邊形的中心，設的半徑是2，
過點A作于點M，
在正十二邊形中，，
在中，，
∴，
∴正十二邊形的面積為，
∴，
解得，
∴的近似值為3.
故答案為：3.
15．
【分析】本題考查了扇形的面積．先求得前三個扇形的面積，找出規律，根據規律求解即可．
【詳解】解：根據題意得：
第一個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；
第二個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；
第三個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；
則第四個扇形，圓心角為，半徑為，面積為；
∴經過四次操作后所得到的四個扇形的面積和為
，
故答案為：．
16．2或3
【分析】本題考查了切線的判定與性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑；經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，當圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切．熟練掌握切線的判定與性質是解題的關鍵．根據切線的判定方法，當點到的距離為時，與相切，然后計算出圓向右移動的距離，然后計算出對應的時間．
【詳解】解：當點到的距離為時，與相切，
開始時點到的距離為5，
當圓向右移動或時，點到的距離為，此時與相切，
或，
即與直線在2秒或3秒時相切．
故答案為：2或3．
三、解答題
17．（1）證明：∵，且過圓心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，設的半徑是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直徑是．
18．（1）解：如圖，連接，過點作于點，則，
∵的周長等于，
∴半徑，
∵六邊形是正六邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圓心到的距離為；
（2）解：∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：連接，設噴泉的半徑為，則：，
，
是弦的中點，
平分弦，，
，
，
，
米；
答：噴泉的半徑為5米；
（2）解：由題意，得：米，
∴（盞）
答：大約需要安裝24盞景觀燈．
20．（1）證明：連結．
切于點，
．
，
，
．
，
∴，
，
平分．
（2）設的半徑為，則．
在中，，，，，
解得，即的半徑為．
21．（1）解：如圖所示，點的位置即為圓心位置，
圓心的坐標為，
∴MA==，
圓的半徑為，
故答案為：，．
（2）解：設 ABC的外接圓與軸的另一個交點為，
點在線段的垂直平分線上，
點的橫坐標為，
點的坐標為，
的外接圓與軸的另一個交點坐標是，
故答案為：．
（3）解：，，，
∴AC==，，
∵MC2+MA2=AC2，
是直角三角形，且，
的度數為，所對的圓周角是，
故答案為： ，．
22．（1）證明：連接，

和底邊相切于點，
，
，，
，
，，
和都是等邊三角形，
∵OD=OC=DC，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接交于點，

四邊形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積
，
圖中陰影部分的面積為．
23．（1）如圖所示，連接
∵為直徑
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴∠ACB=∠ABC
∴
∴
∴
∵為直徑
∴是的切線；
（2）①∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
②∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴線段，，所組成的封閉圖形的面積
．
24．（1）①證明：∵，
∴，
又∵，在正方形中，，
∴，
∴，
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如圖，連接，
∵，
∴是直徑，
∴，
又∵，
∴
（2）證明：如圖2，連接，過點作，交于點
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，即：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，證明如下：
如圖3，在上取，連接、、、，
點M是中點，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直徑，
，
的半徑為10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①當點在上方時，如圖，過點作于點，連接、，
，
，
，
，
，
，即點是的中點，
，
，
；
②當點在下方時，如圖，過點作于點，
，，
，
，即點是的中點，
由（2）可知，，
，
在中，，
綜上可知，長為或．

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