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第二十二章《二次函數》章節知識點復習題
【題型1 二次函數與一次函數的圖象綜合判斷】
1.在同一平面直角坐標系中，函數與函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知二次函數的圖象如圖，則一次函數的大致圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
3.已知同一平面直角坐標系中，二次函數與一次函數圖象如圖所示，則函數圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
4.在同一平面直角坐標系中，二次函數和一次函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【題型2 二次函數的圖象與系數之間的關系】
1.二次函數圖象的一部分如圖所示，給出下列命題：①；②；③；④（為任意實數）；⑤．其中正確的命題有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.二次函數（，，是常數，）的圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列判斷中，錯誤的是（ ）
A．
B．若點，在該拋物線上，且在軸的下方，則
C．一定有兩個不相等的實數根
D．（為實數）
3.如圖，二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③方程的兩根和為1；④若，則，⑤點，在拋物線上，且當時，；其中正確結論的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4.如圖，二次函數的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，其對稱軸為直線，則下列說法：①；②；③拋物線一定經過點﹔④關于x的方程有兩個不相等的實數根；⑤若 （其中）是拋物線上的兩點，且，則．正確的有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【題型3 根據二次函數的性質求字母取值范圍】
1.已知拋物線與直線只有一個交點P，且點P在第一象限，若，則m的值可能是（ ）
A． B． C．3 D．4
2.若二次函數的圖象的頂點在第一象限，且經過點(0，1)和(-1，0)，則的值的變化范圍是(　　)
A． B． C． D．
3.已知拋物線上有且只有三個點到軸的距離等于，點在拋物線上，且點到軸的距離小于．
（1） ．
（2）的取值范圍是 ．
4.在平面直角坐標系中，點，在拋物線上，設拋物線的對稱軸為直線．當時，t的值為 ；點在拋物線上，若，則的取值范圍為 ．
【題型4 二次函數與幾何變換】
1.如圖，一段拋物線：記為，它與x軸交于兩點O、；將繞旋轉得到，交x軸于；將繞旋轉得到，交x軸于；…如此進行下去，直至得到，若頂點在上，則m的值是（ ）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
2.將拋物線向左平移1個單位長度，得到拋物線，拋物線與拋物線關于軸對稱，則拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
3.把二次函數向上平移個單位長度（），如果平移后所得拋物線與坐標軸有三個公共點，那么應滿足條件 ．
4.規定：兩個函數，的圖象關于y軸對稱，則稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數與的圖象關于y軸對稱，則這兩個函數互為“Y函數”．若函數（k為常數）的“Y函數”圖象與x軸只有一個交點，則其“Y函數”的解析式為 ．
【題型5 二次函數與方程、不等式之間的關系】
1.拋物線的對稱軸為直線，與直線交于點，，則滿足不等式組的整數共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.如圖，以為頂點的二次函數的圖象與軸負半軸交于點，則一元二次方程的正數解的范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.已知二次函數，當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4.拋物線與平行于x軸的直線交于A、B兩點，且A點坐標為，請結合圖象分析以下結論：①對稱軸為直線；②拋物線與y軸交點坐標為；③；④若拋物線與線段恰有一個公共點，則a的取值范圍是；⑤不等式的解作為函數的自變量的取值時，對應的函數值均為正數，其中正確的序號是 ．
【題型6 利用二次函數的性質求最值】
1.拋物線經過原點，且與x軸的正半軸交于點A，頂點C的坐標為．
（1）a的值為 ．
（2）若P為拋物線上一動點，其橫坐標為t，作軸，且點Q在一次函數的圖象上．當時，的最大值是 ．
2.定義：，若函數，則該函數的最小值為 ．
3.已知拋物線（）．
（1）若拋物線經過點，則該拋物線的對稱軸為 ；
（2）若拋物線的對稱軸為直線，點，在拋物線上，則的最大值為 ．
4.定義：若一個函數圖象上存在縱坐標是橫坐標一半的點，則把該函數稱為“半值函數”，該點稱為“半值點”．例如：“半值函數”，其“半值點”為．
（1）函數的圖象上的“半值點”是 ．
（2）若關于x的函數的圖象上存在唯一的“半值點”，且當時，n的最小值為k，則k的值為 ．
【題型7 根據二次函數的最值求字母的值或取值范圍】
1.已知關于的二次函數，其中為實數，當－2≤≤1時，的最小值為4，滿足條件的m的值為 或 ；
2.當時，若二次函數的最大值為2，則n的值為 ．
3.定義：平面內任意兩點，，稱為這兩點之間的曼哈頓距離．若，，則 ．若點為拋物線上的動點，點為直線上的動點，并且拋物線與直線沒有交點，的最小值為1，則的值為 ．
4.已知拋物線，當時，拋物線的最大值與最小值的差為2，則的值是 ．
【題型8 利用二次函數的性質比較大小】
1.已知拋物線上有三點，，．若，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
2.二次函數的圖像經過，，三點，且，，則，，的大小關系是( )
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
3.已知拋物線（a、b、c為常數，且）是由拋物線向右平移m個單位得到，若點都在拋物線上，則之間的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
4.將方程的兩根記為、，方程的兩根記為、，則、、、的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【題型9 二次函數與一次函數圖象的綜合應用】
1.已知二次函數的圖像為C．
(1)用m表示圖像C的頂點坐標；
(2)證明：當時，圖像C與x軸有兩個交點；
(3)記一次函數（m是常數，，）的圖像為線段，若圖像C與線段（包含端點A、B）恰有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．
2.如圖，以A為頂點的拋物線交直線：于另一點B，過點B作平行于x軸的直線，交該拋物線于另一點C．
(1)當，時，求該拋物線與y軸的交點坐標．
(2)嘉嘉說：k與m滿足一次函數，請幫助嘉嘉求出a和b的值．
(3)若．
①求該拋物線的函數表達式；
②在直線下方的拋物線上，是否存在一點P，使得？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
3.已知二次函數的圖象經過點．
(1)求這個二次函數的表達式；
(2)求當時，y的最大值與最小值的差；
(3)一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別是a和b，且，求m的取值范圍．
4.【問題背景】
拋物線的圖象與x軸交于點，B，頂點為C，與y軸交于點D，與一次函數的圖象交于點A，E．
【構建聯系】
（1）填空：______，______，點E的坐標為______．
（2）如圖1，點P為x軸上方拋物線上一點，連接，，當時，求點P的坐標．
【深入探究】
（3）如圖2，在（2）的條件下，將點B沿的方向平移個單位長度，得到點．若將線段沿的方向平移，得到線段，則在平移過程中，點P，M，N能否構成等腰三角形？若能，請直接寫出點N的坐標；若不能，請說明理由．
【題型10 二次函數的應用】
1.如果將運動員的身體看作一點，那么運動員在跳水過程中的運動軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系，運動員從點起跳，在起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度與水平距離滿足二次函數的關系．
(1)在平時訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下表：
水平距離 3 3.5 4 4.5
豎直高度 10 11.25 10 6.25
根據上述數據，求y關于x的函數表達式．
(2)在（1）的這次跳水動作中，結合以下兩個信息，回答問題．
信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B時距水面的高度為，從到達最高點B開始計，則她到水面的距離與時間之間滿足．
信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要的時間才能完成極具難度的270C動作，請通過計算說明，運動員甲能否成功完成此動作？
2.為推進我市“紅色研學”文化旅游發展，大慶博物館新推出A，B兩種文創紀念品．已知2個A紀念品和3個B紀念品的成本之和是155元；4個A紀念品和1個B紀念品的成本之和是135元．一套紀念品由一個A紀念品和一個B紀念品組成．規定：每套紀念品的售價不低于65元且不高于72元（每套售價為整數）．如果每套紀念品的售價為72元，那么每天可銷售80套．經調查發現，每套紀念品的售價每降價1元，其銷售量相應增加10套．設每天的利潤為W（元），每套紀念品的售價為a元（且a為整數）．
(1)分別求出每個A紀念品和每個B紀念品的成本；
(2)求當a為何值時，每天的利潤W最大．
3.小磊和小明練習打網球．在一次擊球過程中，小磊從點正上方1.8米的點將球擊出．
信息一：在如圖所示的平面直角坐標系中，為原點，在軸上，球的運動路線可以看作是二次函數（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離，圖象經過點，．
信息二：球和原點的水平距離（米）與時間（秒）（）之間近似滿足一次函數關系，部分數據如下：
（秒） 0 …
（米） 0 4 6 …
(1)求與的函數關系式；
(2)網球被擊出后經過多長時間達到最大高度？最大高度是多少？
(3)當為秒時，小明將球擊回、球在第一象限的運動路線可以看作是二次函數y=-0.02x2 +p x+m（，為常數）圖象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原點的水平距離．當網球所在點的橫坐標為，縱坐標大于等于時，的取值范圍為________（直接寫出結果）．
4.秋水廣場，位于江西省南昌市紅谷灘新區的贛江之濱，緊鄰行政中心廣場是一座集休閑、娛樂，觀光于一體的大型城市公共空間．它因緊鄰贛江，設計巧妙地融入了水元素，尤其是其擁有的亞洲最大的音樂噴泉群（圖1）而聞名遐邇，成為南昌市標志性的旅游景點之一．
某一個泉眼從點O向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，在泉眼中心豎直放置一根水管，在水管的頂端A安裝一個噴水頭，噴出的拋物線形水柱在與泉眼中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離泉眼中心，如圖2，以水平地面為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．
(1)求水管的長度，
(2)若在第一象限的泉眼中豎直放置一盞高為的景觀射燈，且景觀射燈的頂端E恰好碰到水柱．
①求景觀射燈與之間的水平距離，
②現計劃降低水管高度，使落水點恰好在點F處，已知水管下降后，噴水頭噴出的水柱形狀和對稱軸不變，則水管要降低多少？
【題型11 二次函數中的存在性問題】
1.如圖，拋物線的圖象經過，兩點，與軸交于點，是拋物線的頂點．
(1)求拋物線的表達式和頂點的坐標；
(2)將原拋物線進行平移，平移后的拋物線頂點為，在原拋物線的對稱軸上，是否存在一點，使以，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點的坐標，并說明平移的方向和距離；若不存在，請說明理由．
2.如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線經過點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)M是拋物線上一點，過點M作y軸的平行線交直線于點N，是否存在以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
3.在平面直角坐標系中，拋物線與 軸交于，兩點，與軸交于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸于點，交直線于點，求線段 的最大值及此時點的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
4.如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點，的坐標分別為，，拋物線經過點．
(1)求點的坐標；
(2)求拋物線的表達式，并求出其頂點坐標；
(3)在拋物線上是否存在點與點（點，除外）使四邊形為正方形？若存在，請求出，的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案
【題型1 二次函數與一次函數的圖象綜合判斷】
1.A
【分析】本題考查二次函數的圖象、一次函數的圖象，根據a、b的正負不同，則函數與函數的圖象所在的象限也不同，針對a、b進行分類討論，從而可以選出正確選項．
【詳解】解：若，，則經過一、二、三象限，開口向上，對稱軸為，在y軸右側，故A正確、C錯誤；
若，，則經過二、三、四象限，開口向下，對稱軸為，在y軸右側，故B、D錯誤；
故選：A．
2.D
【分析】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的圖象和性質，由二次函數圖象得出a，b，c的大小是解題的關鍵．
先求出，，再判斷一次函數圖象即可．
【詳解】∵二次函數圖象開口向上，
∴；
∵對稱軸在軸右側，
∴，
∴；
∵與軸交點在負半軸，
∴．
對于一次函數，，，，故，
∴一次函數圖象過二、三、四象限．
故選：D．
3.D
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象及一次函數的性質，根據所給二次函數解析式可知，二次函數的圖象過定點，據此可解決問題．
【詳解】解：因為二次函數解析式為，
所以當時，，
則此二次函數的圖象過定點，
顯然只有D選項符合題意．
故選：D．
4.A
【分析】本題考查在同一個坐標系中判斷一次函數與拋物線圖象是否正確，先從各選項中一次函數圖象得到的符號，進而判定同一坐標系下二次函數圖象是否正確即可得到答案，數形結合，熟記一次函數及二次函數圖象與性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：從一次函數的圖象開始：
A、由圖可知，一次函數中，，
對于二次函數，由可知，拋物線開口向下；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側，與選項圖象一致，
故A圖象正確，符合題意；
B、由圖可知，一次函數中，，
對于二次函數，由可知，拋物線開口向上；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側，與選項圖象不一致，
故B圖象錯誤，不符合題意；
C、由圖可知，一次函數中，，
對于二次函數，由可知，拋物線開口向上；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸右側，與選項圖象不一致，
故C圖象錯誤，不符合題意；
D、由圖可知，一次函數中，，
對于二次函數，由可知，拋物線開口向下；由可知，拋物線對稱軸，對稱軸在軸左側，與選項圖象不一致，
故D圖象錯誤，不符合題意；
故選：A．
【題型2 二次函數的圖象與系數之間的關系】
1.D
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，根據拋物線的開口方向、對稱軸、與x軸的交點情況以及二次函數的性質判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線的對稱軸是直線，
∴，
∵拋物線交于y軸的負半軸，
∴，
∴，①說法正確；
∵，
∴，②說法錯誤；
∵拋物線與x軸交于，
∴，
∴，③說法正確；
∵拋物線的對稱軸是直線，且開口向上，
∴函數最小值為，
∴，
∴，④說法正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴，
∴，⑤說法正確；
綜上所述，正確的有①③④⑤．
故選：D．
2.D
【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵；根據二次函數圖象來判斷各項系數的正負，可判斷選項A；根據可知點和都在對稱軸左側，且點A離對稱軸距離遠，即，故B正確；將一元二次方程的解轉為二次函數與直線的交點問題，即可判斷Ｃ；由拋物線開口向下，頂點坐標為，即得出，即有，即，故D錯誤．
【詳解】解：由圖象知，時，，
．
對稱軸為直線，
∴，
∴，
，即，故A正確；
∵圖象開口向下，與y軸交點位于x軸上方，
∴，，
∴，
∴點和都在對稱軸左側，且點A離對稱軸距離遠．
該拋物線上的點在對稱軸的左邊離對稱軸距離越遠，點的縱坐標越小，
，故B正確；
根據圖象可知，當時，拋物線與的圖象有兩個交點，
有兩個不相等的實數根，故C正確；
拋物線開口向下，頂點坐標為，
，
，即，故D錯誤．
故選：D．
3.C
【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數值即可判斷②由根與系數的關系可得出，由代入即可判斷③，求出，進一步得到，又根據得到，即可判斷④． ⑤當點和關于對稱軸對稱時，解得m，若點A和點B向左移動時結合對稱軸左側的遞減性，以及即可得到m的取值范圍．
【詳解】解：①函數圖象開口方向向上，
；
對稱軸在軸右側，
、異號，
，
∵拋物線與軸交點在軸負半軸，
，
，故①錯誤；
②二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，
時，，
，
，
，
，
∵，
，故②正確；
③設方程的兩根為和，
∴，
，
∴，故③錯誤．
④，
∴根據拋物線與相應方程的根與系數的關系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正確；
⑤點，在拋物線上，
當時，，解得，
∵，
∴，則⑤正確；
故選：C．
4.D
【分析】本題考查的是二次函數的圖象與性質，由二次函數的圖象開口方向，與y軸交于點B及對稱軸可判斷①與②；③根據二次函數圖象的開口方向、經過及對稱軸可得出，，可得，可將化為，再代入二次函數解析式中驗證即可判定；④利用一元二次方程根的判別式進行判斷即可，⑤根據，分情況討論即可判斷．
【詳解】解：∵二次函數的圖象開口向下，與y軸交于點B，
∴，
又∵二次函數的圖象與x軸交于點，其對稱軸為，
∴，
∴，
①∵，
∴，
∴，故結論①正確；
②∵，
∴，
∴，故結論②正確，
∴，
③當時，，
∴拋物線一定經過點，即拋物線一定經過點，故結論③正確；
∵，
∴可化為：，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，
即關于x的方程有兩個不相等的實數根，故結論④正確．
⑤∵拋物線二次函數的圖象開口向下，其對稱軸為，
∴當時，y的值隨值的增大而增大；
當時，y的值隨值的增大而減小，
∵，，
當時，
此時，此時，
當時，滿足，
此時，，
當時，不滿足舍去，故⑤正確，
綜上所述，正確結論的個數是5個．
故選：D．
【題型3 根據二次函數的性質求字母取值范圍】
1.B
【分析】本題主要考查拋物線與直線的交點問題，掌握二次方程判別式、函數圖像的位置關系以及代數式的最值是解題的關鍵．
聯立拋物線與直線方程，利用判別式求唯一交點條件，結合點在第一象限的坐標條件，推導與的關系，代入求值范圍．
【詳解】∵拋物線與直線只有一個交點
∴方程只有一個解
∴，交點的橫坐標，縱坐標，
∴
∵，
∴
∵點在第一象限
∴點橫坐標，縱坐標
∴
∴
∴
代入得：
∴
把代入得：
時有最小值是，時隨的增大而增大
且時
，，，中只有在范圍內
的值可能是
故選：．
2.A
【分析】代入兩點的坐標可得 ， ，所以 ，由拋物線的頂點在第一象限可得 且 ，可得 ，再根據、，可得S的變化范圍．
【詳解】將點(0，1)代入中
可得
將點(-1，0)代入中
可得
∴
∵二次函數圖象的頂點在第一象限
∴對稱軸 且
∴
∵，
∴
∴
故答案為：A．
3.
【分析】本題考查二次函數的知識，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質，二次函數頂點式，進行解答，即可．
（1）根據拋物線上有且只有三個點到的距離等于，則為拋物線頂點到的距離，把拋物線化為頂點式，即可；
（2）根據題意，則設點到軸的距離等于，即，得到，分類討論：或時，確定的取值范圍，即可．
【詳解】解（1）∵拋物線上有且只有三個點到的距離等于，
∴為拋物線頂點到軸的距離，
∵，
∴拋物線的頂點位，
∴拋物線頂點到軸的距離為，
∴；
（2）設點到軸的距離為
∴
∴
當時，將代入
∴；
當，把代入
∴
∵點到軸的距離小于
∴
∴
∵時，
∴當時，；當時，
∴當時，的取值范圍為
故答案為：（1）；（2）．
4. 2
【分析】此題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是根據數形結合求解．
將及點，代入拋物線，解得，即可得到t的值；根據確定對稱軸的取值范圍，進而可確定的取值范圍．
【詳解】解：將點，代入拋物線，得
，
解得，
∴；
∵，
∴拋物線開口向上，
∵，
∴，
解得，
∴，即，
當時，；
當時，，
∴的取值范圍是．
故答案為：2，．
【題型4 二次函數與幾何變換】
1.B
【分析】本題是坐標規律題，考查了二次函數的應用，旋轉的性質，解題關鍵是得出拋物線頂點坐標的規律．先求出拋物線與軸的交點，再根據旋轉的性質，得出，，從而得出頂點坐標的規律：當為奇數時，的頂點坐標為，當為偶數時，的頂點坐標為，即可求解．
【詳解】解：令，則，
解得：，，
，，
，
由旋轉的性質可知，，
，，
拋物線與軸的交點坐標分別為，，
拋物線的對稱軸為直線，
當時，，
拋物線的頂點坐標為，
同理可得拋物線的頂點坐標為，拋物線的頂點坐標為……
觀察發現，當為奇數時，的頂點坐標為，當為偶數時，的頂點坐標為，
當時，的頂點坐標為，
，
故選：B．
2.A
【分析】利用平移的規律:左加右減，上加下減.并用規律求函數解析式，再因為關于x軸對稱的兩個拋物線，自變量x的取值相同，函數值y互為相反數，由此可直接得出拋物線的解析式．
【詳解】解：拋物線向左平移1個單位長度，得到拋物線：，即拋物線：;
由于拋物線與拋物線關于軸對稱，則拋物線的解析式為：.
故選：A．
3.且
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，也考查了二次函數的性質和二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象與幾何變換．先寫出平移后的拋物線解析式為，根據題意平移后所得拋物線與x軸有兩個公共點，且不經過原點，則根據根的判別式的意義得到且，然后解不等式組得到k的取值范圍．
【詳解】解：∵二次函數向上平移k個單位長度，
∴平移后的拋物線解析式為，
∵平移后所得拋物線與坐標軸有三個公共點，
∴平移后所得拋物線與x軸有兩個公共點，且不經過原點，
∴且，
解得且，
∴k的取值范圍為且．
故答案為：且．
4.或
【分析】分兩種情況，根據關于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，即可求得．
【詳解】解：函數（k為常數）的“Y函數”圖象與x軸只有一個交點，
函數（k為常數）的圖象與x軸也只有一個交點，
當k=0時，函數解析為，它的“Y函數”解析式為，它們的圖象與x軸只有一個交點，
當時，此函數是二次函數，
它們的圖象與x軸都只有一個交點，
它們的頂點分別在x軸上，
，得，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函數的解析式為，
故它的“Y函數”解析式為，
故答案為：或．
【題型5 二次函數與方程、不等式之間的關系】
1.A
【分析】本題主要考查二次函數與一次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；根據二次函數的對稱性可知二次函數與x軸的另一個交點坐標為，然后根據圖象可知當時，x的取值范圍為，然后問題可求解．
【詳解】解：設二次函數與x軸的另一個交點坐標為，則由拋物線的對稱軸為直線，與直線交于點，，可知：
，
∴，即二次函數與x軸的另一個交點坐標為，
由圖象可知：當時，x的取值范圍為，
∴滿足不等式組的整數只有3一個；
故選：A．
2.D
【分析】本題考查二次函數與一元二次方程，根據拋物線的對稱性，求出拋物線與軸正半軸的交點的橫坐標的取值范圍即可．
【詳解】解：∵二次函數的頂點坐標為：，
∴對稱軸為直線，
由圖象可知，拋物線與軸負半軸的交點的橫坐標的范圍為：，
∴拋物線與軸正半軸的交點的橫坐標的取值范圍為；
∴一元二次方程的正數解的范圍是；
故選:D．
3.C
【分析】求得頂點坐標，得出最小值，然后求出x=-3、x=0時y的值，就可頂點y的取值范圍．
【詳解】=，
∵1>0，
∴圖象開口向上，當x=-1時，y有最小值-5，
當x=-3時，y=-1；當x=0時，y=-4，
∴當時，的取值范圍是，
故選：C．
4.①③④
【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質．
根據二次函數的性質逐一判斷即可．
【詳解】解：①拋物線的對稱軸為直線，故①正確；
②當時，，即拋物線與y軸交點坐標為，故②錯誤；
③ 把A點坐標代入拋物線解析式，整理得∶
再代入，整理得：
由已知拋物線與x軸有兩個交點，則：
，整理得∶，即，
∵開口向上，
∴ ，
∴，
解得：，
而拋物線與軸負半軸相交，
∴，
解得：，
∴，故③正確；
④由拋物線的對稱性，B點的坐標為，
當拋物線經過A點時，此時拋物線與線段有兩個公共點，
當拋物線經過B點時，
∵其與線段恰有一個公共點，
∴，故④正確；
⑤∵，
∴，
即不等式的解作為函數的自變量的取值時，對應的函數值大于，故⑤錯誤；
故答案為：①③④．
【題型6 利用二次函數的性質求最值】
1. 1
【分析】本題主要考查了二次函數綜合，求二次函數解析式，正確求出二次函數解析式是解題的關鍵。
（1）利用待定系數法求解即可；
（2）根據（1）所求聯立兩函數解析式，求出兩函數的交點坐標，設，，由函數圖象可得，當時，在的上方，則，據此求解即可．
【詳解】解：（1）把代入中，得，解得．
故答案為：1．
（2）由（1）得拋物線的表達式為，
聯立，解得，，
拋物線與直線的交點坐標為，．
設，，由函數圖象可得，當時，在的上方，
當時，，
當時，PQ的最大值是．
故答案為：．
2.
【分析】本題主要考查了一次函數和二次函數的圖象和性質．分兩種情況討論：當，即時，當，即或時，并結合一次函數和二次函數的圖象和性質解答，即可．
【詳解】解：設，，
∵時，，
解得：，，
分兩種情況討論：
當，即時，，
∵，隨的增大而減少，
∴當時，該函數的值最小，最小值為；
②當，即或時，，
∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∵，
∴當時，該函數的值最小，最小值為；
綜上所述，該函數的最小值為．
故答案為：．
3. 直線 18
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質．
（1），將代入，得到a與b的關系，根據對稱軸為即可求解；
（2）根據對稱軸為直線得到，得到．將和分別代入，得到，，利用二次函數的性質即可求解．
【詳解】（1）由題知，將代入得：，則，所以拋物線的對稱軸為直線；
（2）因為拋物線的對稱軸為直線，所以，則，
所以拋物線的表達式可表示為．
將和分別代入拋物線的表達式得：
，，
所以，
因為，所以，即，
所以的最大值為18．
故答案為：直線，18．
4. 和 0或
【分析】本題主要考查二次函數與反比例的函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數與反比例函數的圖象與性質是解題的關鍵；
（1）設函數的圖象上的“半值點”的坐標是，則可求出，然后問題可求解；
（2）由題意易得，則有，然后可分當時，當時，當時，進而根據二次函數的最值問題可進行求解．
【詳解】解：（1）設函數的圖象上的“半值點”的坐標是，則有：
，
解得：，
∴函數的圖象上的“半值點”的坐標是和，
故答案為和；
（2）由題意得：，
整理得：，
∴，即，
此時可看作是n與m成二次函數關系，
即當時，n有最小值，
∵，
∴當時，則n的最小值為0，即，符合題意；
當時，此時n隨m的增大而增大，
∴當時，n有最小值k，即，（此時方程無解）；
當時，此時n隨m的增大而減小，
∴當時，n有最小值k，即，
解得：（不符合題意，舍去），
綜上所述：k的值為0或；
故答案為0或．
【題型7 根據二次函數的最值求字母的值或取值范圍】
1.
【分析】本題考查二次函數的最值，二次函數的性質，正確理解二次函數的性質是本題解題的關鍵．
由題求得拋物線的對稱軸為直線，分類討論，，，根據函數的增減性，即可得出答案．
【詳解】解：原式變形為，
對稱軸為，
二次函數當時，有最小值為4，
①當時，
當時，有最小值為4，
，
解得：,(舍去)，
②當時，
當，有最小值為，
化簡整理得，
解得：（舍去），（舍去），
③當時，
當，有最小值為，
化簡整理得，
解得：（舍去），
滿足條件的m的值為或．
故答案為：；．
2.或
【分析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．依據題意，由，可得拋物線開口向上，當時，y取最小值為，從而拋物線上的點離對稱軸越遠函數值越大，則當時或當時，y取最大值，進而分當時，y取最大值，此時，即和當時，y取最大值，此時，即，分別進行計算可以得解．
【詳解】解：由題意，∵，
∴拋物線開口向上，當時，y取最小值為．
∴拋物線上的點離對稱軸越遠函數值越大．
∴當時或當時，y取最大值．
①當時，y取最大值，此時，即．
又∵此時y最大值為，
∴（不合題意，舍去）或．
②當時，y取最大值，此時，即．
又∵此時y最大值為，
∴或（不合題意，舍去）．
綜上，或．
故答案為：或．
3. 8
【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內的兩點之間的距離，二次函數的極值，二次函數與一次函數的交點問題，
先根據定義解答①；再根據兩個圖象沒有交點求出b的取值范圍，然后說明當A，B兩點的橫坐標相等時，即時，取最小值1，接下來根據二次函數的性質討論最小值，并求出答案．
【詳解】解：根據題意，得；
∵拋物線與直線沒有交點，
∴一元二次方程沒有實數根，
即，
解得．
設點，
∴．
∵拋物線與直線沒有交點，且的最小值是1，
∴當A，B兩點的橫坐標相等時，即時，取最小值1，
∴．
當時，，
解得或（舍去）．
所以．
故答案為：8；．
4.或
【分析】本題考查了二次函效的性質、二次函數的最值，解題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和分類討論的方法解答．根據題意，利用二次函數的性質和分類討論的方法即可求解．
【詳解】解：，
拋物線對稱軸為：直線，頂點坐標為．
，
拋物線開口向下．
當時，；
當時，．
①當，即時，如圖1．
當時，，
當時，，
，
解得，（不合題意，舍去）；
②當，即時，如圖2．
當時，，
當時，，
，
解得，（不合題意，舍去）；
③當，即時，如圖3．
當時，最大值，
當時，，
，
解得（不合題意，舍去）．
綜上所述，的值為或．
【題型8 利用二次函數的性質比較大小】
1.B
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、解一元一次不等式組、整式的加減的應用，由題意可得，，，結合，求出，從而即可得出，，計算出，，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵拋物線上有三點，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故選：B．
2.C
【分析】本題考查了二次函數的增減性，對稱軸和開口方向的問題，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵．由題可知，對稱軸為，進而分兩種情況討論：①；②，根據拋物線的增減性得出結論．
【詳解】解：對稱軸為，
當時，
，，，
與互為相反數，
，故A，B不正確，不符合題意；
同理當時，，故D不正確，不符合題意．
故選：C．
3.A
【分析】本題考查了二次函數的平移、二次函數的圖象與性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．利用二次函數的平移規律可知，拋物線向右平移m個單位得到，結合題意得到，，，解得，，得出拋物線的圖象開口向上，對稱軸為，再比較點到拋物線對稱軸的距離，即可得出之間的大小關系．
【詳解】解：，
∴拋物線向右平移m個單位得到，
∴拋物線的解析式為，
∴，，，
∴，，
∴拋物線的解析式為，
∴拋物線的圖象開口向上，對稱軸為，
∵點都在拋物線上，，，，且，
∴．
故選：A．
4.C
【分析】本題考查了二次函數和一元二次方程的關系，熟練掌握二次函數和一元二次方程的關系以及數形結合的方法是解題的關鍵．
分別設 ，，兩個方程的根即為兩個二次函數與直線 的交點，畫出圖像，即可求解．
【詳解】解：設 ，，
將兩個函數畫在同一個直角坐標系中，如圖：
∵方程的兩根記為、，方程的兩根記為、，
∴由圖可知： ．
故選C．
【題型9 二次函數與一次函數圖象的綜合應用】
1.（1）解：整理，
可得：，
圖像的頂點坐標為；
（2）解：當時，
可得：，
，
整理得：，
當時，，
方程有兩個不相等的實數根，
圖像與軸有兩個交點；
（3）解：一次函數（是常數，，）的圖像為線段，
當時，，當時，，
∴點的坐標為，點的坐標為．
①當時，
依題意，圖像與線段恰有一個公共點，
如圖，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：，
∴；
②當時，
，
解得：；
③當一次函數與二次函數聯立方程，得，
一元二次方程有且只有兩個相等實數根時：
整理得，
，
解得，此時，交點橫坐標分別為或（不在x取值范圍舍去）；
綜上所述，或或時，圖像與線段恰有一個公共點．
2.（1）解：當，時，拋物線的解析式為，
當時，，此時該拋物線與y軸的交點坐標為；
（2）解：∵A為頂點的拋物線，
∴，
將代入得：，
即，
∵k與m滿足一次函數，
∴，；
（3）解：①∵拋物線，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵，
∴，
在中，當時，，即，
將、代入拋物線解析式可得：，
解得：或，
當時，，故不符合題意，舍去；
當時，，
∴拋物線的解析式為；
②由①可得：，，，
∵，，
∴，
∴，
∵點P在直線下方的拋物線上，
∴或，
當時，，解得：或，此時或；
當時，，解得：或，此時或；
綜上所述，點P的坐標為或或或．
3.（1）解：∵的圖象過點，
，
；
（2）解：由（1）得，二次函數對稱軸為，開口向上，
∴當時，的最大值為，
y的最小值為，
∴的最大值與最小值的差為；
（3）解：由題意及（1）得，
整理得，
即，
∵一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別是和，
，
化簡得，
即，
解得，
∴為方程的兩個解，
又∵，
，
即，
，
綜上所述，m的取值范圍為．
4.解：（1）把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
聯立方程組，
解得或（舍去），
∴，
故答案為：，2，；
（2）過點P作軸，交于Q，
設，則，
∴，
∵，
∴，
解得，
當時，，此時點P在x軸上，不符合題意，舍去，
當時，，符合題意，
∴；
（3）令，解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
過作軸于H，過C作軸于G，
∵點B沿的方向平移個單位長度，得到點，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
設直線解析式為，
則，
解得，
∴直線解析式，
又直線解析式為，
∴，
∴線段沿的方向平移就是將線段沿的方向平移，
∵平移，
∴
設且，則，
當時，，
解得（不符合題意，舍去）；
當時，，
解得，（不符合題意，舍去），
∴，，
∴；
當時，，
解得，（不符合題意，舍去），
∴，，
∴；
綜上，N的坐標為或．
【題型10 二次函數的應用】
1.（1）解：由表格可知，圖象過點，，，
∴，
∴設函數表達式為y=a（x-3.5）2 +k，
∴，
解得：，
∴；
故答案為：3.5，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
當時，，
∵，
即運動員甲在水面上無法完成此動作，
∴運動員甲不能成功完成此動作．
2.（1）解：設每個A紀念品成本元，每個B紀念品的成本元，
由題意得：，
解得：，
答：每個A紀念品成本元，每個B紀念品的成本元；
（2）解：由題意得，，
∵，對稱軸為直線，且a為整數，
∴當時，取最大值，
答：當時，每天的利潤W最大．
3.（1）解：∵圖象經過點，，
，
解得：，
∴與的函數關系式為；
（2）解：由表格可知，
∴設球和原點的水平距離（米）與時間（秒）的關系式為：，
代入得：，
解得：，
∴，
對于，，
∴開口向下，
∵對稱軸為：直線
∴當時，，
此時，
解得：，
∴網球被擊出后經過秒達到最大高度，最大高度是米；
（3）解：由題意得，當時，，
∴，
∴擊球點位置為，
將代入y=-0.02x2 +p x+m ，
則，
∴，
∴，
∵時，，
∴，
解得：，
故答案為：．
4.（1）解：由題意得拋物線頂點N的坐標為，點B的坐標為，
∴設第一象限拋物線的解析式為．
把點代入，得，
解得，
∴第一象限拋物線的解析式為．
∵當時，，
∴．
答：水管的長度為．
（2）解：①當時，，
，
，
解得（不合題意，舍去）．
答：景觀射燈與間的水平距離為．
②設降低水管后，水柱所在的拋物線的解析式為y=-0.25（x-4）2 +b ，
∵經過點，
∴，
解得，
∴．
當時，，
∴，
答：水管要下降．
【題型11 二次函數中的存在性問題】
1.（1）解：拋物線與軸交于點，．
將，代入，
得解得
拋物線的表達式為，
，
頂點的坐標為；
（2）存在．
如圖，設．
①以為對角線．
此時，，，
，
即，解得．
，為矩形的對角線，由中點坐標公式，得，
平移的方向為先向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度．
②以為對角線．
，點在軸上， ，則，
平移的方向為向左平移1個單位長度．
③以為對角線時，矩形不存在．
綜上所述，點的坐標為或，當點的坐標為時，
原拋物線先向右平移1個單位長度，再向上平移個單位長度；
當點的坐標為時，原拋物線向左平移1個單位長度．
2.（1）解：拋物線過點，
，
解得，
拋物線的表達式為；
（2）解：存在．設點，
，
，
設直線，
∴
解得：
∴直線的函數表達式為，
軸，如答案圖所示，
，
，
∴要使以為頂點的四邊形是平行四邊形，只需使即可，
當點M在第一、二，三象限時，，
解得：；
當時，；
當時，，
；
當點M在第四象限時，，此時m無實數解．
綜上所述，當點M的坐標為或時，以為頂點的四邊形是平行四邊形．
3.（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，
設拋物線的表達式為，
∴，
解得：，
∴拋物線的表達式為；
（2）解：如圖，
設解析式為且過，，
∴，解得：，
∴解析式為，
∵是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸，
∴設，則，
∴，
∴當時，有最大值，
此時；
（3）解：存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形，理由，
如圖，
∵拋物線的表達式為，
∴對稱軸為直線，
∵點在對稱軸上，
∴設，
∵，，
∴，，，
當時，
∴，
解得，
∴，
當時，
∴，
解得，
∴或；
當時，
∴，
解得，
∴；
綜上：點的坐標為或或或．
4.（1）如圖，作軸于點，
∵四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴點坐標為；
（2）∵拋物線經過點，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為
∴頂點坐標為；
（3）在拋物線上存在點、，使四邊形是正方形．
如圖，以為邊在的左側作正方形，過作于，軸于，
同（1）可證，
∴，，
∴點坐標為，點坐標為．
由（2）拋物線，
當時，；當時，．
∴、在拋物線上．
故在拋物線上存在點、，使四邊形是正方形．

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