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第二十三章《旋轉》章節測試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．在平面直角坐標系中，點于原點對稱的點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
2．下列人工智能App圖標中，是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，風力發電機的葉片在風的吹動下轉動，使風能轉化為電能．圖中的三個葉片組成的圖形繞著它的中心旋轉角后，能夠與它本身重合，則角的大小可以為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在 ABC中，，將 ABC繞點A逆時針旋轉得到 ADE．當恰好落在上時，連接，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖， ABC繞點O旋轉得到，下列說法錯誤的是（ ）
A． ABC與關于點B成中心對稱 B．點B和點E關于點O對稱
C． D．
6．如圖，在平面直角坐標系中， ABC的頂點均為格點（網格線的交點），將 ABC繞某點順時針旋轉，每次旋轉．已知第1次旋轉結束時，得到（點，，均為格點），則第82次旋轉結束時，點的對應點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在中，，將繞頂點A按順時針方向旋轉得到，當首次經過點D時，旋轉角的度數為（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，拋物線與軸交于點，為軸負半軸上一點，將線段繞點順時針旋轉得到線段，若點恰好在拋物線上，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，矩形繞點D逆時針旋轉得到矩形，連接交于點E，F為的中點，連接交于點G，連接，．給出下面四個結論：①；②；③；④．
上述結論中，所有正確結論的序號是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
10．如圖，正六邊形的頂點對應的坐標分別為和，將正六邊形沿軸正方向滾動，每滾動一次都會有一條邊落在軸上，有下列說法：
①滾動一次后，點落在點處；
②正六邊形的頂點不可能和點重合；
③在滾動過程中，頂點可能和點的重合．
其中正確的說法是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 ．（填序號）
①等邊三角形；②直角三角形；③長方形；④正五邊形；⑤圓；⑥平行四邊形
12．如圖，格點三角形甲經過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是點 ．
13．如圖，在 ABC中，為的中點，點在邊上（不與端點重合），將射線繞點順時針旋轉后與交于點，則四邊形的面積是 ．
14．如圖，有兩個邊長為2的正方形，其中正方形的頂點與正方形的中心重合．在正方形繞點旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分的面積是 ．
15．如圖，在正方形內有一點，連接，，，將順時針旋轉得到，連接，點恰好在線段上，若，，則的長度為 ．
16． ABC中，，，點是的中點，將繞點向三角形外部旋轉角時，得到，當恰為等腰三角形時，的值為 ．
三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）
17．如圖，在 ABC中，，，，將 ABC逆時針旋轉一角度后與 ADE重合，且點D恰好是的中點．
(1)旋轉中心是點 ，的長為 ；
(2)求的度數．
18．如圖所示的正方形網格中， ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題：
(1)將 ABC繞點O順時針旋轉90度，得到．在圖中畫出旋轉后的；
(2)作 ABC關于坐標原點成中心對稱的；
(3)的坐標_________，的坐標_________．
19．如圖，點為等腰直角三角形斜邊上一動點（點不與線段兩端點重合），將繞點順時針方向旋轉到，連接、、．
(1)求證：；
(2)若，，求的長；
20．如圖1所示，是一個家用醫藥箱，將其側面抽象為如圖2所示的正方形，在打開醫藥箱的過程中，矩形（箱蓋）可以繞點逆時針旋轉，落在的位置，且，．

(1)如圖2，當旋轉角時，求點與點之間的距離；
(2)如圖2，當旋轉角時，求點到的距離．（結果保留根號）
21．如圖1，正方形和正方形三點共線，，．將正方形繞點逆時針旋轉，連接．
(1)如圖2，求證：；
(2)如圖3，在旋轉的過程中，當三點共線時，試求的長；
22．如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側）．
(1)求，兩點的坐標．
(2)將直線向上平移個單位長度后，平移后的直線與拋物線僅有1個公共點，求的值．
(3)將直線繞點順時針旋轉，得到直線，為旋轉后的直線與拋物線的交點，求點的坐標．
23．如圖，兩個等腰直角 ABC和中，．
(1)觀察猜想如圖1，點E在上，線段與的數量關系是________，位置關系是_________．
(2)探究證明把繞直角頂點C旋轉到圖2的位置，（1）中的結論還成立嗎 說明理由；
(3)拓展延伸：把繞點C在平面內自由旋轉，若，，當A、E、D三點在直線上時，請直接寫出的長．
24．在平面直角坐標系中，已知矩形，點，現將矩形繞點O逆時針旋轉得到矩形，點B、C、D的對應點分別為點E、F、G．
(1)如圖1，當點E落在邊上時，線段 ，旋轉角 °；
(2)在（1）的條件下，求直線的函數表達式；
(3)如圖2，當C、E、F三點在一直線上時，所在直線與分別交于點H、M，求線段的長度．
25．如圖1，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，四邊形為兩個正方形的重疊部分，正方形可繞點轉動．
【問題發現】
（1）①線段之間的數量關系是_______________；
②在①的基礎上，連接，則線段之間的數量關系是____________．
【拓展應用】
（2）如圖2，若矩形的一個頂點是矩形對角線的中點，與邊相交于點，延長交于點，與邊相交于點，連接．矩形可繞點轉動，猜想之間的數量關系，并進行證明．
【類比遷移】
（3）如圖3，在中，，點在邊的中點處，它的兩條邊和分別與直線相交于點．可繞點轉動，當時，請直接寫出的面積．
參考答案
一、選擇題
1．C
【分析】本題考查平面直角坐標系中關于原點對稱的點的坐標規律．根據原點對稱的性質，兩個對稱點的橫縱坐標均互為相反數，直接應用即可得出答案．
【詳解】解：在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為．
故選：C．
2．B
【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．
根據中心對稱圖形的定義解答即可．
【詳解】解：A、該圖形不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；
B、該圖形是中心對稱圖形，故B選項符合題意；
C、該圖形不是中心對稱圖形，故C選項不符合題意；
D、該圖形不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意；
故選：B．
3．B
【分析】本題主要考查了求旋轉角，把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角，據此求解即可．
【詳解】解：由題意得，整個圖形由三個葉片組成，則相鄰葉片之間的夾角為，
∴該葉片圖案繞中心至少旋轉后能與原來的圖案重合，
∴角的大小可以為，
故選：B．
4．B
【分析】本題主要考查了旋轉的性質，找出旋轉角和旋轉前后的對應邊得出等腰三角形是解答此題的關鍵．
由旋轉的性質可知，旋轉前后對應邊相等，對應角相等，得出等腰三角形，再根據等腰三角形的性質求解．
【詳解】解：由旋轉的性質可知，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：．
故選：B
5．A
【分析】此題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．根據把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱的性質進而可得答案．
【詳解】解： ABC繞點O旋轉得到，
A、 ABC與關于點O成中心對稱，符合題意
B、點B和點E關于點O對稱，說法正確，不符合題意；
C、∵ ABC繞點O旋轉得到，
∴，，
∴，
∴說法正確； 不符合題意；
D、∵ ABC繞點O旋轉得到，
∴，
∴，
∴說法正確； 不符合題意；
故選A．
6．A
【分析】本題考查了坐標與圖形變化—旋轉，由旋轉的性質可得的對應點為，的對應點為，的對應點為，同時旋轉中心在和的垂直平分線上，進而求出旋轉中心坐標，然后得到每旋轉4次一個周期，由得到第82次旋轉結束時，點的對應點的坐標和點H的坐標相等，進而求解即可．掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，
由旋轉的性質可得的對應點為，的對應點為，的對應點為，
∴交點在和的垂直平分線上，如圖，
∴旋轉中心的坐標為，
如圖所示，設旋轉中心為M，將繞點M順時針旋轉得到，將繞點M順時針旋轉得到，將繞點M順時針旋轉得到 ABC，
∴每旋轉4次一個周期
∵
∴第82次旋轉結束時，點的對應點的坐標和點H的坐標相等
∴點的對應點的坐標為．
故選：A．
7．C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，旋轉的性質，等邊對等角．
根據平行四邊形的性質得到，由旋轉的性質得到，，根據等邊對等角得到，即可求出旋轉角的度數．
【詳解】解：∵在中，，
∴，
∵繞頂點A按順時針方向旋轉得到，
∴，，
∴，
∴，
故選：C
8．D
【分析】本題考查二次函數的圖象，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解一元二次方程，能作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．先求出，然后設點的坐標為，過點作于點，證得，即可得點的坐標為，代入二次函數解析式即可求解．
【詳解】解：令，則，
，
設點的坐標為，過點作于點，
由旋轉可得：，，
，
，
，
，
，，
點的坐標為，點的坐標為，
把代入得，
解得，舍去，
點的坐標為，
故選：D．
9．A
【分析】連接，根據旋轉性質可以確定，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可得出結論①；根據旋轉性質證明從而得出結論②；證明，通過勾股定理從而得出結論③；延長交于點H，通過平行線的判定與性質即可證明結論④．
【詳解】解：如圖，連接，
矩形繞點D逆時針旋轉得到矩形，
，
F為的中點，
，故①正確；
矩形繞點D逆時針旋轉得到矩形，
，，
，
，
， F為的中點，
，
，
，
，
又，，
，
，故②正確；
，,，
，
，
為等腰直角三角形，
，故③正確；
如圖，延長交于點H，
，，
，
，
，即，
，
，
，故④正確，
故選：A．
10．D
【分析】本題主要考查了正多邊形的性質和旋轉的性質．核心素養表現為空間觀念和推理能力．
根據正多邊形的內角和定理得到，，如圖，連接，過點作于點，由含角的直角三角形的性質，旋轉的性質，數學結合分析即可求解．
【詳解】解：在正六邊形中，每個內角的度數為，即，
∵頂點對應的坐標分別為和，
∴正六邊形的邊長為2，即，
如圖，連接，過點作于點，則，
，，
，，，
滾動一次后，點落在處，
點的坐標為，①正確；
點的坐標為，每滾動一次，落在軸上的邊的右側頂點的橫坐標就會增加2，
正六邊形的頂點不可能和點重合，②正確；
由圖可知，當正六邊形滾動三次后，點的坐標為，③正確．
故選：D．
二、填空題
11．③⑤
【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱的定義，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形和軸對稱的定義，軸對稱，把一個圖形一部分沿著某一條直線折疊，能夠與另一部分重合的圖形；中心對稱，一個圖形圍繞著某一個旋轉180度能夠與原來的圖形重合；旋轉圖形，一個圖形圍繞著某一個點旋轉任意角度能夠與原來的圖形重合．
根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：等邊三角形，正五邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；一般的直角三角形既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形；平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；長方形、圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．
故答案為：③⑤ ．
12．M
【分析】本題考查了旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前、后的圖形全等．熟練掌握旋轉的性質是確定旋轉中心的關鍵所在．
判斷哪個點到兩個三角形的對應點的距離相等，且夾角也相等，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接M和兩個三角形的對應點；
發現兩個三角形的對應點到點M的距離相等，且夾角都是，
因此格點M就是所求的旋轉中心．
故答案為：M．
13．9
【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性質．連接，證明，可得，從而得到四邊形的面積，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵為的中點，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
根據題意得：，
∴，
∴，
即，
在和 BDF中，
∵，，，
∴，
∴，
∴四邊形的面積．
故答案為：9
14．1
【分析】此題主要考查了動點問題的函數圖象，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，過點E作于點P，于點Q，則可證明，得出，根據得出答案即可．
【詳解】解：如圖，過點E作于點P，于點Q，
則，
∵點E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：1．
15．
【分析】本題考查旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理，根據旋轉得到，，，結合勾股定理求出，求出結合勾股定理即可得到答案．
【詳解】解：∵順時針旋轉得到，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
16．或或
【分析】本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的性質，解題的關鍵是學會題分類討論的思想思考問題．分三種情形討論①如圖1中，當時，②如圖2中，當時，③如圖3中，當時，分別利用全等三角形的性質計算即可．
【詳解】解：在中，
，
，
①如圖1中，
當時，
在和中，
，
，
．
②如圖2中，當時，同理可證，
，
．
③如圖3中，當時，同理可證，
，
故答案為或或．
三、解答題
17．（1）解：在 ABC中，，，
∴，
即，
∵ ABC順時針旋轉一定角度后與 ADE重合，
∴旋轉中心為點A，旋轉的度數為；
∴，，
∵點D恰好成為的中點，
∴，
∴；
故答案為：A，；
（2）解：∵ ABC順時針旋轉一定角度后與 ADE重合，
∴旋轉中心為點A，旋轉的度數為；
∴，
故答案為：．
18．（1）解：如圖，即為所求；
（2）如圖，即為所求；
（3）由圖可知：．
19．（1）證明：由旋轉性質得：，，
是等腰直角三角形，
，，
即，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）解：依題得：，，
中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
中，，
．
20．（1）解：如圖，連接，由題意得，
是等邊三角形，
，
故點與點之間的距離為．
（2）解：過點作F/ M⊥BC于點，垂足為點，且與交于點．
由題易得四邊形為矩形，
，
由（1）可知，則
答：點到的距離為．
21．（1）證明：∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如圖所示，過點作于，
∵在正方形中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴．
22．（1）解：根據題意，聯立方程組得，，
解得，，
∴；
（2）解：直線向上平移個單位長度后的解析式為，
∵平移后的直線與拋物線僅有1個公共點，
∴，整理得，，
∴，
解得，；
（3）解：如圖所示，過點作軸于點，過點作延長線于點，設旋轉后的直線與軸交于點，則，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
聯立直線于拋物線為方程得，，
解得，，
∴．
23．（1）解：如圖，延長交于，
，
∵ ABC和為等腰直角三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點E在上，線段與的數量關系是相等，位置關系是垂直；
故答案為：相等；垂直
（2）解：（1）中的結論還成立，理由如下：
如圖，延長交于，
，
∵ ABC和為等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖，當射線在直線上方時，作于，
，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
當射線在直線的下方時，作于，
，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，的長的長為17或31．
24．（1）解：∵四邊形是矩形，，
∴，，，
∵矩形是矩形旋轉得到，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：，45；
（2）解：由（1）可知，，
設直線的表達式為，
把點代入得，，
解得，
∴直線的表達式為，
設的函數表達式為，
過點G作軸于點A，
∵，，
∴，
∴，
∴，
把點代入得，，
解得，
∴的函數解析式為；
（3）解：如圖，過點M作于點N，連接、，
∵矩形是矩形旋轉得到，
∴，，
∵C、E、F三點在一條直線上，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴線段的長度為2；
25．解：（1）①證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和 BFO中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：；理由如下：
連接，如圖2：
∵為矩形中心，
∴，
延長交于，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵四邊形是矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）設，
①當在線段上時，如圖3，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又由（2）易知，
∴，
∴，
解得，即，
；
②當點在延長線上時，
同理可證，
∴，
又在中，
，
∴，
解得，即，
；
故的面積為或．

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