資源簡介

第二十一章《一元二次方程》單元檢測卷
一、選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。）
1．若一元二次方程3x﹣5＝2x2化成一般形式后二次項的系數是2，則一次項的系數是（　　）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
2．已知一元二次方程x2+6x+1＝0配方后可變形為（x+3）2＝k，則k的值為（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．關于x的方程（x+m）2＝n，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個解x＝±
B．當n≥0 時，有兩個解x＝±m
C．當n≤0時，有兩個解x＝±
D．當n≤0時，方程無實根
4．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一個根，則代數式2m2﹣4m+2025的值為（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
5．若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c滿足a+b+c＝0，則方程必有根（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝±1
6．下列關于x的方程中，不論a取什么實數值，一定有兩個實數根的是（　　）
A．x2+ax﹣1＝0 B．ax2+2x+1＝0
C．x2+2x+a＝0 D．x2+ax+1＝0
7．若關于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有實數根．則k的取值范圍是（　　）
A．k B．k C．k D．k
8．一商店銷售某種進價為20元/件的商品，當售價為60元時，平均每天可售出20件．為了擴大銷售，增加盈利，該店采取了降價措施．經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出4件，若該商店每天要實現1400元的利潤，每件需降價多少元？設每件商品降價x元，由題意可列方程（　　）
A．（60﹣x）（20+4x）＝1400
B．（40﹣x）（20+4x）＝1400
C．（60﹣x）（20+2x）＝1400
D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400
9．今年“國慶節”和“中秋節”雙節期間，某微信群規定，群內的每個人都要發一個紅包，并保證群內其他人都能搶到且自己不能搶自己發的紅包，若此次搶紅包活動，群內所有人共收到132個紅包，則該群一共有（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
10．定義一種運算：m※n＝m2﹣2mn﹣n2，例如2※3＝22﹣2×2×3﹣32＝4﹣12﹣9＝﹣17，若x※2＝﹣4，則正數x的值為（　　）
A．0 B．0或4 C．3 D．4
11．若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，則A、B的大小關系為（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．無法確定
12．小明在學習電路圖時，通過實驗探究得到并聯電路的電阻公式：，這讓他聯想起數學課堂上曾經證明過的一個結論和這一公式有驚人的相似：若AB⊥BC、DC⊥BC（AB＜CD），連接AC和BD相交于E，過E作EF⊥BC于F，則.若，且以AB、CD為寬和長的矩形的面積等于2，則以AB、CD的長度為根的一元二次方程為（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣3x﹣2＝0 C．x2﹣2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0
二、填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分．）
13．若方程（k﹣2）x|k|+2x+5＝0是一元二次方程，則k的值是 　 　 ．
14．設m，n分別是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的兩個實數根，則m2﹣3m﹣n＝　 　 ．
15．2022版《義務教育數學課程標準》將勞動從綜合實踐活動課中獨立出來，勞動教育已納入義務教育全過程，某校積極實施，建設校園勞動基地．如圖，是該校一塊矩形勞動場地，長36m，寬24m，要求在場地內修同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分作為種植區．如果種植區的總面積為805m2，則所修道路的寬為　 　 m．
16．已知Rt△ABC的兩直角邊長為a、b，且滿足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，則該三角形的斜邊長為 　　 ．
17．根據如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 … 4 5 6
x2﹣bx﹣5 13 5 ﹣1 … ﹣1 5 13
確定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范圍是 　 　 ．
18．閱讀下面的問題：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．
解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意，舍去）；
（2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合題意，舍去）；
綜上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
參照上述解題方法，則x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解為　 　 ．
三、解答題（本題共8小題，共72分．）
19．（8分）用合適的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）2x2﹣6x﹣3＝0；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）； （4）．
20．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0．
（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一個根．求方程的另一個根．
21．（8分）我校為進一步激發學生勞動熱情，在校園開辟了蔬菜種植基地“空翠圃”：種植基地一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為27米），另三面用長為45米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設計了三個寬1米的小門，便于同學們進入．
（1）若圍成的菜地面積為180平方米（中間籬笆忽略不計），求此時邊AB的長；
（2）若每平方米可收獲4千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？
22．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有兩個實數根x1和x2．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）若兩個實數根x1和x2滿足x1+x2﹣x1x2＜4，求k的整數值．
23．（10分）新能源汽車采用電能作為動力來源，減少二氧化碳氣體的排放，達到保護環境的目的，其市場需求逐年上升．
（1）某品牌新能源汽車1月份銷售量為30萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐月遞增，3月份的銷售量達到36.3萬輛．求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率．
（2）某汽車銷售公司搶占先機，購進一款進價為12萬元/輛的該品牌新能源汽車，經銷一段時間后發現：當該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛，若該店計劃下調售價使平均每周的銷售利潤為144萬元．為了推廣新能源汽車，并且此次銷售盡量讓利于顧客，求該店下調后每輛汽車的售價．
24．（10分）我們已經學習了二次根式和完全平方公式，請閱讀下面材料：
當a＞0，b＞0時；
∵b
又∵0
∴a﹣2b≥0
∴a+b≥2
當且僅當a＝b 時，a+b＝2．
請利用上述結論解決以下問題：
（1）當x＞0時，4x的最小值為 　 　 ，此時x＝ 　 　 ；
（2）若y（x＞﹣2），求y的最小值．
25．（10分）利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決方程或代數式的一些問題，請閱讀下列材料：
閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根據你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）已知△ABC的三邊長a，b、c都是正整數，且滿足a2﹣6a+2b2﹣4b+11＝0，求c的值；
（3）若A＝4a2+3a﹣3，B＝3a2+5a﹣6，試比較A與B的大小關系，并說明理由．
26．（10分）已知x1，x2是關于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的兩實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）已知等腰△ABC的底邊BC＝4，若x1，x2恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．
（3）閱讀材料：若△ABC三邊的長分別為a，b，c，那么可以根據秦九韶﹣海倫公式可得：S△ABC，其中p，在（2）的條件下，若∠BAC和∠ABC的角平分線交于點I，根據以上信息，求△BIC的面積．
參考答案
一、選擇題
1．B
【解答】解：3x﹣5＝2x2，
2x2﹣3x+5＝0，
∴一次項系數是﹣3，
故選：B．
2．A
【解答】解：原方程移項得x2+6x＝﹣1，
則x2+6x+9＝﹣1+9＝8，
∴（x+3）2＝8，
故選：A．
3．B
【解答】解：在方程（x+m）2＝n中，因為（x+m）2≥0，所以當n≥0時，方程才有意義．即有兩個解x＝±m．
故選：B．
4．C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一個根，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2025＝2（m2﹣2m）+2025＝2×2+2025＝4+2025＝2029，
故選：C．
5．B
【解答】解：∵當x＝1方程ax2+bx+c＝0可化為a+b+c＝0；
故選：B．
6．A
【解答】解：A、∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4，
∴不論a取什么實數值，
∴Δ＝a2+4＞0，
∴關于x的方程有兩個不相等的實數根，故該選項符合題意；
B、當a＝0時，原方程化為2x+1＝0，
∴x，
即當a＝0時，關于x的方程有一個實數根，故該選項不符合題意；
C、∵Δ＝4﹣4a，
∴當a≤1時，Δ＝4﹣4a≥0，即關于x的方程有兩個實數根，故該選項不符合題意；
D、∵Δ＝a2﹣4×1×1＝a2﹣4，
∴a2≥4時，Δ＝a2﹣4≥0，即關于x的方程有兩個實數根，故該選項不符合題意；
故選：A．
7．A
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有實數根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0，
解得：k．
故選：A．
8．B
【解答】解：設每件商品降價x元，
由題意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400，
即（40﹣x）（20+4x）＝1400，
故選：B．
9．D
【解答】解：設該群一共有x人，則每人收到（x﹣1）個紅包，
依題意列方程得：x（x﹣1）＝132，
整理得，x2﹣x﹣132＝0，
解得x1＝12，x2＝﹣11（不符合題意，舍去）．
則該群一共有12人，
故選：D．
10．D
【解答】解：由題意得x2﹣4x﹣4＝﹣4，
整理得：x2﹣4x＝0，
因式分解得：x（x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝4，
則正數x的值為4，
故選：D．
11．A
【解答】解：∵A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，
∴A﹣B＝（x2+4xy+y2﹣4）﹣（4x+4xy﹣6y﹣25）
＝x2+y2﹣4x+6y+21
＝（x﹣2）2+（y+3）2+8
∵（x﹣2）2+（y+3）2+8≥8，
∴A﹣B＞0，
∴A、B的大小關系為：A＞B．
故選：A．
12．A
【解答】解：由題意可知，，
∴，
∵以AB、CD為寬和長的矩形的面積等于2，
∴AB CD＝2，
∴AB+CD＝3，
∴以AB、CD的長度為根的一元二次方程為x2﹣3x+2＝0，
故選：A．
二、填空題
13．﹣2．
【解答】解：根據題意得k﹣2≠0且|k|＝2，
解得k＝﹣2．
故答案為：﹣2．
14．2023．
【解答】解：∵m，n分別是一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0的兩個實數根，
∴m2﹣2m﹣2025＝0，m+n＝2，
∵m2﹣3m﹣n
＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝2025﹣2
＝2023，
故答案為：2023．
15．1m．
【解答】解：設所修道路的寬為x m，
根據題意得：（24﹣x）（36﹣x）＝805，
整理得：x2﹣60x+59＝0．
解得：x1＝59（不合題意，舍去），x2＝1．
即所修道路的寬為1m，
故答案為：1．
16．．
【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0
（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0
a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2舍去），
a2+b2＝3，
a2+b2＝c2，
c2＝3，
c．
該三角形的斜邊長為．
故答案為：．
17．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5
【解答】解：∵x＝﹣2時，x2﹣bx﹣5＝5＞0；x＝﹣1時，x2﹣bx﹣5＝﹣1＜0，
∴x取﹣2至﹣1之間的某一個數時，x2﹣bx﹣5＝0，
∴方程x2﹣bx﹣5＝0一個解的范圍為﹣2＜x＜﹣1；
∵x＝4時，x2﹣bx﹣5＝﹣1＜0；x＝5時，x2﹣bx﹣5＝5＞0，
∴x取4至5之間的某一個數時，x2﹣bx﹣5＝0，
∴方程x2﹣bx﹣5＝0一個解的范圍為4＜x＜5，
綜上所述，方程x2﹣bx﹣5＝0解的范圍為﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5．
故答案為：﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5．
18．x1＝1；x2＝﹣2．
【解答】解：（1）當x≥1時，原方程化為x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0（不合題意，舍去）；
（2）當x＜1時，原方程化為x2+x﹣2＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1（不合題意，舍去），x2＝﹣2，
綜上所述，原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2，
故答案為：x1＝1；x2＝﹣2．
三、解答題
19．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（3）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），
（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，
（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，
∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0，
∴x1，x2＝4；
（4），
∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，
∴b2﹣4ac＝48﹣4×1×10＝8＞0，
∴x2±，
∴x1＝2，x2＝2．
20．（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+4）]2﹣4×1 （2m﹣1）
＝m2+20，
∴m2≥0，
∴Δ＞0，
∴不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：∵x＝1是一元二次方程一個根，
∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0，
解得m＝4，
此時，原一元二次方程為x2﹣8x+7＝0，
解得x1＝1，x2＝7，
所以方程的另一個根為x＝7．
21．解：（1）設AB＝xm，則BC＝（45﹣3x+3）m，
x（48﹣3x）＝180，
即x2﹣16x+60＝0，
∴x1＝10，x2＝6，
當x＝6時，BC＝48﹣3x＝30m＞27m（不合題意，舍去），
當x＝10時，BC＝48﹣3x＝18m＜27m．
答：AB的長為10m．
（2）設菜地的面積為ym2，
y＝x（48﹣3x）＝﹣3x2+48x＝﹣3（x﹣8）2+192，
∴當x＝8時，y有最大值為192．
∴192×4＝768（千克），
答：該片菜地最多可收獲768千克的菜．
22．解：（1）根據題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤2；
（2）根據根與系數的關系得x1+x2＝2，x1x2＝k﹣1，
∵x1+x2﹣x1x2＜4，
∴2﹣（k﹣1）＜4，
解得k＞﹣1，
而k≤2，
∴﹣1＜k≤2，
∴k的整數值為0、1、2．
23．解：（1）設1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為x，
由題意得：30（1+x）2＝36.3，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去），
答：1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率為10%；
（2）設下調后每輛汽車降低a萬元，則下調后每輛汽車的售價為（25﹣a）元，利潤為（25﹣a﹣12）元，
由題意得：（25﹣a﹣12）（8+2a）＝144，
整理得：a2﹣9a+20＝0，
解得：a1＝5，a2＝4（不符合題意，舍去），
∴25﹣a＝25﹣5＝20，
答：下調后每輛汽車的售價為20萬元．
24．解：（1）∵x＞0時，
∴（2）2＝4x﹣4，
∵（2）2≥0，
∴4x﹣40，
∴4x4，
即4x4，
當且僅當4x時，4x4，
解得x，
∴當x＞0時，4x的最小值為4，此時x，
故答案為：4，；
（2）y（x+2），
∵x＞﹣2，
∴（x+2）2，
∴（x+2）2，
當且僅當x+2，即x時，（x+2）的最小值為2，
∴y的最小值為2．
25．解：（1）由題意得，a2+4ab+5b2+6b+9＝a2+4ab+4b2+b2+6b+9＝（a+2b）2+（b+3）2＝0，
∴a+2b＝0，b+3＝0，
∴a＝6，b＝﹣3．
故答案為：6，﹣3．
（2）由題意得，a2﹣6a+2b2﹣4b+11＝a2﹣6a+9+2b2﹣4b+2＝（a﹣3）2+2（b﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∵a、b、c是△ABC的三邊長，
∴2＜c＜4，
∵c是正整數，
∴c＝3．
（3）A＞B，理由如下：
由題意得，∵A＝4a2+3a﹣3，B＝3a2+5a﹣6，
∴A﹣B＝4a2+3a﹣3﹣（3a2+5a﹣6）＝4a2+3a﹣3﹣3a2﹣5a+6＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+2＞2＞0，
∴A＞B．
26．解：（1）由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）≥0，且m+2≠0，
化簡得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且m≠﹣2；
（2）由題意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰長，
∴x1＝x2，
∵x1，x2是關于x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的兩實數根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣2）]2﹣4（m+2）（m+10）＝0，
解得m＝﹣1，
∴x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵BC＝4，
∴△ABC的周長為：3+3+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三邊長為3，3，4，
∴p5，
∴S△ABC，
過I分別作IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分別為F，D，E，
∵I是△ABC角平分線的交點，
∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC，
解得ID，
∴S△BIC．

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