資源簡介

第二十一章《一元二次方程》章節測試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．下列方程中是關于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的二次項系數、一次項系數和常數項分別是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程配方后正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程的實數根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．無實數根
C．有兩個相等的實數根 D．有實數根
5．若是關于x的一元二次方程的一個根，則k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．若，是方程的兩個根，則（ ）
A． B． C． D．
7．畢業將至，九（1）班全體學生互贈祝福卡，共贈祝福卡1560張，問：九（1）班共有多少名學生？設九（1）班共有名學生，根據題意可列方程為（ ）
A． B． C． D．
8．若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
9．如圖，小軍的爸爸用一段長的鐵絲網圍成一個一邊靠墻（墻長）的矩形鴨舍，其面積為，在鴨舍側面中間位置留一個寬的門（由其它材料制成），則長為（ ）
A．或 B． C．或 D．
10．若關于的一元二次方程有一根為，則關于的一元二次方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
11．一元二次方程的一般形式是 ．
12．已知方程的兩根分別為，，則的值為 ．
13．已知a是方程的一個根，則代數式的值是 ．
14．若關于的方程是一元二次方程，則的值是 ．
15．關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是 ．
16．如圖所示的是某月的月歷表，在此月歷表上可以按圖示形狀圈出位置相鄰的6個數（如：8，14，15，16，17，24）．若圈出的6個數中，最大數與最小數的積為225，則這6個數的和為 ．
三、解答題（第17，18，19，20題，每題6分；第21，22，23題，每題8分；第24，25題，每題12分；共9小題，共72分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．小南和小湖兩位同學解方程的過程如下框：
小南： 移項，得 提取公因式得 則，或， 解得，． 小湖： 兩邊同除以，得 則．
你認為他們的解法是否正確？若正確請在相應框內打“√；若錯誤請在相應框內打“×”，并寫出你的解答過程．
19．設是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值．
(1)
(2)
20．已知關于的一元二次方程．
(1)證明：當取不為0的任何值時，方程總有實數根；
(2)為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根．
21．定義：如果一元二次方程（）滿足，那么稱這個方程為“聯合方程”．
(1)判斷一元二次方程是否為“聯合方程”，說明理由；
(2)已知是關于的“聯合方程”，若是此“聯合方程”的一個根，求和的值．
22．某超市今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售128件．二、三月該商品銷售量持續走高，在售價不變的前提下，三月份的銷售量達到200件．設二、三這兩個月的月平均增長率不變．
(1)求二、三這兩個月的月平均增長率．
(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利1250元？
23．已知關于x的一元二次方程．
(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若，是該方程的兩根，且滿足，求m的值．
24．如圖，某農戶準備利用墻面（墻面足夠長），用長的柵欄圍一個矩形羊圈和一個邊長為的正方形狗屋（圖中陰影部分為羊的活動范圍）．設．
(1)的長為___________m；（用含的代數式表示）
(2)若羊的活動范圍的面積為，求的長；
(3)羊的活動范圍的面積能否為？若能，求出此時的長；若不能，請說明理由．
25．小慧在學習配方法的知識時，發現一個有趣的現象：關于x的多項式，由于，所以當時，多項式有最小值；多項式，由于，所以當時，多項式有最大值．于是小慧給出一個定義：關于x的二次多項式，當時，該多項式有最值，就稱該多項式關于對稱，例如關于對稱．請結合小慧的思考過程，運用此定義解決下列問題：
(1)多項式關于_______對稱；
(2)關于x的多項式關于對稱，且最小值為3，求方程的解．
參考答案
一、選擇題
1．C
【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程是只有一個未知數且未知數次數為2的整式方程成為解題的關鍵．
根據一元二次方程的定義（整式方程、一個未知數、最高次數為2）逐項判斷即可．
【詳解】解：A： 含有分式，不是整式方程，不符合題意；
B： 中，若，則方程變為一次方程，因此不一定是二次方程，不符合題意；
C： 展開后為，是整式方程且最高次數為2，符合定義．
D：，展開右邊得合并后方程為，化簡得，為一次方程，不符合題意．
故選C．
2．A
【分析】本題考查一元二次方程的一般形式．根據一元二次方程的一般形式： ，其中，，分別為二次項系數，一次項系數和常數項，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴二次項系數、一次項系數和常數項分別是；
故選：A．
3．C
【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左邊整理成完全平方式的形式，再用完全平方公式進行分解因式．
【詳解】解： ，
移項得：，
等式兩邊同時加，
可得：
整理得：．
故選： C．
4．B
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟知判別式小于0時，方程無實數根是解題的關鍵；
根據一元二次方程的判別式進行解答即可.
【詳解】解：因為方程的判別式，
所以一元二次方程無實數根；
故選：B.
5．B
【分析】本題考查一元二次方程的解，把代入方程進行求解即可．
【詳解】解：把代入，得：，
解得：；
故選B．
6．A
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則，據此求解即可．
【詳解】解：∵，是方程的兩個根，
∴，，
故選：A．
7．B
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，根據每個同學都要送其他名同學一張祝福卡，因此總贈送祝福卡數是張，再根據共贈祝福卡1560張列方程即可．
【詳解】解：設九（1）班共有x名學生，
由題意得：，
故選：B．
8．A
【分析】本題主要考查了根的判別式，解題的關鍵是牢記“當時，方程有兩個相等的實數根”．
根據方程的二次項系數不等于0結合根的判別式，可得出關于的一元一次方程，解之即可得出的取值范圍，對照四個選項即可得出結論．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
，，
解得：，
故選：A．
9．B
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設長為，則的長為，根據題意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解題意，找準等量關系是解此題的關鍵．
【詳解】解：設長為，則的長為，
由題意可得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴長為，
故選：B．
10．D
【分析】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是理解方程的解的定義；
根據滿足方程，得到，兩邊同時除以可確定所求方程的一個根．
【詳解】解：把代入一元二次方程，得，
，
兩邊除以（，若，代入得，與矛盾 ），得，
，
．
∴當時，方程成立．
∴方程必有一根為 ，
故選：D．
二、填空題
11．
【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多項式乘以多項式運算法則去括號，進而合并同類項求出即可．
【詳解】解：
，
整理得：
故答案為：
12．
【分析】本題考查根與系數之間的關系，熟練掌握根與系數之間的關系，是解題的關鍵．根據根與系數之間的關系，得到，將代數式用多項式乘以多項式的法則展開后，利用整體代入法進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴
；
故答案為：．
13．2023
【分析】本題考查了一元二次方程的根、代數式求值，掌握理解一元二次方程的根的定義是解題關鍵．
先根據一元二次方程的根的定義可得，再作為整體代入即可得．
【詳解】解：由題意得：，即，
則
，
故答案為：2023．
14．
【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義．根據只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的整式方程叫一元二次方程進行解答即可．
【詳解】解：依題意可得，
解得，
故答案為：．
15．且
【分析】本題考查一元二次方程的定義及根的判別式，首先將方程化為一般形式，進一步利用根判別式求解即可．解題的關鍵是掌握：式子是一元二次方程根的判別式，方程有兩個不等的實數根；方程有兩個相等的實數根；方程無實數根．
【詳解】解：由得：，
∵關于的一元二次方程有實數根，
∴且，
解得：且，
即的取值范圍是且．
故答案為：且．
16．100
【分析】根據日歷上數字規律得出，圈出的6個數，最大數與最小數的差為16，以及利用最大數與最小數的積為225，求出兩數，再利用上下對應數字關系得出其他數即可．
【詳解】解：根據圖象可以得出，圈出的6個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為：x，則最大數為，根據題意得出：，
解得：，（不合題意舍去），
故最小的數為：9，
中間一行的數字分別為：15，16，17，18，
最大的數為：25，
故這6個數的和為：．
故答案為：100．
三、解答題
17．（1）解：，
，
，
，
，
∴， ；
（2），
，
，
或，
∴，．
18．解：均不對，
∵，
∴，
則，
∴或，
解得：，．
19．（1）解：∵是方程的兩個根，
∴，
∴
；
（2）解：∵是方程的兩個根，
∴，
∴
．
20．（1）解：∵關于的一元二次方程，
∴，且
當取不為0的任何值時，總有，
所以方程總有實數根；
（2）解：，
，
或，
由題意方程有兩個不相等的正整數根，
即是正整數，且為整數，，
∴，
∴．
21．（1）解：該方程是“聯合方程”，理由如下：
在一元二次方程中，，，，
，
一元二次方程是“聯合方程”；
（2）解：是關于的“聯合方程”，
，
是此“聯合方程”的一個根，
，
即，
解得，
的值為，的值為6．
22．（1）解：設二、三這兩個月的月平均增長率為，
根據題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：二、三這兩個月的月平均增長率為；
（2）解：設商品降價元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，
根據題意得：，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：當商品降價10元時，商場獲利1250元．
23．（1）證明：
，
故無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：，，
，
，
，
，．
故m的值為或．
24．（1）解：依題意得，，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）解：依題意得：羊的活動范圍的面積為，
∴，即，
解得，
∴的長為或；
（3）解：羊的活動范圍的面積不能為．理由如下，
依題意得：，即，
∵，
∴羊的活動范圍的面積不能為．
25．（1）解：
，
∵，
∴，
∴當，即時，多項式有最小值，
∴多項式關于對稱，
故答案為：；
（2）解：
，
同理可得當，即時，多項式有最小值，最小值為，
∵關于的多項式關于對稱，且最小值為3，
∴，
∴，
∴方程即為方程，
∴，
解得．

展開更多......

收起↑