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2.3直線的交點坐標與距離公式同步練習卷
一、選擇題(共8題；共40分)
1．兩條平行直線：與：間的距離為（　　）
A． B． C．3 D．5
2．若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是（　　）
A．1 B．-3 C．1或 D．-3或
3．已知點到直線的距離為1，則的值為（　　）
A．-5或-15 B．-5或15 C．5或-15 D．5或15
4．直線3x＋5y＋1＝0與直線4x＋3y＋5＝0的交點是（　　）
A．(－2，1) B．(－3，2) C．(2，－1) D．(3，－2)
5．已知直線 與 平行，則 與 的距離為（　　）
A． B． C． D．
6．點(0，﹣1)到直線 距離的最大值為（　　）
A．1 B． C． D．2
7．若三條直線 ， ， 相交于同一點，則點 到原點的距離的最小值為（　　）
A． B． C． D．
8．若原點到直線3ax＋5by＋15＝0的距離為1，則 的取值范圍為（　　）
A．[ 3，4] B．[3，5] C．[1，8] D．(3，5]
二、多項選擇題(共3題；共18分)
9．已知直線 和 ，若直線 到直線 的距離與到直線 的距離之比為 ，則直線的方程為（　　）
A． B．
C． D．
10．已知空間四點 ，則下列說法正確的是（　　）
A． B．
C．點O到直線 的距離為 D．O，A，B，C四點共面
11．已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（　　）
A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1
三、填空題(共3題；共15分)
12．點 到直線 的距離為 ，則 　 　.
13．直線Ax＋3y＋C＝0與直線2x－3y＋4＝0的交點在y軸上，則C的值為　 　．
14．平面內一點 到直線 ： 的距離為： ．由此類比，空間中一點 到平面 ： 的距離為　 　．
四、解答題(共5題；共77分)
15．已知常數，設直線，直線
（1）若，求的值
（2）若與平行，求與的距離
16．已知直線 與直線交于點.
（1）求過點 且垂直于直線的直線的方程；
（2）求過點 并且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程.
17．已知直線.
（1）若不經過第三象限，求的取值范圍；
（2）求坐標原點到直線距離的最小值，并求此時直線的方程.
18．如圖， 是某景區的瀑布群，已知 ，點Q到直線 ， 的距離均為2，現新修一條自A經過Q的有軌觀光直路并延伸交道路 于點B．
（1）求 ；
（2）當 取得最小值時，求 .
19．如圖，的頂點A，B分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上，，.
（1）求點C到y軸的距離的最大值；
（2）設點M為斜邊BC的中點，證明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】兩條平行直線：與：
所以兩條平行線間的距離為．
故答案為：C．
【分析】直接利用兩條平行直線間的距離公式求解即可．
2．【答案】D
【解析】【解答】由題得 ，解方程即得k=-3或 .
故答案為：D
【分析】利用點到直線的距離公式結合已知條件求出k的值。
3．【答案】D
【解析】【解答】因為點到直線的距離為1，
所以，解得或m=5。
故答案為：D.
【分析】利用已知條件結合點到直線的距離公式得出m的值。
4．【答案】A
【解析】【解答】聯立方程，解二元一次方程組可得：x= 2， y=1.
故答案為：A.
【分析】聯立兩直線的方程，解方程組求出交戰的坐標.
5．【答案】D
【解析】【解答】因為直線 與 平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，
因此 與 的距離為 .
故答案為：D
【分析】先由兩直線平行，求出 ，得到 ，再由兩平行線間的距離公式，即可求出結果.
6．【答案】B
【解析】【解答】由 可知直線過定點 ，設 ，
當直線 與 垂直時，點 到直線 距離最大，
即為 .
故答案為：B.
【分析】首先根據直線方程判斷出直線過定點 ，設 ，當直線 與 垂直時，點A到直線 距離最大，即可求得結果.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：聯立 ，解得 ， ．
∵三條直線 ， ， 相交于同一點，∴ ．
則點 到原點的距離的最小值為原點到直線 的距離 ．
故答案為：A．
【分析】利用兩直線 和 相交聯立方程求交點的方法求出交點坐標，再利用三條直線 ， ， 相交于同一交點，利用代入法求出，再利用幾何法推出點 到原點的距離的最小值為原點到直線 的距離，再利用點到直線的距離公式求出點 到原點的距離的最小值。
8．【答案】B
【解析】
【解答】根據條件及點到直線的距離公式得： ，所以 ，則 ，因為 ，所以 于是
；因為 所以 所以 故選B
【分析】本題主要考查了點到直線的距離公式，解決問題的關鍵是根據點到線的距離公式得到 ，得到 將問題轉化為函數問題進行解決.
9．【答案】B,D
【解析】【解答】設直線 ， 且 ，
直線 到直線 和 的距離分別為 ，
由題知： ， ，
因為 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
即直線 為 或 。
故答案為：BD
【分析】首先設直線 ，直線 到直線 和 的距離分別為 ，根據題意得到 ，再解方程即可得到答案。
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】 ，
，A符合題意；
，B符合題意；
， ，所以 ， ，所以點O到直線 的距離為 ，C符合題意；
，
假設若O，A，B，C四點共面，則 共面，設 ，
則 ，此方程組無解，所以O，A，B，C四點不共面，D不符合題意．
故答案為：ABC．
【分析】利用已知條件結合數量積的坐標表示求出數量積的值；再利用數量積求向量夾角公式結合數量積的坐標表示和向量的模的坐標表示，進而求出兩向量的夾角；再利用數量積為0兩向量垂直結合數量積的坐標表示，進而證出兩向量垂直，再結合向量的模的坐標表示求出點O到直線 的距離；再利用假設法，若O，A，B，C四點共面則兩向量共面，再結合平面向量基本定理，進而推出方程無解，得出 O，A，B，C四點不共面，進而選出說法正確的選項。
11．【答案】B,C
【解析】【解答】A. 點M(5，0)到直線 y=x+1的距離為： ，故錯誤；
B. 點M(5，0)到直線y=2的距離為： ，故正確；
C. 點M(5，0)到直線 的距離為： ，故正確；
D. 點M(5，0)到直線y=2x+1的距離為： ，故錯誤；
故答案為：BC
【分析】根據切割型直線的定義，由點M(5，0)到直線距離不大于4求解.
12．【答案】 或11
【解析】【解答】由點到直線的距離公式可得點 到直線 的距離為，
，
依題意可得 ，化簡得， ，
所以 或 ，
解得 或 .
故答案為 或11.
【分析】根據點到直線的距離公式求出點 到直線 的距離，再根據已知距離列等式可解得.
13．【答案】-4
【解析】【解答】直線2x－3y＋4＝0與y軸的交點是 ，由題意得點 也在直線Ax＋3y＋C＝0上，所以 ，解得c=-4．
【分析】計算出直線2x-3y+4=0與y軸的交點坐標，代入所求直線中，即可得出答案。
14．【答案】
【解析】【解答】平面內一點 到直線 ： 的距離為： ．由此類比，空間中一點 到平面 的距離為：
.
所以空間中一點 到平面 ： 的距離為 .
故答案為：
【分析】根據題意由點到直線的距離公式結合題意，再由點到平面的結論公式計算出結果即可。
15．【答案】（1）解：由題意知的法向量為，的法向量為
若，則
（2）解：若與平行，則
經檢驗
則直線，直線
則與的距離為
【解析】【分析】（1）根據已知條件，結合直線垂直的條件列式求解即可；
（2）根據直線平行的條件先求出，注意檢驗，再結合平行線間的距離公式求解即可.
16．【答案】（1）解：由 得 交點
由題直線 的斜率直線的方程 ：
（2）解：當直線 過原點時： 直線斜率為， 此時直線方程：
當直線 不過原點時： 設直線，
代入點 得， 此時直線方程：
綜上： 直線 的方程為：或
【解析】【分析】(（1）聯立兩條直線的方程，解出交點坐標，在利用兩直線垂直斜率之積為-1，求得直線的斜率，然后結合點斜式寫出直線方程即可；
（2）分直線過原點，和不過原點兩種情況進行分類討論再結合截距式解題即可.
17．【答案】（1）解：直線l的方程可化為，
要使直線l不經過第三象限，則必須有，
解得，故的取值范圍是
（2）解：設原點到直線l的距離為，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以原點到直線l的距離的最小值為，
此時直線l的方程為或.
【解析】【分析】本題考查直線截距式方程的應用，點到直線的距離公式.
（1）將直線方程轉化為斜截式可得：，根據直線l不經過第三象限，可列出方程組，解方程組可求出實數的取值范圍；
（2）利用點線距離公式可列出式子，利用基本不等式可求得，利用基本不等式取等號的條件可求出的值，進而求出直線方程和最小值.
18．【答案】（1）解：以點O為坐標原點，直線 為x軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.
則由題可得直線 的方程為 ，
Q到直線 的距離為2，設 .
由 ，解得 或 （舍去），所以 .
故
（2）解：設 ， ，
所以 ，則 ，即 .
又 ，
當且僅當 ，即 ， 時，等號成立.
此時 ，則
【解析】【分析】(1)根據題意建立直角坐標系，由此設出點的坐標，再由點到直線的距離公式整理計算出，然后由兩點間的距離公式計算出結果即可。
(2)由已知條件設出點的坐標，，由正切函數的坐標公式整理即可得到，再由題意得到結合基本不等式求出的最小值，以及取得最小值的a與b的值，由此得到的值。
19．【答案】（1）解：設，則，，
則點到軸的距離為，
等號成立當且僅當，
故點到軸的距離的最大值為；
（2）解：點，故.
當時，；
當，，
則，
所以.
【解析】【分析】(1)由已知條件設出角的大小，結合任意角的三角函數的定義，即可求出點的坐標，由點到直線的距離公式結合兩角和的正弦公式整理化簡，然后由基本不等式即可求出距離的最大值。
(2)由已知條件即可得出點的坐標，然后由正切函數的定義結合同角三角函數的基本關系式，結合正切函數的單調性即可求出的取值范圍，由此即可得出角的取值范圍
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