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2024-2025學年甘肅省蘭州市科中九年級（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（3分）計算（﹣1）×（﹣3）的結果為（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）2024年4月25日20時在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射神舟十八號載人飛船，神舟十八號載人飛船與長征二號F遙十八運載火箭組合體，總重量400000多千克．將400000用科學記數(shù)法表示應為（　　）
A．40×104 B．4×104 C．4×105 D．0.4×106
4．（3分）下列運算正確的是（　　）
A．x3+x3＝x6 B．x3 x9＝x27 C．（x2）3＝x5 D．x3÷x＝x2
5．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE．若OE＝3，則菱形的邊長為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（3分）若關于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為（　　）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
7．（3分）在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，EG，F(xiàn)H交于點O．若四邊形ABCD的對角線相等，則線段EG與FH一定滿足的關系為（　　）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
8．（3分）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發(fā)有為、昂揚向上的精神風貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”四張質地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（　　）
A．﹣b＞a＞0 B．b＞﹣a＞1 C．b＜﹣a＜﹣1 D．﹣a＜b＜﹣2
10．（3分）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（　　）
A．155° B．125° C．115° D．65°
11．（3分）如圖， ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），則頂點D的坐標是（　　）
A．（﹣4，1） B．（4，﹣2） C．（4，1） D．（2，1）
12．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O為對角線的交點．將菱形ABCD繞點O逆時針旋轉90°得到菱形A′B′C′D′，兩個菱形的公共點為E，F(xiàn)，G，H．對八邊形BFB′GDHD′E給出下面四個結論：
①該八邊形各邊長都相等；
②該八邊形各內角都相等；
③點O到該八邊形各頂點的距離都相等；
④點O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等．
上述結論中，所有正確結論的序號是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分。
13．（3分）若2x＝5y，則 　 　 ．
14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，則AC的長為　 　 cm．
15．（3分）黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且，若NP＝2cm，則BC的長為 　 　 cm（結果保留根號）．
16．（3分）小夏同學從家到學校有A，B兩條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：
據(jù)此估計，早高峰期間，乘坐B線路“用時不超過35分鐘”的概率為 　 　 ，若要在40分鐘之內到達學校，應盡量選擇乘坐 　 　 （填A或B）線路．
25≤t≤30 30＜t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 總計
A 59 151 166 124 500
B 43 57 149 251 500
三、解答題：本大題共11小題，共72分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（4分）計算：（）．
18．（4分）用配方法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
19．（5分）解不等式組：．
20．（6分）已知x2+2x﹣1＝0，求代數(shù)式（x+1）2+x（x+4）+（x﹣3）（x+3）的值．
21．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）以點B為位似中心，在點B的下方畫出△A1BC1，使△A1BC1與△ABC位似，且相似比為2：1；
（2）畫出△A2B1C2，使得它與△ABC關于點O中心對稱，并寫出C2的坐標．
22．（7分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，點D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點，連接DE，DF．求證：四邊形DFCE是菱形．
23．（7分）3月22日是世界水日，世界水日的宗旨是喚起公眾的節(jié)水意識、加強水資源保護．某校為提倡節(jié)約用水、增強節(jié)約用水意識，在全校開展了節(jié)約用水知識競賽活動．七、八、九年級各有200名學生參加了知識競賽活動，為了解三個年級的競賽答題情況，從三個年級各隨機抽取了20名學生的成績進行調查分析，下面給出了部分信息：
a．七年級學生的成績整理如下（單位：分）：
60 67 69 75 75 75 77 77 78 78
80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年級成績的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成四組：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
其中成績在80≤x＜90的數(shù)據(jù)如下（單位：分）：81 81 81 82 83 84 85 86 87 89
c．三組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：
年級 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
七年級 79.2 79 m
八年級 80.3 n 78
九年級 79.5 79 81
根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ；
（2）估計 　 　 年級學生的成績高于本年級平均分的人數(shù)更多；
（3）若成績達到80分及以上為優(yōu)秀，九年級抽出的20名學生中有10人優(yōu)秀，估計三個年級此次競賽成績優(yōu)秀的總人數(shù)．
24．（7分）《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，是《算經十書》中最重要的一種，成于公元一世紀左右．在其“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”意思是說：如圖，矩形城池ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別是AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD．EG＝15里，HG經過點A，則FH等于多少里？
請你根據(jù)上述題意，求出FH的長度．
25．（8分）甘肅是面食之鄉(xiāng)，其中“金城炒面”也最為有名，它濃郁的西北辣子的香味、爽滑入口、口感勁道，與蘭州牛肉面一樣享譽全國．蘭州某餐館一份炒面成本價為7元，若每份賣12元，平均每天銷售160份，若價格每提高1元，平均每天少銷售10份，每份炒面價格是多少元時，該餐館能實現(xiàn)每天1080元的利潤？
26．（8分）已知：如圖，在等邊三角形ABC中，過邊AB上一點D作DE⊥BC，垂足為點E，過邊AC上一點G作GF⊥BC，垂足為點F，BE＝CF，聯(lián)結DG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）連接AF，當∠BAF＝3∠FAC時，求證：四邊形DEFG是正方形．
27．（10分）如圖1，正方形ABCD中，點P是直線AB上一個動點，連接DP，過點C作CM⊥DP于點M，過點A作AN∥MC交DP于點N，連接BM、CM．
（1）若點P在邊AB上，猜想：
①線段BM和線段CN的數(shù)量關系是 　 　 ；
②線段BM和線段CN的位置關系是 　 　 ．
（2）如圖2，點P在AB延長線上，（1）中的猜想成立嗎？請說明理由．
（3）已知AB＝5，當DN＝2AN時．直接寫出BM的長．

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