資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題11.2 整式的乘法
基礎知識夯實
知識點01 單項式與單項式相乘
1.單項式與單項式相乘的法則 單項式與單項式相乘，只要將它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母，連同它的指數一起作為積的一個因式
2.單項式與單項式相乘的步驟
(1)確定積的系數，積的系數等于各項系數的積;(2)同底數冪相乘，底數不變，指數相加;(3)只在一個單項式里出現的字母，要連同它的指數
寫在積里
3.單項式與單項式相乘的法則的實質是乘法交換律,乘法結合律和同底數冪的乘法法則的綜合運用
注意：
1.單項式與單項式相乘的結果仍為單項式
2.只在一個單項式里含有的字母，寫積時不要遺漏3.單項式與單項式相乘的法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用
知識點02 單項式與多項式相乘
1．單項式與多項式相乘的法則 單項式與多項式相乘，將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。用字母表示為 ．
2．單項式與多項式相乘的幾何解釋
如圖，大長方形的面積可以表示為 ，也可以視為三個小長方形的面積之和，所以大長方形的面積也可以表示為 ．所以 ．
注意：
1.單項式與多項式相乘的結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同
2.單項式與多項式相乘的實質是利用乘法分配律，把單項式乘以多項式轉化為單項式乘以單項式
知識點03 多項式與多項式相乘
1．多項式與多項式相乘的法則 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
用字母表示為 ．
2．多項式與多項式相乘的幾何解釋釋 如圖，大長方形的面積可以表示為 ，也可以將大長方形的面積看成 4 個小長方形的面積之和，即 ，所以 ．
注意：
1.多項式與多項式相乘的實質是將多項式與多項式相乘轉化為幾個單項式相乘的和的形式.
2.多項式與多項式相乘的結果仍為多項式,在合并同類項之前，積的項數應該是兩個多項式的項數之積
典型案例探究
知識點01 單項式與單項式相乘
例1.（24-25八年級上·廣西河池·期末）計算：
【答案】
【分析】本題主要考查了積的乘方和單項式乘以單項式的計算，先計算積的乘方和單項式乘以單項式，再合并同類項即可得到答案．
【詳解】解：
．
【變式1】（24-25八年級上·廣東廣州·期末）下列計算正確的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了整式的運算，根據同底數冪相除法則、積的乘方法則、單項式乘以單項式法則，完全平方公式逐項判斷即可．
【詳解】解：A．，原計算錯誤，不符合題意；
B． ，原計算正確，符合題意；
C． ，原計算錯誤，不符合題意；
D． ，原計算錯誤，不符合題意；
故選：B．
【變式2】（24-25八年級上·河南漯河·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了同底數冪的乘法，同底數冪的除法，單項式乘單項式，冪的乘方，熟練掌握相應的運算法則是解決此題的關鍵．利用同底數冪的除法的法則，同底數冪的乘法的法則，單項式乘單項式的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．
【詳解】解：、，故不符合題意；
，故不符合題意；
、，故符合題意；
，故不符合題意；
故選：．
【變式3】（24-25八年級上·湖南婁底·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了合并同類項，單項式乘單項式，零次冪，冪的乘方，據此相關性質內容進行逐項分析，即可作答．
【詳解】解：A、，故該選項不符合題意；
B、，故該選項不符合題意；
C、，故該選項符合題意；
D、，故該選項不符合題意；
故選：C．
知識點02 單項式與多項式相乘
例1.（24-25八年級上·吉林長春·期中）計算： ．
【答案】
【分析】本題考查了單項式乘以多項式，根據單項式與多項式相乘，先將單項式分別乘以多項式的各項，再把所得積相加，即可求解．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
【變式1】（23-24八年級上·福建漳州·期末）計算： ．
【答案】/
【分析】本題考查了整式的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
根據單項式乘多項式法則計算即可．
【詳解】解：，
故答案為： ．
【變式2】（24-25八年級上·北京朝陽·期末）已知，求的值．
【答案】13
【分析】本題考查了整式的化簡求值，掌握完全平方公式，單項式乘以多項式是解題的關鍵．
根據完全平方公式，單項式乘以多項式進行化簡，再將已知代數式變形代入求解即可．
【詳解】解：
．
，
．
原式．
【變式3】（24-25八年級上·廣東廣州·期末）計算： ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，直接根據單項式乘以多項式的計算法則求解即可．
【詳解】解：，
故答案為；．
【變式4】（24-25八年級上·四川宜賓·期末）已知：，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了多項式的乘法以及代數式求值，根據已知得出，，整體代入即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，即
∴
故答案為：．
知識點03 多項式與多項式相乘
例1.（24-25八年級上·甘肅天水·期中）已知長方形的面積是，且，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了解一元一次不等式的應用．根據題意得到，則，即可求出k的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴，
由得：
則，
由，得：
解得
故選：C
【變式1】（24-25八年級上·廣東湛江·期末）計算：__________．
【答案】
【分析】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握多項式乘多項式、合并同類項是解題關鍵．
根據多項式乘以多項式法則、合并同類項法則計算即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
【變式2】（24-25八年級上·湖北孝感·期末）若多項式有一個因式為，那么 ．
【答案】2
【分析】本題考查了因式分解的意義，由多項式有一個因式為，可設另一個因式為，可得．掌握因式分解的意義是解題關鍵．
【詳解】解：設另一個因式為，
則，
即，
解得．
故答案為：2．
【變式3】（24-25八年級上·北京·期中）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了整式的運算，解題的關鍵是掌握整式的混合運算法則．
（1 ）先算積的乘方和冪的乘方，再算同底數冪的除法即可求解；
（2 ）先根據多項式乘以多項式法則計算，再去括號合并同類項即可得到結果．
【詳解】（1）解：
（2）解：
課后作業
A
一、單選題
1．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了單項式乘法，同底數冪的乘法與除法，冪的乘方法則，熟知以上知識是解答本題的關鍵．
分別根據冪的乘方法則、單項式乘法、同底數冪的乘法及除法法則進行逐一解答即可．
【詳解】解：
A、，故計算錯誤，不符合題意；
B、，故計算正確，符合題意；
C、，故計算錯誤，不符合題意；
D、，故計算錯誤，不符合題意．
故選：B．
2．三個連續偶數，若中間一個數為n，則它們的積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了列代數式，整式的乘法，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．根據題意另外兩個數為，，然后將它們乘起來即可得出答案．
【詳解】解：三個連續偶數，若中間一個數為n，那么另外兩個數為，，
那么它們的積為：，
故選：C．
3．若的乘積中不含與項，則的值為（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】本題考查了多項式乘多項式的法則，解題的關鍵是根據題意將式子展開再讓不含該項的系數為0．
根據多項式乘多項式的法則，計算展開后，合并同類項，讓與項的系數分別為 0 即可求解．
【詳解】解：
，
∵乘積中不含與項，
，
解得：，
，
故選：A．
4．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為5的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查列代數式，單項式乘以多項式的應用，用代數式表示所拼成的長方形的長與寬，再根據面積公式進行計算即可．
【詳解】解：拼成的長方形的長為，寬為，
所以面積為．
故選：D．
二、填空題
5．的計算結果是 次多項式．
【答案】五
【分析】本題考查了單項式與多項式相乘，多項式的有關概念，根據單項式與多項式相乘，就是用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即可得出，然后通過多項式的次數即可求解，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
因此是五次多項式，
故答案為：五．
6．若梯形的上底長為，下底長為，高為，則梯形的面積為 ．
【答案】
【分析】此題考查了多項式乘以多項式的應用，熟練掌握是多項式乘以多項式法則解本題的關鍵．
根據梯形的面積公式列式求解即可．
【詳解】解：∵梯形的上底長為，下底長為，高為，
∴
．
故答案為：．
7．若，則 ， ．
【答案】 1
【分析】本題主要考查多項式乘多項式，首先根據多項式乘多項式的法則，用第一個多項式的每一項乘第二個多項式的每一項，求得結果后，即可得到P和q的值．
【詳解】解：，
∴，，
故答案為：1，．
8．定義新運算“”：，則 ，若，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了新定義運算，單項式乘多項式，解一元一次方程，根據新定義計算即可得出的值，再根據新定義列出方程，解方程即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
整理可得：，
故答案為：，．
三、解答題
9．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了積的乘方和冪的乘方，單項式乘以單項式，合并同類項，解題的關鍵是掌握以上運算法則．
（1）首先計算積的乘方和冪的乘方，然后計算單項式乘以單項式即可求解；
（2）首先計算積的乘方和冪的乘方，然后計算單項式乘以單項式，最后合并即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查整式的混合運算—化簡求值，根據多項式乘多項式、單項式乘多項式將題目中的式子展開，然后合并同類項，再將x的值代入化簡后的式子計算即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
11．關于x的代數式化簡后不含的項和常數項．分別求m、n的值；
【答案】
【分析】本題主要考查了多項式乘法中的無關型問題，先根據多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項，再根據不含有項和常數項得到，解之即可得到答案．
【詳解】解：
，
∵關于的代數式化簡后不含有項和常數項，
∴，
∴．
12．如圖，某小區有一塊長，寬的長方形空地，管理部門規劃了一塊長方形花園（圖中陰影部分），花園的北面和東、西兩面都留有寬度為的小路（圖中空白部分）．
(1)用含，的代數式表示花園的面積；
(2)小區管理部門打算在花園北面和東、西兩面的小路上都鋪上地磚，用含，的代數式表示鋪設地磚的面積；
(3)若，，預計每平方米鋪設地磚的價格是元，那么購買所需地磚需要多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)元
【分析】本題主要考查了利用整式解決實際問題，整式的混合運算，代數求值等，解題的關鍵是掌握整式的各運算法則．
（1）根據題意列出代數式，利用多項式乘多項式進行化簡即可；
（2）根據題意列出代數式，利用多項式乘多項式進行化簡即可；
（3）代數求值即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：當，時，，
（元），
所以購買所需地磚需要元．
B
一、單選題
1．下列各式計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了積的乘方，合并同類項，單項式乘以單項式，根據積的乘方，合并同類項，單項式乘以單項式運算法則分別計算即可，靈活運用相關運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、與不是同類項，不可以合并，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算正確，符合題意；
故選：．
2．若計算的結果中不含項，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查整式的運算，多項式的項及系數，先將展開，合并同類項得，繼而得到，求解即可．解題的關鍵是掌握相應的運算法則．
【詳解】解：
，
∵計算的結果中不含項，
∴，
解得：，
即常數的值為．
故選：A．
3．使乘積中不含與項的的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本題考查多項式乘以多項式的法則．根據多項式乘多項式把式子展開，合并同類項后，令和項的系數分別為，列式求解即可．
【詳解】解：
∵乘積中不含與項，
∴，，
∴，．
故選：D．
4．若，，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
【答案】C
【分析】本題主要考查了多項式乘多項式以及作差法比較代數式的大小，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題的關鍵．
本題可通過計算的值，根據其正負性來判斷與的大小關系．需要先分別展開和的表達式，然后作差，再對差進行化簡，最后根據化簡結果判斷大小．
【詳解】解：∵，，
∴
，
因為，即，
所以
故選：C．
二、填空題
5．計算： ．
【答案】
【分析】本題考查整式的乘法運算，去括號，運用單項式乘多項式即可求值．
【詳解】解：
故答案為：.
6．若，則 .
【答案】
【分析】本題主要考查單項式乘以單項式，根據單項式乘以單項式得，由可求出的值，再代入計算即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案為：．
7．若，則代數式的值為 ．
【答案】4
【分析】此題考查了整式的混合運算——化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
將代數式，去括號合并得到最簡結果，將已知等式變形后代入計算即可求出值．
【詳解】解：
；
，
．
把代入，得
．
所以，代數式的值為4．
故答案為：4．
8．1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律可得展開的多項式中各項系數之和為 ．
【答案】32
【分析】本題考查了規律型：數字的變化規律，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．通過觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，可以發現展開的多項式中各項系數之和為
【詳解】解：觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，可以發現，
當時，展開的多項式中各項系數之和為2，即；
當時，展開的多項式中各項系數之和為4，即；
當時，展開的多項式中各項系數之和為8，即；
當時，展開的多項式中各項系數之和為16，即；…
可以發現，展開的多項式中各項系數之和為
因此，展開的多項式中各項系數之和為
故答案為：
三、解答題
9．計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了單項式乘以多項式和多項式乘以多項式，正確運用相關運算法則計算是解題關鍵．
（1）首先計算單項式乘以多項式和多項式乘以多項式，然后合并即可；
（2）首先計算單項式乘以多項式和多項式乘以多項式，然后合并即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查了整式乘法的混合運算以及代數求值，正確的計算是解題的關鍵．
根據多項式的乘法進行化簡，然后將字母的值代入即可求解．
【詳解】解：
，
∵
∴原式．
11．某學校舉辦火箭模型制作比賽．如圖是同學們制作的一種火箭模型的截面圖，該圖下面是梯形，中間是長方形，上面是三角形．
(1)用含a，b的式子表示該截面的面積S；
(2)當時，求這個截面的面積．
【答案】(1)
(2)這個截面的面積為
【分析】本題主要考查了三角形、長方形、梯形的面積公式以及代數式的求值，熟練掌握各圖形的面積公式是解題的關鍵．
（1）分別計算三角形、長方形、梯形的面積，再將它們相加得到截面的總面積．
（2）把，代入（1）中所求的面積表達式，計算出具體數值．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：把，代入得：
12．周長相等的長方形和正方形，按如圖所示的方式疊放在一起（其中點D在上，點B在的延長線上，和相交于點G），正方形的邊長為m，長方形的寬為x，長為．
(1)寫出x，y，m之間的等量關系；
(2)若長方形的周長記作，長方形的周長記作．
①求的值（用含y、m的代數式表示）；
②若關于y的不等式的正整數解只有1個，求m的取值范圍；
(3)若長方形的面積記作，長方形的面積記作，試比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②．
(3)，理由見解析
【分析】本題主要考查了長方形和正方形的性質，列代數式，整式的運算，解含有參數的一元一次不等式和解不等式組，用求差法比較大小，熟練根據題意列出式子是解題的關鍵．
（1）根據長方形與正方形的周長相等，構建關系式即可解決問題；
（2）①用，，表示表示出矩形的周長，相加即可；
②把的值代入得到關于的不等式解得求出的取值范圍，其正整數解只有1個，得到關于的不等式組，解出即可得到的取值范圍；
（3）利用求差法比較大小即可．
【詳解】（1）解：長方形和正方形的周長相等，
，
；
（2）解：①由題意，得，，，
∴，，
長方形的周長記作，
長方形的周長記作，
；
②，
，
的正整數解只有1個，
，
，
的取值范圍是．
（3）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
．
C
1．【知識回顧】
我們在學習代數式求值時，遇到這樣一類題：代數式的值與的取值無關，求的值．通常的解題思路是：把x、y看作字母，看作系數，合并同類項．因為代數式的值與的取值無關具體解題過程是：原式，
代數式的值與的取值無關，
，解得．
【理解應用】
（1）若關于的多項式的值與的取值無關，求的值；
（2）已知，，且的值與的取值無關，求的值.
【能力提升】
（3）7張如圖1的小長方形，長為，寬為，大長方形中未被覆蓋的兩個部分都是長方形．設右上角的面積為，左下角的面積為，當的長變化時，的值始終保持不變，求與的等量關系．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本題考查了多項式乘多項式，整式的混合運算，解題關鍵是掌握整式的相關運算法則．
（1）把看作字母，看作系數，合并同類項．得，再令x的系數為0，即可求出的值；
（2）根據整式的混合運算法則，先將A、B的代數式代入式子，再進行化簡，合并同類項得，然后根據的值與的取值無關，令的系數為0，即可求出的值；
（3）設，由圖可得，，即可得到關于x的代數式，根據其值不變，令x的系數為0 ，即可求得與的關系．
【詳解】解：（1）
，
多項式的值與的取值無關，
∴，
解得；
（2）∵，，
∴
，
∵的值與的取值無關，
∴，
解得；
（3）設，由圖可知，，
∴，
，
∵當的長變化時，的值始終保持不變．
∴取值與x無關，
∴，
∴．
2．八年級數學興趣小組成員在華師版數學教材37頁《閱讀材料》中查閱到了一位杰出的數學家，他們決定對其的發現展開微項目探索，請你跟隨探索腳步，根據素材，完成【任務規劃】、【項目成效】和【拓展應用】．
【驅動問題】探索楊輝三角和多項式乘法計算結果中各項系數間的奧秘．
【核心概念】
素材1：楊輝是我國南宋時期杰出的數學家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載如圖1，源于北宋時期數學家賈憲的“開方作法本源圖”，我們把這個表叫做“楊輝三角”．
素材2：我們知道，，．利用多項式的乘法運算，還可以得到：．當時，將計算結果中多項式（以a降次排序）各項的系數排列成表，可得到如圖2：
【任務規劃】
（1）任務：請根據素材1和素材2直接寫出：
①展開式中的系數是______；
②展開式中所有項的系數和為______；
【項目成效】
（2）成果展示：
若，求的值．
【拓展應用】
（3）“楊輝三角”的應用很廣泛，例如“堆垛術”，圖3中的立體圖形是由若干形狀、大小相同的圓球擺放而成，從上至下每層小球的個數依次為：1，3，6，10…，記第n層的圓球數記，求的值．
【答案】（1）① 4 ② 1024（2）2（3）
【分析】（1）① 根據，解答即可．
② 根據已知可得，展開式中所有項的系數和為，的展開式中所有項的系數之和為，展開式中所有項的系數和為，展開式中所有項的系數和為，根據此規律，得展開式中所有項的系數和為，解答即可．
（2）當時，得，當時，得，變形計算即可．
（3）根據得到，，代入計算即可．
本題主要考查多項式乘多項式、規律型：圖形的變化，找到規律是解題的關鍵．
【詳解】解：（1）① 根據，
得展開式中的系數是4，
故答案為：4．
② 解：根據題意，得 展開式中所有項的系數和為，
的展開式中所有項的系數之和為，
展開式中所有項的系數和為，
展開式中所有項的系數和為，
根據此規律，得展開式中所有項的系數和為，
故答案為：．
（2）解：根據，
當時，得，
當時，得，
故．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題11.2 整式的乘法
基礎知識夯實
知識點01 單項式與單項式相乘
1.單項式與單項式相乘的法則 單項式與單項式相乘，只要將它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式中出現的字母，連同它的指數一起作為積的一個因式
2.單項式與單項式相乘的步驟
(1)確定積的系數，積的系數等于各項系數的積;(2)同底數冪相乘，底數不變，指數相加;(3)只在一個單項式里出現的字母，要連同它的指數
寫在積里
3.單項式與單項式相乘的法則的實質是乘法交換律,乘法結合律和同底數冪的乘法法則的綜合運用
注意：
1.單項式與單項式相乘的結果仍為單項式
2.只在一個單項式里含有的字母，寫積時不要遺漏3.單項式與單項式相乘的法則對于三個及三個以上的單項式相乘同樣適用
知識點02 單項式與多項式相乘
1．單項式與多項式相乘的法則 單項式與多項式相乘，將單項式分別乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。用字母表示為 ．
2．單項式與多項式相乘的幾何解釋
如圖，大長方形的面積可以表示為 ，也可以視為三個小長方形的面積之和，所以大長方形的面積也可以表示為 ．所以 ．
注意：
1.單項式與多項式相乘的結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同
2.單項式與多項式相乘的實質是利用乘法分配律，把單項式乘以多項式轉化為單項式乘以單項式
知識點03 多項式與多項式相乘
1．多項式與多項式相乘的法則 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
用字母表示為 ．
2．多項式與多項式相乘的幾何解釋釋 如圖，大長方形的面積可以表示為 ，也可以將大長方形的面積看成 4 個小長方形的面積之和，即 ，所以 ．
注意：
1.多項式與多項式相乘的實質是將多項式與多項式相乘轉化為幾個單項式相乘的和的形式.
2.多項式與多項式相乘的結果仍為多項式,在合并同類項之前，積的項數應該是兩個多項式的項數之積
典型案例探究
知識點01 單項式與單項式相乘
例1.（24-25八年級上·廣西河池·期末）計算：
【變式1】（24-25八年級上·廣東廣州·期末）下列計算正確的是（）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25八年級上·河南漯河·期末）下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25八年級上·湖南婁底·階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
知識點02 單項式與多項式相乘
例1.（24-25八年級上·吉林長春·期中）計算： ．
【變式1】（23-24八年級上·福建漳州·期末）計算： ．
【變式2】（24-25八年級上·北京朝陽·期末）已知，求的值．
【變式3】（24-25八年級上·廣東廣州·期末）計算： ．
【變式4】（24-25八年級上·四川宜賓·期末）已知：，則的值為 ．
知識點03 多項式與多項式相乘
例1.（24-25八年級上·甘肅天水·期中）已知長方形的面積是，且，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25八年級上·廣東湛江·期末）計算：__________．
【變式2】（24-25八年級上·湖北孝感·期末）若多項式有一個因式為，那么 ．
【變式3】（24-25八年級上·北京·期中）計算：
(1)
(2)
課后作業
A
一、單選題
1．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．三個連續偶數，若中間一個數為n，則它們的積是（ ）
A． B． C． D．
3．若的乘積中不含與項，則的值為（ ）
A． B． C． D．8
4．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為5的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．的計算結果是 次多項式．
6．若梯形的上底長為，下底長為，高為，則梯形的面積為 ．
7．若，則 ， ．
8．定義新運算“”：，則 ，若，則 ．
三、解答題
9．計算：
(1)；
(2)．
10．先化簡，再求值：，其中．
11．關于x的代數式化簡后不含的項和常數項．分別求m、n的值；
12．如圖，某小區有一塊長，寬的長方形空地，管理部門規劃了一塊長方形花園（圖中陰影部分），花園的北面和東、西兩面都留有寬度為的小路（圖中空白部分）．
(1)用含，的代數式表示花園的面積；
(2)小區管理部門打算在花園北面和東、西兩面的小路上都鋪上地磚，用含，的代數式表示鋪設地磚的面積；
(3)若，，預計每平方米鋪設地磚的價格是元，那么購買所需地磚需要多少元？
B
一、單選題
1．下列各式計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若計算的結果中不含項，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
3．使乘積中不含與項的的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．若，，則與的大小關系為（ ）
A． B． C． D．由的取值而定
二、填空題
5．計算： ．
6．若，則 .
7．若，則代數式的值為 ．
8．1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規律可得展開的多項式中各項系數之和為 ．
三、解答題
9．計算：
(1)；
(2)．
10．先化簡，再求值：，其中．
11．某學校舉辦火箭模型制作比賽．如圖是同學們制作的一種火箭模型的截面圖，該圖下面是梯形，中間是長方形，上面是三角形．
(1)用含a，b的式子表示該截面的面積S；
(2)當時，求這個截面的面積．
12．周長相等的長方形和正方形，按如圖所示的方式疊放在一起（其中點D在上，點B在的延長線上，和相交于點G），正方形的邊長為m，長方形的寬為x，長為．
(1)寫出x，y，m之間的等量關系；
(2)若長方形的周長記作，長方形的周長記作．
①求的值（用含y、m的代數式表示）；
②若關于y的不等式的正整數解只有1個，求m的取值范圍；
(3)若長方形的面積記作，長方形的面積記作，試比較與的大小，并說明理由．
C
1．【知識回顧】
我們在學習代數式求值時，遇到這樣一類題：代數式的值與的取值無關，求的值．通常的解題思路是：把x、y看作字母，看作系數，合并同類項．因為代數式的值與的取值無關具體解題過程是：原式，
代數式的值與的取值無關，
，解得．
【理解應用】
（1）若關于的多項式的值與的取值無關，求的值；
（2）已知，，且的值與的取值無關，求的值.
【能力提升】
（3）7張如圖1的小長方形，長為，寬為，大長方形中未被覆蓋的兩個部分都是長方形．設右上角的面積為，左下角的面積為，當的長變化時，的值始終保持不變，求與的等量關系．
2．八年級數學興趣小組成員在華師版數學教材37頁《閱讀材料》中查閱到了一位杰出的數學家，他們決定對其的發現展開微項目探索，請你跟隨探索腳步，根據素材，完成【任務規劃】、【項目成效】和【拓展應用】．
【驅動問題】探索楊輝三角和多項式乘法計算結果中各項系數間的奧秘．
【核心概念】
素材1：楊輝是我國南宋時期杰出的數學家，在其所著的《詳解九章算法》中有記載如圖1，源于北宋時期數學家賈憲的“開方作法本源圖”，我們把這個表叫做“楊輝三角”．
素材2：我們知道，，．利用多項式的乘法運算，還可以得到：．當時，將計算結果中多項式（以a降次排序）各項的系數排列成表，可得到如圖2：
【任務規劃】
（1）任務：請根據素材1和素材2直接寫出：
①展開式中的系數是______；
②展開式中所有項的系數和為______；
【項目成效】
（2）成果展示：
若，求的值．
【拓展應用】
（3）“楊輝三角”的應用很廣泛，例如“堆垛術”，圖3中的立體圖形是由若干形狀、大小相同的圓球擺放而成，從上至下每層小球的個數依次為：1，3，6，10…，記第n層的圓球數記，求的值．

展開更多......

收起↑