資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題02 與實(shí)數(shù)有關(guān)的八大題型
題型一：涉及無理數(shù)與實(shí)數(shù)概念理解題型
1．在實(shí)數(shù)（兩個(gè)5之間依次增加一個(gè)0）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在下列實(shí)數(shù)中無理數(shù)有（　　）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
3．?dāng)?shù)3.14，，，0.2020002000002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加2），中，實(shí)數(shù)有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
4．下列說法：①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)如果不是有理數(shù)，則一定是無理數(shù)；②無限小數(shù)都是無理數(shù)；③無理數(shù)都是無限小數(shù)；④最小的實(shí)數(shù)是0；⑤帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．其中錯(cuò)誤的共有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
5．在，，，，，，這些數(shù)中，無理數(shù)有 個(gè)．
6．的相反數(shù)是 ，的倒數(shù)是 ， ．
題型二：實(shí)數(shù)的估算與實(shí)數(shù)的大小比較
7．若，且x是整數(shù)，則滿足條件的x值有（ ）
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
8．滿足的整數(shù)m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9．由下表可得精確到百分位的近似值是（ ）
… …
A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646
10．在0，，，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0 B． C． D．
11．若是實(shí)數(shù)，且，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．正整數(shù)、分別滿足、，則 ．
13．規(guī)定：用符號表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．例如：，
（1）填空
（2） ；
（3）若，則的取值范圍是 ．
14．如圖，在數(shù)軸上標(biāo)有字母的各點(diǎn)中，與實(shí)數(shù)對應(yīng)的可能是點(diǎn) ．
15．比較大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）．
16．通過估算，比較下面各組數(shù)的大小：
(1)，2.5．
(2)，3．
(3)
題型三：與無理數(shù)整數(shù)部分有關(guān)的運(yùn)算
17．若的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則的值為（ ）
A．0 B．1 C． D．2
18．設(shè)的整數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求的值．
19．設(shè)是的整數(shù)部分，，求的值．
20．無理數(shù)像一篇讀不完的長詩，既不循環(huán)，也不枯竭，無窮無盡．設(shè)面積為的圓的半徑為x，回答下列問題：
(1)x是_______（填“有理數(shù)”或“無理數(shù)”）．
(2)x的整數(shù)部分是幾？
(3)將x精確到十分位的值是多少？
21．已知實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是；實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是．
(1)直接寫出，，，的值；
(2)求的值的平方根；
(3)求的值．
22．在學(xué)習(xí)《實(shí)數(shù)》內(nèi)容時(shí)，我們通過“逐步逼近”的方法可以計(jì)算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，請回答下列問題：
(1)介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)和之間，且，那么　　　，　　　．
(2)是的小數(shù)部分，是的整數(shù)部分，求　　　，　　　．
(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求的平方根．
23．材料：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是得來的，類比來看，對于來說，因?yàn)椋缘恼麛?shù)部分是1，于是可用來表示的小數(shù)部分．根據(jù)以上材料，完成下列問題：
(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；
(2)也是夾在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間的，可以表示為，求的平方根．
(3)若，其中x是整數(shù)，且，請直接寫出的值．
題型四：實(shí)數(shù)的四則混合運(yùn)算的計(jì)算題
24．已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式，則的值是（ ）
A． B． C． D．
25．計(jì)算： ．
26．計(jì)算：的結(jié)果是 ．
27．已知：，那么 ．
28．設(shè)，，且，則
29．計(jì)算：
(1)；
(2)．
30．計(jì)算：．
31．計(jì)算
(1)
(2)
32．計(jì)算：
(1)；
(2)；
33．計(jì)算：
(1)；
(2)．
題型五：涉及實(shí)數(shù)的運(yùn)算的定義和程序題型
34．按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為9，則最后輸出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
35．按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的的值是64，則輸出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
36．對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義兩種新運(yùn)算：，，并且定義新運(yùn)算的運(yùn)算順序仍然是先算括號內(nèi)的，例如：，，，那么等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
37．定義運(yùn)算“@”的運(yùn)算法則為：，則 ．
38．用※定義一種新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)m和n，規(guī)定．如：，則值為 ．
39．（定義新運(yùn)算）高斯被認(rèn)為是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，現(xiàn)有一種高斯定義的計(jì)算式，已知[x]表示不超過的最大整數(shù)，例如，，現(xiàn)定義，例如，則 ．
40．若一個(gè)四位正整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，千位數(shù)字比百位數(shù)字的2倍多1，且個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、百位數(shù)字的和為12，我們稱這樣的四位正整數(shù)為“繽紛數(shù)”．對于“繽紛數(shù)”A，任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字得到四個(gè)三位數(shù)，這四個(gè)三位數(shù)的和記為F（A）．如四位正整數(shù)5246，因?yàn)椋?246是“繽紛數(shù)”，5246去掉任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)新的三位數(shù)是524，546，526，246，．若A是最大的“繽紛數(shù)”，則F（A）的值是 ；對于“繽紛數(shù)”M，滿足為整數(shù)，則M的最小值是 ．
41．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理如圖．
(1)當(dāng)時(shí)，y是多少？
(2)輸入的x能是任何實(shí)數(shù)嗎？為什么？
(3)是否存在這樣的x的值，輸入計(jì)算后始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值？如果存在，請寫出所有x的值；如果不存在，請說明理由；
(4)若輸出的y是，試判斷輸入的x值是否唯一？若不唯一，請寫出其中的兩個(gè)．
42．閱讀以下材料：
對于三個(gè)數(shù)a．b．c．用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：；；．
請解答下列問題：
(1) ；
(2)若，求x的范圍；
(3)如果，求x的值．
43．已知“”表示運(yùn)算，“”表示運(yùn)算，求的值．
題型六：實(shí)數(shù)的分類和實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合問題
44．下列說法正確的是（ ）
A．正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù) B．正數(shù)、0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
C．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)
45．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．0的算術(shù)平方根是0
B．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)
C．的相反數(shù)是
D．所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)
46．下列說法正確的是（ ）
A．實(shí)數(shù)是負(fù)數(shù) B．實(shí)數(shù)的相反數(shù)是a
C．實(shí)數(shù)的絕對值是a D．一定是正數(shù)
47．?dāng)?shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是2和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
48．點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為、．若B、C兩點(diǎn)之間的距離為，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
49．把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每兩個(gè)0之間依次多1個(gè)2）．
整數(shù)：{ }；
負(fù)分?jǐn)?shù)：{ }；
無理數(shù)：{ }．
50．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)．
，，，，（相鄰兩個(gè)之間依次多1個(gè)），，，，，．
正分?jǐn)?shù)集合{ }；
非負(fù)整數(shù)集合{ }；
無理數(shù)集合{ }；
有理數(shù)集合{ }．
51．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)在數(shù)軸上，把點(diǎn)向左平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)，求點(diǎn)表示的數(shù)；
(2)若點(diǎn)表示的數(shù)是所表示數(shù)的相反數(shù)，求點(diǎn)表示的數(shù)；
(3)若點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后又向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)后再向運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)．問當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2026秒時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的位置有什么關(guān)系？請說明理由．
題型七：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題型
52．規(guī)律探究設(shè)，，，…，則的值為（ ）
A． B． C． D．
53．如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準(zhǔn)確的把表示在數(shù)軸上點(diǎn)處，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，如此繼續(xù)，則的長為（ ）
A． B． C． D．
54．觀察下列算式：，，，…，它有一定的規(guī)律性，把第個(gè)算式的結(jié)果記為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
55．已知整數(shù)滿足下列條件：，，，， 依此類推，則的值為 ．
56．若記表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：，，…，
則（其中“”“”依次相間）的值為 ．
57．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據(jù)上面三個(gè)等式，請猜想的結(jié)果（直接寫出結(jié)果）
(2)根據(jù)上述規(guī)律，解答問題：
設(shè)+···+，求不超過m的最大整數(shù)是多少？
58．觀察下列等式．
第1個(gè)：；
第2個(gè)：；
第3個(gè)：；
……
根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)___________；
(2)寫出第個(gè)等式：___________；（用含的式子表示，為正整數(shù)）
(3)計(jì)算：．
59．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③
(1)根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，請你猜想_______
(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫第n個(gè)等式：_______
(3)對任何實(shí)數(shù)a，表示不超過a的最大整數(shù)，如，
計(jì)算：
題型八：涉及實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型
60．在一次“冒險(xiǎn)活動(dòng)”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“寶藏”．他們一路披荊斬棘，終于來到了“寶藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他們遇到了一個(gè)難題，“寶藏”的位置由實(shí)數(shù)x決定，且滿足方程．
小明興奮地說：“我覺得x的值應(yīng)該是；”
小美思考片刻后說道：“不對，我覺得還有可能是另一個(gè)值．”
那么小美所說的另一個(gè)值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不對
61．某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量米，，請你通過計(jì)算判斷汽車此時(shí)的行駛速度v 100千米/時(shí)．（填“”、“”或“”）
62．哪吒在鎮(zhèn)壓妖獸時(shí)，用“混天綾”圍成一個(gè)面積為 的正方形“封妖陣”，后因妖獸反噬，須將“封妖陣”調(diào)整為面積為的長方形，且長與寬之比為．
(1)“混天綾”的總長度是多少米？
(2)哪吒的“混天綾”長度是否足夠完成新陣法？請通過計(jì)算說明理由．
63．如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（，結(jié)果精確到 ）
64．我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此可得：如果，其中、為有理數(shù)，為無理數(shù)；那么必然有，且，據(jù)此，解決下列問題．
(1)如果，其中、為有理數(shù)，則___________，___________；
(2)如果，其中、為有理數(shù)，求的平方根．
65．請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
設(shè)是有理數(shù)，且滿足，求的值．
解：由題意，得．
因?yàn)槎际怯欣頂?shù)，
所以也是有理數(shù)．
因?yàn)槭菬o理數(shù)，
所以，即，
所以．
根據(jù)閱讀材料，解決問題：
設(shè)都是有理數(shù)，且滿足，求的值．
66．某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題02 與實(shí)數(shù)有關(guān)的八大題型
題型一：涉及無理數(shù)與實(shí)數(shù)概念理解題型
1．在實(shí)數(shù)（兩個(gè)5之間依次增加一個(gè)0）中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根，根據(jù)無理數(shù)的定義（無限不循環(huán)小數(shù)），逐一判斷各數(shù)是否為無理數(shù)．
【詳解】解：是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；
是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；
是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；
（兩個(gè)5之間依次增加一個(gè)0）的規(guī)律不循環(huán)，屬于無限不循環(huán)小數(shù)，故為無理數(shù)．
綜上，無理數(shù)有2個(gè)，
故選：B．
2．在下列實(shí)數(shù)中無理數(shù)有（　　）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【答案】A
【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)的小數(shù)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
無理數(shù)為：，，，
故選：A．
3．?dāng)?shù)3.14，，，0.2020002000002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加2），中，實(shí)數(shù)有（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】D
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的定義，根據(jù)實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)進(jìn)行解答．
【詳解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加2），都是實(shí)數(shù)，共5個(gè)．
故選：D．
4．下列說法：①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)如果不是有理數(shù)，則一定是無理數(shù)；②無限小數(shù)都是無理數(shù)；③無理數(shù)都是無限小數(shù)；④最小的實(shí)數(shù)是0；⑤帶根號的數(shù)都是無理數(shù)．其中錯(cuò)誤的共有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)無理數(shù)和實(shí)數(shù)的定義來判斷正誤即可．
【詳解】解：①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)如果不是有理數(shù)，則一定是無理數(shù)，該選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
②無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
③無理數(shù)都是無限小數(shù)，該選項(xiàng)說法正確，不符合題意；
④沒有最小的實(shí)數(shù)，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
⑤帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，比如，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意；
錯(cuò)誤選項(xiàng)有：②④⑤，
故選：C．
5．在，，，，，，這些數(shù)中，無理數(shù)有 個(gè)．
【答案】
【分析】本題考查無理數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確理解無理數(shù)的概念．
根據(jù)無理數(shù)的概念，對所給的數(shù)進(jìn)行分類即可．
【詳解】解：，，是有理數(shù)，
，，，是無理數(shù)，
∴無理數(shù)有個(gè)，
故答案為：．
6．的相反數(shù)是 ，的倒數(shù)是 ， ．
【答案】 /
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的概念，相反數(shù)，倒數(shù)的定義，化簡絕對值，根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)的定義，化
：的相反數(shù)是，的倒數(shù)是，，
故答案為：，，．
題型二：實(shí)數(shù)的估算與實(shí)數(shù)的大小比較
7．若，且x是整數(shù)，則滿足條件的x值有（ ）
A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)
【答案】B
【分析】此題考查實(shí)數(shù)的大小比較．
先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合條件的數(shù)即可．
【詳解】解：∵，
∴．
∴．
∴符合條件的x的值為：，共4個(gè)．
故選：B．
8．滿足的整數(shù)m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小．先估算無理數(shù)的大小，進(jìn)而得到的大小即可．
【詳解】解：∵，即，
∴，
而，
∴的整數(shù)m的值可以是3，不可能是2，1，0，
故選：A．
9．由下表可得精確到百分位的近似值是（ ）
… …
A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646
【答案】B
【分析】此題主要考查估算無理數(shù)大小以及近似數(shù)和有效數(shù)字，小數(shù)的近似數(shù)取值，關(guān)鍵要看清精確到的位數(shù)．精確到百分位，即保留小數(shù)點(diǎn)后面第二位，看小數(shù)點(diǎn)后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可．
【詳解】，
精確到百分位的近似值是2.65．
故選：B．
10．在0，，，這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查實(shí)數(shù)的比較大小，熟練掌握實(shí)數(shù)比較大小的規(guī)則即可．正數(shù)大于，負(fù)數(shù)小于，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小．
【詳解】解：∵，
∴最小的數(shù)是：．
故選：C．
11．若是實(shí)數(shù)，且，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值、立方根的意義，分別對四個(gè)選項(xiàng)作出分析，再判斷．
【詳解】解：∵是實(shí)數(shù)，且，
A. 當(dāng)時(shí)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 當(dāng)時(shí)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. 由得，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 當(dāng)時(shí)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，絕對值，立方根，解題關(guān)鍵是實(shí)數(shù)的大小比較的方法．
12．正整數(shù)、分別滿足、，則 ．
【答案】
【分析】本題考查無理數(shù)的估算、代數(shù)式求值，熟練掌握無理數(shù)的估算方法，正確得到值是解答的關(guān)鍵．根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的概念進(jìn)行估算，從而代入求解．
【詳解】解：∵，，，，
又∵，是正整數(shù)，
∴，，
∴，
故答案為：．
13．規(guī)定：用符號表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．例如：，
（1）填空
（2） ；
（3）若，則的取值范圍是 ．
【答案】 1
【分析】本題主要考查了新定義運(yùn)算、估算無理數(shù)大小，正確理解題意是解題關(guān)鍵．
（1）結(jié)合，得，即有，根據(jù)題意即可獲得答案；
（2）首先根據(jù)估算無理數(shù)大小的方法確定，進(jìn)而可知，根據(jù)題意即可獲得答案；
（3）根據(jù)符號的定義可知，進(jìn)而可得，即可獲得答案．
【詳解】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：（1）1；（2）；（3）．
14．如圖，在數(shù)軸上標(biāo)有字母的各點(diǎn)中，與實(shí)數(shù)對應(yīng)的可能是點(diǎn) ．
【答案】D
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)無理數(shù)的估算方法確定的取值范圍，再觀察數(shù)軸即可求解．
【詳解】解：，
觀察數(shù)軸可得，實(shí)數(shù)對應(yīng)的可能是點(diǎn)，
故答案為：．
15．比較大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】本題考查比較實(shí)數(shù)的大小，無理數(shù)的估算．根據(jù)作差法和無理數(shù)的估算即可求解．
【詳解】解：，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
16．通過估算，比較下面各組數(shù)的大小：
(1)，2.5．
(2)，3．
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，無理數(shù)的估算，熟練掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是解題的關(guān)鍵．
（1）算出兩個(gè)數(shù)的平方，比較兩個(gè)數(shù)平方的大小，即可得出結(jié)果；
（2）算出兩個(gè)數(shù)的立方，比較兩個(gè)數(shù)立方的大小，即可得出結(jié)果；
（3）由得到，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以；
（2）因?yàn)椋遥?br/>所以；
（3）因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以．
題型三：與無理數(shù)整數(shù)部分有關(guān)的運(yùn)算
17．若的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，則的值為（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，估算出，從而可得，，即可得出，，代入所求式子計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，，
∵的小數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，
∴，，
∴，
故選：A．
18．設(shè)的整數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了無理數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分的確定以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是先確定與的整數(shù)部分和小數(shù)部分．
先估算的范圍，進(jìn)而確定與的整數(shù)部分和小數(shù)部分，得到、的值，再代入代數(shù)式計(jì)算．
【詳解】解：，
，
，
，
，
的整數(shù)部分為a，
，
，
，
，
，
的整數(shù)部分為3，
的小數(shù)部分為b，
原式
．
19．設(shè)是的整數(shù)部分，，求的值．
【答案】4
【分析】本題考查的是無理數(shù)的整數(shù)部分的含義，算術(shù)平方根的含義，求解一個(gè)數(shù)的立方根，掌握“無理數(shù)的估算方法，算術(shù)平方根與立方根的含義”是解本題的關(guān)鍵；由可得m的值，再利用算術(shù)平方根的含義求解n，再求解的立方根即可．
【詳解】解：，即，
的整數(shù)部分為5，
即，
又，
，
．
20．無理數(shù)像一篇讀不完的長詩，既不循環(huán)，也不枯竭，無窮無盡．設(shè)面積為的圓的半徑為x，回答下列問題：
(1)x是_______（填“有理數(shù)”或“無理數(shù)”）．
(2)x的整數(shù)部分是幾？
(3)將x精確到十分位的值是多少？
【答案】(1)無理數(shù)
(2)的整數(shù)部分是3
(3)將精確到十分位的值是
【分析】本題考查了算術(shù)平方根以及無理數(shù)的大小估算，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圓的面積公式列式，再利用算術(shù)平方根的定義解答；
（2）根據(jù)無理數(shù)的大小估算計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)無理數(shù)的大小估算計(jì)算即可得解.
【詳解】（1）解：依題意，
∴．
∴（負(fù)值已舍去）是無理數(shù)．
（2）解：由題意，得，
∴．
∵，
即
即的整數(shù)部分是3．
（3）解：∵，
∴．
又∵，
∴，
即將精確到十分位的值是．
21．已知實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是；實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是．
(1)直接寫出，，，的值；
(2)求的值的平方根；
(3)求的值．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】本題考查了無理數(shù)的估算、平方根、立方根，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）估算得出，從而可得，，結(jié)合題意即可得解；
（2）將（1）中，，，代入所求式子進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合平方根的定義計(jì)算即可得解；
（3）將（1）中，，，代入所求式子進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合立方根的定義計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，即，
∴，，
∵實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是，實(shí)數(shù)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分是，
∴，，，；
（2）解：由（1）可得：，，，，
，
∴的值的平方根為；
（3）解：
．
22．在學(xué)習(xí)《實(shí)數(shù)》內(nèi)容時(shí)，我們通過“逐步逼近”的方法可以計(jì)算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，請回答下列問題：
(1)介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)和之間，且，那么　　　，　　　．
(2)是的小數(shù)部分，是的整數(shù)部分，求　　　，　　　．
(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求的平方根．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本題主要考查了平方和平方根估算無理數(shù)大小應(yīng)用，正確的估計(jì)無理數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
（1）估算出的取值范圍即可解答；
（2）根據(jù)(1)的結(jié)論，得到，即可解答；
（3）將（2）的結(jié)論代入計(jì)算即可解答．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：4，5；
（2）解：由(1)知，
∴，，
∵是的小數(shù)部分，
∴；
∵是的整數(shù)部分，
∴；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴4的平方根是，
即的平方根是．
23．材料：2.5的整數(shù)部分是2，小數(shù)部分是0.5，小數(shù)部分可以看成是得來的，類比來看，對于來說，因?yàn)椋缘恼麛?shù)部分是1，于是可用來表示的小數(shù)部分．根據(jù)以上材料，完成下列問題：
(1)的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；
(2)也是夾在兩個(gè)相鄰整數(shù)之間的，可以表示為，求的平方根．
(3)若，其中x是整數(shù)，且，請直接寫出的值．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
【分析】本題考查無理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握夾逼法進(jìn)行無理數(shù)的估算，是解題的關(guān)鍵：
（1）利用夾逼法求出的范圍，進(jìn)而求出整數(shù)部分和小數(shù)部分即可；（2）求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍，求出的值，進(jìn)而求出的平方根即可；
（3）夾逼法求出的值，再進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是；
（2）∵，
∴，
∴，
∴；
∴的平方根為；
（3），
∴，
∴，
∴，
∴．
題型四：實(shí)數(shù)的四則混合運(yùn)算的計(jì)算題
24．已知實(shí)數(shù)a，b滿足關(guān)系式，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平方和絕對值的非負(fù)性以及求一個(gè)數(shù)的平方．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，每個(gè)非負(fù)數(shù)都必須為0，從而求出和的值，然后計(jì)算的次方即可．
【詳解】解：由題意得，，
解得，，
∴，
故選：C．
25．計(jì)算： ．
【答案】3
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，利用乘方及立方根的運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】解：
．
故答案為：3．
26．計(jì)算：的結(jié)果是 ．
【答案】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的加減，根據(jù)同類項(xiàng)的合并方法來計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故答案為：．
27．已知：，那么 ．
【答案】1
【分析】設(shè)，則，則，，得到，代入化簡解答即可．
本題考查了立方和多項(xiàng)式乘法的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，則，
則，，
故，
故
．
28．設(shè)，，且，則
【答案】1
【分析】此題主要考查了分式的加減，充分利用這個(gè)關(guān)系，對中的a、b都用c進(jìn)行替換即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，則，，均為正數(shù)，
∴
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：1．
29．計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算立方根、算術(shù)平方根和乘方運(yùn)算，再求和即可；
（2）先計(jì)算乘方運(yùn)算，立方根，算術(shù)平方根和化簡絕對值，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．
【詳解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．30．計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算絕對值，乘方運(yùn)算，立方根，算術(shù)平方根，再合并即可．
【詳解】解：
．
31．計(jì)算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義，絕對值的意義等計(jì)算即可；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根、立方根的定義，絕對值的意義等計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
32．計(jì)算：
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；
（1）先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡各數(shù)，再計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根化簡各數(shù)，再計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
33．計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根及立方根的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）先算術(shù)平方根，立方根，再加減即可；
（2）先算術(shù)平方根，立方根，絕對值，再加減即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
題型五：涉及實(shí)數(shù)的運(yùn)算的定義和程序題型
34．按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為9，則最后輸出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的分類及運(yùn)算，判斷每步計(jì)算結(jié)果是否為無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知判斷每一步輸出結(jié)果即可得到答案．
【詳解】解：由所示的程序可得：9的算術(shù)平方根是3，3是有理數(shù)，取3的算術(shù)平方根，是無理數(shù)，則輸出，
∴開始輸入的x值為9，則最后輸出的y值是．
故選：A．
35．按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的的值是64，則輸出的的值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】本題考查了無理數(shù)、算術(shù)平方根、立方根及計(jì)算程序的應(yīng)用，正確理解計(jì)算程序圖的計(jì)算步驟，會正確計(jì)算數(shù)的算術(shù)平方根及立方根，能正確判斷有理數(shù)及無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，利用算術(shù)平方根及立方根的定義計(jì)算，直至結(jié)果為無理數(shù)即可，理解題干中的運(yùn)算程序并進(jìn)行正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：的算術(shù)平方根是，
∵是有理數(shù)，
∴取立方根為，
∵是有理數(shù)，
∴取算術(shù)平方根為，
∵是無理數(shù)，
∴．
故選：A．
36．對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義兩種新運(yùn)算：，，并且定義新運(yùn)算的運(yùn)算順序仍然是先算括號內(nèi)的，例如：，，，那么等于（ ）
A．2 B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本題考查了新定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算，無理數(shù)估算，求立方根，先估算出的范圍，再結(jié)合新定義運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算即可得解，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴，
故選：C．
37．定義運(yùn)算“@”的運(yùn)算法則為：，則 ．
【答案】6
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)題中的新定義化簡所求式子，計(jì)算即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵，
，
故答案為：6．
38．用※定義一種新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)m和n，規(guī)定．如：，則值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)定義的新運(yùn)算可得，然后進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：由題意得，
，
值為，
故答案為：．
39．（定義新運(yùn)算）高斯被認(rèn)為是歷史上最杰出的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，現(xiàn)有一種高斯定義的計(jì)算式，已知[x]表示不超過的最大整數(shù)，例如，，現(xiàn)定義，例如，則 ．
【答案】3.8
【分析】本題主要考查了新定義，有理數(shù)的加減計(jì)算，熟練掌握新定義是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)新定義求出，，據(jù)此代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，，
∴
故答案為：3.8
40．若一個(gè)四位正整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，千位數(shù)字比百位數(shù)字的2倍多1，且個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、百位數(shù)字的和為12，我們稱這樣的四位正整數(shù)為“繽紛數(shù)”．對于“繽紛數(shù)”A，任意去掉一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字得到四個(gè)三位數(shù)，這四個(gè)三位數(shù)的和記為F（A）．如四位正整數(shù)5246，因?yàn)椋?246是“繽紛數(shù)”，5246去掉任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，得到四個(gè)新的三位數(shù)是524，546，526，246，．若A是最大的“繽紛數(shù)”，則F（A）的值是 ；對于“繽紛數(shù)”M，滿足為整數(shù)，則M的最小值是 ．
【答案】 3330 3138
【分析】本題考查了新定義、列代數(shù)式、整式加減運(yùn)算．
設(shè)A的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，十位數(shù)字為z，則千位數(shù)字為，根據(jù)，且、x均為正整數(shù)，由A是最大的“繽紛數(shù)”，求得，，進(jìn)而由求得，即可；設(shè)M的百位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則，則，再根據(jù)為整數(shù)，求得能被4整除，根據(jù)M為最小整數(shù)，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，即可確定a取最小，即，從而千位數(shù)字為3，又能被4整除，則能被2整除，b為偶數(shù)，可確定b可取，當(dāng)b取最大時(shí)，十位數(shù)最小，可確定，十位數(shù)為，即可求解．
【詳解】解：設(shè)A的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，十位數(shù)字為z，則千位數(shù)字為，
∵一個(gè)四位正整數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零
∴，且、x均為正整數(shù)，
∴且x為正整數(shù)
∵A是最大的“繽紛數(shù)”，
∴，
∴
∵個(gè)位數(shù)字、十位數(shù)字、百位數(shù)字的和為12
∴
∴
∵A是最大的“繽紛數(shù)”， ，，且y、z均為正整數(shù)，
∴，，
∴最大的“繽紛數(shù)”9471，
∴，
設(shè)M的百位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，則
∴
為整數(shù)，
∴，
∴能被12整除，
即能被4整除，
∵M(jìn)為最小整數(shù)，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為零，
∴a取最小，即，
當(dāng)時(shí)，千位數(shù)字最小為3，
∴能被4整除，
∴能被2整除，b為偶數(shù)，
∴b可取，
∴當(dāng)b取最大時(shí)，十位數(shù)最小，
∴，十位數(shù)為，
M的最小值是3138．
故答案為：3330；3138．
41．有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理如圖．
(1)當(dāng)時(shí)，y是多少？
(2)輸入的x能是任何實(shí)數(shù)嗎？為什么？
(3)是否存在這樣的x的值，輸入計(jì)算后始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值？如果存在，請寫出所有x的值；如果不存在，請說明理由；
(4)若輸出的y是，試判斷輸入的x值是否唯一？若不唯一，請寫出其中的兩個(gè)．
【答案】(1)
(2)輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)，理由見解析
(3)或時(shí)始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值
(4)若輸出的y是，則輸入的x值不唯一；如：、．
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根、代數(shù)式求值、無理數(shù)等知識點(diǎn)，掌握無理數(shù)的定義成為解題的關(guān)鍵．
（1）把代入程序中計(jì)算即可確定出y的值；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根的有意義的條件即可解答；
（3）根據(jù)程序確定出x的值即可；
（4）舉反例即可解答；
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
，4不是無理數(shù)不能輸出
，2不是無理數(shù)不能輸出
是無理數(shù)，輸出．
所以輸出y是．
（2）解：輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)，理由如下：
當(dāng)x是正數(shù)時(shí)，x與的乘積為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)．
（3）解：存在x的值輸入計(jì)算后始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值；
∵0和1的算術(shù)平方根是0和1
∴當(dāng)或，即或時(shí)始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值．
（4）解：若輸出的y是，則輸入的x值不唯一；如：，，3再次輸出為；，，，3再次輸出為；所以輸入x值不唯一．
42．閱讀以下材料：
對于三個(gè)數(shù)a．b．c．用表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：；；．
請解答下列問題：
(1) ；
(2)若，求x的范圍；
(3)如果，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)x的值為1
【分析】本題考查了新定義、實(shí)數(shù)的大小比較、求不等式組的解集，理解新定義是解題的關(guān)鍵．
（1）先比較的大小關(guān)系，再根據(jù)新定義即可求解；
（2）根據(jù)，可得，求解不等式組即可得出答案；
（3）根據(jù)新定義可得，則，得出關(guān)于的不等式組，求解不等式組即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴；
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
解得：，
∴x的范圍為；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴x的值為1．
43．已知“”表示運(yùn)算，“”表示運(yùn)算，求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解新運(yùn)算列出算式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新運(yùn)算列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意可知，原式
．
題型六：實(shí)數(shù)的分類和實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合問題
44．下列說法正確的是（ ）
A．正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù) B．正數(shù)、0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)
C．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)
【答案】D
【分析】此題主要考查實(shí)數(shù)的定義和分類，解題的關(guān)鍵是熟知實(shí)數(shù)的定義．根據(jù)實(shí)數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：A. 正實(shí)數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，原說法錯(cuò)誤；
B. 正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤；
C. 正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤；
D. 無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，說法正確；
故選：D．
45．下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．0的算術(shù)平方根是0
B．實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)
C．的相反數(shù)是
D．所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)
【答案】D
【分析】本題考查了算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)的分類、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、相反數(shù)的定義，根據(jù)相關(guān)知識逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、0的算術(shù)平方根是0，正確，不符合題意；
B、實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)，正確，不符合題意；
C、的相反數(shù)是，正確，不符合題意；
D、所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，反過來，數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，不一定是有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤，符合題意，
故選：D．
46．下列說法正確的是（ ）
A．實(shí)數(shù)是負(fù)數(shù) B．實(shí)數(shù)的相反數(shù)是a
C．實(shí)數(shù)的絕對值是a D．一定是正數(shù)
【答案】B
【分析】本題考查絕對值，相反數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)絕對值，相反數(shù)和負(fù)數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷解答即可．
【詳解】解：A. 當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)是正數(shù)，原說法錯(cuò)誤；
B. 實(shí)數(shù)的相反數(shù)是a，說法正確；
C. 當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的絕對值是，原說法錯(cuò)誤；
D. 一定是非負(fù)數(shù)，原說法錯(cuò)誤；
故選：B．
47．?dāng)?shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是2和，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，數(shù)軸上對稱點(diǎn)表示的數(shù)的關(guān)系，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確掌握數(shù)軸上對稱點(diǎn)表示的數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算的長，再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，即可求得點(diǎn)C表示的數(shù)．
【詳解】解：∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是2和，
∴，
∵點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，
∴，
∴點(diǎn)C表示的數(shù)是，
故選：B．
48．點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為、．若B、C兩點(diǎn)之間的距離為，則A、C兩點(diǎn)之間的距離為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】此題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，先得到點(diǎn)C表示的數(shù)，然后分情況求出長解答即可．
【詳解】解：由題意可知點(diǎn)C表示的數(shù)為或，
或．
故選：D．49．把下列各數(shù)的序號填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：
①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每兩個(gè)0之間依次多1個(gè)2）．
整數(shù)：{ }；
負(fù)分?jǐn)?shù)：{ }；
無理數(shù)：{ }．
【答案】見解析
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的分類、求算術(shù)平方根、絕對值，先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)實(shí)數(shù)的分類求解即可，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，，
故整數(shù)：{ ①④⑥}；
負(fù)分?jǐn)?shù)：{ ②⑤}；
無理數(shù)：{}．
50．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合內(nèi)．
，，，，（相鄰兩個(gè)之間依次多1個(gè)），，，，，．
正分?jǐn)?shù)集合{ }；
非負(fù)整數(shù)集合{ }；
無理數(shù)集合{ }；
有理數(shù)集合{ }．
【答案】，，，；，；，（相鄰兩個(gè)之間依次多一個(gè)）；，，，，，，，．
【分析】本題考查了正分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)、無理數(shù)、有理數(shù)的定義，根據(jù)定義直接求解即可，解題的關(guān)鍵是熟悉正分?jǐn)?shù)、非負(fù)整數(shù)、無理數(shù)、有理數(shù)的定義，熟練掌握此題的特點(diǎn)并能熟練運(yùn)用．
【詳解】解：正分?jǐn)?shù)集合{，，，，}；
非負(fù)整數(shù)集合{ ，，}；
無理數(shù)集合{，（相鄰兩個(gè)之間依次多一個(gè)），}；
有理數(shù)集合{，，，，，，，，}；
故答案為：，，，；，；，（相鄰兩個(gè)之間依次多一個(gè)）；，，，，，，，．
51．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)在數(shù)軸上，把點(diǎn)向左平移4個(gè)單位長度得到點(diǎn)，求點(diǎn)表示的數(shù)；
(2)若點(diǎn)表示的數(shù)是所表示數(shù)的相反數(shù)，求點(diǎn)表示的數(shù)；
(3)若點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后又向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)后再向運(yùn)動(dòng)，如此往復(fù)運(yùn)動(dòng)．問當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2026秒時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的位置有什么關(guān)系？請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在點(diǎn)的左側(cè)，理由見解析
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的大小比較，實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離即可求解；
（2）根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；
（3）根據(jù)題意，得出運(yùn)動(dòng) 2026秒時(shí)，在點(diǎn)左側(cè) 2 個(gè)單位長度，即表示的數(shù)為，進(jìn)而判斷所表示的數(shù)的大小，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，把點(diǎn)向左平移 4 個(gè)單位長度得到點(diǎn)，
∴B點(diǎn)表示的數(shù)為；
（2）解：∵C點(diǎn)表示的數(shù)是所表示數(shù)的相反數(shù)，
∴C點(diǎn)表示的數(shù)為；
（3）解：，
，
∴P運(yùn)動(dòng) 2026秒時(shí)，在點(diǎn)左側(cè)個(gè)單位長度，即表示的數(shù)為．
因?yàn)楸硎镜臄?shù)是，
，
，
，即，
∴ P在點(diǎn)的左側(cè)．
題型七：與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題型
52．規(guī)律探究設(shè)，，，…，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是算術(shù)平方根及算式的變化規(guī)律，觀察式子的結(jié)果，得出一般規(guī)律．
【詳解】解：由題意得：，
，
，
，
，
，
，
故選：C．
53．如圖，通過畫邊長為1的正方形，就能準(zhǔn)確的把表示在數(shù)軸上點(diǎn)處，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，記右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫半圓，交數(shù)軸于點(diǎn)，如此繼續(xù)，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、估算無理數(shù)的大小以及探索規(guī)律，通過估算無理數(shù)的大小，找到圖形變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．利用表示的數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，逐一計(jì)算各點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)，在計(jì)算1、，得出規(guī)律即可解決．
【詳解】解：由題意可得表示的數(shù)是，
∵右側(cè)最近的整數(shù)點(diǎn)為，
∴表示的數(shù)是2，
∴，
∴表示的數(shù)是，表示的數(shù)是3，
∴，
同理可得表示的數(shù)是，表示的數(shù)是4，，
表示的數(shù)是，表示的數(shù)是5，，
可知以，兩個(gè)數(shù)一環(huán)出現(xiàn)，
∵，
∴，
故選：A．
54．觀察下列算式：，，，…，它有一定的規(guī)律性，把第個(gè)算式的結(jié)果記為，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律探索，通過觀察可知，據(jù)此可得，再把所求式子裂項(xiàng)相消即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
……，
以此類推可知，，
∴，
∴，
∴原式
，
故選：C．
55．已知整數(shù)滿足下列條件：，，，， 依此類推，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律；根據(jù)條件求出前幾個(gè)數(shù)的值，再分情況，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果等于 ；是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果等于；然后把的值代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：由題意可得：時(shí)，
，
，
，
通過觀察前面計(jì)算出的項(xiàng)，
可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
∵是奇數(shù)，
∴；
故答案為：．
56．若記表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如：，，…，
則（其中“”“”依次相間）的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用估算思想，確定整數(shù)部分中的運(yùn)算規(guī)律．按照整數(shù)是1，整數(shù)是2，…整數(shù)是44，確定算術(shù)平方根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用估算思想，列式，尋找規(guī)律計(jì)算．
【詳解】解：，即時(shí)，，此時(shí)，
；
，即時(shí)，，此時(shí)，
；
，即時(shí)，，此時(shí)，
；
由此發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律，整數(shù)部分是1的算術(shù)平方根的整數(shù)和是1，且奇數(shù)為正整數(shù)，偶數(shù)位為負(fù)整數(shù)；整數(shù)部分是2的算術(shù)平方根的整數(shù)和是，整數(shù)部分是3的算術(shù)平方根的整數(shù)和是3，
，
，即時(shí)，，
，
，
故答案為：．
57．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③；
(1)根據(jù)上面三個(gè)等式，請猜想的結(jié)果（直接寫出結(jié)果）
(2)根據(jù)上述規(guī)律，解答問題：
設(shè)+···+，求不超過m的最大整數(shù)是多少？
【答案】(1)
(2)2025
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，實(shí)數(shù)大小比較，數(shù)字的變化類，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題干列舉的等式，即可得出答案；
（2）先總結(jié)規(guī)律可得，再利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
（2）+···+，
，
，
，
∴不超過m的最大整數(shù)是2025．
58．觀察下列等式．
第1個(gè)：；
第2個(gè)：；
第3個(gè)：；
……
根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)___________；
(2)寫出第個(gè)等式：___________；（用含的式子表示，為正整數(shù)）
(3)計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，理解題意，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題干所給式子進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)題干所給式子得出規(guī)律即可；
（3）利用（2）中得出的規(guī)律，計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：∵第1個(gè)：；
第2個(gè)：；
第3個(gè)：；
……
∴；
（2）解：由（1）可得第個(gè)等式為：；
（3）解：
．
59．先觀察下列等式，再回答問題：
①；
②；
③
(1)根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，請你猜想_______
(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫第n個(gè)等式：_______
(3)對任何實(shí)數(shù)a，表示不超過a的最大整數(shù)，如，
計(jì)算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的探究與運(yùn)用，掌握“探究的方法以及靈活運(yùn)用”是解本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題干例舉的等式，即可答案；
（2）根據(jù)題干例舉的等式，總結(jié)規(guī)律可得答案；
（3）先總結(jié)規(guī)律可得，再利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意：；
（2）解：；
（3）解：原式
．
題型八：涉及實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用題型
60．在一次“冒險(xiǎn)活動(dòng)”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“寶藏”．他們一路披荊斬棘，終于來到了“寶藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他們遇到了一個(gè)難題，“寶藏”的位置由實(shí)數(shù)x決定，且滿足方程．
小明興奮地說：“我覺得x的值應(yīng)該是；”
小美思考片刻后說道：“不對，我覺得還有可能是另一個(gè)值．”
那么小美所說的另一個(gè)值是（ ）
A． B．
C． D．以上都不對
【答案】A
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，化簡絕對值，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
∴小美所說的另一個(gè)值是．
故選：A．
61．某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量米，，請你通過計(jì)算判斷汽車此時(shí)的行駛速度v 100千米/時(shí)．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：千米/時(shí)，
∴
故答案為：>．
62．哪吒在鎮(zhèn)壓妖獸時(shí)，用“混天綾”圍成一個(gè)面積為 的正方形“封妖陣”，后因妖獸反噬，須將“封妖陣”調(diào)整為面積為的長方形，且長與寬之比為．
(1)“混天綾”的總長度是多少米？
(2)哪吒的“混天綾”長度是否足夠完成新陣法？請通過計(jì)算說明理由．
【答案】(1)
(2)能；理由見解析
【分析】本題考查了平方根的應(yīng)用，無理數(shù)的估算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)平方根的意義即可求解；
（2）根據(jù)題意列方程，求出長方形的長與寬，可得長方形的周長，再經(jīng)過估算即得答案．
【詳解】（1）解： “混天綾”圍成一個(gè)面積為 的正方形，
正方形的邊長為，
“混天綾”的總長度．
答：“混天綾”的總長度．
（2）解：能，理由如下：
設(shè)長方形的長為米，寬為米，
依題意得 ，
解得或，
，
，
長方形的長為米，寬為米，
長方形的周長為，
，
，
能夠完成新陣法．
63．如圖，在面積為2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以邊BC為直徑的半圓，則剩下的木料的面積為多少平方米？（，結(jié)果精確到 ）
【答案】1.2平方米
【分析】根據(jù)題意，剩下的木料的面積等于正方形面積減去半圓面積。
【詳解】解：由題意得，正方形的邊長為米，則半圓的半徑為米，則
剩下的木料的面積，
，
，
，
（平方米）
答：剩下的木料的面積約為平方米．
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)際問題中的實(shí)數(shù)的運(yùn)算：正方形和圓形結(jié)合的陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握圖形面積之間的關(guān)系．
64．我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此可得：如果，其中、為有理數(shù)，為無理數(shù)；那么必然有，且，據(jù)此，解決下列問題．
(1)如果，其中、為有理數(shù)，則___________，___________；
(2)如果，其中、為有理數(shù)，求的平方根．
【答案】(1)3，2
(2)
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，本題是閱讀型題目，正確理解題干中的信息并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，為有理數(shù)，由已知等式求出與 的值即可；
（2）已知等式右邊化為0，根據(jù)，為有理數(shù)，求出與 的值，即可確定出的值，再求平方根即可．
【詳解】（1）解：，其中，為有理數(shù)，為無理數(shù)，
∴，
∴；
（2）解：∵，，為有理數(shù)，為無理數(shù)，
∴，
解之，得．
則．
∴的平方根是．
65．請閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
設(shè)是有理數(shù)，且滿足，求的值．
解：由題意，得．
因?yàn)槎际怯欣頂?shù)，
所以也是有理數(shù)．
因?yàn)槭菬o理數(shù)，
所以，即，
所以．
根據(jù)閱讀材料，解決問題：
設(shè)都是有理數(shù)，且滿足，求的值．
【答案】的值為7或
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算，根據(jù)提供的方法，先變形為，從而得出，求出，最后代入求值即可．
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
所以．
因?yàn)槎际怯欣頂?shù)，
所以也是有理數(shù)．因?yàn)槭菬o理數(shù)，
所以，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，的值為7或．
66．某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過100千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v＝16，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測量d＝32米，f＝2，請你判斷一下，肇事汽車當(dāng)時(shí)是否超速了．
【答案】肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分別代入v=16，求出當(dāng)時(shí)汽車的速度再和100千米/時(shí)比較即可解答．
【詳解】解：把d=32，f=2代入v=16，
v=16=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽車當(dāng)時(shí)的速度超出了規(guī)定的速度．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，另外要熟悉實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算．

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