資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題11.1 冪的運(yùn)算
基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)
知識(shí)點(diǎn)01 同底數(shù)冪的乘法
同底數(shù)冪的乘法法則 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。用字母表示為 （ m, n為正整數(shù)）。
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）同底數(shù)冪的乘法法則對于三個(gè)及三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘同樣適用，即： 為正整數(shù)）。
（2）同底數(shù)冪的乘法法則既可正用也可逆用，即： 為正整數(shù))．
注意：
1.運(yùn)用此法則有兩人關(guān)鍵條件:一是底數(shù)相同二是指數(shù)相加，兩者缺一不可
2.指數(shù)相加的和作為冪的指數(shù)，!即運(yùn)算結(jié)果仍然是冪的形式
3.單個(gè)字母或數(shù)字可以看成指數(shù)為1的冪，運(yùn)算時(shí)易漏掉
知識(shí)點(diǎn)02 冪的乘方
1．冪的乘方法則 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．用字母表示為 都是正整數(shù)）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）冪的乘方法則的推廣： 都是正整數(shù)）；
（2）冪的乘方法則可以逆用，逆用時(shí) 都是正整數(shù)）．
注意：
1.“底數(shù)不變”是指冪的底數(shù)不變，“指數(shù)相乘是指冪的指數(shù)m與乘方的指數(shù)n 相乘
2.底數(shù)可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
知識(shí)點(diǎn)03 積的乘方
1．積的乘方法則 積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
用字母表示為 （ 為正整數(shù)）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）積的乘方法則的推廣：（ 為正整數(shù)）；
（2）積的乘方法則可以逆用，逆用時(shí) （ 為正整數(shù)）
注意：
1．在進(jìn)行積的乘方運(yùn)算時(shí)，要把底數(shù)中的每一個(gè)因式分別乘方，不要漏掉任何一項(xiàng)．
2．積的乘方的底數(shù)為乘積的形式，若底數(shù)為和的形式則不能用，即 ．
方法總結(jié)：
當(dāng)指數(shù)相同的兩個(gè)或幾個(gè)冪相乘時(shí)，如果底數(shù)的積容易求出，利用 （ 為正整數(shù)）可先把底數(shù)相乘再進(jìn)行乘方運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡便。
知識(shí)點(diǎn)04 同底數(shù)冪的除法
1．同底數(shù)冪的除法法則 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。用字母表示為 都是正整數(shù)，并且 ）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）法則的推廣：適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相除，即 都是正整數(shù)，并且 ）；
（2）同底數(shù)冪的除法法則也可以逆用，逆用時(shí) 都是正整數(shù)，并且 ）．
注意：
1.運(yùn)用此法則要注意兩點(diǎn):
一是底數(shù)相同，二是指數(shù)相減
2.底數(shù) 可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù) 不能為0.
典型案例探究
知識(shí)點(diǎn)01 同底數(shù)冪的乘法
例1.（24-25八年級(jí)上·重慶秀山·期末）下面計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)法則逐一排除即可，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
、與不是同類項(xiàng)，不可以合并，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
、，原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：．
【變式1】（23-24八年級(jí)上·湖南衡陽·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式即可得出答案．
【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算的四個(gè)公式：同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪的除法，熟練掌握公式解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）若，則 ；當(dāng)時(shí)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除的逆運(yùn)算可得；根據(jù)冪的乘方和同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則可得，再代入已知條件即可求解．
【詳解】由，可得，
由，可得，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題主要考場整式的乘除運(yùn)算，熟練掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則和逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵。
【變式3】（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）可以表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算逐一計(jì)算即可．
【詳解】A..故符合題意；
B.不能合并同類項(xiàng).故不符合題意；
C..故不符合題意；
D..故不符合題意.
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算.掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
知識(shí)點(diǎn)02 冪的乘方
例1.（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵；
分別利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及冪的乘方分析即可；
【詳解】解：選項(xiàng)A中，無法運(yùn)算，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B中，，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C中，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D中，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B
【變式1】（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期中）計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了冪的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方的法則．
冪的乘方的法則進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：，
故選：A．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，再利用冪的乘方運(yùn)算法則可得答案．
本題考查的是乘方的含義，冪的乘方運(yùn)算的含義，解題的關(guān)鍵是：理解相關(guān)定義及運(yùn)算法則．
【詳解】解：，
故選：A．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如果，那么的值為 ．
【答案】16
【分析】本題考查了冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪相乘，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的乘方運(yùn)算可得，再利用同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則化簡，結(jié)合即可解答．
【詳解】解： ，
，
．
故答案為：16．
知識(shí)點(diǎn)03 積的乘方
例1.（24-25八年級(jí)上·廣東江門·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A． ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C． ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D． ，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·廣東江門·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，涉及合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方等基本法則．很具運(yùn)算法則逐一計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：選項(xiàng)A：
合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變．
計(jì)算：，故A錯(cuò)誤．
選項(xiàng)B：
同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．
計(jì)算：，故B正確．
選項(xiàng)C：
冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．
計(jì)算：，故C錯(cuò)誤．
選項(xiàng)D：
積的乘方，每個(gè)因數(shù)均需乘方．
計(jì)算：，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）計(jì)算，其中第①步運(yùn)算的依據(jù)是(　　)
A．冪的乘方法則 B．乘法分配律
C．積的乘方法則 D．同底數(shù)冪的乘法法則
【答案】C
【分析】本題考查了積的乘方，掌握積的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則解答即可．
【詳解】解：，其運(yùn)算的依據(jù)是積的乘方運(yùn)算法則．
故選：C．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查積的乘方，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握積的乘方，整式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，積的乘方，最后合并同類項(xiàng)即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
知識(shí)點(diǎn)04 同底數(shù)冪的除法
例1.（24-25八年級(jí)上·福建福州·期末）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、完全平方公式．根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的法則、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則、完全平方公式逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可．
【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·廣東中山·期末）若“※”代表一種運(yùn)算，的結(jié)果是，則“※”代表的運(yùn)算符號(hào)可以為（ ）
A．× B． C．+ D．-
【答案】B
【分析】此題考查了同底數(shù)冪的除法．根據(jù)運(yùn)算法則計(jì)算后即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴“※”代表的運(yùn)算符號(hào)可以為，
故選：B
【變式2】（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，直接運(yùn)算，即可作答．
【詳解】解：，
故答案為：．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了冪的相關(guān)運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方與冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可求解，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)正確，符合題意；
B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
課后作業(yè)
A
一、單選題
1．計(jì)算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算，利用積的乘方的逆運(yùn)算法則計(jì)算即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：．
2．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了積的乘方的逆運(yùn)算，利用積的乘方的逆運(yùn)算法則計(jì)算即可，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：．
3．下列各式計(jì)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行判斷．根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，選項(xiàng)正確，符合題意；
D、，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：C ．
4．若，則m的值為（ ）
A． B．0 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，由此可解．
【詳解】解：，
，
故選：A．
二、填空題
5．已知，則式子的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法．
根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則求出的值，進(jìn)而計(jì)算的值即可．
【詳解】，
∴，
∴，
故答案為：．
6．已知，，則 ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查了冪的乘方，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算出，，通過，得到，從而得出答案．
【詳解】解：已知，，
，，
，，
，
，
，
故答案為：．
7．若，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了求代數(shù)式的值，冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪相除，根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪相除的運(yùn)算法則將所求式子變形為，整體代入計(jì)算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
故答案為：．
8．一個(gè)正方體的棱長為，用科學(xué)記數(shù)法表示它的體積是 ．
【答案】
【分析】本題考查了積的乘方，科學(xué)記數(shù)法的表示形式．
先根據(jù)積的乘方求出正方體的體積，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式作答即可．
【詳解】解：一個(gè)正方體的棱長為，
則它的體積是，
故答案為：．
三、解答題
9．用簡便方法計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了積的乘方逆用、有理數(shù)的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)積的乘方逆用可將式子變形為，再計(jì)算有理數(shù)的乘方與乘法即可得；
（2）先根據(jù)積的乘方逆用可將式子變形為，再計(jì)算有理數(shù)的乘方與乘法即可得．
【詳解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
10．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則，“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）根據(jù)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：
11．已知，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法．
根據(jù)冪的乘方求出，即，進(jìn)而根據(jù)同底數(shù)冪的乘法即可證明．
【詳解】證明：，
．
，
．
12．我會(huì)做根據(jù)冪的意義填空
（1）
（2）___________
（3）___________
我概括
（　　）
這就是說，同底數(shù)冪相乘，___________不變，___________．
我會(huì)用直接寫出計(jì)算結(jié)果：___________
【答案】見解析
【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，有理數(shù)的乘方運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．
根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則解答即可．
【詳解】解：（1）；
（2）
（3），
我概括，
這就是說，同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；
．
B
一、單選題
1．計(jì)算是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是關(guān)鍵．
根據(jù)積的乘方的逆運(yùn)算計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故選：C．
2．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了積的乘方的逆用．
逆用冪的運(yùn)算將原式化為，進(jìn)而逆用積的乘方法則計(jì)算即可．
【詳解】
故選：B
3．比較整數(shù)與的大小，結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了冪的乘方、有理數(shù)的大小比較，將和化成同指數(shù)冪的形式，再比較底數(shù)的大小即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
∵，
∴，即，
故選：B．
4．定義運(yùn)算為：若（其中：，，以下同），則．如，則．設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了新定義，同底數(shù)冪的乘法．
根據(jù)題意得到，，進(jìn)而得到，根據(jù)定義可知
【詳解】解：∵若（其中：，，以下同），則．設(shè)，，
∴，，
∴，
∵若（其中：，，以下同），則，
∴
故選：B．
二、填空題
5．計(jì)算： ．
【答案】/
【分析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，能靈活運(yùn)用積的乘方進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．逆用冪的乘方與積的乘方進(jìn)行計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：
故答案為：．
6．規(guī)定：，若，則x的值為 ．
【答案】/
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法，
由新定義得，進(jìn)而由同底數(shù)冪的乘法可得，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：，，
，
∴，
，
，
故答案為：．
7．已知n是正整數(shù)，且，則 ．
【答案】184
【分析】本題考查冪的運(yùn)算，根據(jù)積的乘方對式子化簡，再逆用冪的乘方進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：∵，
∴．
故答案為：
8．若，則a，b，c，d的大小關(guān)系為 ．（用“”連接）
【答案】
【分析】本題主要考查了冪的乘方運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．將、、、轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同的冪，再比較底數(shù)大小，從而得出它們的大小關(guān)系．
【詳解】解：
因?yàn)椋?br/>所以．
故答案為：．
三、解答題
9．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查冪的運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．
（1）先進(jìn)行積的乘方運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（2）先進(jìn)行積的乘方運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；
（3）對同底數(shù)冪的乘法和積的乘方的公式進(jìn)行逆應(yīng)用，再計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
10．已知，，n為正整數(shù)，求的值．
【答案】
【分析】本題考查冪的運(yùn)算，代入求值，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．利用同底數(shù)冪的乘法和積的乘方公式的逆應(yīng)用將所求代數(shù)式變形，然后將已知條件代入求值即可．
【詳解】解：原式．
，，
∴原式，
，
．
11．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，求的值．
【答案】
【分析】本題主要考查了代數(shù)式求值，同底數(shù)冪相除的應(yīng)用，
先根據(jù)同底數(shù)冪相除法則可得，再將待求式整理為，然后代入求值即可.
【詳解】解：
，
，
∴原式
．
12．規(guī)定兩個(gè)正數(shù)，之間的一種運(yùn)算，記作：，如果，那么，例如：因?yàn)椋裕?br/>(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的理由：設(shè)，則，所以．
所以，即，所以．
請你嘗試運(yùn)用這種方法說明：．
【答案】(1)；；；
(2)見解析．
【分析】本題考查冪的運(yùn)算性質(zhì)，理解題意并列出正確的算式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算即可求得答案；
（2）設(shè)，，，然后利用同底數(shù)冪除法法則進(jìn)行說明即可．
【詳解】（1）解：，，，
，，，
故答案為：；；；
（2）證明：設(shè)，，，
那么，，，
則，
即，
那么，
即．
C
1．表示由四個(gè)互不相等的正整數(shù)組成的數(shù)組，按以下規(guī)則生成新數(shù)組：第一個(gè)新數(shù)組為（相鄰兩項(xiàng)相乘，最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)相乘），第二個(gè)新數(shù)組由第一個(gè)新數(shù)組按同樣規(guī)則生成，以此類推．記，，…，第個(gè)新數(shù)組的四數(shù)之積為（為正整數(shù)）．現(xiàn)對于任意正整數(shù)，，下列說法：
①；
②當(dāng)，，，時(shí)，在的所有因數(shù)中，能被整除但不能被整除的共有個(gè)；
③若，是大于的整數(shù)，則滿足條件的的最小值為．
正確的有（ ）個(gè)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方等．分別求出，，，以此類推即可判斷①，求出，列出能被整除但不能被整除的因數(shù)，即可判斷②，根據(jù)求出，結(jié)合題意即可求出滿足條件的的最小值，判斷③，即可得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此類推，，故①說法錯(cuò)誤；
∵，，，，
∴，
∴，
故能被整除但不能被整除的因數(shù)有：，，，共有個(gè)，故②說法錯(cuò)誤；
∵，，
∴，
即，
∵是大于的整數(shù)，
∴，
∵，，
∴滿足條件的的最小值為，③說法正確．
故選：B．
2．定義：如果（，），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作．例如：因?yàn)椋裕灰驗(yàn)椋裕畡t下列說法中：①；②若，則；③；④（，）．正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題以新定義題型為背景，主要考查了數(shù)的乘方的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是理解定義．
根據(jù)定義理解，然后靈活應(yīng)用定義變化，一一判斷給出的說法是否正確即可．
【詳解】解：①∵，
∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；
②∵，
∴，
解得，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
③由得，設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；
④令，則，
∵，
∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；
∴正確的選項(xiàng)有：①③④，
故選：C．
3．“楊輝三角”（如圖），是中國古代數(shù)學(xué)無比睿智的成就之一．用“楊輝三角”可以解釋（n為非負(fù)整數(shù)）計(jì)算結(jié)果的各項(xiàng)系數(shù)規(guī)律，如的系數(shù)1，2，1恰好對應(yīng)“楊輝三角”中第3行的3個(gè)數(shù)，的系數(shù)1，3，3，1恰好對應(yīng)“楊輝三角”中第4項(xiàng)的4個(gè)數(shù)……，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過仔細(xì)觀察，還發(fā)現(xiàn)（n為非負(fù)整數(shù)）計(jì)算結(jié)果的各項(xiàng)次數(shù)規(guī)律以及其他規(guī)律下列結(jié)論：
①的計(jì)算結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)為；
②的計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為；
③當(dāng)時(shí)，的計(jì)算結(jié)果為；
④當(dāng)，除以2024，余數(shù)為2023．
上述結(jié)論正確的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的規(guī)律型問題，冪的乘方．根據(jù)“楊輝三角”得出展開式中各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，逐項(xiàng)判斷即可求解．
【詳解】解：由題意知，
的計(jì)算結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)為“楊輝三角”第2026行第2個(gè)數(shù)與的積，即，
故結(jié)論①正確；
的計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)的之和為，因此的計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為，
故結(jié)論②正確；
當(dāng)時(shí)，，
故結(jié)論③正確；
當(dāng)，，展開式中最后一項(xiàng)為，其余各項(xiàng)的因數(shù)均包括2024，因此除以2024，余數(shù)為，即2023．
故結(jié)論④正確；
故選D．
4．若，則（且，，是正整數(shù)）．
（1）如果，那么 ；
（2）如果，，那么 ．
【答案】 1
【分析】（1）根據(jù)底數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)相等，只需指數(shù)也相等，列出關(guān)于待求字母的方程求解；
（2）運(yùn)用逆用同底數(shù)冪相除，逆用冪的乘方，整體代入求值．
【詳解】（1）解：∵，
∴，解得：，
故答案為：．
（2）當(dāng)，時(shí)，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方的逆用，一元一次方程的其他應(yīng)用，同底數(shù)冪相除的逆用，冪的乘方的逆用，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)同底數(shù)冪相除的逆用，冪的乘方的逆用的運(yùn)用求解．
5．對多項(xiàng)式A，B，定義新運(yùn)算“”：；對正整數(shù)k和多項(xiàng)式A，定義新運(yùn)算“”：（按從左到右的順序依次做“”運(yùn)算）．已知正整數(shù)m，n為常數(shù)，記，，若不含項(xiàng)，則 ．
【答案】15
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，整式加減中不含某一項(xiàng)問題，先根據(jù)，令，求出相應(yīng)的結(jié)果，進(jìn)而推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)的結(jié)果，利用新定義，求出，再根據(jù)新定義求出，根據(jù)不含項(xiàng)，得到項(xiàng)的系數(shù)為0，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴
，
∵不含項(xiàng)，
∴，
∴，
設(shè)，則：，
∴，
∵均為的整數(shù)冪，為偶數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：15．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題11.1 冪的運(yùn)算
基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)
知識(shí)點(diǎn)01 同底數(shù)冪的乘法
同底數(shù)冪的乘法法則 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。用字母表示為 （ m, n為正整數(shù)）。
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）同底數(shù)冪的乘法法則對于三個(gè)及三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘同樣適用，即： 為正整數(shù)）。
（2）同底數(shù)冪的乘法法則既可正用也可逆用，即： 為正整數(shù))．
注意：
1.運(yùn)用此法則有兩人關(guān)鍵條件:一是底數(shù)相同二是指數(shù)相加，兩者缺一不可
2.指數(shù)相加的和作為冪的指數(shù)，!即運(yùn)算結(jié)果仍然是冪的形式
3.單個(gè)字母或數(shù)字可以看成指數(shù)為1的冪，運(yùn)算時(shí)易漏掉
知識(shí)點(diǎn)02 冪的乘方
1．冪的乘方法則 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．用字母表示為 都是正整數(shù)）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）冪的乘方法則的推廣： 都是正整數(shù)）；
（2）冪的乘方法則可以逆用，逆用時(shí) 都是正整數(shù)）．
注意：
1.“底數(shù)不變”是指冪的底數(shù)不變，“指數(shù)相乘是指冪的指數(shù)m與乘方的指數(shù)n 相乘
2.底數(shù)可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式.
知識(shí)點(diǎn)03 積的乘方
1．積的乘方法則 積的乘方，把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
用字母表示為 （ 為正整數(shù)）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）積的乘方法則的推廣：（ 為正整數(shù)）；
（2）積的乘方法則可以逆用，逆用時(shí) （ 為正整數(shù)）
注意：
1．在進(jìn)行積的乘方運(yùn)算時(shí)，要把底數(shù)中的每一個(gè)因式分別乘方，不要漏掉任何一項(xiàng)．
2．積的乘方的底數(shù)為乘積的形式，若底數(shù)為和的形式則不能用，即 ．
方法總結(jié)：
當(dāng)指數(shù)相同的兩個(gè)或幾個(gè)冪相乘時(shí)，如果底數(shù)的積容易求出，利用 （ 為正整數(shù)）可先把底數(shù)相乘再進(jìn)行乘方運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡便。
知識(shí)點(diǎn)04 同底數(shù)冪的除法
1．同底數(shù)冪的除法法則 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。用字母表示為 都是正整數(shù)，并且 ）．
2．法則的拓展運(yùn)用
（1）法則的推廣：適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相除，即 都是正整數(shù)，并且 ）；
（2）同底數(shù)冪的除法法則也可以逆用，逆用時(shí) 都是正整數(shù)，并且 ）．
注意：
1.運(yùn)用此法則要注意兩點(diǎn):
一是底數(shù)相同，二是指數(shù)相減
2.底數(shù) 可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但底數(shù) 不能為0.
典型案例探究
知識(shí)點(diǎn)01 同底數(shù)冪的乘法
例1.（24-25八年級(jí)上·重慶秀山·期末）下面計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24八年級(jí)上·湖南衡陽·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）若，則 ；當(dāng)時(shí)，則 ．
【變式3】（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）可以表示為（　　）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)02 冪的乘方
例1.（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期中）計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如果，那么的值為 ．
知識(shí)點(diǎn)03 積的乘方
例1.（24-25八年級(jí)上·廣東江門·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·廣東江門·期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）計(jì)算，其中第①步運(yùn)算的依據(jù)是(　　)
A．冪的乘方法則 B．乘法分配律
C．積的乘方法則 D．同底數(shù)冪的乘法法則
【變式3】（24-25八年級(jí)上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）計(jì)算
(1)
(2)
(3)
知識(shí)點(diǎn)04 同底數(shù)冪的除法
例1.（24-25八年級(jí)上·福建福州·期末）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·廣東中山·期末）若“※”代表一種運(yùn)算，的結(jié)果是，則“※”代表的運(yùn)算符號(hào)可以為（ ）
A．× B． C．+ D．-
【變式2】（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）計(jì)算： ．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
課后作業(yè)
A
一、單選題
1．計(jì)算的值是（ ）
A． B． C． D．
2．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式計(jì)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若，則m的值為（ ）
A． B．0 C．5 D．6
二、填空題
5．已知，則式子的值是 ．
6．已知，，則 ．（填“”“”或“”）
7．若，，則 ．
8．一個(gè)正方體的棱長為，用科學(xué)記數(shù)法表示它的體積是 ．
三、解答題
9．用簡便方法計(jì)算：
(1)；
(2)．
10．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
11．已知，求證：．
12．我會(huì)做根據(jù)冪的意義填空
（1）
（2）___________
（3）___________
我概括
（　　）
這就是說，同底數(shù)冪相乘，___________不變，___________．
我會(huì)用直接寫出計(jì)算結(jié)果：___________
B
一、單選題
1．計(jì)算是（ ）
A．8 B． C． D．
2．計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
3．比較整數(shù)與的大小，結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
4．定義運(yùn)算為：若（其中：，，以下同），則．如，則．設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
5．計(jì)算： ．
6．規(guī)定：，若，則x的值為 ．
7．已知n是正整數(shù)，且，則 ．
8．若，則a，b，c，d的大小關(guān)系為 ．（用“”連接）
三、解答題
9．計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)．
10．已知，，n為正整數(shù)，求的值．
11．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，求的值．
12．規(guī)定兩個(gè)正數(shù)，之間的一種運(yùn)算，記作：，如果，那么，例如：因?yàn)椋裕?br/>(1)______， ______， ______；
(2)小明在研究這種運(yùn)算時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：，小明給出了如下的理由：設(shè)，則，所以．
所以，即，所以．
請你嘗試運(yùn)用這種方法說明：．
C
1．表示由四個(gè)互不相等的正整數(shù)組成的數(shù)組，按以下規(guī)則生成新數(shù)組：第一個(gè)新數(shù)組為（相鄰兩項(xiàng)相乘，最后一項(xiàng)與第一項(xiàng)相乘），第二個(gè)新數(shù)組由第一個(gè)新數(shù)組按同樣規(guī)則生成，以此類推．記，，…，第個(gè)新數(shù)組的四數(shù)之積為（為正整數(shù)）．現(xiàn)對于任意正整數(shù)，，下列說法：
①；
②當(dāng)，，，時(shí)，在的所有因數(shù)中，能被整除但不能被整除的共有個(gè)；
③若，是大于的整數(shù)，則滿足條件的的最小值為．
正確的有（ ）個(gè)
A． B． C． D．
2．定義：如果（，），那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作．例如：因?yàn)椋裕灰驗(yàn)椋裕畡t下列說法中：①；②若，則；③；④（，）．正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“楊輝三角”（如圖），是中國古代數(shù)學(xué)無比睿智的成就之一．用“楊輝三角”可以解釋（n為非負(fù)整數(shù)）計(jì)算結(jié)果的各項(xiàng)系數(shù)規(guī)律，如的系數(shù)1，2，1恰好對應(yīng)“楊輝三角”中第3行的3個(gè)數(shù)，的系數(shù)1，3，3，1恰好對應(yīng)“楊輝三角”中第4項(xiàng)的4個(gè)數(shù)……，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過仔細(xì)觀察，還發(fā)現(xiàn)（n為非負(fù)整數(shù)）計(jì)算結(jié)果的各項(xiàng)次數(shù)規(guī)律以及其他規(guī)律下列結(jié)論：
①的計(jì)算結(jié)果中項(xiàng)的系數(shù)為；
②的計(jì)算結(jié)果中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為；
③當(dāng)時(shí)，的計(jì)算結(jié)果為；
④當(dāng)，除以2024，余數(shù)為2023．
上述結(jié)論正確的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．若，則（且，，是正整數(shù)）．
（1）如果，那么 ；
（2）如果，，那么 ．
5．對多項(xiàng)式A，B，定義新運(yùn)算“”：；對正整數(shù)k和多項(xiàng)式A，定義新運(yùn)算“”：（按從左到右的順序依次做“”運(yùn)算）．已知正整數(shù)m，n為常數(shù)，記，，若不含項(xiàng)，則 ．

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