資源簡介

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4.3角的平分線青島版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如圖，四邊形，平分，，，，則面積的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
2.浙江溫州校級質檢，中如圖，在四邊形中，，，連接，，若是邊上一動點，則長的最小值為 ( )
A. B. C. D.
3.如圖，點在內，且到三邊的距離相等．若，則( )
A. B. C. D.
4.如圖，平分，于點，點在上，若，，則的面積為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在中，，，于，是的平分線，且交于，如果，則的長為( )
A. B. C. D.
6.在中，用直尺和圓規作圖的痕跡如圖所示．若，，則( )
A. B. C. D.
7.如圖，是中的平分線，于點，，，，則的長是( )
A. B. C. D.
8.如圖，在中，，點是、平分線的交點，且，，則點到邊的距離為( )
A. B. C. D.
9.如圖，在中，，，平分交于點，則等于( )
A. B. C. D.
10.如圖，在中，，平分，于，有下列結論：；；；平分；：：，其中正確的有( )
A. 個
B. 個
C. 個
D. 個
11.如圖，直線，垂足為，點是射線上一點，，以為邊在右側作，且滿足，若點是射線上的一個動點不與點重合，連接，作的兩個外角平分線交于點，在點在運動過程中，當線段取最小值時，的度數為( )
A.
B.
C.
D.
12.甲、乙、丙、丁四位同學解決以下問題，正確的作圖是( )
問題：如圖所示，某旅游景區內有一塊三角形綠地，現要在道路邊上建一個休息點，使它到和兩邊的距離相等，在圖中確定休息點的位置
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點若，，則的面積是__________．
14.如圖，的外角和的平分線相交于點，連接若，則 ．
15.如圖，，和分別平分和，過點，且與垂直若，則點到的距離是 ．
16.如圖，在四邊形中，，，連接、，若平分，，，則 ______．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，直線，，表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，利用尺規確定可供選擇的位置。
18.本小題分
如圖是的正方形網格，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖保留作圖痕跡．
在圖中作的角平分線；
在圖中過點作一條直線，使點，到直線的距離相等．
19.本小題分
如圖，在的兩邊、上分別取點、，連接若平分，平分．
求證：平分．
若，且與的面積分別是和，求線段與的長度之和．
20.本小題分
如圖，中，點在邊上，，的平分線交于點，過點作，垂足為，且，連接．
求證：平分．
求證：平分．
若，，，，求的面積．
21.本小題分
如圖，在中，．
尺規作圖：求作的平分線，與交于點不寫作法，保留作圖痕跡；
若，求各角的度數．
22.本小題分
已知：線段，，
求作：，使，，高．
求作：，使，，角平分線．
要求：作一個即可，用直尺和圓規作圖；
保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．
23.本小題分
如圖，在中，．
尺規作圖：作的平分線交于點，再作，使得圓心在邊上，且過點、點請保留圖痕跡，標明相應的字母，不寫作法；
在的條件下，若，，求的半徑．
24.本小題分
如圖，在邊長為的小正方形組成的方格紙中，有一個以格點為頂點的．
的面積是______；
利用網格線畫，使它與關于直線對稱；
求作一格點，使點到、的距離相等，且點到點和點的距離相等，在圖中用沒有刻度的直尺作出點不寫作法，保留作圖痕跡；
在上找一點，使的周長最小．
如圖所示，已知，請用直尺不帶刻度和圓規，按下列要求作圖：在邊上確定一點，使得不要求寫作法，但要保留作圖痕跡
25.本小題分
如圖，在中，，平分，于點，點在上，求證：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：延長與交于點，如圖：
于，平分，
，，
，
為中點，，
，
，
，
當時，面積最大，
此時面積最大，
，
故選：．
延長，構造等腰三角形，與垂直時三角形的面積最大．
本題考查角分線定義、等腰三角形的判定、三角形的內角和定理，解題關鍵是通過作輔助線找出與面積相關的面積最大的條件．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了角平分線的性質，垂線段最短，解答本題的關鍵是掌握角平分線的性質定理；首先證明，然后根據“垂線段最短”得出當時，的長度最小，再根據角平分線的性質進行解答，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
當時，的長度最小，
，
，
長的最小值與長相等，
，
長的最小值是．
故選：．
3.【答案】
【解析】解：到三角形三邊距離相等，
是的內心，即三條角平分線交點，
，，都是角平分線，
，，
，
，
，
故選：．
根據到三角形三邊距離相等，即可得是內心，再利用三角形內角和定理即可求出的度數．
此題主要考查了角平分線性質，三角形內角和定理，三角形的外角性質等知識點的理解和掌握，解題時注意：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查角平分線的性質，關鍵是由角平分線的性質得到．
過作于，由角平分線的性質推出，而，即可求出的面積．
【解答】
解：過作于，
平分，于點，
，
，
的面積．
故選C．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了含角的直角三角形的性質、角平分線的性質以及等邊三角形的判定與性質．利用三角形外角性質得到是解題的關鍵．
首先證明是等邊三角形，則；然后在直角中，利用含角的直角三角形的性質求的長度，從而得到的長度；最后利用計算即可．
【解答】
解：在中，，，
．
又是的平分線，
，
即，，
．
又，
，即，
則，
，即
為等邊三角形，則，
在直角中，，則，
，
．
故選：．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質有關知識，過點作于，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等則，再根據列出方程求解即可．
【解答】
解：過作，垂足為，如圖，
是中的角平分線，，
，
由題意可知：，
，
解得，
故選A．
8.【答案】
【解析】【分析】
此題主要考查了角平分線的性質以及三角形面積求法，正確表示出三角形面積是解題關鍵．
解答此題可過作，連接，然后根據角平分線的性質和三角形的面積可得結論．
【解答】
解：點為與的平分線的交點，
點到三邊的距離相等，
過作，連接，
則，
又，，為直角三角形，
，
，
解得：．
故選A．
9.【答案】
【解析】利用等腰三角形的性質求出，再利用角平分線的定義求出，可得結論．
解：，
，
平分，
，
，
故選：．
本題考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，平分，
，故正確；
由得，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正確；
，
，
，
，
，
，故正確；
由得：≌，
，
平分，故正確；
由，
，
，
：：，故正確，
故選：．
由角平分線的性質可以判斷；證明≌可以判斷；由同角的余角相等可以判斷；由≌，根據全等三角形的性質可以判斷；利用三角形面積和角平分線的性質可以判斷．
本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．
11.【答案】
【解析】解：如圖，作于，于，于，連接，
平分，，，
，
同理可得：，
，
平分，即點在的平分線上，
，
，
，
如圖，作于，則，
即的最小值為，此時點與重合，
，
，
當線段取最小值時，的度數為．
故選：．
作于，于，于，連接，由角平分線性質定理得，再由角平分線的判定知，點在的平分線上，則可求得；當于，則，即的最小值為，此時點與重合，從而求得此時的度數．
本題考查了角平分線的判定與性質、垂線段最短等知識，熟練掌握角平分線的判定與性質，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本題考查的是角平分線的性質、作角平分線，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．根據角平分線的性質得到，根據三角形的面積公式計算即可．
【解答】
解：作于，

由基本尺規作圖可知，是的角平分線，
，，
，
的面積．
故答案為：．
14.【答案】
度
【解析】本題考查角平分線的性質，關鍵是掌握角平分線的性質定理以及判定定理．
過作于，于，于，由角平分線的性質定理推出，，得到，由角平分線性質定理的逆定理推出平分，求出．
【詳解】解：過作于，于，于，
平分，平分，
，，
，
于，于，
平分，
．
故答案為：．
15.【答案】
【解析】解：過點作于點，
由題意可得：，
，
，
，
，
，，，
，，
，
又，
，
，
故答案為：．
過點作于點，由可得，由兩直線平行同旁內角互補可得，于是可得，則，由角平分線的性質定理可得，，進而可得，結合，可得，于是得解．
本題主要考查了兩直線平行同旁內角互補，角平分線的性質定理等知識點，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
16.【答案】
【解析】解：將順時針旋轉到，連接，如圖，
則是等腰直角三角形，且，，
，且平分，
，
，
，，，均在同一條直線上，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
又，
，
設，則，
在中，，
，
解得，，
，
故答案為：．
將順時針旋轉到，連接，利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質進行解答即可．
此題考查了勾股定理，旋轉變換，全等三角形的判定和性質等知識，關鍵是根據旋轉的性質和等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定和性質解答．
17.【答案】解：如圖所示，點，，，是可供選擇的位置。

【解析】見答案
18.【答案】解：如圖中，射線即為所求；
如圖中，直線或即為所求．

【解析】本題主要考查了格點作圖作一個角的平分線、過一點作已知直線的平行線，平行線之間的距離，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質．
連接，利用格點連線找出的中點，作射線即為所求；
根據平行線之間的距離處處相等，利用網格特點過點作直線即可；或根據全等三角形的判定與性質，利用網格特點找到的中點與點可確定直線亦滿足題意．
19.【答案】【小題】
證明：如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，過點作，垂足為
．平分，，，
．
平分，，，
，
，
平分．
【小題】
解：的面積是，，
，
，
，
．
的面積是，
，
，
，
，
，
即線段與的長度之和為．

【解析】 本題主要考查角平分線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
根據題意，過點作，垂足為，過點作，垂足為，過點作，垂足為，再根據角平分線的性質證明即可．
本題主要考查角平分線的性質以及三角形的面積，掌握三角形面積的不同求法是解題的關鍵．
根據題意先求出 ，再推出，即，進而可得出答案．
20.【答案】【小題】
證明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
【小題】
證明：如圖，過點作于點，于點，

由可得：是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分；
【小題】
解：設，
由可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．

【解析】
利用鄰補角互補可得，由直角三角形的兩個銳角互余可得，由角的和差關系可得，進而可得，于是結論得證；

過點作于點，于點，由可得是的平分線，同時是的平分線，由角平分線的性質定理可得，，進而可得，然后由角平分線的判定定理即可得出結論；

設，由可得，由已知條件可得關于的一元一次方程，解方程即可求出的長，然后利用三角形的面積公式可得，據此即可求出的面積．
21.【答案】的平分線，如圖即為所求；
，
【解析】的平分線，如圖即為所求；
在中，，設，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
．
以為圓心畫弧分別交于、，分別以此兩個交點為圓心，大于此兩點連線段的為半徑畫弧交于一點，以為端點過此交點作射線交于，即可求解；
設，由等腰三角形的定義及三角形內角和定理得；，，即可求解．
本題考查了作圖復雜作圖，角平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定，掌握角平分線的作法，能熟練利用三角形內角和定理進行求角度是解題的關鍵．
22.【答案】見解析；
見解析．
【解析】解：如圖所示：即為所求；
如圖所示：即為所求．
作線段；作的垂直平分線得中點；以為圓心，為半徑作圓；作與距離為的平行線，交圓于點；連接、，即為所求；
作線段；作的垂直平分線得中點；以為圓心，為半徑作圓；以為圓心，為半徑作圓，當點，，三點共線時，角平分線，連接、，即為所求．
本題考查了尺規作圖，掌握尺規作圖是解題的關鍵．
23.【答案】如圖，

【解析】如圖所示，即為所求；

如圖，連接，
，平分，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
的半徑為．
作的平分線交于點，再作線段的垂直平分線交于，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則點和即為所求；
連接，由角平分線的定義得到，由三角形內角和定理可得，則，由等邊對等角得到，則，則，據此可得，即的半徑為．
本題主要考查了圓的基本性質，角平分線和線段垂直平分線的尺規作圖，含度角的直角三角形的性質，熟知相關知識是解題的關鍵．
24.【答案】；見解析；見解析；見解析； 見解析
【解析】由勾股定理得：，，，
，
，
的面積是，
故答案為：；
如圖，即為所作，
；
如圖：點即為所求，
；
如圖，點即為所作，
；
如圖所示，點即為所求．
．
由勾股定理和勾股定理逆定理得出為直角三角形，，再由三角形面積公式計算即可得解；根據軸對稱的性質作圖即可得解；畫的平分線和的垂直平分線，交點即為點；連接交直線于，點即為所求；
作的垂直平分線交于點，連接，則．
本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作圖軸對稱變換、尺規作圖基本作圖等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
25.【答案】證明：平分，，，
，
在和中，
≌，
．
【解析】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
因為，，所以，又因為平分，所以，已知，則可根據判定≌，根據全等三角形的性質即可得到結論．
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