資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.4等腰三角形青島版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.等腰三角形的兩邊長分別為，，則它的周長是( )
A. B. C. 或 D. 或
2.如圖，在中，，為的角平分線，，則( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形兩邊長為和，則周長為( )
A. B. C. 或 D. 無法確定
4.已知等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為( )
A. B. C. 或 D.
5.如圖，中，，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，作直線，交于點，連接，則的度數是( )
A. B. C. D.
6.如圖，在中，，，，于點，是的中點，則的長為( )
A. B. C. D.
7.已知等腰三角形兩邊的長分別為和，則此等腰三角形的周長為( )
A. B. C. 或 D. 或
8.如圖，矩形的兩條對角線的一個夾角為，兩條對角線的長度之和為，則這個矩形的一條較短邊的長為( )
A. B. C. D.
9.如圖，已知等腰三角形，若以點為圓心，長為半徑畫弧，交腰于點，則下列結論一定正確的是( )
A. B.
C. D.
10.如圖，的斜邊在軸上，，，將繞原點順時針旋轉，則的對應點的坐標為( )
A.
B.
C.
D.
11.如圖，是的角平分線，，垂足為若，，則的度數為( )
A. B. C. D.
12.如圖，在 中，的平分線交于點，的平分線交于點，若，，則的長是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖，線段、的垂直平分線、相交于點，若，則 ．
14.如圖，直線，點在直線上，點在直線上，，，，則 ．
15.如圖，線段、的垂直平分線、相交于點，若，則的度數為 ．
16.等腰三角形一邊長為，一腰上中線把其周長分為兩部分之差為，則等腰三角形周長為 ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
我們知道定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
思考：上述定理的逆命題成立嗎？若成立，請寫出其逆命題，并證明；若不成立，試說明理由．
逆命題是： ；
已知： ；
求證： ．
證明：
18.本小題分
如圖，已知，求證：．
19.本小題分
如圖，在中，，為邊上一點，，．
求的度數；
求證：．
20.本小題分
如圖，在中，．
已知線段的垂直平分線與邊交于點，連接，求證：．
以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，與邊交于點，連接若，求的度數．
21.本小題分
如圖，在中，，于點．
若，求的度數；
若點在邊上，交的延長線于點求證：．
22.本小題分
如圖，在中，．
已知線段的垂直平分線與邊交于點，連接，求證：．
以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，與邊交于點，連接若，求的度數．
23.本小題分
如圖，在中，以點為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點；再分別以點，為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點；連接并延長，交于點，連接，則所得四邊形是菱形．
根據以上尺規作圖的過程，求證：四邊形是菱形；
若菱形的周長為，，求的度數．
24.本小題分
如圖，在中，，，點在上，，垂足為點，求的長．
25.本小題分
如圖，在等腰三角形中，，，點在線段上運動不與點，重合，將與分別沿直線，翻折得到與．
求證：；
求的度數；
當點是的中點時，判斷是何種三角形，并說明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
【解答】解：三角形中任意兩邊之和大于第三邊
當另一邊為時不符，
另一邊必須為，
周長為．
故選：．
4.【答案】
【解析】解：當為腰時，三邊為，，，而，由三角形三邊關系定理可知，不能構成三角形，
當為腰時，三邊為，，，符合三角形三邊關系定理，周長為：，
故選
根據和可分別作等腰三角形的腰，結合三邊關系定理，分別討論求解．
本題考查了等腰三角形的性質，三角形三邊關系定理．關鍵是根據，，分別作為腰，由三邊關系定理，分類討論．
5.【答案】
【解析】根據三角形內角和定理求得，由中垂線性質知，即，從而得出答案．
解：在中，
，，
，
由作圖可知為的中垂線，
，
，
，
故選：．
本題主要考查作圖基本作圖，線段垂直平分線的概念及其性質，熟練掌握中垂線的作圖和性質是解題的關鍵．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
是的中點，，
，
為等邊三角形，
，
，
故選：．
利用三角形的內角和定理可得，由直角三角形斜邊的中線性質定理可得，利用等邊三角形的性質可得結果．
本題主要考查了直角三角形的性質，熟練掌握定理是解答此題的關鍵．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵．等腰三角形兩邊的長為和，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
【解答】
解：當腰是，底邊是時，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去
當底邊是，腰長是時，能構成三角形，則其周長．
故選：．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了等腰三角形的性質，當等腰三角形的底角對應相等時其頂角也相等，難度不大．
首先利用等腰三角形的性質證得，然后根據題意得，即是等腰三角形，根據等腰三角形的性質證得，易證得，即可求解．
【解答】
解：，
，
以點為圓心，長為半徑畫弧，交腰于點，
，
，
，
．
故選：．
10.【答案】
【解析】解：如圖，過點作軸于．
，，，
，
，
，
，，
，
故選：．
如圖，過點作軸于解直角三角形求出，即可解決問題．
本題考查坐標與圖形變化旋轉，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活應用所學知識解決問題．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了三角形的內角和，全等三角形的判定和性質，三角形的外角的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據角平分線的定義和垂直的定義得到，，推出，根據等腰三角形的性質得到，求得，得到，根據三角形的外角的性質即可得到結論．
【解答】
解：是的角平分線，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
故選C．
12.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了平行四邊形的性質，在平行四邊形中，當出現角平分線時，一般可利用等腰三角形的性質解題．根據平行四邊形的性質證明，，進而可得和的長，然后可得答案．
【解答】
解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
又平分，
，
，
，
同理可證：，
，
，
．
故選：．
13.【答案】
【解析】解法一：如圖，連結，并延長到，
線段、的垂直平分線、相交于點，
，，
，
，
，
，
，，
，，
．
解法二：如圖，連結，
線段、的垂直平分線、相交于點，
，
，，
，，
，即，
，
14.【答案】
【解析】解：如圖，延長交于點，
，，
，，
，
，
即，
．
15.【答案】
【解析】連接，并延長到，根據線段的垂直平分線的性質得和，根據四邊形的內角和為得，根據外角的性質得，，相加可得結論．
【解答】解：連接，并延長到，
線段、的垂直平分線、相交于點，
，，
，
，
，
，
，，
，，
；
故答案為：．
16.【答案】或或
【解析】分底為或腰為兩種情況討論，利用等腰三角形的性質和三角形三邊關系可求解．
【解答】解：當底為時，
若底比較長時，腰為，三邊為，，不能構成三角形，這種情況不可以．
若腰比較長時，腰為，三邊為，，能構成三角形．
等腰三角形周長
若腰為時，
若底比較長時，底為，三邊為，，能構成三角形，
若腰比較長時；底為，三邊為，，能構成三角形．
等腰三角形周長或
故答案為：或或
17.【答案】【小題】
如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
【小題】
已知：如圖，在中，是邊的中線，且，
求證：，
證明：是邊的中線，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．

【解析】
把命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的條件和結論交換，即可解答；
解：逆命題是：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；
故答案為：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；

根據命題的條件和結論寫出已知，求證，然后利用等腰三角形的判定與性質，以及三角形內角和定理進行計算即可解答．
18.【答案】證明：作于，
已知，
三線合一，
又已知，
三線合一，
，即等式的性質．

【解析】此題可以用等腰三角形的三線合一的性質解決．
19.【答案】【小題】
解：，
，
，
，
，
；
【小題】
證明：，，
，
，
，
，
．

【解析】
由，根據等腰三角形的兩底角相等得到，再根據三角形的內角和定理可計算出，而，則；

根據三角形外角性質得到，而由得到，再根據等腰三角形的判定可得，這樣即可得到結論．
20.【答案】【小題】
解：證明：線段的垂直平分線與邊交于點，
，
，
，
；
【小題】
根據題意可知，
，
，，
，
，
，
．

【解析】
根據線段垂直平分線的性質可知，根據等腰三角形的性質可得，根據三角形的外角性質即可證得；

根據題意可知，根據等腰三角形的性質可得，再根據三角形的內角和公式即可解答．
21.【答案】解：，于點，
，，
又，
；
，于點，
，
，
，
，
．
【解析】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，正確識別圖形是解題的關鍵．
根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的內角和即可得到；
根據等腰三角形的性質得到，根據平行線的性質得到，等量代換得到，于是得到結論．
22.【答案】解：線段的垂直平分線與邊交于點，
，
，
，
；
根據題意可知，
，
，，
，
，
，
．
【解析】根據線段垂直平分線的性質可知，根據等腰三角形的性質可得，根據三角形的外角性質即可證得；
根據題意可知，根據等腰三角形的性質可得，再根據三角形的內角和公式即可解答．
本題主要考查了等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質以及三角形的外角性質，難度適中．
23.【答案】【小題】
證明：根據尺規作圖可得，是的平分線，在和中， ，．四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是菱形．
【小題】
解：如答圖，連接，交于點．
菱形的周長為，，，，，在中，，，，．四邊形是平行四邊形，．

【解析】 略
略
24.【答案】解：如圖，過點作，垂足為點，
，，，
在中，利用勾股定理，可知．
設，則，．
，在和中分別利用勾股定理，
得，
代入，得解得，即．

【解析】略
25.【答案】【小題】
將與分別沿直線，翻折得到與，．
【小題】
將與分別沿直線，翻折得到與，，，，．
【小題】
是等邊三角形．理由如下：將與分別沿直線，翻折得到與，，，，是等邊三角形，，同理是等邊三角形，，，點是的中點，，，是等邊三角形．

【解析】 見答案
見答案
見答案
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑