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5.1勾股定理及其逆定理青島版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如圖，在的正方形網格中，從在格點上的點，，，中任取三點，所構成的三角形恰好是直角三角形的個數為( )
A. B. C. D.
2.如圖，在的方格中，，為兩個格點，再選一個格點，使為直角，則滿足條件的點個數為( )
A. B. C. D.
3.把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則球的半徑長是( )
A. B. C. D.
4.如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作，交于點，連接，若，，則的長為．
A. B. C. D.
5.如圖，在的網格中，圓經過格點、、若、是圓上任意兩點，且，則的度數為( )
A.
B.
C.
D.
6.如圖，在長方形中，，將此長方形折疊，使點與點重合，折痕為，則的面積為( )
A. B. C. D.
7.如圖，在矩形中，，點是邊上一點，沿翻折，點恰好落在邊上點處，則的長是( )
A. B. C. D.
8.如圖，正方形和正方形中，點在上，，，是的中點，那么的長是
A. B. C. D.
9.如圖鐵路上，兩點相距千米，，為兩村莊，，，垂足分別為和，千米，千米現在要在鐵路旁修建一個煤棧，使得，兩村到煤棧的距離相等，那么煤棧應距點( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 無法確定
10.如圖，點是正方形的邊上一點，把繞點順時針旋轉到的位置過點作于點，連接，若，，則的長為( )
A.
B.
C.
D.
11.如圖，的斜邊在軸上，，，將繞原點順時針旋轉，則的對應點的坐標為( )
A. B. C. D.
12.如圖四邊形是菱形，對角線，，于點，則的長度是( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖是“俄羅斯方塊”游戲中的一個圖案，由四個完全相同的小正方形拼成，則的度數為_____．

14.如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為，點，，，都在格點網格線的交點上，且點在的邊上，則的度數是 ．
15.如圖所示的網格是正方形網格，和的頂點都是網格線交點，那么 ．
16.如圖，是由個大小完全相同的小正方形拼成的網格，，，，，均為格點，連接，，則 ．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，在筆直的公路上有相距的，兩點，，為兩個村莊，，，垂足分別為點，。已知，。現要在公路的段上建一個便民服務站，使得，兩村到便民服務站的距離相等。便民服務站應建在離點多遠的地方？
18.本小題分
圖是某品牌嬰兒車，圖為其簡化結構示意圖．根據安全標準需滿足，現測得，，，其中與之間由一個固定為的零件連接即，通過計算說明該車是否符合安全標準．
19.本小題分
如圖，在的方格中，的頂點均在格點上．試按要求畫出線段均為格點，各畫出一條即可．
20.本小題分
如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．
21.本小題分
如圖，在的正方形網格中，每個小格的頂點叫做格點，每個小正方形的邊長為．
請以，，作為三角形的三邊長，在圖中畫出此三角形，使三角形的頂點均在格點上．
判斷的形狀，并說明理由．
22.本小題分
如圖是一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積。
23.本小題分
在中，是上一點，，，，，求的面積．
24.本小題分
已知，如圖，在四邊形中，，，，，．
求的度數；
求四邊形的面積．
25.本小題分
在海洋上有一近似于四邊形的島嶼，其平面如圖，小明據此畫出該島的一個數學模型如圖的四邊形，是四邊形島嶼上的一條小溪流，其中，千米，千米，千米．
小溪流的長為______千米．
求四邊形的面積．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟記勾股定理的逆定理的內容是解此題的關鍵，注意：如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．
如圖，連接、、、、、，先求出每邊的平方，得出，，，根據勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】
解：連接、、、、、，
設小正方形的邊長為，
由勾股定理得：，，，，，，
，，，
、、是直角三角形，共個直角三角形，
故選：．
2.【答案】
【解析】解：如圖，根據勾股定理知．
，，，
符合條件的點有個．
故選：．
如圖，點在以為對角線的矩形的頂點上．利用勾股定理可以找到點．
本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．注意，勾股定理應有的前提是在直角三角形中．
3.【答案】
【解析】解：過點作于點，延長交于點，連接，如圖所示：
則，
四邊形是矩形，
，
四邊形是矩形，
，
設，則，
，
在直角三角形中，，
即，
解得，
故選B．
過點作于點，延長交于點，連接，設，則，，然后在中利用勾股定理求得的長即可．
本題主考查垂徑定理及勾股定理的知識，涉及矩形的判定與性質，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了菱形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及勾股定理等知識，數練掌握菱形的性質和勾股定理是解題的關鍵．
由菱形的性質得，，，進而由直角三角形斜邊上的中線性質得，則，再由勾股定理得，然后由菱形面積求出的長即可．
【解答】
解：四邊形是菱形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故選：．
5.【答案】
【解析】解：如圖，連接、．
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形內接于圓，
，
．
故選：．
連接、，根據勾股定理的逆定理證明，由求出的度數，由圓周角定理求出的度數，根據圓的內接四邊形的性質求出的度數，再由三角形內角和定理求出的度數即可．
本題考查圓周角定理、勾股定理，掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關鍵．
6.【答案】
【解析】設，由折疊的性質得，．四邊形是長方形，在中，由勾股定理得，即，解得，，．
7.【答案】
【解析】【分析】
本題考查折疊的性質，矩形的性質，勾股定理等知識點，解題的關鍵是由折疊性質得出，再利用勾股定理求解根據折疊性質可得，再根據勾股定理可得，由矩形性質可得，設為，由折疊性質可得，再根據勾股定理求解即可．
【解答】
解：四邊形為矩形，，，
，，，
沿翻折，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
設，則
，
在中，，
即，
解得：，
的長為，
故選B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，正方形的性質，勾股定理，熟記各性質并作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．
連接、，根據正方形性質求出、，，再求出，然后利用勾股定理求出，
再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【解答】
解：如圖，連接、，
正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中點，
．
故選B．
9.【答案】
【解析】【分析】
此題主要考查了勾股定理的應用，根據題意，進而利用勾股定理得出是解題關鍵．
設，則，根據題意利用勾股定理得出，進而求出即可．
【解答】
解：設，則，
，，，兩村到煤棧的距離相等，
，
故，
解得：，
則煤棧應距點．
故選：．
10.【答案】
【解析】解：四邊形是正方形，
，，
，
由旋轉得到，
，，
，
點是的中點，
，，
，
，
點是的中點，
．
故選：．
由正方形的性質得到，，，由旋轉得到，，進而根據“三線合一”得到點是的中點，運用勾股定理在中，求得，進而根據直角三角形斜邊上中線的性質即可解答．
本題考查正方形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質，綜合運用相關知識是解題的關鍵．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了坐標與圖形的性質旋轉、特殊角的三角函數值以及勾股定理，根據旋轉變換的性質求出的長度，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．先求出的長度，根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小求出的長，過點作軸于，求出的度數為，然后解直角三角形求出、，寫出點的坐標即可．
【解答】
解：如圖，過點作軸于，
，，，
，
將繞原點順時針旋轉，是旋轉得到，
，，
，
，
，
．
故選C．
12.【答案】
【解析】【分析】
此題考查了菱形的性質：菱形的對角線互相平分且垂直；菱形的面積的求解方法：底乘以高或對角線積的一半．
根據菱形的面積等于對角線積的一半，可求得菱形的面積，又由菱形的對角線互相平分且垂直，可根據勾股定理得的長，根據菱形的面積的求解方法：底乘以高或對角線積的一半，即可得菱形的高．
【解答】解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
．
故選A．
13.【答案】
【解析】【分析】
此題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，求出、、的長，判斷出是等腰直角三角形是解答本題的關鍵，難度一般．設小正方形的邊長為，連接，利用勾股定理求出、、的長，由勾股定理的逆定理判斷出是等腰直角三角形，繼而得出的度數．
【解答】
解：如圖，設小正方形的邊長為，連接．
則，，，
，且，
是等腰直角三角形，
．
故答案為．
14.【答案】
【解析】本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理與勾股定理的逆定理的應用；先計算，，可得，，再進一步求解即可．
【詳解】解：點，，，都在格點網格線的交點上，且點在的邊上，
，，
，，
，，
；
故答案為：
15.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握網格型問題的計算方法是關鍵．
連接，構建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根據平角的定義可得結論．
【解答】
解：連接，
由勾股定理得：，，，
，，
，
，
觀察圖形可知，和都是等腰直角三角形，
，，
，
故答案為：．
16.【答案】
【解析】解：如圖，連接、，則，
，
設小正方形的邊長為，
由勾股定理得：，，，
，，
是等腰直角三角形，且，
，
即，
，
故答案為：．
連接、，則，得，設小正方形的邊長為，再由勾股定理得：，，，則，，然后證明是等腰直角三角形，且，得，即可解決問題．
本題考查了勾股定理、平行線的性質、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．
17.【答案】解：因為，兩村到便民服務站的距離相等，所以。因為于點，于點，所以，所以，，所以。
設，則。因為，，所以，解得，所以，所以便民服務站應建在離點處。

【解析】見答案
18.【答案】解：在中， 在中，該車符合安全標準．
【解析】略
19.【答案】解：如圖：
從圖中可得到邊的中點在格點上設為，過作的平行線即可在格點上找到，則平分；
圖，，，，借助勾股定理確定點，則；
圖，為左下右上斜穿過橫豎的格子的對角線，則與之垂直的即為左上右下的斜穿橫豎的格子的對角線，圖為選擇的左上右下的斜穿過橫豎的格子的對角線，注意要穿過的中點．
【解析】本題考查格點作圖；在格點中利用勾股定理的逆定理，三角形的性質作平行、垂直、中點是解題的關鍵．
圖，從圖中可得到邊的中點在格點上設為，過作的平行線即可在格點上找到；圖，，，，借助勾股定理確定點；圖，利用斜穿格子對角線尋找垂直．
20.【答案】解：連接，如圖所示：
，
為直角三角形，
又，，
根據勾股定理得：，
又，，
，，
，
為直角三角形，，
則．
【解析】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及三角形面積公式，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關鍵．
連接，在直角三角形中，由及的長，利用勾股定理求出的長，再由及的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，根據四邊形的面積直角三角形的面積直角三角形的面積，即可求出四邊形的面積．
21.【答案】如圖，即為所求；
結論：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形
【解析】如圖，即為所求；
結論：是直角三角形．
理由：，，，
，
，
是直角三角形．
利用勾股定理，勾股定理的逆定理作出三角形即可；
利用勾股定理的逆定理判斷即可．
本題考查作圖應用與設計作圖，三角形三邊關系，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．
22.【答案】解：如圖，連接，
，，，
，
，，，即，
為直角三角形，．
四邊形的面積
答：這塊地的面積為．

【解析】 本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵判斷出直角三角形從而可求出面積先根據勾股定理可求出的長，根據勾股定理的逆定理可求出，可求出的面積，減去的面積，可求出四邊形的面積．
23.【答案】解：在中，，是直角三角形，，，在中，，，，
【解析】略
24.【答案】解：連接，
在中，，，，由勾股定理得：，
，，
，
為直角三角形，
；
四邊形的面積
．
【解析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面積，能熟記勾股定理的逆定理和勾股定理的內容是解此題的關鍵．
連接，根據勾股定理求出線段長度，根據勾股定理的逆定理求出即可；
分別求出和的面積即可．
25.【答案】；
平方千米．
【解析】，千米，千米，千米．如圖，連接，
在直角三角形中，由勾股定理得：
千米，
故答案為：；
千米，千米，千米．
，，，
，
是直角三角形，則，
平方千米．
根據勾股定理勾股定理求解即可；
將四邊形分成兩個三角形，求證為直角，四邊形面積為兩個直角三角形面積之和即可．
本題考查勾股定理的應用，勾股定理，熟記勾股定理與勾股定理的逆定理是解本題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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