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6.2不等式的基本性質青島版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若，則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
2.下列說法錯誤的是( )
A. 若，則 B. 若，則
C. 若且，則 D. 若，則
3.實數，在數軸上對應點的位置如圖所示，下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
4.如圖是圓形軌道，和兩個小機器人，自甲處同時出發，以相同的速度繞圓周反向運動，分鐘內相遇次，如果的速度每分鐘增加米，則和在分鐘內相遇次，圓形軌道的直徑最多是米取，精確至米
A.
B.
C.
D.
5.已知，，是實數，若，且，則可能是( )
A. B. C. D.
6.已知實數，，滿足，，則下列結論一定正確的是( )
A. B.
C. D.
7.若，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.若，則下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
9.若，，則下列判斷錯誤的是( )
A. B. C. D.
10.下列不等式變形正確的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
11.若，則下列不等式正確的是( )
A. B. C. D.
12.已知三個實數，，滿足，，則( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.若關于的不等式可化為，則的取值范圍是 ．
14.若，則 ．
15.已知、為常數，且，如果不等式的解集是，那么不等式的解集是____________．
16.實數，滿足，，則的取值范圍是_________．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
證明：三角形的任意一邊小于周長的一半。
18.本小題分
若，且，求的最大值。
19.本小題分
老王和小張在同一家公司工作．老王每月的工資比小張高，但不到他的兩倍．新一年開始時，公司給他們同時加薪，問：加薪后老王的工資仍不到小張的兩倍嗎？如果每人各加薪元呢？請說明理由．
20.本小題分
已知，，求和的取值范圍．
21.本小題分
已知關于、的方程滿足方程組．
若，求的值；
若、均為非負數，求的取值范圍；
在的條件下，求的最大值和最小值．
22.本小題分
有一個兩位數，個位上的數字是，十位上的數字是，如果把這個兩位數的個位與十位上的數字對調，試比較新得到的兩位數與原來的兩位數的大小．
23.本小題分
關于，的方程組．
若，求的值；
若、均為非負數，求的取值范圍；
在的條件下，求代數式的最大值和最小值．
24.本小題分
仿例：已知，試比較與的大小．
方法一：解：，，．
方法二：解：．
，，．
根據仿例，請解答：
方法一所依據的不等式基本性質是______請寫明基本性質的具體內容；
已知，試比較與的大小要求兩種方法解答．
25.本小題分
先閱讀下面的解題過程，再解題．
已知，試比較與的大小．
解：，
上述解題過程中，從步驟______開始出現錯誤填寫序號；
請寫出正確的解題過程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根據不等式的相關性質逐項分析判斷如下：
A、由條件可知；原說法正確，符合題意；
B、由條件可知：；原說法錯誤，不符合題意；
C、由條件可知：；原說法錯誤，不符合題意；
D、由條件可知：；原說法錯誤，不符合題意；
故選：．
根據不等式的性質，逐一進行判斷即可．
本題考查不等式的性質，熟練掌握該知識點是關鍵．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查了有理數的乘方，絕對值，不等式的基本性質，熟練掌握相應的運算法則是關鍵根據有理數的乘方，絕對值，不等式的基本性質分別判斷即可．
【解答】
解：、若 ，則 是正確的；
B、若 ，那么 ，則 是正確的；
C、若 且 ，當 ，則 ；當 ，則 ，當 時，則 ，所以故該選項是錯誤的；
D、若 ，則 ，因為 ，所以 ，則 ，故該選項是正確的；
故選：
3.【答案】
【解析】解：選項，，，
，故該選項不符合題意；
選項，，，，
，故該選項不符合題意；
選項，，故該選項不符合題意；
選項，，
，故該選項符合題意；
故選：．
根據有理數的乘法法則判斷選項；根據有理數的加法法則判斷選項；根據絕對值的定義判斷選項；根據不等式的基本性質判斷選項．
本題考查了實數與數軸、不等式的基本性質，掌握數軸上右邊的數總比左邊的數大是解題的關鍵．
4.【答案】
【解析】解：設圓的直徑為，和的速度和為米分，
則，
，
由得，
，
由得，
，得，
，
，精確至米，
，
故選：．
設圓的直徑為，和的速度和為米分，根據“分鐘內相遇 次”得到，根據“ 的速度每分鐘增加 米，則 和 在 分鐘內相遇 次”得到，根據式求出直徑的取值范圍，即可解答．
本題考查圓的周長，不等式的應用，解題的關鍵是掌握圓的周長公式．
5.【答案】
【解析】解：，，是實數，若，且，
則一定是負數，
故選：．
根據不等式的性質解答即可．
本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的兩邊同時乘以一個負數，不等號的方向需要改變是解題的關鍵．
6.【答案】
【解析】本題考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分別代入和計算即可．
【詳解】解：，
，，
，
，即，
，
，
，
綜上所述，，，
故選：．
7.【答案】
【解析】解：，故本選項不符合題意；
B.，故本選項不符合題意；
C.，故本選項符合題意；
D.，故本選項不符合題意．
故選：．
根據不等式的性質求解即可．不等式的基本性質：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變．
本題考查了不等式的性質，掌握不等式兩邊同乘以或除以同一個數時，不僅要考慮這個數不等于，而且必須先確定這個數是正數還是負數，如果是負數，不等號的方向必須改變是關鍵．
8.【答案】
【解析】解：若，則下列不等式不一定成立的：
，
，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
當時，，故D符合題意．
故選：．
根據不等式的基本性質，逐一進行判斷即可．
本題考查不等式的基本性質，正確記憶相關知識點是解題關鍵．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
即，故A，B正確；
，
又，
，故C正確；
，
又，
，
即，故D錯誤；
故選D．
10.【答案】
【解析】解：、當時，由，得，故該項不符合題意；
B、由，得，故該項符合題意，
C、由，得，故該項不符合題意；
D、由，得，故該項不符合題意．
故選：．
根據不等式的性質依次判斷．
此題考查了不等式的性質：不等式兩邊加或減同一個數或式子，不等號方向不變；不等式的兩邊乘以或除以同一個不等于零的正數，不等號方向不變；不等式的兩邊乘以或除以同一個不等于零的負數，不等號方向改變．
11.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了不等式的基本性質：把不等式的兩邊都加或減去同一個數或整式，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘或除以同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊都乘或除以同一個負數，不等號的方向改變根據不等式的性質解答即可．
【解答】
解：，
，
選項A不符合題意
，
，
，
選項B合題意
當時，，
選項C不符合題意
，
，
選項D不符合題意．
故選：．
12.【答案】
【解析】解：由條件可知，
，
，解得，
，
，
，
，
綜上：，，
故選：．
將整理得到，代入，即可判斷，再將代入即可進行解答．
本題考查了不等式的性質，等式的性質以及完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了不等式的基本性質，解題關鍵在于掌握不等式兩邊同時乘以一個正數，不等號的方向不變，注意考慮的情況根據不等式的基本性質即可解答．
【解答】
解：，，
當時，，
當時，，
．
故答案為．
15.【答案】
【解析】【分析】
本題主要考查不等式的解集和解一元一次不等式，掌握不等式兩邊同乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．
根據不等式兩邊同乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變，可判斷，再根據若關于的不等式的解集是，得到，，，即可得到的解集．
【解答】
解：由不等式變形得，
不等式的解集是
， ，
即，，
么不等式的解集是
即
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，即，
的取值范圍是，
故答案為：
17.【答案】證明：設，，為一個三角形的三邊長，
根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，得，
不等式兩邊都加上，得，
不等式兩邊都除以，得，
所以三角形的任意一邊小于周長的一半。

【解析】見答案
18.【答案】解：因為，所以。
因為，所以，解得。
因為，不等式兩邊都除以，得，
所以的最大值是。

【解析】見答案
19.【答案】解：設老王原來的工資為元，小張原來的工資為元．
根據題意有，且，都加薪后有，，
所以加薪后老王的工資仍比小張的工資高，但低于小張工資的兩倍．
如果每人各加薪元，老王的工資為元，小張的工資為元，由不等式的基本性質，知，且，所以老王的工資仍比小張高，但低于小張工資的兩倍．

【解析】見答案
20.【答案】解：因為，所以．
又因為，所以．
因為，所以．
又因為，所以．

【解析】見答案
21.【答案】解：，
得：，
，
，
解得：；
，
解得：，
、均為非負數，
，，
即，
解得：；
，
，
，
，
，
即，
的最大值為，最小值為．
【解析】利用整體的思想可得：，從而可得，然后進行計算即可解答；
先解方程組可得：，然后根據已知易得：，，從而可得，最后進行計算即可解答；
利用的結論可得：，然后再根據不等式的性質進行計算，即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解二元一次方程組，不等式的性質，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
22.【答案】解：原來的兩位數為，對調后的兩位數是，
，
當時，，，即新兩位數大于原來的兩位數；
當時，，，即新兩位數等于原來的兩位數；
當時，，，即新兩位數小于原來的兩位數．

【解析】略
23.【答案】；
；
最大值為，最小值為．
【解析】解；，
得：，
，
，
解得：；
，
解得，
由條件可知，，
即，
解得；
，
，
由條件可知，
，
的最大值為，最小值為．
利用整體的思想可得，從而可得，然后進行計算即可解答；
先解方程組可得，然后根據已知易得，，從而可得，最后進行計算即可解答；
利用的結論可得，然后再根據不等式的性質進行計算，即可解答．
本題考查了解一元一次不等式組、二元一次方程組的解、解二元一次方程組、不等式的性質等知識，掌握不等式組及方程組的解法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
24.【答案】不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變；
．
【解析】由條件可知不等式的基本性質．
故答案為：不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變；
方法一：，，
根據不等式性質；
方法二：，
，
．
根據不等式的性質填空即可；
利用不等式的性質即可比較．
本題考查了不等式的基本性質，比較與的大小，可以利用不等式的基本性質比較即可．
25.【答案】；
見解析．
【解析】根據不等式性質可得上述解題過程中，從步驟開始出現錯誤，
故答案為：；
根據不等式的性質由條件可知：
．
．
根據不等式的基本性質求解；
利用不等式的基本性質求解．
本題考查了不等式的基本性質，解題關鍵是掌握不等式的基本性質．
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