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2.2三角形全等的判定青島版（ 2024）初中數學八年級上冊同步練習
分數：120分 考試時間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.如圖，在矩形中，，，點在線段上運動含、兩點，將點為繞點逆時針旋轉到點，連接，則線段的最小值為( )
A. B. C. D.
2.如圖，正方形的邊長是，對角線、相交于點，點、分別在邊、上，且，則四邊形的面積是( )
A.
B.
C.
D.
3.如圖，在四邊形中，已知添一個條件，使≌，則不能作為這一條件的是( )
A. B.
C. D.
4.如圖，點是正方形的對角線上一點，，，垂足分別是，，若，，則的長是( )
A.
B.
C.
D.
5.如圖，已知，，如果只添加一個條件不加輔助線使，則添加的條件不能為( )
A. B. C. D.
6.如圖，，，，，垂足分別是點、，，，則的長是( )
A. B. C. D.
7.如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，，于點，，連接，若，，則線段的長是( )
A.
B.
C.
D.
8.如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到，點，的對應點分別為，，連接當點，，在同一條直線上時，下列結論不正確的是( )
A. ≌ B.
C. D.
9.如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到，點，的對應點分別為，，連接當點，，在同一條直線上時，下列結論不正確的是 ．
A. ≌ B.
C. D.
10.如圖，已知，，，點、、、共線．則下列結論，其中正確的是( )
≌ ； ； ； ．
A. B. C. D.
11.如圖，已知和均是等邊三角形，點、、在同一條直線上；與交于點，與交于點，與交于點，連接、，則下列結論：；；；；其中正確的結論個數有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
12.如圖，以的斜邊為一邊在的同側作正方形，設正方形的中心為，連接，如果，，那么的長等于( )
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖，正方形邊長為，點，分別是邊，上的動點且，作于點，則的最小值是______．
14.如圖，在中，，，是邊上的中線，，則的面積是 ．
15.如圖，是的角平分線，，垂足為點，，若和的面積分別為和，則的面積為 ．
16.如圖，將個邊長都為的正方形按如圖所示的方式擺放，點，，，分別是正方形的中心，則個這樣的正方形重疊部分的面積和為 ，則個這樣的正方形重疊部分的面積和為 用含的代數式表示．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，，，。求的大小。
18.本小題分
定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形如圖，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線寫出圖中相等的角，并說明理由．
19.本小題分
如圖，已知，點、、、在同一條直線上并且．
試說明：≌；
判斷線段與線段的數量關系和位置關系，說明理由．
20.本小題分
如圖，在中，作的平分線，交于點在射線上，截取線段，使．
請用直尺和圓規補全圖形保留作圖痕跡，不寫作法
連接，求證：．
21.本小題分
如圖，，，．
求證：．
用直尺和圓規作圖：過點作，垂足為不寫作法，保留作圖痕跡
22.本小題分
如圖，已知，．
求證：≌；
若，，求長．
23.本小題分
中，，，點在上，點在上，且，，連、．
找出圖中全等圖形，并證明；
求的度數；
24.本小題分
如圖，中，，為高，且與交于點，，．
求證：；
若，，求的面積．
25.本小題分
正方形的邊長為，，分別是，邊上的點，且，將繞點逆時針旋轉，得到．
求證：；
當時，求的長．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于．
由旋轉可知：，，
，都是等邊三角形，
，，，
四邊形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
點在射線上運動，
，
，
，，
，
根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，最小值為，
故選：．
如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于利用全等三角形的性質證明，推出，推出點在射線上運動，求出，可得結論．
本題考查矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點的在射線上運動，屬于中考選擇題中的壓軸題．
2.【答案】
【解析】解：四邊形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
的面積的面積，
四邊形的面積正方形的面積；
故選：．
證明≌，得出的面積的面積，得出四邊形的面積正方形的面積即可．
本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
3.【答案】
【解析】【分析】
此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．
根據全等三角形的判定定理判斷求解即可．
【解答】
解：已知，，
添加，利用得出≌，故A不符合題意；
添加，利用得出≌，故B不符合題意；
添加，利用得出≌，故C不符合題意；
添加，不能得出≌，故D符合題意；
故選：．
4.【答案】
【解析】解：延長交于點，如圖：
則，
，即正方形的邊長為，
，，
在中，，
故選：．
延長交于點，則，正方形的邊長為，，運用勾股定理即可求解．
本題考查正方形的性質及勾股定理，正確作出輔助線是解題關鍵．
5.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了全等三角形的判定，能理解和運用全等三角形的判定定理進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，難度適中．
先求出，再根據全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【解答】
解：，
，
，
A、根據，，不能推出≌，故本選項正確；
B、因為，，，所以符合定理，即能推出≌，故本選項錯誤；
C、因為，，，所以符合定理，即能推出≌，故本選項錯誤；
D、因為，，，所以符合定理，即能推出≌，故本選項錯誤；
故選A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本題考查全等三角形的判定和性質、熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵，學會正確尋找全等三角形，屬于中檔題．
根據條件可以得出，進而得出≌，就可以得出，，就可以求出的值．
【解答】
解：，，
，
．
，
．
在和中，
，
，．
，
故選：．
7.【答案】
【解析】解：于點，，
和都是直角三角形，
在和中，
，
≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故選：．
根據題意，可證≌，得到，則有，再證≌，得到，由，即可求解．
本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握其判定的方法和性質是解題的關鍵．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：，
，
，，
≌，故正確，
，故正確，
，
，
，
，故正確，
無法判斷，
故選A．
本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
想辦法證明≌，利用全等三角形的性質即可解決問題；
11.【答案】
【解析】解：和均是等邊三角形，
，，，，
，，
在與中，
，
≌，
，
故結論正確，該選項符合題意；
，
在與中
，
≌，
，，
是等邊三角形，
，
，
∽，∽，
，，
，，
，
故結論錯誤，該選項不符合題意；結論正確，該選項符合題意；
過作，，
，，
，
在與中，
，
≌，
，
平分，
故結論正確，該選項符合題意，
綜上所述，正確的結論是，共個，
故選：．
根據和均是等邊三角形得到，，，，即可得到即可得到≌，即可判斷，從而證明≌即可得到，得到是等邊三角形即可判斷，過作，，證明≌，即可得到，即可得到角平分線即可判斷．
本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．
12.【答案】
【解析】【分析】
此題考查正方形的性質，本題的關鍵是通過作輔助線來構建全等三角形，然后將已知和所求線段轉化到直角三角形中進行計算．在上取一點，使，連接，可證得≌，從而得到，再可證是等腰直角三角形，根據求出，也就求得．
【解答】
解：在上取一點使，連接，
，，
，
≌
，
即：
是等腰直角三角形，勾股定理
．
故選D．
13.【答案】
【解析】解：延長，交于點，
由正方形邊長為，，，
得，
又由，
得≌，
得，
得，
由．
得的最小值是．
故答案為：．
延長，交于點，由正方形邊長為，，，得，又由，得≌，得，得，即可得．
本題主要考查了正方形中的最小值問題，解題關鍵是構造全等三角形．
14.【答案】
【解析】如圖，延長到點，使，連接．為的中點，又，，，又，，，是直角三角形，，．
15.【答案】
【解析】此題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，根據題意證明、是解題的關鍵．過作于，根據角平分線的性質得到；根據定理得到，由全等三角形的面積相等得到；由，，，根據得到，由全等三角形的面積相等得到；根據，，把和的面積分別為和代入計算得到答案．
【詳解】解：過作于，
，
，
是的角平分線，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
．
故答案為：
16.【答案】

【解析】略
17.【答案】解：在和中，
所以≌，
所以，。
同理可證≌，
所以，。
又因為，所以，。
又因為，，
所以，即。

【解析】見答案
18.【答案】，見解析
【詳解】解：，理由：延長至點，使，連接，如圖，
四邊形是鄰等對補四邊形，，，，，，，，，．

【解析】略
19.【答案】見解析；
，理由見解析．
【解析】證明：，
，
點、、、在同一條直線上并且，
，
在和中，
，
≌；
解：，；理由如下：
由知：≌，
，，
．
直接利用全等三角形的判定方法可得出答案；
由全等三角形的性質可得出結論．
本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形的全等條件．
20.【答案】解：補全圖形如圖所示：
證明：如圖，連接，
為 的平分線，
，
在 和 中，
，
≌，
【解析】解：根據角平分線的作法和線段的作法，補全圖形如圖所示：
證明：如圖，連接，
為 的平分線，
，
在 和 中，
，
≌，
．
根據角平分線的作法和線段的作法即可補全圖形；
連接，由角平分線的定義得，再根據證≌，即可證出結論．
本題考查了作角平分線，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．
21.【答案】，
，
．
在和中，
，
≌，
；
如圖，即為所求．

【解析】證明：，
，
．
在和中，
，
≌，
；
解：過點作，垂足為如圖，即為所求．
根據題意證明≌，利用全等三角形性質求解，即可解題；
利用等腰三角形底邊上三線合一，可知過點作，即作的垂直平分線，根據垂直平分線作法作圖，即可解題．
本題考查作圖基本作圖，全等三角形的判定與性質，等腰三角形性質，以及垂直平分線作法，解題的關鍵在于結合等腰三角形性質理解過點作，即作的垂直平分線．
22.【答案】證明：，
，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
．
【解析】根據證明≌即可；
利用全等三角形的性質即可解決問題；
本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
23.【答案】解：
≌，
理由如下：
，，
，
且，，
≌
≌，
，，
，
，且，
，
．
【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質，證明≌是本題的關鍵．
由“”可證≌；
由全等三角形的性質可得，，由外角性質和等腰三角形的性質可求，即可求解．
24.【答案】證明：中，，為高，
，，
，
在和中，
，
；
解：，，，
，，
，
，，
，
．
【解析】證明，利用已知和即可證明；
根據全等的性質得到，，得到，則，，求出，利用三角形面積公式即可求出答案．
本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的面積，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．
25.【答案】證明：逆時針旋轉得到，
，
、、三點共線，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：設，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
則．
【解析】此題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，以及勾股定理．
由旋轉可得，為直角，可得出，由，得到為，可得出，再由，利用可得出三角形與三角形全等，由全等三角形的對應邊相等可得出；
由第一問的全等得到，正方形的邊長為，用求出的長，再由求出的長，設，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出關于的方程，求出方程的解得到的值，即為的長．
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