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4.2線段的垂直平分線青島版（ 2024）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)
分?jǐn)?shù)：120分 考試時(shí)間：120分鐘 命題人：
一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知，用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點(diǎn)，使，則符合要求的作圖痕跡是( )
A. B.
C. D.
2.如圖，在中，，、是的兩條中線，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于最小值的是 ( )
A. B. C. D.
3.如圖，等腰中，，，點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，以、為圓心，大于的長(zhǎng)度為半徑分別畫(huà)圓弧相交于兩點(diǎn)、，若直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小值為( )
A. B. C. D.
4.如圖，在正方形網(wǎng)格中有兩點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使最短，則點(diǎn)應(yīng)選在( )
A. 點(diǎn) B. 點(diǎn) C. 點(diǎn) D. 點(diǎn)
5.如圖，在中，，，，是的垂直平分線，是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如圖，在等腰三角形中，，，是邊上的中點(diǎn)，，，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ( )
A. B. C. D.
7.如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交，于點(diǎn)，，若在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，則的度數(shù)為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在中，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡作直線，分別交線段、于點(diǎn)、，連接若，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為 ( )
A. B. C. D.
9.到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是( )
A. 三條邊中線的交點(diǎn) B. 三條邊的高的交點(diǎn)
C. 三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn) D. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，已知是軸上的一點(diǎn)，、分別為直線和軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A.
B.
C.
D.
11.如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，的面積是，則的最小值為( )
A. B. C. D.
12.如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。
13.如圖，等腰的底邊，面積為，直線是腰的垂直平分線，若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_(kāi)_____．
14.如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)若，，則周長(zhǎng)的最小值是______．
15.如圖，中，，，，為邊的垂直平分線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_______．
16.如圖，在中，，，，垂直平分，若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．
三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
17.本小題分
如圖，電信部門要在區(qū)修建一座信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)、的距離必須相等，到兩條高速公路和的距離也必須相等，該發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置．
18.本小題分
如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接若，的周長(zhǎng)是．
求的長(zhǎng)．
若是直線上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是______．
19.本小題分
如圖，在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
求證：≌；
若，求證：．
20.本小題分
如圖所示，由每一個(gè)邊長(zhǎng)均為的小正方形構(gòu)成的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，利用網(wǎng)格畫(huà)圖，保留必要的畫(huà)圖痕跡
在直線上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離相等；
在圖中找一點(diǎn)，使得；
在、小題的基礎(chǔ)上，請(qǐng)?jiān)谥本€上確定一點(diǎn)，使的值最小．
21.本小題分
如圖，在四邊形中，，交于點(diǎn)．
求證：四邊形為菱形；
如圖，過(guò)四邊形的頂點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求四邊形的面積．
22.本小題分
如圖，在四邊形內(nèi)部作一點(diǎn)，使得，并且點(diǎn)到兩邊的距離相等不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡．
23.本小題分
如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)和點(diǎn)重合，于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接．
求證：；
求的周長(zhǎng)最小值．
24.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱的，并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；
的面積為_(kāi)_____；
在軸上找一點(diǎn)，使三角形的周長(zhǎng)最小，在軸上畫(huà)出點(diǎn)的位置．
25.本小題分
如圖，在中，，點(diǎn)，，分別在邊，，上，且，求證：點(diǎn)在的垂直平分線上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了尺規(guī)作圖．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的作法和性質(zhì)．
利用等線段代換得到，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和基本作圖進(jìn)行判斷．
【解答】
解：、由圖可知，則無(wú)法得出，故不能得出，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由圖可知，則無(wú)法得出，故不能得出，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由圖可知，則無(wú)法得出，故不能得出，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由圖可知，故能得出，故此選項(xiàng)正確．
故選：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．連接，只要證明，即可推出，由，推出、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度．
【解答】
解：連接，
，，
，
，
，
，
、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)度，
故選B．
3.【答案】
【解析】解：連接、，如圖，
由作法得垂直平分，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)，
的最小值為，
，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
在中，，，
，
的最小值為．
故選：．
連接、，如圖，利用基本作圖可判斷垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由于當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，接著利用等腰三角形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理計(jì)算出即可．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握種基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和最短路徑問(wèn)題．
4.【答案】
【解析】本題主要考查了軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最短，據(jù)此結(jié)合圖形可得答案．
【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)最短，
由圖可知，交直線于點(diǎn)，
點(diǎn)應(yīng)選在點(diǎn)，
故選：．
5.【答案】
【解析】【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到的最小值即為的長(zhǎng)，由此得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，
是的垂直平分線，
，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，
，最小，
此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合．
所以的最小值即為的長(zhǎng)，為．
所以的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6.【答案】
【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，此時(shí)最?。沁吷系闹悬c(diǎn)，是的平分線．，的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的最短距離．，，是邊上的中點(diǎn)，，的最小值是．
7.【答案】
【解析】解：由條件可知，
在的垂直平分線上，在的垂直平分線上，
，，
，，
，，
，
．
故選：．
由，可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：，，推出，，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)，即可求解．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)．
故選：．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷即可．
本題考查角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．
10.【答案】
【解析】解：由條件可知，，
，
，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，作，
則：的周長(zhǎng)，，
當(dāng)，在線段上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，
，，，
，，為等腰直角三角形，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
由條件可知為，的中點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，由條件可得：，解得：，
，
聯(lián)立，解得：，
；
故選：．
坐標(biāo)與軸對(duì)稱，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，求出直線的解析式，與直線聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)的值最小，即的周長(zhǎng)最?。?br/>，，
，
，
，
，
，
，
，
的周長(zhǎng)的最小值，
故選：．
作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)的值最小，即的周長(zhǎng)最?。蟪?、的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．
本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題．
13.【答案】
【解析】解：在等腰中，直線是腰的垂直平分線，如圖，連接，
，
，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且時(shí)，的值最小，即等于的長(zhǎng)，如圖，
，等腰的面積為，
，
，
的最小值為，
故答案為：．
連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，得到，可知當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線且時(shí)，的值最小，即等于的長(zhǎng)，利用三角形的面積求出的長(zhǎng)即可求解．
本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】
【解析】解：直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，
，
，
、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，
，，
周長(zhǎng)的最小值為：，
故答案為：．
根據(jù)題意得到周長(zhǎng)的最小值是，直接求解即可得到答案．
本題考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．
15.【答案】
【解析】【分析】
本題考查了軸對(duì)稱最短路線的問(wèn)題以及垂直平分線的性質(zhì)，正確確定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．因?yàn)榈拇怪逼椒志€為，所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)和重合時(shí)則的周長(zhǎng)最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出的長(zhǎng)即可．
【解答】
解：
為邊的垂直平分線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)和重合時(shí)則的周長(zhǎng)最小值，
，，，
，
，
的周長(zhǎng)最小值，
故答案為：．
16.【答案】
【解析】解：如圖，連接，過(guò)作于；
垂直平分，
，，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
此時(shí)，即、重合，
與重合，
從而最小，最小值為線段的長(zhǎng)；
，
．
故答案為：．
連接，過(guò)作于；由垂直平分，得，，則，當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且即，重合時(shí)，最小，從而最小；利用面積相等關(guān)系即可求得最小值．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，把求最小值轉(zhuǎn)化為求最小值是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：作出線段的垂直平分線，與的平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求．

【解析】此題考查了線段的垂直平分線和角的平分線的作圖以及線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)，是基本作圖題，需熟練掌握根據(jù)題意，點(diǎn)既在線段的垂直平分線上，又在兩條公路所夾角的平分線上．故兩線交點(diǎn)即為發(fā)射塔的位置．
18.【答案】；

【解析】由題意可得：，
的周長(zhǎng)．
，
；
連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的周長(zhǎng)最?。?br/>理由：，，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
此時(shí)的最小值等于的長(zhǎng)，
周長(zhǎng)的最小值．
故答案為：．
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，的周長(zhǎng)是，，即可求的長(zhǎng)度；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，周長(zhǎng)的最小，即為的周長(zhǎng)．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．
19.【答案】【小題】
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
．
，
，．
在和中，
≌．
【小題】
點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
直線為線段的垂直平分線．
．
由，得≌，
．
．

【解析】 略
略
20.【答案】【小題】
解；如圖，點(diǎn)，即為所求．
【小題】
解；如圖，點(diǎn)即為所求．
【小題】
解；如圖，點(diǎn)即為所求．

【解析】
取格點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．

三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即為所求．

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
21.【答案】證明：，，
垂直平分，
，
，
四邊形為菱形；
解：如圖，連接，
四邊形是菱形，
，，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，，
，
．
【解析】根據(jù)題意得出垂直平分，再由菱形的判定即可證明；
連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再由其性質(zhì)及勾股定理得出，結(jié)合圖形得出求解即可．
本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)勾股定理解三角形等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
22.【答案】如圖，點(diǎn)即為所求．

【解析】解：如圖，點(diǎn)即為所求．
作線段的垂直平分線，作平分，射線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．
23.【答案】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，
正方形沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，且折疊性質(zhì)：折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，
，
又，
，
在和中：
，
≌，，
；

【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，
正方形沿折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，
，且折疊性質(zhì)：折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，
，
又，
，
在和中：
，
≌，，
；
連接，取的中點(diǎn)，連接，
由題意可得：，，，
，
，
的周長(zhǎng)，
，
的周長(zhǎng)，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
，
的周長(zhǎng)的最小值為，
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，然后根據(jù)全等定理判定≌，從而得出；
連接，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，，要求的周長(zhǎng)的最小值，只需求的最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，勾股定理求出，即可求解．
本題考查了正方形與折疊，還考查了最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊和直角三角形的性質(zhì)得出線段相等，把三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題．
24.【答案】見(jiàn)解析，；
；
見(jiàn)解析．
【解析】如圖，即為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為；
的面積為：；
如圖，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，
此時(shí)三角形周長(zhǎng)最小，
則點(diǎn)即為所求．
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，再順次連接即可作圖；
利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．
取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題、網(wǎng)格中求三角形的面積，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
25.【答案】證明：如圖，連接，．
在和中，
≌，
，
點(diǎn)在的垂直平分線上．
【解析】提示：連接，，證≌得
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