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必修第一冊第四章 指數函數與對數函數單元測試卷
一、單項選擇題（本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1（5分）．化簡 的結果為（　　）
A．5 B． C． D．
2（5分）．已知，，則（　　）
A．3 B．1 C． D．
3（5分）．若函數為偶函數，則實數（　　）
A．1 B． C．－1 D．
4（5分）．牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同.假定保鮮時間與儲藏溫度（℃）的關系為（、為常量）.若牛奶在0℃的冰箱中，保鮮時間約是100h，在5℃的冰箱中，保鮮時間約是80h，那么在10℃中的保鮮時間約是（　　）
A．49h B．56h C．64h D．76h
5（5分）．已知，且，則函數的圖象一定經過
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
6（5分）．若，，，則（　　）
A． B． C． D．
7（5分）．函數的零點所在的區間為（　　）
A． B． C． D．
8（5分）．設函數，則使得成立的的取值范圍是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多項選擇題（本大題共3小題，每個小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.）
9（6分）．下列運算錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
10（6分）．已知函數，則下列結論正確的是（　　）
A．函數的定義域為 B．函數的值域為
C．函數的圖象關于y軸對稱 D．函數在上為減函數
11（6分）．已知函數關于的方程有個不同的實數根，則下列選項對的有（　　）
A．函數的零點個數為
B．實數的取值范圍為
C．函數無最值
D．函數在上單調遞增
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上）
12（5分）．函數且 過定點，則________
13（5分）．已知，則　 　（結果用a，b表示）.
14（5分）．若實數滿足，，則　 　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）．
15（13分）．化簡求值：
（1）；
（2）.
16（15分）．已知函數．
（1）若過定點，求的單調遞減區間；
（2）若值域為，求a的取值范圍．
17（15分）．已知函數，且．
（1）若，求方程的解；
（2）若對，都有恒成立，求實數的取值范圍．
18（17分）．在國家大力發展新能源汽車產業政策影響下，我國新能源汽車的產銷量高速增長.某地區2019年底新能源汽車保有量為1500輛，2020年底新能源汽車保有量為2250輛，2021年底新能源汽車保有量為3375輛.
（1）根據以上數據，試從和兩種函數模型中選擇一個最恰當的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢并說明理由，設從2019年底起經過x年后新能源汽車保有量為y輛，求出新能源汽車保有量y關于x的函數關系式；
（2）2019年底該地區傳統能源汽車保有量為50000輛，且傳統能源汽車保有量每年下降2%，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統能源汽車保有量.（參考數據：）
19（17分）．設函數.
（1）當時，求方程的實數解；
（2）當時，
（ⅰ）存在，使不等式成立，求k的范圍；
（ⅱ）設函數，若對任意的，總存在，使，求實數b的取值范圍.
答案解析
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由 。
故答案為：B.
【分析】利用根式與分數指數冪的互化公式，化簡出結果。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由，可得，，
則，
故答案為：B
【分析】利用指數恒等式（且， ）以及對數的運算規則，分別求出和的值，再計算 .
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 函數 的定義域為，
因為函數為偶函數，
所以，即，解得，
所以，
所以，
所以為偶函數，符合題意.
故選：D.
【分析】先求得函數的定義域，進而根據偶函數的定義，可得，列式可求得，再代入進而檢驗即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：由題意可得，解得，
則.
故答案為：C.
【分析】由題意列方程組，求得，再利用指數式的運算性質求解即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：當時，，
則當時，函數圖象過二、三、四象限；
則當時，函數圖象過一、三、四象限；
所以函數的圖象一定經過三、四象限.
故答案為：D
【分析】由函數過點，分類可解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因為在定義域上單調遞減，所以，
即，在定義域上單調遞減，所以，即，所以.
故答案為：B.
【分析】由題意，根據指數函數、對數函數的性質判斷即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：易知函數均在定義域上單調遞增，所以函數單調遞增，
又因為，即，所以函數的零點所在的區間為.
故答案為：A.
【分析】先判斷函數的單調性，再根據零點的存在性定理判斷即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：因為，所以，
所以f(x)為偶函數，當時，單調遞增，由得，
或且，
所以 使得成立的的取值范圍是 .
故答案為：B.
【分析】先判斷函數的單調性和奇偶性，將轉化為求解即可.
9．【答案】A,B
【解析】【解答】解：A、，故A錯誤；
B、，故B錯誤；
C、，故C正確；
D、，故D正確.
故答案為：A,B
【分析】利用對數的基本運算即可得解.
10．【答案】A,B
【解析】【解答】解：A中，因為，所以函數的定義域為，故A正確；
B中，，
由，
所以函數的值域為，故B正確；
C中，因為，
所以函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，不關于y軸對稱，故C錯誤；
D中，因為函數是增函數，因為，所以函數是減函數，
因此函數是增函數，故D錯誤.
故選：AB.
【分析】根據指數函數的性質，結合函數奇偶性的定義、單調性的性質，逐一判斷，即可求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】解：函數的圖象，如圖所示：
A、由圖可知函數的零點個數為3，故A錯誤；
C、由圖象可知：函數無最值，故C正確；
D、由圖象可知：函數在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，故D錯誤；
B、令，則方程轉化為，要使有6個不同的實數根，
即有兩個根，令，則，解得，故B正確.
故答案為：BC.
【分析】作出函數圖象，即可判斷ACD；令，則方程轉化為，由題意有兩根，設列不等式組求解即可判斷B.
12．【答案】
【解析】【解答】解：令，解得，則函數恒過點，故
故答案為：
【分析】根據指數函數的圖象和性質求解即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：根據對數的運算法則和對數的換底公式，可得：，
故答案為：.
【分析】利用換底公式及同底對數加減運算法則，準確化簡、運算，即可求解.
14．【答案】1
【解析】【解答】令，易知為單調遞增函數，，
即有且僅有一個零點，
又由題可知，即，
所以，
所以，即，
又，得，
所以.
故答案為：1.
【分析】令，易知為單調遞增函數，易知有且僅有一個零點，，可得，由已知條件通過函數變形同構可得，進而代入題中求解即可.
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根據指數冪的運算性質求解即可；
（2）根據對數函數的運算法則求解即可.
16．【答案】（1）解：由函數過定點，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函數的定義域為，
設，則函數在上為單調遞減函數，
又由函數在定義域上為單調遞增函數，
結合復合函數的單調性的判定方法，可得函數在上單調遞減，
所以函數的遞減區間為；
（2）解：由函數的值域為，
即為函數值域的子集，即，
當時，可得，此時函數的值域為，符合題意；
當時，則滿足，解得，所以；
當時，此時的開口向下，顯然不滿足題意，
綜上可得，實數的取值范圍為.
【解析】【分析】（1）由函數過定點，求得，得到，
再令，求得函數的定義域為，利用二次函數與對數函數的性質，結合復合函數的單調性的判定法求解即可；
（2）根據題意，轉化為，結合二次函數的性質，列出不等式求解即可.
（1）解：由函數過定點，
可得，可得，解得，所以，
令，解得或，即函數的定義域為，
設，則函數在上為單調遞減函數，
又由函數在定義域上為單調遞增函數，
結合復合函數的單調性的判定方法，可得函數在上單調遞減，
所以函數的遞減區間為.
（2）解：由函數的值域為，
即為函數值域的子集，即，
當時，可得，此時函數的值域為，符合題意；
當時，則滿足，解得，所以；
當時，此時的開口向下，顯然不滿足題意，
綜上可得，實數的取值范圍為.
17．【答案】（1）解：令，則，
當時，等價于，即，
得，有或，
則或，所以或.
（2）解：令t=log3x，由，得，
依題意得恒成立，因為t＞0，所以在上恒成立，
令，對稱軸，
①當時，即，，得.所以.
②當，即，，得.所以.
綜上所述，m的取值范圍為[0，1）.
【解析】【分析】（1）令，利用換元法將原方程轉化為，求出的值，結合對數的運算性質求解即可；
（2）令，原不等式可轉化為在上恒成立，只需，結合二次函數的性質分類討論求出的最小值即可得解.
18．【答案】（1）解：由于新能源汽車保有量每年增長得越來越多，因此應該選擇指數模型。應選函數模型是（且），
由題意得，得，所以
（2）解：設從2019年底起經過x年后傳統能源汽車保有量為y輛，則有，
設從2019年底起經過x年后新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車，
則有，
化簡得，
解得，
故從2019年底起經過9年后，即2028年底新能源汽車的數量將超過傳統能源汽車．
【解析】【分析】本題考查指數函數模型的應用，對數的運算法則.
（1）由增長趨勢知，增長快，應選函數模型是，根據題意可列出方程組，解方程組可求出y關于x的函數關系式 ；
（2）設從2019年底起經過年后傳統能源汽車保有量為輛，根據題意可列出函數關系式，再根據新能源超過傳統汽車可列出不等式，將指數式轉化為對數式，解不等式可求出問題的答案.
19．【答案】（1）解：當時，，由題意得，
所以或，解得或.
（2）解：當時，，該函數在上單調遞增，
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，
則，
當時，，所以.
（ⅱ）當時，的值域為，
當時，的值域為，
根據題意，得，
則，解得，
故實數b的取值范圍為.
【解析】【分析】（1）根據已知條件得出，再利用絕對值方程的解法和指數函數性質，從而求解得出方程的實數解.
（2）根據指數函數性質和函數的解析式判斷出函數單調性.
（ⅰ）利用函數單調性，將問題化為上，即可求出參數k的取值范圍.
（ⅱ）先求出兩函數在上的值域，再將問題轉化為，則根據分類討論的方法，從而借助數軸得出實數b的取值范圍.
（1）當時，，由題意得，
所以或，解得或.
（2）當時，，該函數在上單調遞增.
（ⅰ）存在，使不等式成立，
即成立，即成立，從而，
又當時，，所以.
（ⅱ）當時，的值域為，
當時，的值域為，
根據題意，得，從而，解得.
故實數b的取值范圍為.

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