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5．2　函數的表示方法
一、 單項選擇題
1 (2024無錫長涇中學期中)已知函數y＝g(x)的對應關系如表所示，函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則g(f(1))的值為(　　)
x 1 2 3
g(x) 4 3 －1
A. －1 B. 0 C. 3 D. 4
2 (2024惠州實驗中學月考)已知f(＋1)＝x＋2，則f(2)的值為(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3 (2024威海月考)已知函數f(1－x)＝(x≠0)，則f(x)等于(　　)
A. －1(x≠0) B. －1(x≠1)
C. －1(x≠0) D. －1(x≠1)
4 (2024廣州期末)已知f(x)＝若f(a)＝5，則實數a的值為(　　)
A. －2或2 B. 2或
C. －2或 D. 2
5 (2024北京昌平期末)向一個給定的容器(如圖所示)中倒水，且任意相等的時間間隔內所倒的水的體積相等，記容器內水面的高度y隨時間t變化的函數為y＝f(t)，則下列函數圖象中，可能是 y＝f(t)的圖象的是(　　)
A B C D
6 (2024北京東城期末)如圖，函數f(x)的圖象為折線段ABC，則不等式f(x)≥(x－2)2的解集是(　　)
A. [－2，0]∪[3，4]
B. (－∞，0]∪[3，＋∞)
C. (0，3)
D. [0，3]
二、 多項選擇題
7 已知一次函數f(x)滿足 f(f(x))＝81x＋80，則f(x)的解析式可能為(　　)
A. f(x)＝9x＋8 B. f(x)＝－9x－8
C. f(x)＝9x＋10 D. f(x)＝－9x－10
8 (2024莆田二十四中期中)已知函數f(2x＋1)＝4x2的定義域為[1，3]，則下列結論中錯誤的是(　　)
A. f(1)＝4
B. f(－1)＝4
C. f(x)＝(x－1)2，x∈[3，7]
D. 函數f(x－1)的定義域為[1，2]
三、 填空題
9 (2024衡水月考)若函數f(x)滿足f＝，則f(3)＝________．
10 (2024昆明期末)已知函數f(x－1)＝3x，則f(x)的解析式為f(x)＝________．
11 (2024西安鐵一中學期末)設函數f(x)＝則f(4)＝________．
四、 解答題
12 (2024廣州知識城中學期中)給定函數f(x)＝x＋4，g(x)＝(x＋2)2，x∈R.
(1) 完成如下表格，并通過列表、描點、連線的方式，在同一直角坐標系中畫出函數f(x)，g(x)的圖象；
(2) x∈R，M(x)表示f(x)，g(x)中的較大者，記為M(x)＝max{f(x)，g(x)}，結合圖象寫出函數M(x)的解析式，并求M(x)的最小值．
x －3 －2 －1 0 1 2 3
f(x)
g(x)
13 (2024巢湖二中期末)為了充分挖掘鄉村發展優勢，某新農村打造“有機水果基地”．經調查發現，某水果樹的單株產量V(單位：kg)與施用發酵有機肥x(單位：kg)滿足如下關系：V(x)＝單株發酵有機肥及其他成本總投入為(30x＋60)元．已知該水果的市場售價為25元/kg，且銷路暢通供不應求，記該水果樹的單株利潤為f(x)(單位：元).
(1) 求函數f(x)的解析式；
(2) 當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
5．2　函數的表示方法
1. A　由圖象，得f(1)＝3，由表格，得g(3)＝－1，則g(f(1))＝－1.
2. B　由f(＋1)＝x＋2，得f(2)＝f(＋1)＝1＋2＝3.
3. B　令1－x＝t，則t≠1，x＝1－t，所以f(t)＝＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1＝－1(x≠1).
4. D　若a≥0，則f(a)＝a2＋1＝5，解得a＝2或a＝－2(舍去)；若a<0，則f(a)＝2a＝5，解得a＝(舍去).綜上，實數a的值為2.
5. C　因為單位時間內注水的體積不變，結合容器的形狀，水面的高度變化應該是先逐漸變快，后逐漸變慢．
6. D　因為函數f(x)的圖象為折線段ABC，且A(－2，0)，B(0，4)，C(4，0)，所以設f(x)＝且－2k＋b＝0，b＝n＝4，4m＋n＝0，所以k＝2，m＝－1，所以f(x)＝當－2≤x<0時，不等式f(x)≥(x－2)2即為2x＋4≥(x－2)2，即x2－6x≤0，解得0≤x≤6(舍去)；當0≤x≤4時，不等式f(x)≥(x－2)2即為－x＋4≥(x－2)2，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.綜上，不等式f(x)≥(x－2)2的解集是[0，3].
7. AD　設f(x)＝kx＋b，則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝81x＋80，所以解得或則f(x)＝9x＋8或f(x)＝－9x－10.故選AD.
8. ABD　已知f(2x＋1)＝4x2，設t＝2x＋1，則x＝.又因為x∈[1，3]，所以t＝2x＋1∈[3，7]，所以f(t)＝4＝(t－1)2，t∈[3，7]，即f(x)＝(x－1)2，x∈[3，7]，故C正確；當x＝1時，1 [3，7]，所以f(1)無意義，故A錯誤；當x＝－1時，－1 [3，7]，所以f(－1)無意義，故B錯誤；對于函數f(x－1)，因為f(x)的定義域為[3，7]，所以3≤x－1≤7，解得4≤x≤8，所以函數f(x－1)的定義域為[4，8]，故D錯誤．故選ABD.
9. 1　令x－1＝t，則x＝2t＋2，f(t)＝＝，即f(x)＝.若函數f(x)有意義，則x＋1≠0，故f(3)＝＝1.
10. 3x＋3　令t＝x－1，t∈R，則x＝t＋1，f(t)＝3(t＋1)＝3t＋3，即f(x)＝3x＋3.
11. 8　因為f(x)＝所以 f(4)＝2f(6)＝4f(8)＝4＝8.
12. (1) f(x)＝x＋4，g(x)＝(x＋2)2，x∈R，表格如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
f(x) 1 2 3 4 5 6 7
g(x) 1 0 1 4 9 16 25
作圖如下：
(2) 由圖象，得M(x)＝
且M(x)的最小值是M(－3)＝1.
13. (1) 由題意，得
f(x)＝
故f(x)＝
(2) 當0≤x≤2時，f(x)＝75x2－30x＋140，
其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為直線x＝，
故當x＝2時，函數f(x)取得最大值f(2)＝380；
當2當且僅當＝30x，即x＝5時取等號，所以f(x)的最大值為390.
因為390>380，
所以當施用肥料為5kg時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為390元．

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