資源簡介

25.3 用頻率估計概率
第 1課時 用頻率估計概率 (1)
基礎鞏固提優
1.(2024·貴州中考)小星同學通過大量重復的定點投籃練習，用頻率估計他投中的概率為0.4，下列說法正確的是（ ）.
A.小星定點投籃1次，不一定能投中
B.小星定點投籃1次，一定可以投中
C.小星定點投籃10次，一定投中4次
D.小星定點投籃4次，一定投中1次
2.新情境 摸球試驗 (2023·鞍山中考)在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200 次，發現有 50 次摸到紅球，則口袋中紅球約有 個.
3.一個盒子中有紅球、白球共3個，這些球除顏色外都相同.
(1)隨機摸出一個球，記下顏色后再放回盒子中，不斷重復這一過程.在120 次摸球中有80次摸到白球，估計盒子中白球的數量；
(2)在(1)的結論下同時摸出兩個球，求摸到的球顏色相同的概率.
思維拓展提優
4.(2025·浙江溫州12中期末)已知不透明的袋中只裝有黑、白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有4個，黑球有x個，若隨機從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經過大量重復試驗發現摸出黑球的頻率穩定在0.6附近,則x的值為( ).
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.(2023·揚州中考)某種綠豆在相同條件下發芽試驗的結果如下：
每批粒數 n 2 5 10 50 100 500 1 000 1500 2000 3 000
發芽的頻數m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2 794
發芽的頻率m(精確到0.001) 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
這種綠豆發芽的概率的估計值為 (精確到0.01).
6.(2023·蘭州中考)某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的試驗，整理的試驗數據如表：
累計拋擲次數 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5 000
蓋面朝上次數 28 54 106 158 264 527 1056 1 587 2 650
蓋面朝上頻率 0.560 0 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.5300
下面有三個推斷：
①通過上述試驗的結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的；②第2 000 次試驗的結果一定是“蓋面朝上”；③隨著試驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53.其中正確的是 .(填序號)
7.教材P144練習T1·變式 為增強中學生體質，某市將籃球運球列為體育中考選考項目，該市學生不僅練習了運球，還練習了投籃，下表是一名同學在罰球線上投籃的試驗結果，根據表中數據，回答問題.
投籃次數 n 50 100 150 200 250 300 500
投中次數 m 28 60 78 104 124 153 252
(1)估計這名同學投籃一次，投中的概率約是 .(精確到0.1)
(2)根據此概率，估計這名同學投籃2 024次，投中的次數約為多少
8.(2025·福建三明期中)在一只不透明的口袋里，裝有若干個除了顏色外均相同的小球，某數學學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復.如表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次數m 58 96 b 295 480 601
摸到白球的頻率mn a 0.64 0.61 0.59 0.60 0.601
(1)表中的a= ,b= ;
(2)“摸到白球”的概率的估計值是 ；(精確到0.1)
(3)若袋中有18個白球，計算袋中(除白球外)其他顏色的球的個數.
延伸探究提優
9.(2025·河南新鄉期末)在一個不透明的袋子里裝了只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統計數據：
摸球的次數n 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的 次數m 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的 頻率mn a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
(1)當n 很大時，摸到黑球的頻率將會趨近 (精確到0.1);
(2)某小組成員從袋中拿出1個黑球，3個白球放入一個新的不透明袋子中，隨機摸出兩個球，請你用列表或樹狀圖的方法求出隨機摸出的兩個球顏色不同的概率.
第2課時 用頻率估計概率 (2)
基礎鞏固提優
1.(2024·濟寧二模)為驗證“擲一枚質地均勻的骰子，標有數字1的面朝上的概率是 .”某同學做了下面兩個模擬試驗：①取一枚嶄新的質地均勻的骰子，在平滑的地面上做反復擲投試驗，計算標有數字1的面朝上次數與總擲投次數的比值；②把一個質地均勻的圓形轉盤平均分成六份，并依次標上數字1，2，3，4，5，6，轉動轉盤，計算指針落在標有數字1區域的次數與總次數的比值(指針落在分界線不計).你認為下面說法正確的是（ ）.
A.試驗①科學 B.試驗②科學
C.兩個試驗都不科學 D.兩個試驗都科學
2.(2024·深圳模擬)為了估計拋擲同一枚瓶蓋落地后凸面向上的概率，小明做了大量重復試驗.經過統計得到凸面向上的次數為450次，凸面向下的次數為550次，由此可估計拋擲瓶蓋落地后凸面向上的概率約為 .
3.教材P148習題T5·變式 要估計魚塘中的魚數，養魚者首先從魚塘中打撈了 50 條魚，在每條魚身上做好記號后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈出100條魚，發現只有兩條魚是剛才做了記號的魚，假設魚在魚塘內均勻分布，那么估計這個魚塘的魚數約為多少
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4.林業部門考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，統計數據如下：
移植總數m 10 270 750 1 500 3 500 7 000 14 000
成活數n 8 235 662 1 335 3 180 6 292 12 628
成活的頻率 nm (結果保留小數點后三位) 0.800 0.870 0.883 0.890 0.909 0.899 0.902
下列說法正確的是（ ）.
A.若移植10棵幼樹，成活數將為8棵
B.若移植270棵幼樹，成活數不會超過235棵
C.移植的幼樹越多，成活率越高
D.隨著移植總數的增加，幼樹移植成活的頻率總在0.900 左右擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計該幼樹在同等條件下移植成活的概率為0.900
5.新情境知識競賽活動 為了認真學習貫徹黨的二十大精神，某校開展了黨史知識競賽活動，答題后隨機抽取了若干名學生答卷，統計他們的得分情況如下：
得分/分 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人數/人 10 m n 48
如果隨機抽取一名學生答卷，得分在70≤x<90的概率為0.42，那么得分不低于 90分的概率為 .
6.教材 P148習題 T6·變式 動物學家通過大量的調查，估計某種動物活到 20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，據此若設剛出生的這種動物共有a 只，則20年后存活的有 只，現年20歲的這種動物活到 25歲的概率是 .
7.(2025·江蘇蘇州姑蘇區期末)一個不透明的袋子里裝有6個白球，若干個黑球，這些球除顏色外都相同.從袋子中隨機摸出一個球，記下顏色后放回并攪勻，不斷重復上面的過程.根據所得數據繪制了如圖所示的折線統計圖，根據統計圖提供的信息解決下列問題：
(1)摸到白球的概率約為 ；(精確到0.1),黑球的個數為 .
(2)若再將 n 個相同的白球放進這個不透明的袋子里，大量重復上述試驗，求摸出白球的概率.(用含n的代數式表示)
8.(山東德州夏津雙語中學自主招生)小穎和小紅兩位同學在做投擲骰子(質地均勻的正方體)試驗，他們共做了 60次試驗，試驗的結果如下：
朝上的點數 1 2 3 4 5 6
出現的次數 7 9 6 8 20 10
(1)計算“3點朝上”的頻率和“5點朝上”的頻率.
(2)小穎說：“根據試驗得出，出現5點朝上的機會最大”；小紅說：“如果投擲600次，那么出現6點朝上的次數正好是 100 次.”小穎和小紅的說法正確嗎 為什么
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9.(2025·福建福州倉山區期末)閩江兩岸層層綠樹，枝頭綴滿“紅果”，色彩斑斕絢麗，這種紅果就是福桔，人們譽之為“閩江桔子紅”.福州風俗以“紅”見好，且“桔”與“吉”音似，所以福桔成為民間吉祥物和贈品.某超市計劃二月份訂購一批“福桔”，每天進貨量相同，進貨成本每斤6元，售價每斤8元，未售出的福桔進行降價出售，以每斤4元的價格當天全部處理完.福桔每天需求量與當天客流量有關，為了確定今年二月份的訂購計劃，超市統計了前三年二月份日平均客流量數據，如下表所示.(2月份天數為28天)
客流量m/人 m<1500 1500≤m<2500 m≥2500
天數/天 21 42 21
福桔每天需求量/斤 200 300 400
(1)以前三年二月份日平均客流量為樣本，估計“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率；
(2)該超市二月份福桔每天的進貨量為x斤(300≤x≤400),試以“平均每天銷售利潤y 元”為決策依據，說明當x 為何值時，y取得最大值.
中考提分新題
一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.經多次摸球試驗后發現，摸到黑球的頻率穩定在0.25左右，則盒子中紅球的個數約為 .
第1課時 用頻率估計概率(1)
1. A
2. 3
3.(1)根據題意,得 (個)，故估計白球有2個.
(2)根據題意，畫樹狀圖如下：
∵共有6種等可能的結果，摸到的球顏色相同的有2種，
∴摸到的球顏色相同的概率為
4. B[解析]隨機從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經過大量重復試驗發現摸出黑球的頻率穩定在0.6附近，∴摸出黑球的概率為0.6，
解得x=6,
經檢驗，x=6是原方程的解，且符合題意.故選 B.
5.0.93 6.①③
7.(1)0.5
(2)2 024×0.5=1012(次).故估計這名同學投籃2024次,投中的次數約為1 012次.
關鍵提醒 本題考查了利用頻率估計概率的知識，注意這種概率的得出是在大量重復試驗的基礎上得出的，不能單純依靠幾次決定.
8.(1)0.58 122 (2)0.6
(3)由(2)，得摸到白球的概率為0.6，設其他顏色的球的個數為x，依題意，得 解得x=12.
故袋中(除白球外)其他顏色的球的個數為12.
9.(1)0.6
(2)從袋中拿出1個黑球，3個白球放入一個新的不透明袋子中，隨機摸出兩個球，列表如下：
黑 白 白 白
黑 (白,黑) (白,黑) (白,黑)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
白 (黑,白) (白,白) (白,白)
由表知，共有12種等可能的結果，其中隨機摸出的兩個球顏色不同的結果有6種，
所以隨機摸出的兩個球顏色不同的概率為
第2課時 用頻率估計概率(2)
1. D 2.0.45
3.∵魚塘中打撈出100條魚，發現只有兩條魚是剛才做了記號的魚，∴魚塘中做標記的魚的比例為
∴這個魚塘的魚數約為50÷0.02=2500(條).
解后反思 本題考查了統計中用樣本估計總體，表示出帶記號的魚的所占比例是解題關鍵.
4. D 5.0.48
6.0.8a58 [解析]若設剛出生的這種動物共有a 只，則20年后存活的有0.8a 只.設共有這種動物x只，則活到20歲的只數為0.8x，活到25歲的只數為0.5x，故現年20歲到這種動物活到25歲的概率為
7.(1)0.2 24
(2)∵將n個相同的白球放進了這個不透明的袋子里，∴袋中白球的個數為6+n，袋中球的總個數為30+n.
∴摸到白球的概率為
歸納總結 模擬試驗是用卡片、小球編號等形式代替實物進行試驗或用計算機編號等進行試驗，目的在于省時、省力，但能達到同樣的效果.
8.(1)“3點朝上”的頻率為 “5點朝上”的頻率為
(2)小穎和小紅說法都錯，因為試驗是隨機的，少量試驗的次數不能反映事件的概率.
關鍵提醒 用到的知識點為頻率=所求情況數與總情況數之比.頻率能反映出概率的大小，但是要經過n次試驗，而不是有數的幾次，幾次試驗屬于隨機事件，不能反映事件的概率.
∴估計“今年二月份日平均客流量不低于1500”的概率為0.75.
(2)由題意得,當m<1500時,每天利潤為200×(8-6)+(4-6)(x-200)=(-2x+800)元,
當1500≤m<2500時,每天利潤為300×(8-6)+(4-6)·(x-300)=(-2x+1200)元,
當m≥2500時,每天利潤為(8-6)x=2x元,
-x+800.
∵-1<0,∴y隨x增大而減小,∴當x=300時,y最大.
10.15 [解析]由題意知,盒子中球的總個數為5÷0.25=20,所以盒子中紅球的個數為20-5=15.
歸納總結 本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

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