資源簡(jiǎn)介

25.2 用列舉法求概率
第 1課時(shí) 用列舉法求概率 (1)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.(2024·北京中考)不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個(gè)，兩個(gè)小球除顏色外無(wú)其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是( ).
A. B. C. D.
2.2024年央視春晚的主題為“龍行贏贏，欣欣家國(guó)”.“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發(fā)有為、昂揚(yáng)向上的精神風(fēng)貌.將分別印有“龍”“行”“贏”“贏”四張質(zhì)地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機(jī)抽取一張不放回，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為（ ）.
A. B. C. D.
3.(2024·常州中考)在3 張相同的小紙條上分別寫(xiě)有“石頭”“剪子”“布”.將這 3 張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻.
(1)從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是 .
(2)甲、乙兩人通過(guò)抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”.甲先從盒子中任意抽出1支簽(不放回)，乙再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽，求甲取勝的概率.
思維拓展提優(yōu)
4.(2024·東營(yíng)中考)如圖,四邊形 AB-CD 是平行四邊形,從①AC=BD;②AC⊥BD;③AB=BC,這三個(gè)條件中任意選取兩個(gè)，能使□ABCD 是正方形的概率為（ ）.
A. B. C. D.
5.中考新考法 新定義問(wèn)題 (2023·安徽中考)如果一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)字之差的絕對(duì)值不超過(guò)1，則稱該三位數(shù)為“平穩(wěn)數(shù)”.用1，2，3這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為（ ）.
A. B. C. D.
6.(2025·陜西寶雞鳳翔區(qū)期中)一個(gè)不透明的盒子中裝有7個(gè)除顏色外無(wú)其他差別的小球，其中有2個(gè)黃球和3個(gè)綠球，其余都是紅球，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，恰好都是紅球的概率為 .
7.新情境 “摸球”游戲 小穎和小麗做“摸球”游戲：在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1~4的四個(gè)球(除了編號(hào)外都相同)，先從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回；再?gòu)闹忻鲆粋€(gè)球并記下數(shù)字，則兩次數(shù)字之和大于5 的概率為
8.(重慶渝中區(qū)巴蜀中學(xué)自主招生)將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為a，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為b，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為 .
9.(2025·遼寧盤(pán)錦雙臺(tái)子區(qū)期末)(1)有兩張圖片(分別命名為圖片A、圖片 B)形狀完全相同，景色不同.把兩張圖片全部從中間剪斷(分別命名為A 上、A下、B上、B下)，再把四張形狀相同的小圖片混合在一起，從四張圖片中隨機(jī)摸取一張，接著再隨機(jī)摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少
(2)有三張圖片(分別命名為圖片 C、圖片 D、圖片 E)形狀完全相同，景色不同.把這三張圖片都按同樣的方式剪成相同的三段(分別命名為C上、C 中、C 下、D 上、D 中、D 下、E 上、E 中、E下)，然后將上、中、下三段分別混合洗勻，從三堆圖片中隨機(jī)各抽出一張，求這三張圖片恰好組成一張完整圖片的概率.
延伸探究提優(yōu)
10.(2025·山西運(yùn)城鹽湖區(qū)期中改編)游戲是生活中有趣味的社交活動(dòng)，是人類(lèi)終身不可缺少的伴侶，更是家庭歡樂(lè)的源泉.小剛父親和小剛二叔玩一種游戲，游戲規(guī)則：兩人只可以說(shuō)出“木棒”“老虎”“公雞”“小蟲(chóng)”中的任何一個(gè)，同時(shí)各說(shuō)出一個(gè)后定勝負(fù)，其中“木棒”勝“老虎”、“老虎”勝“公雞”、“公雞”勝“小蟲(chóng)”、“小蟲(chóng)”勝“木棒”.其他情況，則為平局.例如，小剛父親說(shuō)“老虎”，小剛二叔說(shuō)“公雞”，則小剛父親勝；又如，兩人同時(shí)說(shuō)“蟲(chóng)子”，則為平局；再如，一人說(shuō)“公雞”，一人說(shuō)“木棒”，則為平局.
(1)每一次小剛父親說(shuō)出“老虎”的概率是
(2)如果用A，B，C，D分別表示小剛父親說(shuō)的“木棒”“老虎”“公雞”“小蟲(chóng)”;用A ,B ,C ，D 分別表示小剛二叔說(shuō)的“木棒”“老虎”“公雞”“小蟲(chóng)”，那么某一次說(shuō)出時(shí)小剛父親勝小剛二叔的概率是多少 用列表法加以說(shuō)明.
(3)你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔公平嗎 為什么
中考提分新題
11. (2024·南充中考)某研學(xué)基地開(kāi)設(shè)有A,B,C,D四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目.為了解學(xué)生對(duì)四類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的喜愛(ài)情況，隨機(jī)抽取部分參加完研學(xué)項(xiàng)目的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)(每名學(xué)生必須選擇一項(xiàng)，并且只能選擇一項(xiàng))，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖).根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
(1)參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛(ài) B 類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有多少人 在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求C 類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù).
(2)從參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)喜愛(ài)D 類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生(2名男生、2名女生)中隨機(jī)選取2人接受訪談，求恰好選中1名男生1名女生的概率.
第2課時(shí) 用列舉法求概率(2)
基礎(chǔ)鞏固提優(yōu)
1.傳統(tǒng)文化豫劇經(jīng)典人物(2024·河南中考)豫劇是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛(ài).正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同.把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（ ）.
A. B. C. D.
2.實(shí)驗(yàn)班原創(chuàng)甲、乙、丙三人同時(shí)參加一次演講比賽，通過(guò)抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序，則出場(chǎng)順序恰好是甲、乙、丙的概率是 .
3.(2024·鹽城中考)在“重走建軍路，致敬新四軍”紅色研學(xué)活動(dòng)中，學(xué)校建議同學(xué)們利用周末時(shí)間自主到以下三個(gè)基地開(kāi)展研學(xué)活動(dòng).
A.新四軍紀(jì)念館(主館區(qū))；
B.新四軍重建軍部舊址(泰山廟)；
C.新四軍重建軍部紀(jì)念塔(大銅馬).
小明和小麗各自隨機(jī)選擇一個(gè)基地作為本次研學(xué)活動(dòng)的第一站.
(1)小明選擇基地 A 的概率為 ；
(2)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求小明和小麗選擇相同基地的概率.
思維拓展提優(yōu)
4.教材 P138例3·變式甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母A 和B；乙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母C 和D；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫(xiě)有字母 H 和I.從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球(本題中,A,I是元音字母;B,C,D,H 是輔音字母)，3個(gè)小球上恰好有 1 個(gè)元音字母的概率是（ ）.
A. B. C. D.
5.(浙江寧波自主招生)從1，2，3，4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，c，則二次函數(shù) 與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率為( ).
A. B. C. D.
6.跨學(xué)科電路圖 (2024·內(nèi)江中考)如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開(kāi)關(guān)S ,S ,S 中的兩個(gè)時(shí),燈泡能發(fā)光的概率為（ ）.
A. B. C. D.
7.跨學(xué)科化學(xué)試劑 有 3 個(gè)外觀完全相同的密封且不透明的試劑瓶，分別裝有稀硫酸、稀鹽酸、氯化鈉三種溶液，小星從這3個(gè)試劑瓶中任意抽取2個(gè)，則抽到的2個(gè)都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀鹽酸溶液)的概率是 .
8.(2024·重慶中考)重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源.甲、乙兩人相約來(lái)到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人同時(shí)選擇景點(diǎn) B 的概率為 .
9.假定鳥(niǎo)卵孵化后，雛鳥(niǎo)為雌鳥(niǎo)與為雄鳥(niǎo)的概率相同.如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雛鳥(niǎo)中恰有兩只雄鳥(niǎo)的概率為 .
10.甲、乙、丙三人相約同一天從A 地出發(fā)前往B地.現(xiàn)有 K1和K2兩趟航班，在三人沒(méi)有商量的前提下，求：
(1)甲選擇K2航班的概率；
(2)甲、乙、丙三人選擇同一航班的概率.
延伸探究提優(yōu)
11.(2025·山東棗莊市中區(qū)期末)小明正在參加全國(guó)“數(shù)學(xué)競(jìng)賽”，只要他再答對(duì)最后兩道單選題就能順利過(guò)關(guān)，其中第一道題有 3個(gè)選項(xiàng)，第二道題有4個(gè)選項(xiàng)，而這兩道題小明都不會(huì)，不過(guò)小明還有一次“求助”沒(méi)有使用(使用“求助”可讓主持人去掉其中一題的一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)).
(1)如果小明第一題不使用“求助”，隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)，那么小明答對(duì)第一道題的概率是多少
(2)如果小明將“求助”留在第二題使用，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求小明能順利過(guò)關(guān)的概率.
(3)請(qǐng)你從概率的角度分析，建議小明在第幾題使用“求助”，才能使他過(guò)關(guān)的概率較大.
中考提分新題
12.(2024·遂寧中考)遂寧市作為全國(guó)旅游城市，有眾多著名景點(diǎn)，為了解“五一”假期同學(xué)們的出游情況，某實(shí)踐探究小組對(duì)部分同學(xué)假期旅游地做了調(diào)查，以下是調(diào)查報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)完善報(bào)告：
××小組關(guān)于××學(xué)校學(xué)生“五一”出游情況調(diào)查報(bào)告
數(shù)據(jù)收集
調(diào)查方式 抽樣調(diào)查 調(diào)查對(duì)象××學(xué)校學(xué)生
數(shù)據(jù)的整理與描述
景點(diǎn) A：中國(guó)死海 B：龍鳳古鎮(zhèn) C：靈泉風(fēng)景區(qū) D:金華山 E:未出游 F:其他
數(shù)據(jù)分析及運(yùn)用
(1)本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m= ，“B：龍鳳古鎮(zhèn)”對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)是 ； (2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖； (3)該學(xué)校總?cè)藬?shù)為1800 人，請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)； (4)未出游中的甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃下次假期從A，B，C，D四個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)景點(diǎn)旅游，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點(diǎn)的概率.
25.2 用列舉法求概率
第1課時(shí) 用列舉法求概率(1)
1. A 2. A
3.(1)
(2)列表如下：
石頭 剪子 布
石頭 (石頭，剪子) (石頭，布)
剪子 (剪子，石頭) (剪子，布)
布 (布，石頭) (布，剪子)
共有6種等可能的結(jié)果，其中甲取勝的結(jié)果有：(石頭，剪子),(剪子,布),(布,石頭),共3種,
∴甲取勝的概率為
易錯(cuò)警示 對(duì)于某一事件的結(jié)果，放回抽樣與不放回抽樣是完全不同的，因此應(yīng)仔細(xì)、認(rèn)真地體會(huì)，并作出正確判斷，正確地列表求概率.
4. A[解析]列表如下:
① ② ③
① (①,②) (①,③)
② (②,①) (②,③)
③ (③,①) (③,②)
共有6種等可能的結(jié)果，其中能使□ABCD 是正方形的結(jié)果有(①,②),(①,③),(②,①),(③,①),共4種,
∴能使 ABCD 是正方形的概率為 故選 A.
5. C[解析]用1，2，3這三個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),出現(xiàn)的等可能結(jié)果有123,132,213,231,312,321，其中恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的有123，321，所以恰好是“平穩(wěn)數(shù)”的概率為 故選C.
6.
7. [解析]列表如下：
1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
由表可知所有等可能的情況有16種，其中數(shù)字之和大于5的情況有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6種,∴兩次數(shù)字之和大于5的概率為
歸納總結(jié) 在討論事件發(fā)生的概率時(shí)，如果出現(xiàn)的可能性有限，且機(jī)會(huì)均等，對(duì)含有兩次操作(例如擲骰子兩次)或兩個(gè)條件(例如兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán))的事件，先選其中的一次操作或一個(gè)條件作為橫行，另一次操作或另一個(gè)條件作為豎列，列出表格，再看我們關(guān)注的事件出現(xiàn)的次數(shù)占總數(shù)的比例.
8. [解析]由a，b的實(shí)際意義為擲骰子點(diǎn)數(shù)，易知a，b都為大于0的整數(shù)，①當(dāng)a-2b=0時(shí)，方程組無(wú)解；②當(dāng)a-2b≠0時(shí)，方程組有解，則兩式聯(lián)合求解可得 ∵x,y都大于0， 或;a> ,b< .∵a,b者都為1到6的整數(shù),∴當(dāng)a為1時(shí),b 只能是1,2,3,4,5,6;或者當(dāng)a為2，3，4，5，6時(shí)，b無(wú)解.這兩種情況的總出現(xiàn)的可能有6種:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),又?jǐn)S兩次骰子共有 6×6=36(種)等可能的情況，故所求概率為
9.(1)列表如下:
A 上 A下 B 上 B下
A 上 (A上,A下) (A 上,B 上) (A上,B 下)
A下 (A下,A上) (A下,B上) (A下,B 下)
B上 (B上,A 上) (B 上,A 下) (B上,B 下)
B下 (B下,A 上) (B 下,A下) (B下,B 上)
共有12種等可能的結(jié)果，其中這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果有(A上,A下),(A下,A上),(B上,B下),(B下,B上),共4種,
∴這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為
(2)從三堆圖片中隨機(jī)各抽出一張，所有等可能的結(jié)果有：(C上,C中,C 下),(C上,C 中,D 下),(C 上,C 中,E下),(C上,D中,C下),(C上,D 中,D下),(C上,D 中,E下),(C上,E中,C 下),(C上,E中,D下),(C上,E中,E下),(D上,C中,C下),(D上,C中,D 下),(D上,C中,E下),(D上,D 中,C下),(D上,D 中,D 下),(D上,D中,E下),(D上,E中,C下),(D 上,E中,D 下),(D上,E 中,E 下),(E上,C中,C下),(E 上,C 中,D下),(E上,C中,E下),(E上,D 中,C下),(E上,D 中,D下),(E上,D中,E下),(E上,E中,C下),(E上,E中,D 下),(E上,E中,E下),共27種,
其中這三張圖片恰好組成一張完整圖片的結(jié)果有(C上，C中,C下),(D上,D中,D下),(E上,E中,E下),共3種,∴這三張圖片恰好組成一張完整圖片的概率為 10.(1)
(2)列表如下：
A B C D
A (A,A ) (A,B ) (A,C ) (A,D )
B (B,A ) (B,B ) (B,C ) (B,D )
C (C,A ) (C,B ) (C,C ) (C,D )
D (D,A ) (D,B ) (D,C ) (D,D )
由表格可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中小剛父親勝小剛二叔的結(jié)果有4種，
∴某一次說(shuō)出時(shí)小剛父親勝小剛二叔的概率為
(3)公平，理由如下：由表格可知某一次說(shuō)出時(shí)小剛二叔勝小剛父親的概率為 ∴兩人獲勝的概率相等，這個(gè)游戲?qū)π偢赣H和小剛二叔是公平的.
11.(1)樣本容量為16÷40%=40,
參加調(diào)查統(tǒng)計(jì)的學(xué)生中喜愛(ài)B 類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目人數(shù)為40×20%=8,
在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為
故喜愛(ài)B類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目有8人，C類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目所在扇形的圓心角的度數(shù)為 108°.
(2)喜愛(ài) D 類(lèi)研學(xué)項(xiàng)目的4名學(xué)生分別記為男1、男2、女1、女2.列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1,男2 男1,女1 男1,女2
男2 男2,男1 男2,女1 男2,女2
女1 女1,男1 女1,男2 女1,女2
女2 女2,男1 女2,男2 女2,女1
由表可知，抽取2名學(xué)生共有12種等可能的結(jié)果，抽中1名男生1名女生(記作事件M)共8種可能，
故抽中1名男生1名女生的概率為
第2課時(shí) 用列舉法求概率(2)
1. D[解析]把3張卡片分別記為A，B，C，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果有3種，∴兩次抽取的卡片正面相同的概率為 .故選D.
歸納總結(jié) 列舉法求概率三種方法(直接列舉法、列表法、畫(huà)樹(shù)狀圖法)的選擇：當(dāng)隨機(jī)事件中只含一個(gè)元素(或一步試驗(yàn))或雖含兩個(gè)元素(或兩步試驗(yàn))但情況較少時(shí)通常用直接列舉法求概率；當(dāng)隨機(jī)事件中含兩個(gè)元素(或兩步試驗(yàn))且出現(xiàn)結(jié)果的可能性較多時(shí)通常用列表法求概率；當(dāng)隨機(jī)事件中含有三個(gè)或三個(gè)以上元素(或三步及三步以上試驗(yàn))時(shí)用畫(huà)樹(shù)狀圖法.
2. [解析]根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，其中出場(chǎng)順序恰好是甲、乙、丙的結(jié)果有1種，故出場(chǎng)順序恰好是甲、乙、丙的概率為
一共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人選擇同一景點(diǎn)有4種結(jié)果，∴P(甲、乙兩位同學(xué)選擇同一景點(diǎn))
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖可得，一共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小麗選擇相同基地的結(jié)果有3種，
∴小明和小麗選擇相同基地的概率為
4. 答案C[解析]根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有8種等可能的結(jié)果，其中3 個(gè)小球上恰好有1個(gè)元音字母的結(jié)果有4種，則3個(gè)小球上恰好有1個(gè)元音字母的概率是 故選C.
5. B[解析]根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中使判別式 即ac<4的有4種結(jié)果，∴二次函數(shù) 與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率為 故選 B.
6. A
[解析]根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖可知共有6種等可能的結(jié)果，其中抽到的2個(gè)都是酸性溶液的結(jié)果為2種，即所求概率為
[解析]畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

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