資源簡介

2024-2025學年甘肅省蘭州市華僑教育集團九年級（上）期中數學試卷
一、單選題
1．（3分）下列方程中是關于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2
C． D．x2＝0
2．（3分）如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），下列結論錯誤的是（　　）
A． B．BC2＝AB AC
C． D．0.618
3．（3分）如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4，l5于點A，B，C和點D，E，F，如果DE：DF＝3：5，AC＝15，那么BC的長等于（　　）
A．6 B．9 C．10 D．25
4．（3分）如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△A1B1C1相似的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如圖，在正方形網格圖中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，則位似中心是（　　）
A．點R B．點P C．點Q D．點O
6．（3分）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC，BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為（　　）
A．18m B．24m C．36m D．54m
7．（3分）七巧板、九連環、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具．現將1個七巧板，2個九連環，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）關于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實數根，則c＝（　　）
A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1
9．（3分）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時立一根一十五寸的小標桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（　　）
A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸
10．（3分）某經濟技術開發區今年一月份工業產值達50億元，且一月份、二月份、三月份的產值為175億元，若設平均每月的增長率為x，根據題意可列方程（　　）
A．50（1+x）2＝175
B．50+50（1+x）2＝175
C．50（1+x）+50（1+x）2＝175
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175
11．（3分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，連接OE．若OE＝3，則菱形ABCD的周長是（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
12．（3分）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P．連接CP，線段CP長的最小值為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
13．（3分）若，則　 　 ．
14．（3分）若方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是關于x的一元二次方程，則m＝ 　 　 ．
15．（3分）如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD＝4，則EF＝　 　 ．
16．（3分）綜合實踐小組的同學們在相同條件下做了測定某種黃豆種子發芽率的實驗，結果如表所示：
黃豆種子數（單位：粒） 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
發芽種子數（單位：粒） 762 948 1142 1331 1518 1710 1902
種子發芽的頻率（結果保留至小數點后三位） 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951
那么這種黃豆種子發芽的概率約為　 　 （精確到0.01）．
三、解答題
17．用配方法解方程：2x2﹣6x﹣3＝0．
18．解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．
19．先化簡，再求值：，其中x是一元二次方程的根．
20．已知關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若該方程的兩個實數根分別為x1，x2，且，求m的值．
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長．
22．如圖，在13×13的網格圖中，已知△ABC和點M（1，2），
（1）以點M為位似中心，在y軸右側畫出△A′B′C′，使它與△ABC位似，且位似比為2；
（2）寫出△A′B′C′各頂點的坐標．
23．如圖．利用一面墻（墻的長度不限），用20m的籬笆圍成一個矩形場地ABCD．設矩形與墻垂直的一邊AB＝x m，矩形的面積為S m2．
（1）若面積S＝48m2，求AB的長；
（2）能圍成S＝60m2的矩形嗎？說明理由．
24．觀察發現：勞動人民在生產生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”．如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：
①木條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接AB；
②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；
③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的落點記為點D；
④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．
操作體驗：（1）根據“觀察發現”中的信息重現劉師傅的畫法．如圖2，BA＝BC．請畫出以點A為頂點的直角，記作∠DAC；
推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數學原理，請你補全括號里的證明依據：
證明：∵AB＝BC＝BD，
∴△ABC與△ABD是等腰三角形．
∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依據1）
∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依據2）
∴2∠DAC＝180°．
∴∠DAC＝90°．
依據1：　 　 ：依據2：　 　 ；
拓展探究：（3）小亮進一步研究發現，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規在圖3中作出一個以O為頂點的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）
25．某校開展了以“學習百年黨史，匯聚團結偉力”為主題的知識競賽，競賽結束后隨機抽取了部分學生成績進行統計，按成績分成A，B，C，D，E五個等級，并繪制了如下不完整的統計圖．請結合統計圖，解答下列問題：
等級 成績x
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x＜100
（1）本次調查一共隨機抽取了　 　 名學生的成績，補全學生成績頻數分布直方圖；
（2）若成績在80分及以上為優秀，全校共有2000名學生，估計成績優秀的學生有多少人？
（3）本次成績前四名有2名女生和2名男生，若從這四人中隨機抽取2名同學代表學校參加比賽，請用畫樹狀圖或列表法求出全是女學生的概率．
26．綜合與實踐
視力表中蘊含的數學知識
素材1 用硬紙板復制視力表中所對應的“E”，并依次編號①，②，放在水平桌面上．如圖1所示，將②號“E”沿水平桌面向右移動，直至從觀測點O看去，對應頂點P1，P2，O在一條直線上為止．這時我們說，在D1處用①號“E”測得的視力與在D2處用②號“E”測得的視力相同．
任務1 探究圖中與之間的關系，請說明理由；
任務2 若b1＝1.6cm，b2＝1cm，①號“E”的測量距離l1＝40cm，要使測得的視力相同，求②號“E”的測量距離l2．
素材2 為了加強視力保護意識，壯壯想在書房里掛一張測試距離為5m的視力表，但書房空間過小，美美同學想到一個好方法：使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如圖2，在相距3m的兩面墻上分別懸掛視力表（AB）與平面鏡（MN），由平面鏡成像原理，作出了光路圖，通過調整人的位置，使得視力表AB的上、下邊沿A，B發出的光線經平面鏡MN的上下邊沿反射后射入人眼C處，通過測量視力表的全長（AB）就可以計算出鏡長MN．
任務3 美美的方法中如果視力表的全長為0.8m，請計算出鏡長至少為多少米．
27．綜合與實踐
【問題情境】在數學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景．探究動點運動的幾何問題．如圖，在△ABC中，點M，N分別為AB，AC上的動點（不含端點），且AN＝BM．
【初步嘗試】（1）如圖1，當△ABC為等邊三角形時，小顏發現：將MA繞點M逆時針旋轉120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請思考并證明；
【類比探究】（2）小梁嘗試改變三角形的形狀后進一步探究：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于點E，交BC于點F，將MA繞點M逆時針旋轉90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；
【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請直接寫出BN+CM的最小值．
28．在平面直角坐標系xOy中，對任意兩點M（x1，y1），N（x2，y2），我們稱|x1+x2|+|y1+y2|，為點M與點N的“絕對和”，記作S（M，N）．
已知點P（1，0）．
（1）在點Q1（0，2），Q2（﹣1，1），Q3（，）中，與點P的“絕對和”為1的點是 　 　 ；
（2）若直線y＝﹣2x+b上恰好有兩個點與點P的“絕對和”等于1，求b的取值范圍；
（3）已知點R（﹣2，﹣3），正方形ABCD頂點坐標分別為A（﹣1，t+1），B（﹣1，t﹣1），C（1，t﹣1），D（1，t+1）．若線段PR上存在點E，正方形ABCD上存在點F，使得S（E，F）＝2，直接寫出t的取值范圍．

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