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蘭州市第十九中教育集團
2024-2025 學年第一學期期中考試
九年級數(shù)學試卷
一、單選題(每小題3分，共36分)
1.下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的為（　?。?br/>A. B.
C. D.
2.如圖所示，若△ABC∽△DEF，則∠F的度數(shù)為( )
A.28° B.32° C.42° D.52°
3.小明在參觀故宮博物館時,被太和殿窗欞的三交六椀荾花圖案所吸引,他從中提取出一個含60°角的裝形ABCD(如圖1所示).若邊AB的長度為a，則對線線 AC 的長度為( )
A.2a B.a C. D.
4.下列四組線段是成比例線段的是( )
A.1cm,2cm,3cm,4cm B.2cm,3cm,4cm,6cm
C.5cm,6cm,7cm,8cm D.7cm,8cm,9cm,10cm
5.根據(jù)下表得知估算一元二次方程的一個根的范圍是( )
A.-4.26.小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長 BA 為15 米(如圖)，然后在A 處樹立一根高2米的標桿,測得標桿的影長 AC 為3米，則樓高為( )
A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米
A.對角線相等的四邊形是矩形
B.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
C.對角線互相垂直的四邊形是菱形
D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
8.四張看上去無差別的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形和圓,)現(xiàn)將印有圖形的一面朝下，混合均勻后從中隨機抽取兩張，則抽到的卡片上印有的圖形都是中心對稱圖形的概率為( )
A. B. C. D.
9.如果，那么=( )
A.-1 B.3 C.-1或3 D.無法確定
10.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為1，則△DEF與△ABC的面積之比為( )
A.9:1 B.1:9 C.3:1 D.1:3
11.現(xiàn)定義運算“※”：對于任意實數(shù)a、b，都有a※b=a2-b2，如3※4=32-42=-7，若x※3=16，則實數(shù)x的值為( )
A.4或-4 B.7或-1 C.19或-13 D.±5
12.如圖,在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=，下列結論:①△APD∽△AEB；②點B到直線AE的距離是；③EB⊥ED；④.其中正確的結論是( )
A.①② B.①④ C.①③④ D.①②③
二、填空題(每小題3分，共12分)
13.在比例尺為1:2000000的地圖上,測得A,B兩地間的圖上距離為4.5cm,則A,B兩地間的實際距離為 km.
14.黃金分割在生活中有著非常廣泛的應用，如圖，在國旗上的五角星中，C、D兩點都是線段AB的黃金分割點。若AC=2，則AB的長為 .(結果保留根號)
15.設是一元二次方程的兩個根，且，則= ，m= .
16.有A,B兩個黑色布袋,A布袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2,B布袋中有三個完全相同的小球，分別標有數(shù)字1，2，3，小明從A布袋中隨機取出一個球，記錄其標有的數(shù)字為x，再從B布袋中隨機取出一個球，記錄其標有的數(shù)字為y，這樣就確定點Q的一個坐標為(x,y).點Q落在直線y=-x+3上的概率是 .
三、解答題(共72分)
17.(4分)求不等式組： 的解集。
18.(8分)請你用指定的方法解下列方程
(1) 配方法： (2) 公式法：
19.(4分)已知
20.(4分)△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，7)，B(6，8)，C(8，2)，
(1)諸你完成下面的作圖(不要求寫出作法)以0為位似中心,在第三象限內作出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC的位似比為 1:2
(2)標出所有頂點的坐標.
A1 ( , ) , B1 ( , ) , C1( , ) .
21.(5分) 甘肅是農耕文化的發(fā)源地之一，這里深厚的黃土孕育出了很多美食;可口的牛肉面，臨夏的手抓羊肉，天水的麻辣燙等，李華在蘭州旅游期間來到了一家甘肅特色小吃店，他決定在“A.蘭州拉面，B.臨夏羊肉，C.天水麻辣燙，D.定西漿水面”這四種小吃中選擇兩種小吃進行品嘗。若選擇每種小吃的可能性相同.
(1)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出李華選兩種小吃的所有可能的結果；
(2)求出李華選擇品嘗兩種都是面食的概率.
22.(6分)亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人準備用測盤形子的方法測算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法:如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部M，穎穎的頭頂B及亮亮的眼睛A恰在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置C，D.然后測出兩人之間的距離CD=1.25m，穎穎與樓之間的距離DN=30m(C，D，N在一條直線上)，穎穎的身高BD=1.6m，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離AC=0.8m，求住宅樓的高度是多少米.
23.(6分)水果店張阿姨以每斤4元的價格購進某種水果若干斤，然后以每斤6元的價格出售，每天可售出 150斤，通過調查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出30斤，為保證每天至少售出 360斤，張阿姨決定降價銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價降低x元，則每天的銷售量是 斤(用含x的代數(shù)式表示)；(2)銷售這種水果要想每天盈利450元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元
24.(6分)如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上的一個動點(不與點A，B重合)，以CD為邊作等邊△EDC,AC與DE交于點F，連接AE.
(1)求證:△ADF∽△BCD;
(2)若AB:BD=3:1，且AB=12，求△ADF 的面積.
25.(6 分)某校九年級為了解學生課堂發(fā)言情況，隨機抽取該年級部分學生，對他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進行了統(tǒng)計，其結果如下表，并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，已知B、E兩組發(fā)言的人數(shù)比為10:3，諸結合圖中相關數(shù)據(jù)回答下列問題:
(1)A組有 人，C組有 人，E組有 人，并補全直方圖;
(2)該年級共有學生600人，請估計全年級在這天發(fā)言次數(shù)不少于 20 的人數(shù);
(3)已知A組發(fā)言的學生中恰有一位女生，E組發(fā)言的學生中恰有兩位男生，現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位學生寫報告，求所抽的兩位學生至多有一位男生的概率.
26.(7分)某桶裝水經營部每天的房租、人員工資等固定成本為250元，每桶水的進價是5元，規(guī)定銷售單價不得高于 12/元桶，也不得低于7元/桶，調査發(fā)現(xiàn)日均銷售量p(桶)與銷售單價x(元)的函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求日均銷售量p(桶)與銷售單價x(元)的函數(shù)關系;
(2)若該經營部希望日均獲利1350元，請你根據(jù)以上信息，就該桶裝水的銷售單價或銷售數(shù)量，提出一個用一元二次方程解決的問題，并寫出解答過程.
27.(8分)在RtABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖 1，將ACAB繞點C按逆時針方向旋轉90°得到CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關系是 ，AD與BE的位置關系是 .
(2)類比探究
將ΔCAB繞點C按逆時針方向旋轉任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關系、位置關系與(1)中結論是否一致 若AD交CE于點N，請結合圖2說明理由;
(3)遷移應用
如圖3，將△CAB繞點C旋轉一定角度得到△CDE，當點D落到AB邊上時，連接BE，求線段BE的長.
28.(8分)實驗與探究：
三角點陣前n行的點數(shù)計算
如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點..第n行有n個點..容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點陣中前4行的點數(shù)約和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點數(shù)的和嗎
如果要用試驗的方法，由上而下地逐行的相加其點數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+..+23+24-300.得知 300 是前 24行的點數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點陣中前n行的點數(shù)的和與n的數(shù)量關系
前n行的點數(shù)的和是1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n，可以發(fā)現(xiàn).
2×[1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n]
=[1+2+3+..+(n-2)+(n-1)+n]+[n+(n-1)+(n-2)+...3+2+1]
把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加..第n項相加，上式等號的后邊變形為這n個小括號都等于 n+1，整個式子等于n(n+1)，于是得到
這就是說，三角點陣中前n項的點數(shù)的和是
下列用一元二次方程解決上述問題
設三角點陣中前n行的點數(shù)的和為300，則有
整理這個方程，得:
解方程得:
根據(jù)問題中未知數(shù)的意義確定 n=24，即三角點陣中前 24 行的點數(shù)的和是300
請你根據(jù)上述材料回答下列問題:
(1)三角點陣中前n行的點數(shù)的和能是600嗎 如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說明道理.
(2)如果把圖中的三角點陣中各行的點數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究處前n行的點數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎 這個三角點陣中前n行的點數(shù)的和能使 600嗎 如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說明道理.

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