資源簡介

二輪復習示例
空間的平行與垂直
一、教學目標：
1．掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的定義、判定定理和性質定理，并能運用它們進行論證和解決有關的問題，并會規(guī)范地寫出解題過程。
2．掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的定義、判定定理和性質定理，并能運用它們進行論證和解決有關的問題，并會規(guī)范地寫出解題過程。
3．提高立體幾何綜合運用能力，能正確地分析出幾何體中基本元素及其相互關系，能對圖形進行分解、組合和變形。
二、教學重點：
掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定與性質，會利用上述知識論證和解決有關問題。
三、教學過程：
◆一輪回顧
1．已知直線a、b、l及平面M、N。給出下列四個命題
①若a∥M，b∥M，則a∥b
②若a∥M，b⊥a，則b⊥M
③若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M
④若a⊥M，a∥N，則M⊥N
其中真命題的序號是______④_______.（將所有正確結論的序號都寫上）
2．已知m，l是直線，α，β是平面，給出下列命題：
①若l垂直于α內的兩條相交直線，則l⊥α；
②若l平行于α，則l平行于α內的所有直線；
③四面體中最多可以有四個面是直角三角形；
④若mα且l⊥β， 且α∥β則ml
其中正確命題的是 ①③④ 。
3．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設、分別是和的中點，那么① ；② 面；③ ；④ 、異面
其中正確結論的序號是__①②③___________.
4．在正方體中，為底面的中心，、、、分別為棱、、、的中點，請寫出一個與垂直的正方體的截面_________（或或）.（截面以給定的字母表示，不必寫出所有情況）
5．如圖，四棱錐中，為正方形，底面，那么在該圖中，互相垂直的平面有___________對.
6．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面．給出下列的四個命題：
若，，則；
若，，則；
③若，，，則；
④若m、n是異面直線，，，，，則，
其中真命題是 ①和④
◆典型例題
例1．在棱長為的正方體中。
（1）求證：面；
（2）求證：面面；
（3）求證：面；
（4）求證：面面；
（5）求三棱錐的體積。
例2．如圖，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，且，
（1）求證：四點共面；
（2）若點在上，，點在上，
，垂足為，求證：面
解：（1）證明：在DD上取一點N使得DN=1，連接CN，EN，顯然四邊形CFDN是平行四邊形，所以DF//CN，同理四邊形DNEA是平行四邊形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四邊形CNEB是平行四邊形，所以
CN//BE，所以DF//BE，所以四點共面。
（2）因為所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因為AE=1，所以四邊形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB，且EM在平面ABBA內，所以面
例3．（2006天津文，19）如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱。
（I）證明平面；
（II）證明平面OEF⊥平面
（II）設證明平面
證明：
（I）取CD中點M，連結OM。
在矩形ABCD中， 又
則連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。

又平面CDE，且平面CDE，
平面CDE。
（II）由（I）和已知條件，四邊形EFOM為平行四邊形。
平面EFOM
而，平面
故，平面EFOM⊥平面即平面OEF⊥平面
（III）連結FM。
由（I）和已知條件，在等邊中，
且
因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。
平面EOM，從而
而所以平面
由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證明思路.
平行問題的轉化：
面面平行線面平行線線平行；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．?
垂直問題的轉化：
面面垂直線面垂直線線垂直；
主要依據是有關定義及判定定理和性質定理．?
例4．如圖，在直四棱柱中，
已知，．
（1）求證：；
（2）設是上一點，試確定的位置，使平面
，并說明理由．
解．（1）證明：在直四棱柱中，
連結，
，
四邊形是正方形．
．
又，，
平面，
平面，
．
平面，
且，
平面，
又平面，
．
（2）連結，連結，
設，
，連結，
平面平面，
要使平面，
須使，
又是的中點．
是的中點．
又易知，
．
即是的中點．
綜上所述，當是的中點時，可使平面．
【解析】本題主要考查立體幾何中的主干知識，如線而平行、線面垂直等，考查空間想象能力、推理論證能力，本題屬中等題。
◆小結：
1. 直線與平面的平行、垂直是空間線線、線面與面面的位置關系的一種特殊情況，應熟練掌握直線與平面平行、垂直的定義、判定定理、性質定理，并能依據條件靈活運用。
常用定理:①線面平行;;
②線線平行:;;;
③面面平行:;;
④線線垂直:;所成角900；(三垂線);逆定理?
⑤線面垂直:;;;
⑥面面垂直：二面角900; ;
2．立體幾何中平行、垂直關系的證明的基本思路是利用線面關系的轉化，即：

3．證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點：
①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。
②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。
③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。
④直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運用降維的方法把立體空間問題轉化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉化運用的過程。
◆鞏固練習
1．已知正方體中，點、分別為、的中點。
（1）求證：、、、四點共面；
（2）證明多面體是棱臺。
2．如圖，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE⊥SB，AG⊥SD。
3．已知側棱垂直于底面的三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，且，、、分別為、、的中點。
（1）求證：面；
（2）求證：面。
4．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為、的中點。
（1）求證：面；
（2）求證：面。
5．如圖，四棱錐中，側面為正三角形，且與底面垂直，已知底面是面積為的菱形，，為的中點，求證：
（1）；
（2）面面。

6．如圖，在長方體中，，，、分別為、的中點．
（1）求證：平面；（2）求證：平面．
（3）能否在面內找一點G，使AF若能，請找出所有可能的位置并證明，若不能，請說明理由。
（1）證明：側面，
側面，，
在中，，則有，
，，
又平面．
（2）證明：連、，連交于，
，，四邊形是平行四邊形，

又平面，平面，
平面．
（3）點G所有可能的位置為中點G與點C的連線段。
證明略
課件24張PPT。高三數學二輪復習建議
立體幾何南京師大附中 張士民 立體幾何是高中數學的重要內容
它是歷年高考重點考查的內容
也是高三數學復習的重點之一
◆必考.主要承載著對空間想象能力的考查。
◆好得分.難度中等偏下，分步設問，層次分明，使得不同層次的學生都可得到一定的分數。
一、新課標、考試說明相關內容的解讀
二、近三年高考試題的分析
三、目前學生存在的問題
四、二輪復習建議 一、新課標、考試說明相關內容的解讀
1．江蘇省普通高中數學課程標準教學要求
通過立體幾何初步的教學，使學生經歷直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質的過程；使學生直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對某些結論進行論證，了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力；使學生感受、體驗從整體到局部、從具體到抽象，由淺入深、由表及里、由粗到細等認識事物的一般科學方法。
01 江蘇省普通高中數學課程標準教學要求.doc2．2010江蘇高考數學科考試說明
空間想象能力的考查要求是:能夠根據題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解和組合.
　02 2010江蘇高考數學科考試說明.doc 二、近三年高考試題的分析
1．命題特點
06年是“一小兩大”，33分，占全卷的22%（其中一題是以立幾為背景的應用題），
07年恢復為“一小一大”共17分，占11.3%。這與立體幾何所占的學時比例（36/324）基本相當。
08后,隨著江蘇高考改革的不斷推進，高考數學試卷的結構發(fā)生了變化(分值、題型).
08年江蘇卷只考查了1道解答題（另外在理科附加題中也考查了1道解答題）．
09年又改為“兩小一大”，24分，嚴格來說是“一小一大”（其中一題是以立幾為背景考查推理方法）.
03 08,09年江蘇卷.doc
由此可見，江蘇卷一般是 “一小一大”，大題一般兩小問. 小題以考查空間概念、空間想象能力、點、線、面的位置關系為主。大題一般有二問，以考查位置關系的證明，考查平行與垂直，通常為容易題、中等題。小題，中上難度的題也時有出現(xiàn)。
立體幾何在高考中的占分比重，已隨新課程內容的變化有所下降，考查難度也隨之減弱． 2．趨勢
以多面體為載體考察線面位置關系，線線、線面、面面的平行與垂直問題估計仍是2010年高考立體幾何考查的重點，題量“一小一大”，既考查多面體的概念和性質，又考查空間的線面關系的判定，也有可能考查簡單的計算(長度、面積、體積)，難度是容易題，考探究題的可能性不大。
空間角或距離的計算理科加試則會考。 三、目前學生存在的問題
1．空間想象能力不足。
2．對定理的內涵認識不夠，理解有偏差。如小題會考查對某一判定或性質的理解。
3．書寫的規(guī)范性問題，“會而不對，對而不全”。邏輯關系混亂；無因果關系的推理；條件不足的推理；“三垂線定理”的書寫問題；面與面垂直的書寫。
4．缺少證明平行與垂直的常用的思考角度，思維程序不清。
5．定性的證明需用平幾知識，如通過定量計算來論證的。
1．空間想象能力不足。
圖形語言、文字語言、符號語言是立幾的三種基本語言，三種語言的準確轉換是立體幾何的基本功. 文字語言、符號語言不能準確轉化為圖形，對圖形的分析與解讀能力欠缺。圖形的信息不能準確解讀，不能根據目標對圖形進行分解組合，基本圖形的認識不夠，不能從空間圖形中準確抽取需要的某一個平面圖形來研究。
04 空間想象能力不足.doc
2．對定理的內涵認識不夠，理解有偏差。如小題會考查對某一判定或性質的理解。 ?◆（09江蘇. 12）設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：
（1）若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β；
（2）若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；
（3）設α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則α和β垂直；
（4）直線l與α垂直的充分必要條件是l與內的兩條直線垂直。
上面命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）.
?
四、二輪復習建議
1．復習規(guī)劃
2. 內容寬度、厚度的把握
（1）依綱靠本，控制難度
（2）網絡完備，主干突出
（3）理據充分，規(guī)范答題
（4）重視空間想象能力，識圖畫圖
（5）總結提煉數學思想方法，培養(yǎng)基本的數學觀念
（6）與推理與證明結合，平幾基本圖形的性質向空間的推廣
3. 二輪復習對教學中還需注意
1．復習規(guī)劃
立體幾何二輪復習，建議兩個專題，共四課時：
專題一：空間幾何體（包括直觀圖，展開與折疊，表面積和體積）；
專題二：空間的平行與垂直（點、線、面之間的位置關系，線與線、線與面、面與面平行與垂直的定義、判定定理和性質定理，并能運用它們進行論證和解決有關的問題，并會規(guī)范地寫出解題過程）
05 二輪復習示例-空間的平行與垂直.doc
2. 內容寬度、厚度的把握
（1）依綱靠本，控制難度.
從近年高考立體幾何試題的命題來源來看，很多題目是出自于課本，或略高于課本。
我們在復習備考中，一定要依綱靠本，控制好題目的難度，不出偏題、怪題。
只考必修的內容,只有定性分析(位置關系)，無定量分析(求角和距離等)。
理科復習時可以涉及角和距離的問題.
在立體幾何里，垂直是熱點，中點?？迹襟w是基本的模型。
堅持淺變，把握定義、公式、性質的多種等價表述和圖形的位置變化
（1）依綱靠本，控制難度.
努力變化例題、習題，或條件的增減，或結論的多樣，或解法的多樣，或分解例題為若干個簡單題，或與其他例習題組合為一道難度較大的題，卻能夠輕松的解決．
（2）網絡完備，主干突出
立體幾何的復習要讓學生建立起完整的知識網絡，同時要抓主線攻重點.
平行和垂直是位置關系的核心，而線面垂直又是核心中的核心,對于這部分內容,二輪復習中還要強化，要舍得花時間.要精選例題，讓學生從多角度思考與交流，把證平行或垂直的思路和角度講透。
讓學生體會以下兩點：
06 網絡完備，主干突出.doc例1. （06天津卷）如圖,在五面體ABCDEF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,面CDE是等邊三角形，
棱 ．
（Ⅰ ）證明:FO//平面CDE；
證平行一般思維程序是:先找 “面”,再找 “線”,然后通過
“轉化”、“降維”解決．例1. 如圖,在五面體ABCDEF中,點O是矩形ABCD的對角線的交點,面CDE是等邊三角形,棱 ．
（Ⅱ ）設 ,證明:EO⊥平面CDF．
連結FM，由（Ⅰ）和已知得，
CD⊥平面EOM,∴ CD⊥EO. 連結FM，由（Ⅰ）和已知得，
CD⊥平面EOM,∴ CD⊥EO.
在等邊△CDE中, EM⊥ CD
且 .
∴四邊形EFOM為菱形，
∴ EO⊥FM，
∴ EO⊥平面CDF.證垂直一般思維程序是:
先找 “線”,再找“面”,然
后通過“轉化”、“降維”解決．（3）理據充分，規(guī)范答題
學生注意表述規(guī)范，推理嚴謹，理據充分，答題規(guī)范，避免使用一些正確但不能作為推理依據的結論．
立體幾何中規(guī)范表達的訓練:讓學生自己教自己。選幾道典型題，讓學生上黑板板演，請同學自己點評。強化用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論的習慣，要求每一個邏輯段要非常清楚。個別問題大的學生，可通過平時練習面批加以校正。幾次模擬考試可發(fā)詳細的評分標準，讓學生自己對照，體會會做的題如何不失分，不會做的題多踩得分點。 有關三垂線定理問題，三垂線定理及其逆定理的本質就是線面垂直，可用線面垂直表達.
若直接用，需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內直線的位置，根據定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直時，需說明“由三垂線定理得”.
立幾中凡涉及平面幾何的問題，一定嚴格按照初中平面幾何的證明要求，不能跳步驟。
平行線分線段成比例，在空間證菱形時，僅證四邊相等是不行，必須先證共面或平行四邊形。
關注正方體、棱柱等有哪些可直接用而不須交代證明的性質。（4）重視空間想象能力，識圖畫圖
高考能力立意，立幾也是一個很好的載體。
①會畫圖——根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；
②會識圖——根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；
③會析圖——對圖形進行必要的分解、組合；
④會用圖——對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或實行割補術；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力。
07 重視空間想象能力，識圖畫圖.doc（5）總結提煉數學思想方法，培養(yǎng)基本的數學觀念
在解答問題時，往往需要定理之間的相互轉化，這當中，一個定理的結論，常常又是后續(xù)定理的前提條件。在對問題的證明或計算時，一般需要將立體圖形化歸為平面圖形，把新的問題情景納入到原有的認知結構中去，用我們熟悉的平面幾何知識或三角方法解答。
立體幾何中，平面與空間圖形間的變換（如把平面圖形折疊、旋轉成空間圖形，把空間圖形展開成平面圖形，把空間圖形切割、補形與換底等），要善于運用“轉化”和“降維”的思想方法，通過點、線、面之間的平行與垂直關系，最終將問題歸結到某個平面內，使問題容易解決。
空間問題代數化. 轉化為空間向量的運算。
指導學生自覺地學習和運用數學思想方法去解題，常能收到事半功倍的效果. 08 總結提煉數學思想方法，培養(yǎng)基本的數學觀念.doc
（6）與推理與證明結合(平幾基本圖形的性質向空間的推廣),認識常見圖形

09 與推理與證明結合, 認識常見圖形.doc3. 二輪復習對教學中還需注意
◆指導學生多讀題，讀懂題，學會審題。
◆立足“三基”，基本知識要熟，基本方法要活，基本數學觀念要有。
◆要堅持做到解每一題至少要有兩個解題思路，并堅持讓學生總結．這樣不僅熟練基本知識，活用基本思想方法，而且樹立了信心。
◆要取得好得成績，樹立與保持信心至關重要。
高考數學成績公式：
高考數學成績＝信心＋熟練基本知識＋活用思想方法＋基本規(guī)范。
?謝 謝！

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