資源簡介

數列寒假培訓講座材料
一、高考考綱要求
(一)考試內容：
內 容
要 求
A
B
C
數列的概念
√
等差數列
√
等比數列
√
(二)考試要求：
數列各個知識點的具體考試要求是：
考點
要求
1
數列的概念
理解
2
數列通項公式的意義
了解
3
遞推公式
了解
4
根據遞推公式寫出數列的前幾項
掌握
5
等差數列的概念
理解
6
等差數列的通項公式
掌握
7
等差數列的前n項和公式
掌握
8
等比數列的概念
理解
9
等比數列的通項公式
掌握
10
等比數列的前n項和公式
掌握
11
運用公式解答簡單的問題
靈活
（三）課程標準教學要求：
1．了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數。
理解數列的通項公式的意義。
2．理解等差數列的概念；掌握等差數列的通項公式、前n項和公式，能運用公式解決一些簡單問題。
能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題。了解等差數列與一次函數的關系。
3．理解等比數列的概念；掌握等比數列的通項公式、前n項和公式，能運用公式解決一些簡單問題。
能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題。了解等比數列與指數函數的關系。
數列教學，要注意的問題：
（1）教學中，應使學生了解數列是一種特殊函數，體會數列是反映自然規律的基本數學模型。
（2）教學中，理解數列通項公式的三層意思：通項公式是數列的項與序號的對應關系；會由通項公式寫出數列的前幾項；會根據簡單數列的前幾項寫出數列的一個通項公式。
（3）教學中，要掌握數列中各量之間的基本關系。但訓練要控制難度和復雜程度，避免繁瑣的計算、人為技巧化的難題。
（4）等差數列和等比數列有著廣泛的應用，教學中應重視在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系。通過具體實例（教育貸款、購房貸款、分期付款、放射性物質的衰變、人口增長等）這樣做，即突出了問題意識，也有助于學生理解數列的本質。
（四）考綱示例
1．已知數列{an}的前n項的和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值是 ．
命題意圖：考查數列的前n項和與其通項的關系，以及解簡單不等式的等基礎知識。（中等題）
2．(1)設a1，a2，…，an是各項均不為零的等差數列(n≥4)，且公差d≠0，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：
①當n＝4時，求的數值②求n的所有可能值；
(2)求證：存在一個各項及公差均不為零的n(n≥4)項的等差數列，任意刪去其中的k項(1≤k≤n－3)，都不能使剩下的項（按原來順序）構成等比數列．
命題意圖：以等差數列和等比數列為平臺，主要考查學生的探索與推理能力（難題）
五、近幾年的江蘇數列題看趨勢
（2009江蘇卷）設{an}是公差不為零的等差數列，為其前n項和，滿足a +a= a+ a, S7=7.。
（1）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）試求所有的正整數m，使得為數列{an}中的項.
解：（1）an=2n－7,Sn=n2－6n.
(2) 符合題意的正整數只有m=2..
已知{an}是等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，記Sn為數列{bn}的前n項和．
（1）若bk ＝am（m,k是大于2的正整數），求證：Sk－1＝(m－1) a1；（4分）
（2）若b3 ＝ai（i是某個正整數），求證：q是整數，且數列{bn}中的每一項都是數列{an}中的項；（8分）
（3）是否存在這樣的正數q，使等比數列{bn}中有三項成等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由．（4分）
設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A，B為常數．
（1）求A與B的值；
（2）證明數列{an}為等差數列；
（3）證明不等式－＞1對任何正整數m，n都成立．
二、考查形式與特點
數列是高中代數的重點內容之一，也是高考考查的重點和熱點，在歷年高考中占有比較重要的地位，考查的重點是等差、等比數列的基礎知識、基本技能、基本思想方法，主要測試學生的運算能力、邏輯推理能力以及分析問題和解決問題的能力，從題型上看有以下特點：
分析近兩年高考試題，從分值來看，數列部分約占總分的8%左右．從題型來看，有以下特點:
1．一般有兩道題，一道客觀題，一道主觀題，有時會多一道題，有時會少一道題．在選擇題或填空題中，突出了“小、巧、活”的特點，屬中檔題，要求學生掌握基本概念與基本技能．解答題主要以與函數、不等式、方程、幾何等知識的綜合為考查對象，屬中等難度以上的試題，甚至是難題，多為壓軸題．
2．探索性題型在近幾年高考中也有所體現．解決探索性題型應具有較高的數學思維能力，有利于培養學生創新意識和創造精神，這正是“以能力立意”的命題原則的生動體現．
3．綜合題型．幾乎每年都有，因為綜合題都是在知識的交匯點命題，具有較強的考察思維能力的功能，而數列恰好具有這個特點．
4．應用題型在近幾年考查中明顯增加．結合工業、科學、商業、環保等方面的應用題的解決，涉及到學生的讀題、審題、抽象建模、數學知識的應用等多方面的能力．
5．等差、等比數列的通項公式、求和公式以及一些特殊性質的應用，基本上每年都有，多以選擇、填空題的形式出現，突出“雙基”的考查．
三．主要題型
（一）考查等差數列等比數列的基本量
1．已知數列{an}的前n項的和Sn＝n2－9n，第k項滿足5＜ak＜8，則k的值是 ．
2．已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是 個
3．等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3 S3成等差數列，則{an}的公比為 ．
4．對正整數n，設曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為an，則數列{}的前n項和是 ．
（二）考查數列中的歸納推理
5．將楊輝三角中的奇數換成1，偶數換成0，得到如圖1所示的0-1三角數表．從上往下數，第1次全行的數都為1的是第1行，第2次全行的數都為1的是第3行，…，第次全行的數都為1的是第 行；第61行中1的個數是 ．
第1行　　　　　 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
6．將全體正整數排成一個三角形數陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
……………
按照以上排列的規律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數為 ．
7．函數f(x)由下表定義：
x
1
2
3
4
5
f(x)
3
4
5
2
1
若a1＝2，a2＝5，an＋2＝f(an)，n∈N*，則a2008的值是___________．
（三）對等差數列等比數列的綜合考查
1．背景是等差數列等比數列
8．如果有窮數列a1，a2，a3，…，an（n為正整數）滿足條件a1=an ，a2= an-1 ，…，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，…，n)，我們稱其為“對稱數列”．
(1)設｛bn｝是項數為7的“對稱數列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數列，且b1=2，b4=11．依次寫出｛bn｝的每一項；
(2)設｛cn｝是項數為2k－1(正整數k>1)的“對稱數列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首項為50，公差為－4的等差數列．記｛cn｝各項的和為S2k-1．當k為何值時，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；
(3)對于確定的正整數m>1，寫出所有項數不超過2m的“對稱數列”，使得1，2，22，…，2n-1依次是該數列中連續的項；當m>1500時，求其中一個“對稱數列”前2008項的和S2008．
9．設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1≠b1，它們的前n項的和分別為Sn，Tn，若對一切n∈N*，有Sn＋3＝Tn．
（1）分別寫出一個符合條件的數列{an}和{bn}；
（2）若a1＋b1＝1，數列{cn}滿足：cn＝4＋λ(－1)×2，且當n∈N*時，cn＋1≥cn恒成立，求實數λ的最大值．
10．設無窮等差數列{an}的前n項和為Sn．
(1)若首項a1＝，公差d＝1，求滿足Sk＝(Sk)2的正整數k；
(2)求所有的無窮等差數列{an}，使得對于一切正整數k都有Sk＝(Sk)2成立．
2．背景是遞推關系
11．已知數列{an}中，an＝2an－1＋n（n≥2，n∈N）．
（1）{an}是否可能為等比數列？若可能，求出此等比數列的通項公式；若不可能，說明理由；
（2）設bn＝(－1)n(an＋n＋2)，S＞n為數列{bn}的前n項和，且對于任意的n∈N*，n≤10，都有Sn＜99，求a1的取值范圍
12．設數列{an}的前n項的和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
（1）求a2，a3的值；
（2）求證：數列{Sn＋2}是等比數列；
（3）抽去數列{an}中的第1項、第4項、第7項，…，第3n－2項，…，余下的項順序不變，組成一個新數列{bn}，若{bn}的前n項和為Tn，求證：＜≤．
13．設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1，2，3，…，其中A，B為常數．
（1）求A與B的值；
（2）證明數列{an}為等差數列；
（3）證明不等式－＞1對任何正整數m，n都成立．
3．背景是函數或其它
14．冪函數y＝的圖象上的點 Pn(tn2，tn)(n＝1，2，……)與x軸正半軸上的點Qn及原點O 構成一系列正△PnQn－1Qn(Q0與O重合)，記 an＝QnQn－1．
(1)求a1的值；
(2)求數列 {an} 的通項公式an；
(3)設Sn為數列{an}的前n項和，若對于任意的實數(∈[0，1]，總存在自然數k，當n≥k時，3Sn－3n + 2≥(1－() (3an－1) 恒成立，求k的最小值．
15．已知直線ln：y＝x－與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n＋2(n∈N*)交于不同點An，Bn,其中數列{an}滿足：a1＝1，an+1＝|AnBn|2．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝(an＋2)求數列{bn}的前n項和Sn．
（四）．數列與函數、數列與方程、數列與不等式、數列與幾何等的綜合應用．
（1）數列與函數、幾何
1.(2009年廣東卷文)
已知點(1, )是函數f(x)=ax(a>0, a≠1)的圖象上一點，等比數列{an}的前n項和為f(n) －c,數列{bn}(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－S n－1=+(n≥2).
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數列{ }前n項和為Tn，問Tn> 的最小正整數n是多少? .
解（1）c=1
（2）Tn> 的最小正整數n是112。
2.(2009山東卷理) 等比數列{an}的前n項和為Sn， 已知對任意的n∈N+ ，點(n, Sn)，均在函數y=bx+r b>0且b≠ 1b, r均為常數)的圖像上.
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記bn =2(log2 an+1) (n∈N+) .
證明：對任意的n∈N+ ，不等式 · · …·> 成立
解:(1) r=－1,
(2) 用數學歸納法證明略
【命題立意】:本題主要考查了等比數列的定義,通項公式,以及已知Sn求an的基本題型,并運用數學歸納法證明與自然數有關的命題,以及放縮法證明不等式.
3.(2009山東卷文) 等比數列{an}的前n項和為Sn， 已知對任意的n∈N+ ，點(n, Sn)，均在函數y=bx+r b>0且b≠ 1，（b, r均為常數）的圖像上。
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記bn = n∈N+ 求數列{ bn }的前n項和Tn
解: （1） r=－1；
（2）利用錯位法可求得：Tn= － 
4.（2009廣東卷理） 已知曲線Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．從點P (－1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln，切點為Pn (xn, yn)．
（1）求數列{ xn },{ yn }的通項公式；
（2）證明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
解：（1）xn=,yn=
(2) 證明：略
（2）數列與不等式
5.(2009山東卷理) 等比數列{an}的前n項和為Sn， 已知對任意的n∈N+ ，點(n, Sn)，均在函數y=bx+r b>0且b≠ 1b, r均為常數)的圖像上.
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記bn =2(log2 an+1) (n∈N+) .
證明：對任意的n∈N+ ，不等式 · · …·> 成立
解:(1) r=－1,
(2) 用數學歸納法證明略
6.（2009廣東卷理）已知曲線Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．從點P (－1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln，切點為Pn (xn, yn)．
（1）求數列{ xn },{ yn }的通項公式；
（2）證明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
3.(2009山東卷文) 等比數列{an}的前n項和為Sn， 已知對任意的n∈N+ ，點(n, Sn)，均在函數y=bx+r b>0且b≠ 1，（b, r均為常數）的圖像上。
（1）求r的值；
（11）當b=2時，記bn = n∈N+ 求數列{ bn }的前n項和Tn
解: （1） r=－1；
（2）利用錯位法可求得：Tn= － 
4.（2009廣東卷理） 已知曲線Cn:x2－2nx+y2(n=1,2,3…)．從點P (－1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln，切點為Pn (xn, yn)．
（1）求數列{ xn },{ yn }的通項公式；
（2）證明：x1·x3·x5 ·…x2n －1<< sin.
解：（1）xn=,yn=
(2) 證明：略
9.(2009湖北卷理) 已知數列{an}的前n項和Sn=－an－()n－1+2（n為正整數）。
（Ⅰ）令bn=2nan，求證數列{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令cn= an, Tn= c1+c2+ … + cn，試比較Tn與的大小，并予以證明。
解：（I）an=.
(II) 綜上所述，當n=1,2 ,Tn< , 當n≥3時Tn> .
10.（2009湖南卷文）對于數列{un}若存在常數M＞0,對任意的(n∈N+)，恒有 | un+1 －un | +| un－un－1 | + … | u2－u1 |≤M,則稱數列{un}為B－數列
（1）首項為1，公比為－的等比數列是否為B－數列？請說明理由;
（2）設Sn是數列{xn}的前項和，給出下列兩組論斷；
A組：①數列{xn}是B－數列 ②數列{xn}不是B－數列
B組：③數列{Sn}是B－數列 ④數列{Sn}不是B－數列
請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。
判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3） 若數列{an}是B－數列，證明：數列{ a }也是B－數列.
11.(2009陜西卷理) 已知數列{xn}滿足， x1=, xn+1= (n∈N+).
(1)猜想數列{x2n}的單調性，并證明你的結論；
(Ⅱ)證明：| xn+1－ xn | ≤ ( ) n －1 .
12.（2009四川卷文）設數列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有an=5Sn+1成立，記bn=(n∈N+)。
（1）求數列{an},{bn}的通項公式；
（2）設數列{bn}的前n項和為Rn, 是否存在正整數k使得Rn≥4k成立，若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（3）記cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，設數列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數n都有Tn<;
解：（1）an=(－)n bn= 
（2）不存在正整數k使得Rn≥4k成立。
（3）證明：略
13.（2009四川卷理）設數列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有an=5Sn+1成立，記bn=(n∈N+)。
（I）求數列{bn}的通項公式；
（II）記cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，設數列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數n都有Tn<;
（III）設數列{bn}的前n項和為Rn,已知正實數λ滿足：對任意正整數n,Rn≤λn恒成立，求λ的最小值。
14.（2009重慶卷文）已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an, bn= ,n∈N+．
（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；.
（Ⅱ）設cn=bnbn+1,Sn為數列{cn}的前n項和，求證：Sn≥17n;
（Ⅲ）求證：|b2n－bn|< ．
解：（Ⅰ）b1=4,b2=,b3=
（Ⅱ）證：略
（Ⅲ）證：略
（3）數列的探究性問題
15.（2009北京文）設數列{an}的通項公式為an =pn+q(n∈N+,P>0). 數列{bn}定義如下：對于正整數m，bm是使得不等式an≥ m成立的所有 n中的最小值.
（Ⅰ）若p=, q=－，求b3；
（Ⅱ）若p=2, q=－1，求數列{bm}的前2m項和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.
解：本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、
分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題.
（Ⅰ）b3=7
（Ⅱ）b1+ b2+…+ b=m2+2m
（Ⅲ）存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)；
p和q的取值范圍分別是p=,－ ≤q<－. .
16.（2009江西卷理）各項均為正數的數列{an}，a1=a, a2=b，且對滿足m+n=p+q的正整數m,n,p,q
都有= 
（1）當a =, b =時，求通項an .
（2）證明：對任意a，存在與a有關的常數λ，使得對于每個正整數n，都有 ≤an ≤λ
解：（1）an =
(2) 取λ= ,  ≤an ≤λ,其中g(a)= 
17.（2009湖南卷文）對于數列{un}若存在常數M＞0,對任意的(n∈N+)，恒有 | un+1 －un | +| un－un－1 | + … | u2－u1 |≤M,則稱數列{un}為B－數列
（1）首項為1，公比為－的等比數列是否為B－數列？請說明理由;
（2）設Sn是數列{xn}的前項和，給出下列兩組論斷；
A組：①數列{xn}是B－數列 ②數列{xn}不是B－數列
B組：③數列{Sn}是B－數列 ④數列{Sn}不是B－數列
請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。
判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3） 若數列{an}是B－數列，證明：數列{ a }也是B－數列.
解: （1）所以首項為1，公比為－的等比數列是B－數列 .
（2）命題1：若數列{xn}是B－數列，則數列{Sn}是B－數列.此命題為假命題.
命題2：若數列{Sn}是 B－數列，則數列{xn}是B－數列。此命題為真命題。
(3)若數列{an}是B－數列，則數列{ a }也是B－數列.。
18.（2009四川卷文）設數列{an}的前n項和為Sn，對任意的正整數n，都有an=5Sn+1成立，記bn=(n∈N+)。
（1）求數列{an},{bn}的通項公式；
（2）設數列{bn}的前n項和為Rn, 是否存在正整數k使得Rn≥4k成立，若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；
（3）記cn= b2n－b2n－1(n∈N+)，設數列{cn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數n都有Tn<;
解：（1）an=(－)n bn= 
（2）不存在正整數k使得Rn≥4k成立。
（3）證明：略
19.（2009年上海卷理）已知{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？請說明理由；
（2）找出所有數列{an}和{bn}，使對一切n∈N+,bn= ,并說明理由；
（3）若a1=5,d=4, b1=q=3,試確定所有的p,使數列{an}中存在某個連續p項的和是數列{bn}中的一項，請證明。
解：（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak
（2）只有當{an}為非零常數列，{bn}為恒等于1的常數列，滿足要求。
（3）證明: 略
20.（2009上海卷文）已知{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？請說明理由；
（2）若bn=aqn（a、q為常數，且aq≠0）對任意m存在k，有bn+1 bn= bk，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若an=2n+1, bn=3n試確定所有的p,使數列{bn}中存在某個連續p項的和是數列中{an}的一項，請證明.
【解】（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak
（2）a、q滿足的充要條件是a=qc，其中c是大于等于－2的整數
(3) 證明: 略
四、復習教學建議：
數列復習過程中應關注的一些問題
1．基本量的選擇與性質的靈活應用；
2．數列通項an與前n項和Sn 之間的關系；
3．理解數列求和的本質與方法：
（1）分解成特殊數列的和
（2）裂項求和
（3）“錯位相減”法求和
（4）倒序求和
4．根據遞推公式，通過尋找規律，運用歸納思想，寫出數列中的某一項或通項，注意從等差、等比、周期等方面進行歸納；
5．數列應用題型，可與工業、科學、商業、環保等方面的具體問題相聯系，注意培養學生的讀題、審題、抽象建模、數學知識的應用等多方面的能力．
6．以等差、等比數列的基本問題為主，突出數列與函數、數列與方程、數列與不等式、數列與幾何等的綜合應用．此類題有三個特點：（1）給出的數列是等差（等比數列），在此基礎上研究新的數列的有關性質；（2）給出的數列不是等差（等比）數列，但構造的新數列是等差（等比）數列；（3）給出的遞推關系中隱含的是等差（等比）關系。一般來說，此類題中有1~2問具有以下特點：（1）用到等差（等比）數列定義證明是等差（等比）數列；（2）求待定系數的值；（3）通過簡化遞推關系，得出是一個等差（等比）數列。
因此，在對此類題的復習中，要加強1~2問的訓練，確保1~2問的得分率
7．數列容易錯的幾個問題：
等比數列求和對公比的討論；
2．數列通項an與前n項和Sn 之間的關系；an＝
3．關于等比中項的計算問題：例如若a、b、c成等比數列，則b2＝ac
b2＝ac是a、b、c成等比數列的必要不充分條件，而b＝是a、b、c成等比數列的既充分又不必要條件；
若a1，a2 ，a3成等比數列，求a2；與若a1，a3，a5成等比數列求a3；
8．關于數列的回歸課本的問題
下面是對一題課本例題的探究
問題:已知Sn是等比數列的前n項的和,S3、S9、S6成等差數列,求證a2、a8、a5成等差數列.
問題1.Sn是等比數列的前n項的和，若k∈N＋ ，k≥2，S k、S3k、S2k成等差數列，則ak－1、a3k－1、a2k－1成等差數列。
問題2.Sn是等比數列的前n項的和，公比q≠1,若k∈N＋ ，k≥2,且ak－1、a3k－1、a2k－1成等差數列, Sk、S3k、S2k成等差數列。
問題3.這樣你又能得到怎樣的結論.
問題4.Sn是等比數列的前n項的和，公比q≠1,若k∈N＋ ,k≥2, Sk、S3k、S2k成等差數列的充要條件是ak－1、a3k－1、a2k－1。
問題5.你如何證明?.
二輪復習專題講義
一、課前預習：
1.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a5=5 a3，則 9 .
2.等差數列{an}前n項和為Sn。已知am+1+am－1 －a=0，S2m－1=38,則m=_10______.
3.設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn =an+1 n∈N+，若數列{bn}有連續四項在集合{－54, －23,19,37,82}中，則6q= － 9 .
4.等比數列{an}的公比q>0, 已知=1，an+2+an+1=6an，則{an}的前4項和S4=  .
二、例題精講：
例1.已知點(1, )是函數f(x)=ax(a>0, a≠1)的圖象上一點，等比數列{an}的前n項和為f(n) －c,數列{bn}(bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－S n－1=+
(n≥2)
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）若數列{ }前n項和為Tn，問Tn> 的最小正整數n是多少? .
解（1）c=1
（2）Tn> 的最小正整數n是112。
例2.設數列{an}的通項公式為an =pn+q(n∈N+,P>0). 數列{bn}定義如下：對于正整數m，bm是使得不等式an≥ m成立的所有 n中的最小值.
（Ⅰ）若p=, q=－，求b3；
（Ⅱ）若p=2, q=－1，求數列{bm}的前2m項和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.
解：本題主要考查數列的概念、數列的基本性質，考查運算能力、推理論證能力、
分類討論等數學思想方法．本題是數列與不等式綜合的較難層次題.
（Ⅰ）b3=7
（Ⅱ）b1+ b2+…+ b=m2+2m
（Ⅲ）存在p和q，使得bm=3m+2(n∈N+)；
p和q的取值范圍分別是p=,－ ≤q<－. .
例3.已知{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列
（1）若an=3n+1，是否存在m,n∈N+，有am+1+am= ak？請說明理由；
（2）若bn=aqn（a、q為常數，且aq≠0）對任意m存在k，有bn+1 bn= bk，試求a、q滿足的充要條件；
（3）若an=2n+1, bn=3n試確定所有的p,使數列{bn}中存在某個連續p項的和是數列中{an}的一項，請證明.
【解】（1）不存在m,n∈N+，有am+1+am= ak .
（2）a、q滿足的充要條件是a=qc，其中c是大于等于－2的整數.
(3) 證明: 略
例4. 數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an+2＝(1＋cos2)an＋sin2，n＝1，2，3，…
(1)求a3，a4，并求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn．證明：當n≥6時，|Sn－2|＜
例5. 冪函數y＝的圖象上的點 Pn(tn2，tn)(n＝1，2，……)與x軸正半軸上的點Qn及原點O 構成一系列正△PnQn－1Qn(Q0與O重合)，記 an＝QnQn－1．
(1)求a1的值；
(2)求數列 {an} 的通項公式an；
(3)設Sn為數列{an}的前n項和，若對于任意的實數(∈[0，1]，總存在自然數k，當n≥k時，3Sn－3n + 2≥(1－() (3an－1) 恒成立，求k的最小值．
反饋練習：
1.已知數列{an}滿足：a4n－3=1, a4n－1=0, a2n = an n∈N+則a2009= 1 . a2014= 0
2.設a1=2，an+1=，bn =||,，n∈N+，則數列{bn}的通項公式bn = 2n+1 ．
3.等差數列{an}的前n項和為Sn，且6S5－5S3=5,則a4=  .
4. 已知兩個等差數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，且＝，則使得為整數的正整數n的個數是 個
5．(2009湖北卷理) 已知數列{an}的前n項和Sn=－an－()n－1+2（n為正整數）.
（Ⅰ）令bn=2nan，求證數列{bn}是等差數列，并求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令cn= an, Tn= c1+c2+ … + cn，試比較Tn與的大小，并予以證明。
解：（I）an=.
(II) 綜上所述，當n=1,2 ,Tn< , 當n≥3時Tn> .
6．設數列{an}的前n項的和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
（1）求a2，a3的值；
（2）求證：數列{Sn＋2}是等比數列；
（3）抽去數列{an}中的第1項、第4項、第7項，…，第3n－2項，…，余下的項順序不變，組成一個新數列{bn}，若{bn}的前n項和為Tn，求證：＜≤．
7．設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1≠b1，它們的前n項的和分別為Sn，Tn，若對一切n∈N*，有Sn＋3＝Tn．
（1）分別寫出一個符合條件的數列{an}和{bn}；
（2）若a1＋b1＝1，數列{cn}滿足：cn＝4＋λ(－1)×2，且當n∈N*時，cn＋1≥cn恒成立，求實數λ的最大值．
8．如果有窮數列a1，a2，a3，…，an（n為正整數）滿足條件a1=an ，a2= an-1 ，…，an = a1，即ai = an-i+1(i=1，2，…，n)，我們稱其為“對稱數列”．
(1)設｛bn｝是項數為7的“對稱數列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數列，且b1=2，b4=11．依次寫出｛bn｝的每一項；
(2)設｛cn｝是項數為2k－1(正整數k>1)的“對稱數列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首項為50，公差為－4的等差數列．記｛cn｝各項的和為S2k-1．當k為何值時，S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值；
(3)對于確定的正整數m>1，寫出所有項數不超過2m的“對稱數列”，使得1，2，22，…，2n-1依次是該數列中連續的項；當m>1500時，求其中一個“對稱數列”前2008項的和S2008．
課件29張PPT。謝 謝 !

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