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錯誤——學習進步的階梯
——談《減少初中學生在數學學習中重復出錯的對策研究》課題研究
引言：如果你想讓教師的勞動能多獲得樂趣，天天上課不致變成一種單調乏味的義務，那就應引導每一位教師走上從事教育科研這條幸福的道路上來。
—— 蘇霍姆林斯基
一、為什么會選這個課題？
本來我一直在搞規劃課題的，都是關于學校的整體建設，師訓等綜合性的課題。這些規劃課題設置一般比較大，需要分子課題開展研究，幾年下來，雖然也取得了一些成果，但總有點不務正業的感覺，很想比較正式地搞一些數學的課題來做做。雖然平時對一些數學教學中的一些困惑也有思考，一些零星想法會得到實施，但這些都是零碎的，做了以后只是一些當時的感悟，日子久了總是會淡忘的。2008年提出了小課題研究，主題是“有效性研究”這剛好解決了我當時的念頭。于是，我對平時的一些想法進行了整理，第一個想法是課堂教學研究，課堂畢竟是我們開展教學的主陣地，是研究不完的內容，引入、課堂組織形式、教學方法、課堂即時評價的情感交流等等，當時我也確定不好，好象選擇很多。記得是期中考試促使了我確定了這個課題，有幾個常見的題型稍微作了一些變化，甚至有一個題是一樣的，結果錯得學生比較多，當時我就想為什么會一錯再錯呢？怎樣才能避免呢？這個問題實際上早已盤繞在我的心里了，早在96年，我曾經思考過這個問題，認為《集錯本》是解決的一個辦法，因為是在初三的時候搞的，雖然有一些效果，但肯做這個《集錯本》的同學不多，學生的認識問題沒有得到很好的解決。以后就放下了這個想法。
期中考的情況又引起了我的思考，我覺得解決“一錯再錯”的問題是我當前最大的有效性，因此決定選擇解決這個問題。課題的名稱我也進行了反復的思考和修改，最后定名為這個課題名稱。
二、怎樣做這個課題呢？
1、確定本課題的研究主題為：減少初中學生在數學學習中重復出錯的對策研究，研究對象為：初中學生在數學學習中重復出現的錯誤，錯誤產生的原因，以及為減少這些錯誤學生、教師所采用的一些對策。初中學生在數學學習中重復出現的錯誤是難以根除的，研究的目的是為了縮小這些錯誤的影響面和防止這些錯誤。
2、認為做《錯誤集》是開展這個課題研究的基礎。要做好這個《錯誤集》，關鍵要解決學生的認識問題。①、做好宣傳工作。做《錯誤集》體現了書越讀越薄，能把學習時間集中到你還需要掌握的知識上去，這反映了學習的最大的效率，要相信學生是希望把自己的學習搞好的。②、要及時指導學生如何做好《錯誤集》，開始時每天督促學生做好。有時也采用一些強制的手段，直到學生養成習慣。這里有一個反復扎的問題。開始時，只要求把錯題記上就行，慢慢過渡到寫錯因。③、提高對錯誤的認識，為《錯誤集》正名。把有錯誤看成是常態，不對錯誤進行異化，把學習中的錯誤看作是進步的階梯。使學生在學習過程中能正確地對待錯誤，把發現錯誤當作是進步的開始。我們還給它取了一個好聽的名字《進步的階梯》，借此提醒同學做好《進步的階梯》，使自己的學習不斷取得進步。正是有了這樣的認識，學生才能主動地打量自己的學習，提高了學生發現錯誤、改正錯誤的主動性，也提高了學生的反思能力和學習能力。④、讓學生嘗到甜頭，每章搞一個小測試，比比誰能做全對，安排一些做過的易錯題，或稍加改變的題，讓學生在比較中提高自己做《錯誤集》的積極性。在七年級期末考試后，有不少同學已經嘗到了甜頭，樂于做《錯誤集》了。
3、指導學生如何利用《錯誤集》。
①、經常閱讀。錯題本不是把做錯的習題記下來就完了。同學們要經常在空閑時間或準備下一次考試時，拿出錯題本，瀏覽一下，對錯題不妨再做一遍，這樣就使每一道題都發揮出最大效果，在今后遇到同類習題時，會立刻回想起曾經犯過的錯誤，從而避免再犯。做到同一道題不能錯兩次，同一類題目不能錯兩次，從而減少習題量。
　②、相互交流。由于基礎不同，各位同學所建立的錯題本也不同。通過交流，同學們可以從別人的錯誤中吸取教訓，得到啟發，以此警示自己不犯同樣的錯誤，提高練習的準確性。
③、做好標記。在以后的回顧中，要經常思考：那些已經基本掌握的，這些還在錯，用不同顏色的筆做好標記。減少一些重復的作業，使自己的學習輕松起來。尤其是在復習階段，每個同學的學習情況不盡相同，教師允許不同水平的同學選做一些題，這樣也有助于學生自覺學習，培養自主學習的習慣，體驗“書越讀薄”，知識掌握得越來越全面的成功感受，為以后的學習增添自信。
④、自編習題、相互考查。在復習階段，教師在復習時留出時間讓學生相互考查，可以是同桌之間、好朋友之間、同水平同學之間，教師根據不同的安排，事先讓學生編擬相關要求的題目，以此提高學生思考錯題背后原因的積極性，從實際中還可以欣喜地看到：這種做題的方式學生還是比較喜歡的，促進了學生之間的數學交流。
課題結題前，我讓同學們寫了對《進步階梯》的看法，對待錯誤的看法都向著積極的方向轉化，許多同學寫得很生動的，自己非常高興地看到了同學們的成長。如唐露瑩同學在“怎樣做好〈進步階梯”〉中開頭寫到：“學習中難免有錯誤，面對錯誤，你是勇敢面對呢？還是逃避呢？我記得，梁啟超先生在《成敗》一文中寫道：天下豈有終身不經失敗之人哉！做過不如錯過，錯過不如錯得多。失敗者實天惠之學校也，能受此天惠與否，則亦視其人也已矣。錯誤實在是學習得到進步的階梯，戰勝了錯誤，你就取得了成功。”，如趙曉瀟同學寫的：“數學就好比是一個金庫，前面的路是艱辛的，要靠著自己勤勞的雙手去挖掘；數學就好比是一個城堡，底下的基層是艱難的，要靠著自己頑強的毅力去建造； 數學就好比是一道彩虹，暴風雨前的天空是泥濘的，要靠著自己不懈的奮斗去尋找。”，這些都是對錯誤、對挫折的積極理解。
通過不斷地收集錯誤、糾正錯誤、思考錯誤、知道錯誤產生的原因，使極大部分學生的學習成績有了明顯的進步，就學習的內容來說也是如此。從這次期末考試的情況來看，基礎知識掌握的程度提高了，計算、解方程、簡單的幾何證明只有幾個學生發生錯誤，應用題、操作題、綜合題的解題能力也有了較大的提高。通過觀察，學生的作業習慣、改錯習慣、閱讀習慣都有了明顯的改善。在上課時可以發現學生思維的深刻性、廣闊性有了明顯的變化，以前是是啟而不發，現在大多數同學們都能在啟發下，發表自己的觀點，甚至是一些富有創造性的思路。這主要得益于對錯題的不斷思考，不僅僅思考做出就行了，而且要明白自己在哪些地方容易出錯，為什么會出錯？經常去想一想這題有多種解法嗎？這些題之間有什么相互關系嗎？我能自己改變這個題嗎？……這樣，學生的糾錯，由知識的表面深入到了數學的思想和方法上，學生走上了更廣闊的數學課堂。
4、教師要做好《知錯本》，掌握教學的主動性
學生做的《進步的階梯》，是本課題的重要基礎。教師在開始時加強督促與檢查，每天對《進步的階梯》進行檢查，并摘抄其中典型的錯例，做好歸因分析。以后對它們進行不定期檢查或抽查，當然，教師每天都要對學生錯誤情況做歸因分析。對每一個錯誤，主要做了以下幾個工作：題目、錯解、正解、錯因分析、糾錯對策。
如：關于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍。
【錯解】：∵原方程有兩個不相等的實數根
∴Δ＞0　即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44
－28m＋44＞0　　m＜11/7
∴ m＜11/7時，原方程有兩個實數根
【正解】：還必須注意二次項系數不能為零 m－1≠0 m≠1
∴當m＜11/7且m≠1時，原方程有兩個不相等的實數根
【錯因剖析】：錯解忽視了在學一元二次方程該概念時，“二次項系數不能為零”的條件，學生在辨析時一般會強調自己忘了注意點了，實質是對這一類概念問題的認識不清：以前學一元一次方程和一次函數時，就曾犯過忘記前提的錯誤,此題犯錯是對這類題犯錯的延續，這種錯誤不僅學困生會犯,學習程度好的學生也同樣易犯.
【糾錯對策】：
⑴、在今后教學中要加深對一元二次方程概念的理解, 要注意相關的變式練習安排。
⑵、也有學習習慣、作業習慣上的問題，有些同學說起來是知道的，說明學生在解題后，沒有檢查的習慣。因此要注意仔細審題、解后檢查的習慣。
⑶、抽時間對這種類型題以診治題的形式強化訓練,使學生避免再犯錯。
如此，經常對學生出現的一些典型錯誤開展歸因分析和對策研究。無疑將增強教師的教學機智，在備課、上課時能很快找到一些問題的癥結所在，并妥善地處理好，這必定能減少學生在數學學習中錯誤出現，由于及早預防，消除了錯誤產生的模糊認識，對避免重復出錯也大有益處。
5、號正錯誤脈搏，在教學的各個環節中預防重復出錯
在做好以上日課的歸因分析的同時，注意進行分析歸納，從中找出他們的共同點，找到減少學生在數學學習中重復出錯的方法和對策，并在教學的各個環節中實施。
預防錯誤的發生，是減少初中學生解題錯誤的主要方法。講課之前，教師應預測到學生學習本課內容時可能產生的錯誤，就能夠在課內講解時有意識地指出并加以強調，從而有效地控制錯誤的發生。
例如，講方程? x/0.4-(0.5-0.15x)/0.2=1 之前，要預見到本題要用分式的基本性質與等式的性質，兩者有可能混淆，因而要在引入新課前須準備一些分數的基本性質與等式的性質的練習，幫助學生弄清兩者的不同，避免產生混亂與錯誤。因此備課時，要仔細研究教科書正文中的關鍵字眼、例題后的注意、小結與復習中的應該注意的幾個問題等，同時還要揣摸學生學習本課內容的心理過程，授業解惑，預先應掌握學生容易出錯之處，防患于未然。預見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、降低錯誤打下基礎。
在課內講解時，要對學生可能出現的問題進行針對性的講解。在概念的引入，公式、結論的推導等方面，應挖掘出有關數學知識中蘊含的容易混淆的概念， 要引導學生用對比的方法，弄清它們的區別和聯系。課內條件允許的話，可由個別學生分析解答例題，再由學生訂正，教師予以總結。并給學生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段，使學生會識別錯誤、改正錯誤。要通過課堂提問 及時了解學生情況，對學生的錯誤回答，要分析其原因，進行針對性講解，利用反面知識鞏固正面知識。課堂練習是發現學生錯誤的另一條途徑，出現問題，及時解決。總之，要通過課堂教學，不僅教會學生知識，而且要使學生學會識別對錯，知錯能改。在講解方法上應多樣化，從不同的角度達到滲透數學思想和方法的教學目的。
在布置作業時，把一些容易出錯、意思容易混淆的題有意安排在一起，以便讓學生去發現他們的區別，發揮作業本身的教育功能。引導學生去思考，使學生的思維能更深刻一些。
在作業講評時，?要認真分析學生作業中的問題，總結出典型錯誤，加以評述。通過講評，進行適當的復習與總結，也使學生再經歷一次嘗試與修正的過程，增強識別、改正錯誤的能力。在開始做《進步的階梯》開始階段，教師還要指導學生如何去做錯誤集，要不厭其煩，指導要到位。
在這一階段中，以上這些方法交替進行，互為因果，在實驗中，學生出現重復錯誤時已能引起學生較大的關注，重復出錯率有了明顯的減少。
現行的教材中編排的例題和練習中，對學生思維的要求不高，教師可以適當增添一些習題，如在等腰三角形性質的教學中就增添了一個習題：1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數為 這為學有余力者提出了挑戰，分類討論這一類型的習題解決需要平時溪水長流的教學，在體會到跳入“陷阱”的痛苦中學會思考問題的全面性。因此，教師在講授新課時，可以適當地設置“陷阱”，引導學生出錯，讓學生對暴露出來的錯誤進行充分討論，不僅能夠使學生牢固掌握正確知識，從而使學生在以后解題中不會掉進“陷阱”里去，同時也有利于學生思維能力的提高。
在課堂教學中要善于處理學生的錯誤觀點，善待學生的種種錯誤，因為這些錯誤學生認為是正確的。要引導學生改變這種錯誤不是簡單的否定能夠做到的，只有讓這種錯誤充分地放大以后，學生才能領悟到錯誤產生的本質，才有可能從根本上改變學生的這種錯誤，甚至能從錯誤的解題中得到一些獨特的做法，學生產生錯誤的地方就是我們教學開展最有效的地方。
教育的主陣地在課堂，減少學生在數學學習中的重復出錯，這對我們的課堂提出了更高的要求，“防患于未然”，還有很多工作值得我們去思考和探索。
教學的理想狀態：學生在第一遍學習時就正確地把握好它，那教學就是最輕松的事了。但事實并非如此，在教與學的過程中總是有一些不良的因素影響著我們，讓錯誤來挑戰我們學習的高度，我們在教學中應正視這些錯誤，把錯誤看成是學習進步的階梯，只要我們戰勝了這些錯誤，我們就能“一覽眾山小”、“ 蕩胸生層云”，享受成功的喜悅，看到更美的風景！


課件17張PPT。 錯誤——學習進步的階梯——談《減少初中學生在數學學習中重復出錯的對策研究》課題研究 如果你想讓教師的勞動能多獲得樂趣，天天上課不致變成一種單調乏味的義務，那就應引導每一位教師走上從事教育科研這條幸福的道路上來。　　　　—— 蘇霍姆林斯基為什么會選這個課題 1、是自己的長期困惑
2、是紹興市中小學“讓教學更有效”學科教改項目 的呼喚
3、是偶發事件的觸發 在教學中對如何減少學生在數學學習中重復出錯進行了再思考，學生在數學學習中重復出錯這是一個老大難問題，雖然亞利斯多德曾經說過：“人不可能兩次踏入同一條河”，這是一個有趣的哲學命題。但在學習中的錯誤卻是“山還是那山，水還是那水”，重復著昨天的故事，學生覺得困惑，教師覺得難受。走出這個怪圈，無疑是“讓教學更有效”的一個進步。 我是怎樣做這個課題 一、確定本課題的研究主題 、目標：
減少初中學生在數學學習中重復出錯的對策研究，研究對象為：初中學生在數學學習中重復出現的錯誤，錯誤產生的原因，以及為減少這些錯誤學生、教師所采用的一些對策。研究的目的是為了縮小這些錯誤的影響面和防止這些錯誤。二、認為做《錯誤集》是開展這個課題研究的基礎要做好這個《錯誤集》，關鍵要解決學生的認識問題 。
1、做好宣傳工作。
2、提高對錯誤的認識，為《錯誤集》正名。
3、要及時指導學生如何做好《錯誤集》利用好《錯誤集》 。
4、讓學生嘗到甜頭 。如何指導學生做好《進步的階梯》呢?首先讓學生端正對錯誤的認識。把有錯誤看成是常態，不對錯誤進行異化，把學習中的錯誤看作是進步的階梯。使學生在學習過程中能正確地對待錯誤，把發現錯誤當作是進步的開始。
取名《進步的階梯》，是想借此提醒同學做好《進步的階梯》，使自己的學習不斷取得進步 。如何做好《進步的階梯》 1、分門別類地把平時作業、練習或考試中做錯的題進行整理、分析、歸類。
　2、把做錯的原題在錯題本上原原本本地抄一遍或剪下來貼在錯題本上，并把原來錯誤的解法清晰地摘要在錯題本上，并在下面留有一塊空白。
　3、糾正錯誤。
　4、定期歸類、整理。如何利用好《進步的階梯》 1、經常閱讀。2、相互交流。
3、做好標記。4、自編習題
5、《進步的階梯》做得好的同學在復習時有選做作業小結一下 想方設法提高學生做、看《進步的階梯》的積極性，提高學生對自己學習的反思能力，提高學生對自己學習情況的關注，這是教學中最有意義的事。沒有什么比學生能主動參與自己的學習中來更重要的事了！教師要做好《知錯本》，掌握教學的主動性在做自己的《知錯本》時，對每一個典型錯誤，主要做了以下幾個工作：
題目、錯解、正解、多解、比較題
錯因分析
糾錯對策。 如：關于x的一元二次方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍。【錯解】：∵原方程有兩個不相等的實數根
∴Δ＞0　即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）
＝－28m＋44
－28m＋44＞0　　m＜11/7
∴ m＜11/7時，原方程有兩個實數根【正解】：還必須注意二次項系數不能為零 m－1≠0 m≠1∴當m＜11/7且m≠1時，原方程有兩個不相等的實數根【錯因剖析】：錯解忽視了在學一元二次方程該概念時，“二次項系數不能為零”的條件，學生在辨析時一般會強調自己忘了注意點了，實質是對這一類概念問題的認識不清：以前學一元一次方程和一次函數時，就曾犯過忘記前提的錯誤,此題犯錯是對這類題犯錯的延續，這種錯誤不僅學困生會犯,學習程度好的學生也同樣易犯. 【糾錯對策】：⑴、在今后教學中要加深對一元二次方程概念的理解, 要注意相關的變式練習安排。
⑵、也有學習習慣、作業習慣上的問題，有些同學說起來是知道的，說明學生在解題后，沒有檢查的習慣。因此要注意仔細審題、解后檢查的習慣。
⑶、抽時間對這種類型題以診治題的形式強化訓練,使學生避免再犯錯。 教師在教學過程中的防錯策略1、課前預防，加強設計
2、課中出錯，引導討論
3、作業錯誤，認真反思
4、集中錯誤，專題辨析
5、復習作業，精心編排歸納而言：1、數學本身的問題：如數學知識、解題方法、解題技巧、數學思想等方面出錯，必須在短時間內得到解決，及時鞏固提高。
2、一般能力上的欠缺。如閱讀能力、學習能力、想象能力等的提高，在短時間內是不可能的，需要平時潛移默化的滲透。
每個教師都應把一般能力的培養看成是學科教學的重要組成部分，這才是真正為學生的人生幸福開展教學一點想法：錯誤就如用鉛筆在白紙上寫錯的字，雖然用橡皮擦掉了，但總是擦不了它舊有的痕跡，總是若隱若現，出現在你的眼前。既然有錯了，那只能勤擦拭，防止它的出現
教學的理想狀態：學生在第一遍學習時就正確地把握好它，那教學就是最輕松的事了。本來無塵埃，何須勤擦拭。希望這樣的學習能多一點。

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