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課件15張PPT。 尋找適合學(xué)生的
教學(xué)設(shè)計(jì)◇基于奧蘇貝爾有意義學(xué)習(xí)理論的對數(shù)函數(shù)概念的引入教學(xué) .數(shù)學(xué)通報 . 2004,4 ◇數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的藝術(shù) .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考. 2006,6◇一堂難以釋懷的公開課 .中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考. 2005,6 ◇透析課堂“美麗的錯誤”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2004,9 ◇讓課堂樂意向不確定性開放----感觸“浙江省第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比”中的一堂觀摩課 .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 .2006,6◇踏花歸來馬蹄香——紹興市高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評后的感觸 .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志. 2005,5 教學(xué)設(shè)計(jì)做的是
怎么樣的一件事情? 教師要進(jìn)行合理的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，就必須懂得并應(yīng)用學(xué)習(xí)心理學(xué)和教學(xué)心理學(xué)的原理和技術(shù)為教學(xué)活動制訂規(guī)劃的過程需要思考需要立意需要創(chuàng)造怎樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)?教學(xué)設(shè)計(jì)框架結(jié)構(gòu) ◆內(nèi)容和內(nèi)容解析 ◆目標(biāo)和目標(biāo)解析 ◆教學(xué)問題診斷分析 ◆教學(xué)支持條件分析 ◆教學(xué)過程設(shè)計(jì) ◆目標(biāo)檢測設(shè)計(jì) ◆ 學(xué)習(xí)行為分析教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)過程起點(diǎn),也是教學(xué)活動的結(jié)果
◆教師要教什么數(shù)學(xué)?
◆學(xué)生要學(xué)什么數(shù)學(xué)?
◆學(xué)生學(xué)完這些數(shù)學(xué)能夠做什么?
教 學(xué) 過 程 設(shè) 計(jì)明晰數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般模式新學(xué)習(xí)內(nèi)容原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)輸入階段相互作用階段階段操作情 境預(yù) 期 目 標(biāo)◆奧蘇貝爾（David P. Ausubel,1918-）的有意義學(xué)習(xí)理論 ◆弗賴登塔爾(H.Freudenthal，1906-1990)的數(shù)學(xué)教育思想 ◆維果茨基（Lev Vygotsky，1896-1934 ) 的“最近發(fā)展區(qū)” ◆波利亞(George Polya,1887—1985)的學(xué)習(xí)三原則 ……深諳(數(shù)學(xué))教育心理學(xué)理論◆馬登(F . Marton)理論 數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的案例點(diǎn)評◆《直線和圓錐曲線的位置關(guān)系》 （復(fù)習(xí)課）◆《直線與平面垂直的判定》（新授課）一條清晰的教學(xué)思路：
明確教什么？怎么教？
◆一個啟發(fā)性的教學(xué)導(dǎo)入：
激發(fā) 調(diào)動請同行批評指正!
謝 謝! 讓課堂樂意向不確定性開放
--------感觸“浙江省第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比” 中的一堂觀摩課
浙江省第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比與觀摩活動日前在浙江衢州二中落下帷幕。筆者有幸觀摩了來自全省各地的十三位參評教師精彩的教學(xué)技藝，感觸頗深。值得一提的是本屆評比中獲第一名的來自溫州中學(xué)的蘇德超老師執(zhí)教的題為《直線和圓錐曲線的位置關(guān)系》（復(fù)習(xí)課）的一堂課更是給筆者留下了深刻而美好的印象，回眸蘇老師執(zhí)教的這堂課，讓筆者想起波利亞(G．Polya)曾說過的一句話：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域。” 蘇老師正是基于這一理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)和諧自然、獨(dú)具匠心，處處蘊(yùn)溢新課程理念，讓人久久回味。現(xiàn)不揣淺陋，對此作一評述，望能得到同行的指正。
1一個有意義但又不太復(fù)雜的題目
例題：已知橢圓C：，直線：y=ax+b
①請你具體給出a，b的一組值，使直線和橢圓C相交。
②直線和橢圓C相交時，a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系？
③若a＋b＝1，試判定直線和橢圓C的位置關(guān)系。
上課伊始，簡短的導(dǎo)語后，蘇老師給出了這道例題的第①個問題，這是個開放題，從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)觀點(diǎn)來看，此題設(shè)計(jì)可謂是以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知和發(fā)展水平為出發(fā)點(diǎn)，以“最近發(fā)展區(qū)”為定向，學(xué)生從形和數(shù)這兩個角度思考后極易說出符合題意的a，b的值（結(jié)果不唯一）。易見，問題①的設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生直觀感受直線和橢圓C相交的情形，而緊接著提出的問題②則旨在讓學(xué)生探求直線和橢圓相交時的一般情形，是對問題①的提升。問題③的提出，是對問題①②的呼應(yīng)。它可以從“直線過定點(diǎn)（1，1）”的幾何角度去解，也可以利用②的結(jié)果這個代數(shù)角度去解決。旨在引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟：處理直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的方法，有代數(shù)方法與幾何方法。這3個問題的設(shè)計(jì)可謂是層層躍進(jìn)，讓學(xué)生“感受”了“從特殊到一般”再“從一般到特殊”的思維歷程。
“從特殊到一般”和“從一般到特殊”，是認(rèn)識問題的普遍規(guī)律。按照梅森（J.Mason）的觀點(diǎn)，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時也是怎樣解題的關(guān)鍵所在。蘇老師通過這3個小問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生“體悟”到了這種重要的數(shù)學(xué)思想方法。
2 基于原題的兩個變式
變式一：已知a＋b＝1，直線：y=ax+b和橢圓C：交于A，B兩點(diǎn)， （請你添加條件），求直線的方程。
變式二：已知直線：y=ax+b和橢圓C:相切，若與共線，求k的取值范圍。
“變式一”的設(shè)計(jì)是這節(jié)課的一大“亮點(diǎn)”。這是個條件開放性問題。這個問題有較大的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個問題上有不同層次的施展。經(jīng)筆者課堂觀察，學(xué)生興趣盎然，思維活躍，添加的條件形形色色，如：
弦AB的中點(diǎn)恰好在軸上；
原點(diǎn)到直線的距離=1；
③；
④若是原點(diǎn)，
⑤線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；
⑥若是原點(diǎn)，當(dāng)面積最小時；
……
涉及到的知識有韋達(dá)定理、弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩直線互相垂直的充要條件、點(diǎn)到直線的距離等等，學(xué)生的思維得到了充分的鍛煉。學(xué)生提出問題后，蘇老師引導(dǎo)學(xué)生一一加以分析和解決，其中在第⑤個條件添加后的求解中，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只要已知線段AB中點(diǎn)的一個橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)即可，蘇老師及時予以肯定，并不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生“探求” 弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。學(xué)生求得軌跡方程后，蘇老師用幾何畫板作了直觀演示，學(xué)生明白了弦AB的中點(diǎn)運(yùn)動是有軌跡的，其坐標(biāo)不能隨便給出，如給出，則只需給出其橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)即可求得直線的方程。知識得到了拓展。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的基本理念3指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。[1]蘇老師的這個開放性問題的設(shè)計(jì)可以說給學(xué)生提供一個寬松的“再創(chuàng)造”的環(huán)境，激發(fā)了學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識。學(xué)生通過添加條件，形成問題，問題來自于學(xué)生，而又通過學(xué)生來解決問題，這樣才真正把提出問題和解決問題的權(quán)利還給了學(xué)生，從思維激發(fā)的角度來看最具有價值。課堂上學(xué)生“搶答”的情形表明積極參與了這個活動，感覺到了創(chuàng)造的需要，教學(xué)效果喜人。
“變式二”把直線與橢圓的位置關(guān)系由“相交”變?yōu)椤跋嗲小保ⅰ敖Y(jié)合”了向量知識，問題設(shè)計(jì)在知識交匯處，對學(xué)生提出了新的挑戰(zhàn)。
3 教學(xué)中的一絲憾意
誠如筆者在“透析課堂‘美麗的錯誤’”[2]一文中所言：課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是門“遺憾的藝術(shù)”，沒有一堂盡美盡善的課。同樣，在蘇老師的這堂課中，也讓我們感到一絲憾意：
其一，在例題的第①個問題給出后,蘇老師急于引導(dǎo)學(xué)生借助圖形得出答案,事實(shí)上對這個問題的解決，學(xué)生真實(shí)的思維活動是不盡這樣的,會有學(xué)生用“一般化策略”，即將待解問題看成特殊問題，通過對它的一般形式問題的解決而得到原問題解的化歸策略。也就是說，在這里，會有學(xué)生通過聯(lián)立直線和橢圓方程，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程“△＞0”找出a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式后，再取滿足條件的a，b值得到解決。而蘇老師因?yàn)闆]有給學(xué)生充分的思考時間，有刻意回避學(xué)生中可能出現(xiàn)的這種情況之嫌。事實(shí)上，每個學(xué)生都有自己的活動經(jīng)驗(yàn)和知識積累，都有自己的思維方式和解決問題的策略，課堂應(yīng)給學(xué)生多一點(diǎn)思考時間，讓學(xué)生把各種“想法” 都呈現(xiàn)出來，然后教師再對學(xué)生提出的種種“想法”加以“甄別”和“引導(dǎo)”，給出合理解釋。
其二，“變式一”結(jié)束后蘇老師給出了“變式二”（對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系由“相交”變?yōu)椤跋嗲小保ⅰ敖Y(jié)合”了向量知識），這種變式是可取的。但筆者認(rèn)為從另一個角度“變式”則更為“合理”。如在學(xué)生添加的條件的基礎(chǔ)上把橢圓方程改變?yōu)殡p曲線方程 ，再改變?yōu)閽佄锞€方程 ，這樣的“變式”更為自然，目的在于培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移能力，通過解題后的“概括”，讓學(xué)生“領(lǐng)悟”：數(shù)學(xué)問題的背景可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻往往是相通的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在掌握這種具有普遍意義和遷移價值的、能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的“策略性”知識。因而，在這里改變圓錐曲線方程背景，拓廣解題方法的應(yīng)用領(lǐng)域，實(shí)際上為學(xué)生提供了一次很好的尋找問題間內(nèi)在邏輯聯(lián)系和“概括”直線和圓錐曲線相交問題的一般原理的機(jī)會，學(xué)生在這種“經(jīng)歷”中能加深對這些知識和解題原理的理解，并逐步形成在廣泛的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中運(yùn)用這些知識和原理的定勢。而也只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到一個原理可運(yùn)用于各種不同的學(xué)習(xí)情境，并形成在各種不同的學(xué)習(xí)情境中運(yùn)用這些原理和知識的定勢時，這些原理和知識才能算真正掌握并有實(shí)用價值。從這個意義上講，上述的“變式”更富教學(xué)價值，而對于“變式二”可作為學(xué)生課后的思考問題，當(dāng)然橢圓方程也可以進(jìn)一步延拓為圓錐曲線的其他方程。
4 總體評述與感觸
值得肯定的是本節(jié)課是一節(jié)通過開放性問題的設(shè)計(jì)，進(jìn)行探究式教學(xué)的典型案例。設(shè)計(jì)理念是突顯學(xué)生主體，極大地調(diào)動學(xué)生參與數(shù)學(xué)研究的積極性，有效地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維活動。通過對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會提出問題、學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法。設(shè)計(jì)特色與效果：轉(zhuǎn)變教師角色，實(shí)現(xiàn)從一個知識的傳授者完全地轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展的促進(jìn)者；從教師空間支配者的權(quán)威地位，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者。另外，此節(jié)課明顯的特色是問題設(shè)計(jì)的開放性與思維方式的開放性，這樣的設(shè)計(jì)既可以讓所有的學(xué)生參與其中探究，又可以讓思維層次不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得不同程度的體驗(yàn)。整堂課問題設(shè)計(jì)自然連續(xù)，既激發(fā)了學(xué)生探究問題的好奇心，又可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題的提出自然，解決問題的數(shù)學(xué)方法統(tǒng)一，前后渾然一體，突出了教學(xué)主題――直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。在學(xué)生自然體驗(yàn)解決問題的過程中體會解析幾何問題的兩種重要方法：代數(shù)方法與幾何方法，感受數(shù)學(xué)分支學(xué)科解析幾何的本質(zhì)－－用代數(shù)方法處理幾何，用幾何的方法理解代數(shù)。
眾所周知，在新課程中，教學(xué)的根本任務(wù)，就是促進(jìn)每一位學(xué)生的發(fā)展，因此教學(xué)不僅面向?qū)W生的現(xiàn)在，更要面向?qū)W生的未來。我們認(rèn)為，只有當(dāng)教學(xué)走在學(xué)生發(fā)展前面的時候，才是好的教學(xué)。所以我們提倡教師要為學(xué)生設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，蘇老師在本課中提出的“變式一”，對學(xué)生來說就極富挑戰(zhàn)性，面對這樣的任務(wù)時，學(xué)生就處于一種不適的困境，但不是令人絕望的深淵，它只是挑戰(zhàn)一個人的智慧。在這樣的課堂上，我們看到的是學(xué)生潛能的如花綻放（如本課中學(xué)生添加的各種條件），師生之間的智慧交融（師生互動“甄別”添加的各種條件）。這樣的課堂必然面對無數(shù)的不確定性，它樂意向這些不確定性開放，一個對新課程理念融會貫通的教師明白，這些不確定性很可能具有獨(dú)特的教育價值，它們本身就是教學(xué)過程不可或缺的一部分。布盧姆(B.S.Bloom)說：“人們無法預(yù)料教學(xué)所產(chǎn)生的成果的全部范圍，沒有預(yù)料不到的成果，教學(xué)也就不成其為一種藝術(shù)了。”確實(shí)，在我們的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中不應(yīng)對課堂情景進(jìn)行太多的預(yù)設(shè)，應(yīng)該給各種不確定性的出現(xiàn)留下足夠的空間（如蘇老師設(shè)計(jì)的“變式一”），并把這些不可預(yù)測的事件（如本課中學(xué)生在“變式一”中添加的條件）作為課堂進(jìn)一步展開的契機(jī)，以此促進(jìn)每個學(xué)生的發(fā)展。正是在這個意義上，請?jiān)试S筆者疾呼：
讓課堂樂意向不確定性開放！
參考文獻(xiàn)
[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)).北京:人民教育出版社,2003
[2] 陳柏良.透析課堂“美麗的錯誤”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004,9
尋找適合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)
人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)（A版）教材自2006年秋季在浙江省全面使用以來，在一線教師中掀起漪漪波瀾，也興起了如何有效實(shí)施新教材的研討熱潮。近來，筆者有幸參與省、市新課程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各類重要活動，感觸頗深。也常使我陷入對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的沉思：“我們究竟需要怎樣的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，又期望學(xué)生通過課堂教學(xué)獲得怎樣的發(fā)展？”而維系這兩者的一個不可回避的問題是教師該如何“采集”和“創(chuàng)生”有效的教學(xué)素材，尋找適合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生獲得最優(yōu)的發(fā)展？結(jié)合實(shí)例，闡述筆者膚淺的見地。
1.教學(xué)設(shè)計(jì)做的是怎么樣的一件事情?
我國著名心理學(xué)家皮連生在其《教學(xué)設(shè)計(jì)——心理學(xué)的理論與技術(shù)》中指出：教師要進(jìn)行合理的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，就必須懂得并應(yīng)用學(xué)習(xí)心理學(xué)和教學(xué)心理學(xué)的原理和技術(shù)。這就告訴我們教學(xué)設(shè)計(jì)必須以一定的理論為基礎(chǔ)，考慮如何把學(xué)習(xí)心理學(xué)和教學(xué)心理學(xué)的原理和技術(shù)滲透到教學(xué)設(shè)計(jì)的各個環(huán)節(jié)。具言之，教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師以現(xiàn)代教學(xué)理論為基礎(chǔ)，依據(jù)教學(xué)對象的特點(diǎn)和教師自己的教學(xué)觀念、經(jīng)驗(yàn)、風(fēng)格，運(yùn)用系統(tǒng)的觀點(diǎn)與方法，分析教學(xué)中的問題的需要，確定教學(xué)目標(biāo)，建立解決問題的步驟，合理組合和安排各種教學(xué)要素，為優(yōu)化教學(xué)效果而制訂實(shí)施方案的系統(tǒng)的計(jì)劃過程。概言之，教學(xué)設(shè)計(jì)即為教學(xué)活動制訂規(guī)劃的過程，既然是規(guī)劃，就需要思考，需要立意、需要創(chuàng)造，為什么同一節(jié)課的內(nèi)容不同教師講會有比較大的差異，那是因?yàn)椴煌睦蠋煂ν唤虒W(xué)內(nèi)容思考的深度不同，立意不同，創(chuàng)造的成分不同。2.怎樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)?
教學(xué)設(shè)計(jì)有沒有固定的模式可循？
最近人教社中學(xué)數(shù)學(xué)室的章建躍主持的國家級課題《中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)研究》中對教學(xué)設(shè)計(jì)的框架是這樣的：
（1）內(nèi)容和內(nèi)容解析；（2）目標(biāo)和目標(biāo)解析；（3）教學(xué)問題診斷分析；（4）學(xué)習(xí)行為分析；（5）教學(xué)支持條件分析；（6）教學(xué)過程設(shè)計(jì)；（7）目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
對每一內(nèi)容進(jìn)行闡述(略)
這個模式對目前教學(xué)設(shè)計(jì)稿的撰寫有極強(qiáng)的指導(dǎo)意義。限于時間，我對目標(biāo)和目標(biāo)解析與教學(xué)過程設(shè)計(jì)進(jìn)行重點(diǎn)分析
2.1教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)過程起點(diǎn)，也是教學(xué)活動的結(jié)果，主要解決：教師要教什么？學(xué)生要學(xué)什么？學(xué)生學(xué)完這些數(shù)學(xué)能夠做什么？它描述的是學(xué)生的行為，不是教師的行為，所以一般不出現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生……、使學(xué)生掌握……、教會學(xué)生……，這種書寫都是不恰當(dāng)?shù)模@種以教師為主體，反映以“教”為中心的方式應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)椤袄斫狻保罢莆铡钡纫詫W(xué)生為行為主體的方式，“學(xué)生應(yīng)該………”，書面上可以省略，但思想上應(yīng)牢記。且每個目標(biāo)必須具有可測性，描述學(xué)生所形成的可觀察、可測量的具體行為。
2.2教學(xué)過程設(shè)計(jì)
2.2.1明析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般模式
情
境
這表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷三個階段：輸入階段、相互作用階段、操作階段，輸入階段主要創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，激發(fā)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)心向；相互作用階段是教學(xué)設(shè)計(jì)中最可以做文章的地方，這里指的相互作用階段主要是接受新知識的兩種方式，即同化和順應(yīng)；操作階段主要指數(shù)學(xué)思維活動，使剛產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)變得完善，這一階段的主要形式是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。
2.2.2深諳(數(shù)學(xué))教育心理學(xué)理論
(1)奧蘇貝爾（David P. Ausubel,1918-）的有意義學(xué)習(xí)理論
(2)弗賴登塔爾(H.Freudenthal，1906-1990) 的數(shù)學(xué)教育思想 (3)維果茨基（Lev Vygotsky，1896-1934 ）的“最近發(fā)展區(qū)”
波利亞(George Polya,1887—1985) 的學(xué)習(xí)三原則 馬登(F . Marton)理論 數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系 數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程 數(shù)學(xué)思想方法的提煉 數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn)3．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析
案例1.《直線與平面垂直》————第三屆全國第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評比的一節(jié)課
本節(jié)設(shè)計(jì)過程及點(diǎn)析
(1)一個有意義但又不太復(fù)雜的題目
例題：已知橢圓C：，直線：y=ax+b
①請你具體給出a，b的一組值，使直線和橢圓C相交。
②直線和橢圓C相交時，a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系？
③若a＋b＝1，試判定直線和橢圓C的位置關(guān)系。
上課伊始，簡短的導(dǎo)語后，蘇老師給出了這道例題的第①個問題，這是個開放題，從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)觀點(diǎn)來看，此題設(shè)計(jì)可謂是以學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知和發(fā)展水平為出發(fā)點(diǎn)，以“最近發(fā)展區(qū)”為定向，學(xué)生從形和數(shù)這兩個角度思考后極易說出符合題意的a，b的值（結(jié)果不唯一）。易見，問題①的設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生直觀感受直線和橢圓C相交的情形，而緊接著提出的問題②則旨在讓學(xué)生探求直線和橢圓相交時的一般情形，是對問題①的提升。問題③的提出，是對問題①②的呼應(yīng)。它可以從“直線過定點(diǎn)（1，1）”的幾何角度去解，也可以利用②的結(jié)果這個代數(shù)角度去解決。旨在引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟：處理直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的方法，有代數(shù)方法與幾何方法。這3個問題的設(shè)計(jì)可謂是層層躍進(jìn)，讓學(xué)生“感受”了“從特殊到一般”再“從一般到特殊”的思維歷程。
“從特殊到一般”和“從一般到特殊”，是認(rèn)識問題的普遍規(guī)律。按照梅森（J.Mason）的觀點(diǎn)，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時也是怎樣解題的關(guān)鍵所在。蘇老師通過這3個小問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生“體悟”到了這種重要的數(shù)學(xué)思想方法。
(2) 基于原題的兩個變式
變式一：已知a＋b＝1，直線：y=ax+b和橢圓C：交于A，B兩點(diǎn)， （請你添加條件），求直線的方程。
變式二：已知直線：y=ax+b和橢圓C:相切，若與共線，求k的取值范圍。
“變式一”的設(shè)計(jì)是這節(jié)課的一大“亮點(diǎn)”。這是個條件開放性問題。這個問題有較大的思維空間，不同層次的學(xué)生都能在這個問題上有不同層次的施展。經(jīng)筆者課堂觀察，學(xué)生興趣盎然，思維活躍，添加的條件形形色色，如：
弦AB的中點(diǎn)恰好在軸上；
原點(diǎn)到直線的距離=1；
③；
④若是原點(diǎn)，
⑤線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；
⑥若是原點(diǎn)，當(dāng)面積最小時；
……
涉及到的知識有韋達(dá)定理、弦長公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩直線互相垂直的充要條件、點(diǎn)到直線的距離等等，學(xué)生的思維得到了充分的鍛煉。學(xué)生提出問題后，蘇老師引導(dǎo)學(xué)生一一加以分析和解決，其中在第⑤個條件添加后的求解中，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只要已知線段AB中點(diǎn)的一個橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)即可，蘇老師及時予以肯定，并不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生“探求” 弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。學(xué)生求得軌跡方程后，蘇老師用幾何畫板作了直觀演示，學(xué)生明白了弦AB的中點(diǎn)運(yùn)動是有軌跡的，其坐標(biāo)不能隨便給出，如給出，則只需給出其橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)即可求得直線的方程。知識得到了拓展。
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的基本理念3指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。[1]蘇老師的這個開放性問題的設(shè)計(jì)可以說給學(xué)生提供一個寬松的“再創(chuàng)造”的環(huán)境，激發(fā)了學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識。學(xué)生通過添加條件，形成問題，問題來自于學(xué)生，而又通過學(xué)生來解決問題，這樣才真正把提出問題和解決問題的權(quán)利還給了學(xué)生，從思維激發(fā)的角度來看最具有價值。課堂上學(xué)生“搶答”的情形表明積極參與了這個活動，感覺到了創(chuàng)造的需要，教學(xué)效果喜人。
“變式二”把直線與橢圓的位置關(guān)系由“相交”變?yōu)椤跋嗲小保ⅰ敖Y(jié)合”了向量知識，問題設(shè)計(jì)在知識交匯處，對學(xué)生提出了新的挑戰(zhàn)。
(3) 教學(xué)中的一絲憾意
誠如筆者在“透析課堂‘美麗的錯誤’”[2]一文中所言：課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是門“遺憾的藝術(shù)”，沒有一堂盡美盡善的課。同樣，在蘇老師的這堂課中，也讓我們感到一絲憾意：
其一，在例題的第①個問題給出后,蘇老師急于引導(dǎo)學(xué)生借助圖形得出答案,事實(shí)上對這個問題的解決，學(xué)生真實(shí)的思維活動是不盡這樣的,會有學(xué)生用“一般化策略”，即將待解問題看成特殊問題，通過對它的一般形式問題的解決而得到原問題解的化歸策略。也就是說，在這里，會有學(xué)生通過聯(lián)立直線和橢圓方程，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程“△＞0”找出a，b應(yīng)滿足的關(guān)系式后，再取滿足條件的a，b值得到解決。而蘇老師因?yàn)闆]有給學(xué)生充分的思考時間，有刻意回避學(xué)生中可能出現(xiàn)的這種情況之嫌。事實(shí)上，每個學(xué)生都有自己的活動經(jīng)驗(yàn)和知識積累，都有自己的思維方式和解決問題的策略，課堂應(yīng)給學(xué)生多一點(diǎn)思考時間，讓學(xué)生把各種“想法” 都呈現(xiàn)出來，然后教師再對學(xué)生提出的種種“想法”加以“甄別”和“引導(dǎo)”，給出合理解釋。
其二，“變式一”結(jié)束后蘇老師給出了“變式二”（對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系由“相交”變?yōu)椤跋嗲小保ⅰ敖Y(jié)合”了向量知識），這種變式是可取的。但筆者認(rèn)為從另一個角度“變式”則更為“合理”。如在學(xué)生添加的條件的基礎(chǔ)上把橢圓方程改變?yōu)殡p曲線方程 ，再改變?yōu)閽佄锞€方程 ，這樣的“變式”更為自然，目的在于培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移能力，通過解題后的“概括”，讓學(xué)生“領(lǐng)悟”：數(shù)學(xué)問題的背景可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法卻往往是相通的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在掌握這種具有普遍意義和遷移價值的、能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的“策略性”知識。因而，在這里改變圓錐曲線方程背景，拓廣解題方法的應(yīng)用領(lǐng)域，實(shí)際上為學(xué)生提供了一次很好的尋找問題間內(nèi)在邏輯聯(lián)系和“概括”直線和圓錐曲線相交問題的一般原理的機(jī)會，學(xué)生在這種“經(jīng)歷”中能加深對這些知識和解題原理的理解，并逐步形成在廣泛的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中運(yùn)用這些知識和原理的定勢。而也只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到一個原理可運(yùn)用于各種不同的學(xué)習(xí)情境，并形成在各種不同的學(xué)習(xí)情境中運(yùn)用這些原理和知識的定勢時，這些原理和知識才能算真正掌握并有實(shí)用價值。從這個意義上講，上述的“變式”更富教學(xué)價值，而對于“變式二”可作為學(xué)生課后的思考問題，當(dāng)然橢圓方程也可以進(jìn)一步延拓為圓錐曲線的其他方程。
(4) 總體評述與感觸
值得肯定的是本節(jié)課是一節(jié)通過開放性問題的設(shè)計(jì)，進(jìn)行探究式教學(xué)的典型案例。設(shè)計(jì)理念是突顯學(xué)生主體，極大地調(diào)動學(xué)生參與數(shù)學(xué)研究的積極性，有效地引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維活動。通過對直線和圓錐曲線位置關(guān)系的復(fù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會提出問題、學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法。設(shè)計(jì)特色與效果：轉(zhuǎn)變教師角色，實(shí)現(xiàn)從一個知識的傳授者完全地轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)能力發(fā)展的促進(jìn)者；從教師空間支配者的權(quán)威地位，轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者。另外，此節(jié)課明顯的特色是問題設(shè)計(jì)的開放性與思維方式的開放性，這樣的設(shè)計(jì)既可以讓所有的學(xué)生參與其中探究，又可以讓思維層次不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得不同程度的體驗(yàn)。整堂課問題設(shè)計(jì)自然連續(xù)，既激發(fā)了學(xué)生探究問題的好奇心，又可以培養(yǎng)學(xué)生的自信心，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題的提出自然，解決問題的數(shù)學(xué)方法統(tǒng)一，前后渾然一體，突出了教學(xué)主題――直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。在學(xué)生自然體驗(yàn)解決問題的過程中體會解析幾何問題的兩種重要方法：代數(shù)方法與幾何方法，感受數(shù)學(xué)分支學(xué)科解析幾何的本質(zhì)－－用代數(shù)方法處理幾何，用幾何的方法理解代數(shù)。
眾所周知，在新課程中，教學(xué)的根本任務(wù)，就是促進(jìn)每一位學(xué)生的發(fā)展，因此教學(xué)不僅面向?qū)W生的現(xiàn)在，更要面向?qū)W生的未來。我們認(rèn)為，只有當(dāng)教學(xué)走在學(xué)生發(fā)展前面的時候，才是好的教學(xué)。所以我們提倡教師要為學(xué)生設(shè)計(jì)有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，蘇老師在本課中提出的“變式一”，對學(xué)生來說就極富挑戰(zhàn)性，面對這樣的任務(wù)時，學(xué)生就處于一種不適的困境，但不是令人絕望的深淵，它只是挑戰(zhàn)一個人的智慧。在這樣的課堂上，我們看到的是學(xué)生潛能的如花綻放（如本課中學(xué)生添加的各種條件），師生之間的智慧交融（師生互動“甄別”添加的各種條件）。這樣的課堂必然面對無數(shù)的不確定性，它樂意向這些不確定性開放，一個對新課程理念融會貫通的教師明白，這些不確定性很可能具有獨(dú)特的教育價值，它們本身就是教學(xué)過程不可或缺的一部分。布盧姆(B.S.Bloom)說：“人們無法預(yù)料教學(xué)所產(chǎn)生的成果的全部范圍，沒有預(yù)料不到的成果，教學(xué)也就不成其為一種藝術(shù)了。”確實(shí)，在我們的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中不應(yīng)對課堂情景進(jìn)行太多的預(yù)設(shè)，應(yīng)該給各種不確定性的出現(xiàn)留下足夠的空間（如蘇老師設(shè)計(jì)的“變式一”），并把這些不可預(yù)測的事件（如本課中學(xué)生在“變式一”中添加的條件）作為課堂進(jìn)一步展開的契機(jī)，以此促進(jìn)每個學(xué)生的發(fā)展。
案例2.<直線與圓錐的位置關(guān)系>————第三屆省第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評比的一節(jié)課
(此處限于篇幅，點(diǎn)評略)
毋庸置疑，教學(xué)設(shè)計(jì)需要考慮的環(huán)節(jié)很多，其中最主要的是解讀教材（用學(xué)生的眼光看教材）和研析學(xué)情（從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新內(nèi)容之間的關(guān)系入手，對不同層次的學(xué)生作不同的分析），只有這樣，才能尋找到適合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)，才能使自己的教學(xué)設(shè)計(jì)適切學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。
然而，無可否置，當(dāng)前有不少教師對學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)不清晰，對教材內(nèi)容理解不深刻、不通透，教學(xué)設(shè)計(jì)也就平淡無奇，因而也就常常缺實(shí)教學(xué)的實(shí)效性。
一般地，基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的教學(xué)設(shè)計(jì)，常常以漢斯·弗賴登塔爾(H.Freudenthal，1906-1990)的現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育思想和維果茨基（Lev Vygotsky，1896—1934）的“最近發(fā)展區(qū)”為理論依據(jù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。Freudenthal先生提倡現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育思想，其意即數(shù)學(xué)教育要聯(lián)系學(xué)生的兩個現(xiàn)實(shí)，即學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)（學(xué)生熟悉的日常生活中的具體事物和從其他學(xué)科學(xué)習(xí)得到的經(jīng)驗(yàn)）和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（學(xué)生已有的反映客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算方法、規(guī)律的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)），他認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的任務(wù)就在于充分利用學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，不斷豐富和擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使之達(dá)到必須達(dá)到的水平。與此相仿，Vygotsky先生認(rèn)為教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時，應(yīng)分析并估計(jì)每個學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)的范圍，即在教學(xué)要求與學(xué)生無人幫助下的情況下能夠獨(dú)自達(dá)到的水平之間有多少差距，這樣，學(xué)習(xí)任務(wù)就不會因?yàn)樘菀锥箤W(xué)生厭倦，也不會因?yàn)樘珡?fù)雜而令學(xué)生望而生畏。
確實(shí)，適合學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)必須遵循一定的數(shù)學(xué)教育理論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教與學(xué)的基本規(guī)律，這就需要教師有一定的創(chuàng)造性．這種創(chuàng)造性體現(xiàn)在教師進(jìn)行設(shè)計(jì)的前期工作——教材分析與處理上；體現(xiàn)在教學(xué)方法的選擇與運(yùn)用上，體現(xiàn)在教學(xué)策略的運(yùn)用上；體現(xiàn)在教學(xué)活動流程的整體布局上；體現(xiàn)在設(shè)計(jì)中的教師的認(rèn)知風(fēng)格上等諸方面．曹才翰先生早就指出：即使有了一套好教材，‘如何教和學(xué)’仍是一個大問題”[1]。更何況在當(dāng)前新教材教學(xué)實(shí)踐期間，更需要一線教師研究‘如何教和學(xué)’的問題，
需要指出的是教材即“教學(xué)的素材”，教師要善于“用學(xué)生的眼光看教材”，對教材進(jìn)行還原、解讀，重新建構(gòu)，以便讓學(xué)生更好地“順應(yīng)”和“同化”知識。也就是說，教師一方面要深刻領(lǐng)悟教材編寫者的“意圖”，另一方面又不能拘泥于教材，在實(shí)際教學(xué)中要勇于突破教材，對教材進(jìn)行“再創(chuàng)造”，以賦予教材新的生命活力。這樣在教學(xué)設(shè)計(jì)中才能經(jīng)常“出彩”。南宋著名學(xué)者陳善曾說：“讀書須知出入法。始當(dāng)求所以入，終當(dāng)求所以出。見得親切，則是入書法；用得透脫，則是出書法。”教學(xué)也有此“出入之法”。只有當(dāng)教師“入”得教材，解讀出其中的內(nèi)涵和價值，才可能在教學(xué)中“用”好教材，教材解讀是發(fā)現(xiàn)教材內(nèi)容的密碼和意義的過程，這個過程是教師與教材進(jìn)行深入對話的過程。在新課程改革日漸深入的今天，教師更需深諳“出入之法”，這樣才能“用”好教材，教出“精彩”。
參考文獻(xiàn)：
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[8]陳柏良．透析課堂“美麗的錯誤”.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2004，9
[9]陳柏良．一堂難以釋懷的公開課.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2005，6
[10]陳柏良．讓課堂樂意向不確定性開放------感觸“浙江省第三屆高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評比”
中的一堂觀摩課.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中)，2006，6

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