資源簡介

提高例題設計有效性的策略
例題是幫助學生理解、掌握和運用數學概念、定理、公式和法則的數學問題，是教師用作示范的具有一定代表性的典型數學問題。例題是把數學知識、技能、思想和方法進行分析、綜合和運用的重要手段，是數學教學的重要組成部分，是抽象的概念、定理、公式和具體實踐之間的橋梁，是使學生的數學知識轉化為數學能力的重要環節。
教師在備課時要選擇、設計例題，一般來說，教材上原有的例題都是編者經過反復推敲而精選的，應充分發揮作用。然而，教學中面對的實際情況卻各不相同，必須按照不同的學生實際情況和不同的內容，在例題設計上精心思考和設計.
一、教學案例的回眸
在學習了“圓”的有關性質后，為了檢測學生的掌握情況，某教師出現了下面一道題：
如圖1，在△ABC中，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=3.求⊙O的半徑。
學生看了一遍題目，便在下面嚷開了：太簡單了！（此時教師讓一名學生解答本題）
學生：由AB是⊙O的直徑，得∠C=90°.
∵BC=3, ∠A=30°,
∴AB=6.
故⊙O的半徑為3.
教師:很好,利用直徑的特征,結合直角三角形性質求出了半徑.
教師：若題中AB不是⊙O的直徑，其余條件不變，那么⊙O的半徑還會是3嗎？
學生：AB不是⊙O的直徑，當然不能，故⊙O的半徑不會是3.
（其實這就是思維定勢在起作用，也正是教師需要學生注意的地方。促使學生思考：此時⊙O的內接三角形中就一定不會有上題中那樣的直角三角形了嗎？）
教師：想一想，這個圓中會不會有上題中那樣的直角三角形出現？
……
此時的學生陷入了思考.圓的直徑所對的圓周角是直角,故有多個直角三角形供選擇,但所構造的直角三角形必須用到已知三角形中的條件,于是學生試著過A、B、C三點畫直徑，直至發現⊙O的半徑還是3.
學生:如圖2,作直徑A′B,連接A′C即可.(一臉興奮)原來一樣!
二、案例的分析
此時教師若再能引領學生的思維前進一步,則收獲遠不是解一道題目所能達到的.
教師:若設∠A=α(α＜90°),BC=a，則⊙O的直徑是多少？
此時的學生有了上面的經驗，不難得出⊙O的直徑．
這樣,教師就可針對上述問題進行小結：
（1）通過上述問題的解決過程，你學到了哪些方法？
（2）從這3個問題中，你發現了什么？
　 這樣的教學設計讓學生能夠在課堂活動中感悟知識生成、發展與變化的過程，幫助他們在自主探索與合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法，獲得廣泛的數學經驗．從這個的案例中看到例題設計的重要性，如果例題設計到位，有助于學生鞏固、深化新學數學知識、領悟和掌握隱含于其中的重要數學思想方法，訓練良好思維品質、培養數學能力、發展智力等。從這個的案例中也體會到：
1.例題的功能
理解知識，鞏固應用,為讓學生盡快熟悉課本基本內容，加深對概念、公式等的理解，教材一般都會適當安排一些例題加以說明、驗證．
滲透數學思想方法,教材中不少例題貌似簡單，但常常蘊涵著基本的數學思想方法和技巧，若在教學中能很好的挖掘與滲透，對提高學生解題能力、啟迪學生數學思維大有幫助．
潛在的德育功能,新課標非常重視數學的文化價值，而教材中不少例題恰恰體現了這一點，常常選用能激發學生對數學的學習興趣和對社會的關注．
較好的示范作用,解題時思路正確但表述混亂是不少學生的通病．教材中的例題，書寫格式及過程敘述一般都比較規范，符號的使用、圖形的繪制也比較準確，有較好的示范作用，解答中縝密的思維和嚴密的邏輯推理更是為學生提供了良好的學習素材，有利于學生養成良好的答題習慣．
學業考的導向作用,課本的例題、習題是學業考題的生長點，許多學業考題在課本中都能找到原型．在平常教學中重視教材例題的教學，無形中會對學生重視課本產生潛移默化的作用．
2. 例題的處理
教材的例題有難有易，解法有詳有略，功能又各有不同，教師應該根據例題本身的特點和學生具體情況分別對待，靈活處理．對某些例題進行適當變式教學，以開拓學生的視野，培養探索精神和創新意識．
3.例題處理的誤區
一種是教師認為教材中的例題太簡單，經常選用不能體現自己的教學特色，因而對其不屑一顧．另一種是教師教學時照本宣科，書上怎么寫就怎么講，從而抑制學生的創造思維，阻礙學生思維能力的發展．
三、例題設計的思考與策略
數學教學中常出現這樣的“怪現象”：教師辛辛苦苦“講”過的題，隔一段時間再練或再考時出錯率仍然很高，相當多的教師把這一現象完全歸咎于學生，認為是學生態度不認真或者學生笨造成的，筆者認為不能把責任全推到學生身上，教者應反思自己的教學行為，要反思自己的例題設計過程中是否科學，是否符合學生的認知規律。教者“講”的東西學生掌握了多少？學生的思維參與度怎么樣？學生的體會體驗是什么？學生能從中悟出那些思想方法、規律或一般結論？鑒于以上考慮，筆者認為：例題設計絕不是單純的設計解題活動或者解答過程的環節，還應該設計題目解完后，反思解題的探索過程，概括提煉出規律性的東西，講所解之題進行拓展延伸，歸納總結出一類問題最本質的解法，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。下面就例題設計談一些體會
1、注意前后知識的融合，例題的設計重在突出新舊知識之間的聯系與差別。
三角形內角和定理的證明時，怎么會想到延長BC至點D，并過點C作CE∥AB？當初是用拼角的方法來驗證三角形的三個內角和等于180°，如圖3，把∠A剪下來拼到∠ACE的位置，由于∠ACE與∠A是一對內錯角，想到過點C 作CE∥AB。同樣，如圖4，如果是把∠C剪下來，拼到∠EAC的位置，∠B剪下來拼到∠BAD的位置，則∠EAC與∠C、∠DAB與∠B都是一對內錯角，想到過點A作DE∥CB，有添這些輔助線的思路，證明就輕而易舉了。
在解答以上問題的過程中，把前后知識復習了一遍，使學生溫故知新，既提高了學生綜合運用知識的能力，又鍛煉了其思維能力。
2、注重例題設問的引申和變式
課本例題的最大特點是針對性強，基礎性強，但教材中大多數例題是一題一問，給學生的思維空間較小。盡管和老教材相比，新教材在部分例題解答后面安排了“思考”這個環節，對例題進行了一些挖掘，但大多數例題仍缺乏縱向和橫向的引申。為了培養思維的深刻性和廣闊性，激發學生的學習積極性，結合教學的實際情況，適當地對課本例題的設問進行引申是非常有必要的。
例如，如圖5，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC 于點D，交AC于點E，求證：。
分析： 連接AD，此題利用直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的三線合一；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等的知識來證明。
變化例題：點A,B,D,E在圓上，弦AE的延長線與弦BD的延長線相交與點C.給出下例三個條件：（1）AB是圓的直徑；（2）D是BD的中點；（3）AB=AC.
請在上述條件中選取兩個作為已知條件，第三個作為結論，寫出一個你認為正確的命題，并加以證明。
條件：_____________________________.
結論：____________________________.
證明：____________________________.
本題通過變化，力圖考查學生的推理能力，要求學生選擇其中兩個為條件，另一個為結論，自主構建一個正確的命題，這樣就具有一定的開放性，同時也關注了對學生學習方法的引導。
3、到課后練習中去“淘寶”
一堂課總共才45分鐘，所以課堂上的例題一定要精練。教材中的例題有時會存在題型太過于單一，或者例題之間功能重復等問題，講解后并不能達到最佳的教學效果。這時候，教師需要更換更適合教學要求的例題。就最大限度地利用教材而言，課后練習無疑是一塊絕佳的淘寶之地。
例如，如圖6，四邊形ABCD是正方形，點E為BC邊的中點，∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證:AE=EF.
問題的解決:按照教科書上的提示,取AB邊的中點M,連接ME,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF。
這顯然是利用構造全等三角形的思想幫助我們解決了問題。
問題的生成：（1）學生問教師，為什么不過點F作FG⊥CG，垂足為G來解決問題？這種做法很容易想到，這樣能否解決問題？（在課堂上教師沒能夠給出學生滿意的解答）還有沒有其他的解法？如何探索？
（2）教師讓學生繼續研討，如果把上面的條件“點E為BC邊的中點”改為“點E為BC邊（或BC延長線）上的任意一點”，結論“AE＝EF”是否還成立呢？
從“特殊到一般”研究問題的數學方法，是我們在教學中經常用到的，而且是著力滲透的數學思想，對培養學生的直覺思維和邏輯思維能力起著橋梁和紐帶作用。果然，此題一經拋出，激起千層浪，學生在認真地思考、研究、探索、交流這個問題的前提下，很多學生都期待能夠發表自己的見解。
4、設計一些開放性問題思路，給學生提供充分的探究機會
　　開放式問題是近幾年學業考試的熱點，它能充分拓展學生的思維空間，對條件的不確定性與結論多樣性的探索、猜想，促使學生的思維更深刻、廣闊、活躍，更能體現學生的思維能力。探究是一種讓學生理解數學知識的學習方式。讓學生通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程。因此，教師應十分重視探究式學習，給學生提供充分的科學探究機會，盡力提高學生的探究能力。在課堂例題的設計中，教師可以設計一個適合學生獨立或集體探究的，在學生思維最近發展區內能體現知識形成過程的探究情境，通過問題解決來學習。
例如，如圖7，點E、F、G、H 分別是正方形ABCD
的邊上的中點, 四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
這道題可以從條件中的“正方形”或“中點” 入手
進行變形：
探究一：將條件中的“正方形”分別改為“矩形” 、“菱形” 、“等腰梯形” 、“四邊形”，那么
四邊形EFGH 分別是什么樣的四邊形? 如圖5
探究二：已知E、F、G、H 分別是正方形ABCD 邊上的點, AE=BF=CG=DH,
那么四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
探究三：已知E、F、G、H 分別是正方形ABCD 邊上的點, AE=FC=CG=HA,
那么四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
總之，例題設計要考慮到學生的學習情況，尤其是要考慮激發學生學習興趣和認知需求的原則，是一項十分重要的工作，也是一項十分艱巨而又細致的工作，要求我們教師既要了解學生，又要精選和設計例題、這樣，提供給學生的必然是最主要、最起作用的東西，有利于學生在學習中把握知識本質，提高了學習效率，從而達到事半功倍的效果。
開放題的開放性、靈活性、多變性可以提高學生分析問題、解決問題的能力，給學生的思維創設更廣闊的空間，有助于激發學生的創新意識、養成創新習慣、發展創新思維。由于開放題的思考方法和答案不唯一，不同的學生會得到不同的結果。這是由于學生的生活經歷和知識水平的差異造成的。
5、體現例題的思想方法
　 例題蘊含著重要的數學思想方法，對這些數學問題進行適度變形或拓展，引導學生分析探究，這樣可以提高學生綜合分析問題和解決問題的能力，有利于培養學生的創新精神和探究能力。
例如，已知：∠BOC，∠BAC分別是同一條弧所對的圓心角和圓周角。求證：∠BAC=∠BOC。
分析：由于圓心有在圓周角內、圓角外和圓周角的一條邊上三類情況，因此需分別對三類不同情況證明。
教學中，教師可以引導學生對例題、習題進行引申、拓展，也可以變更題目的條件或結論，讓學生探索相應結論或條件有何變化。
6、提倡一題多解
一題多解的不同解法，加深了知識間的縱橫聯系，長期這樣多角度、多視角的解題，會使學生發生質的變化，從而拓寬學生的思路，使思維靈活，在探求不同的解法中有效的提高能力，使學生掌握“精”而“巧”的方法。
例如，計算÷.
解法1:
原式=÷
=×＝＝－3
解法2：
原式＝×××
＝－2＋１＋＝－3
提出問題：比較兩種算法，哪種更便捷？學生通過對照比較、尋求方法、交流討論后，知道有理數的混合運算涉及多種運算，確定合理運算順序是正確解題的關鍵，解題過程中應盡量使用簡捷的算法。這樣，不僅能使學生所學的基礎知識更加扎實，而且還能為培養思維創造性打下堅實的基礎，使學生感受到知識形成和發展的過程，使他們去觀察、分析、猜想、探索學習。
課件71張PPT。提高例題設計有效性的策略一、教學案例的回眸二、案例的分析三、例題設計的思考與策略
一、教學案例的回眸案例1 如圖，在△ABC中，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=3。求⊙O的半徑。若題中AB不是⊙O的直徑，其余條件
不變，那么⊙O的半徑還會是3嗎？二、案例的分析若設∠A=α(α＜90°) ,BC=a，則⊙O的
直徑是多少？ 針對上述問題進行小結：
（1）通過上述問題的解決過程，你學
到了哪些方法？
（2）從這3個問題中，你發現了什么？從這個的案例中體會到：1．例題的功能3．例題處理的誤區2．例題的處理浙教版七年級(下)第27頁閱讀材料“拼圖游戲”案例2 如圖是由8個相同大小的正方形組成的
紙片，你能否只剪兩刀，將它分成三塊，
拼成一個大正方形？1．例題的功能哪些基本圖形只剪一刀，可以拼成長方形？一般的梯形只剪一刀，能拼成長方形嗎？若一刀不行,那么至少要剪幾刀才行呢?一般的三角形只剪一刀，能拼成長方形嗎？ 如圖是由8個相同大小的正方形組成的紙片，你能否只剪兩刀，將它分成三塊，拼成一個大正方形？如圖，是由5個相同大小的正方形組成的圖形，試問能不能通過剪幾刀后拼成正方形？能的話至少需要剪幾刀？變式：證明勾股定理1.（湖北省） 在圖14-1中，正方形ABCD的邊長為a，等腰直角三角形FAE的斜邊AE=2b，且邊AD和AE在同一直線上。中考鏈接操作示例：
當2b實踐探究：
（1）類比圖14-1的拼剪方法，請你就下圖的三種情形分別畫出拼剪成一個新正方形的示意圖。
（2）得到的各正方形的面積是＿ ＿＿；（用含a、b的式子表示）ABCD
EFGH圖14-1聯想拓展通過探究后發現：當時b≤a，此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點G的位置在BA方向上隨著b的增大不斷上移。當b>a時，如圖的圖形能否剪拼成一個正方形？若能，請你在圖中畫出剪拼的示意圖；若不能簡要說明理由。中考鏈接 2.(山東省) 如圖，是從邊長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm、寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料．工人師傅要將它作適當地切割，重新拼接后焊成一個面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件．(1)請根據上述要求，設計出將這塊下腳料適當分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫出切割時所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡)；(2)比較(1)中的兩種方案，哪種更好一些?說說你的看法和理由．中考鏈接圖2圖3圖130cm30cm
40cm
10cm
案例3 如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向外作正方形AEDB和正方形ACFG，連結CE、BG。求證：BG=CE浙教版八下課本第147頁作業題第3題潛在價值
（1）知識點豐富；
（2）豐富的數學思想 與數學方法；
（3）體現數學的整體 性。
2. 例題的處理變式一：條件不變、增加探究結論（2）觀察圖形猜想CE與BG之間的位置關系，并證明你的猜想。（3）圖中哪個三角形是由哪個三角形變換得到？請說出是怎樣的變換？（1）經歷觀察猜想到驗證的解決問題方法；
（2）培養觀察能力、語言表達能力、空間想象能力。 (4)如上圖，AB＝11，AC＝7，連結EG，
求BC2+EG2的值變式二：添加條件，探索新結論O（1）添加輔助線構造直角三角形
（2）轉化思想 四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．
（1）求證：AE=CG；
（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，
并證明你的猜想（甘肅中考題）變式三：改變條件，探究原結論 把“正方形ABCD、DEFG”改為“矩形ABCD、DEFG（長寬不等）”，上面兩個結論還成立嗎？若不成立，請問在什么條件下成立？（1）通過類比，加深全等與相似知識的理解與鞏固
（2）培養學生的探索、創新精神 變式四：圖形旋轉，探究原結論四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．
（1）求證：AE=CG；
（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，
并證明你的猜想.（3）正方形ABCD繞點D順時針方向旋轉，使AD與GD重合如圖（1）時，上述兩個結論是否成立?（4）正方形ABCD繞點D順時針方向旋轉，如圖（2），上述兩個結論是否成立？圖（1）圖（2）（5）如圖（2），連結BF，求CG:BF:AE的值.(1)從圖形變化中探求規律。培養學生用運動變換的觀點和由特殊圖形到一般圖形去觀察、研究幾何圖形的性質，添加輔助線，提高學生分析問題與解決問題的能力；
（2）滲透轉化思想與數形結合思想；
(3)激發學生求知欲與信心；
（4）培養學生思維的準確性和創新性。
如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系：
（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系；
②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷．2008年浙江省義烏市中考題（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖5為例簡要說明理由．（3）在第(2)題圖5中，連結DG、BE，且a=3，b=2，k=0.5，求的BE2+DG2值．2008年浙江省義烏市中考題2.如圖，直線上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11，則b的面積為（　　）
Ａ．4 Ｂ．6 Ｃ．16 Ｄ．55變式五：根據圖形或變式圖形，求面積1.如圖，A在線段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面積分別為7和11，則△CDE的面積等于 。3.如圖，梯形ABCD中，AB∥DC， ∠ADC＋ ∠BCD＝90°，且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1，S2，S3之間的關系是______.變式五：根據圖形或變式圖形，求面積（1）補形法，旋轉法
（2）數形結合思想和轉化思想1. (溫州市中考題)在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)。已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______.2.如圖，分別以Rt△ABC的三邊向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角邊BC=1，AC=2，則六邊形DEFGHI的面積。（1）啟發學生尋找基本圖形，利用基本圖形解題，培養圖形識別和觀察能力.
（2）方程思想3.例題處理的誤區１.教師認為教材中的例題太簡單，經常選用不能體現自己的教學特色，因而對其不屑一顧．
２.教師教學時照本宣科，書上怎么寫就怎么講，從而抑制學生的創造思維，阻礙學生思維能力的發展．三、例題設計的思考與策略1、注意前后知識的融合2、注重例題設問的引申和變式3、到課后練習中去“淘寶”4、設計一些開放性問題，給學生提供充分
　　的探究機會5、體現例題的思想方法6、提倡一題多解1、注意前后知識的融合案例4 三角形內角和定理的證明案例5（浙教版九下，P23，作業題3）…
已知∠B=450，∠ACD=560，BC=20cm，求AD。（浙教版九下，P23，作業題3）…
已知∠B=450，∠ACD=600，BC=20cm，求AD.思考一：已知兩個特殊角的情況下，再已知AD、CD、AC、BC、AB、BD六條邊中1條可求其余5條邊.(已知兩角一邊)思考二：已知邊角的三個特殊條件(必須有一邊），求其余的邊和角。如：已知AD= ,DC=1, ∠B=450,求其余的邊角. （已知兩邊一角）一變：類比法二變：推廣法三變：延伸法四變：弱化法（重疊式）（背靠式）（九下，P23，作業5）（九下，P23，作業４）(2006新疆）（2006遼寧）(2007貴州）兩艘漁船分別從B港出發，B港位于A港東偏北30°，甲船航行了20海里到達A港處，乙船行駛了 海里到達位于A港正東方向的C處，這時乙船調整方向，問至少還要行駛多少路程才能到A港？已知： 拋物線與坐標軸交點為A、B、C，∠ABC=45°，∠ACO=60°， A(0，3)，求拋物線的解析式.2、注重例題設問的引申和變式案例6 如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交BC 于點D，
交AC于點E，求證：
分析： 連接AD，此題利用直徑所對的圓周角是直角；等腰三角形的三線
合一；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等的知識來證明。
變化例題：點A,B,D,E在圓上，弦AE的延長線與弦BD的延長線相交與點C.
給出下例三個條件：
（1）AB是圓的直徑；（2）D是BD的中點；（3）AB=AC.
請在上述條件中選取兩個作為已知條件，第三個作為結
論，寫出一個你認為正確的命題，并加以證明。
條件：_____________________.
結論：_____________________.
證明：_____________________.案例7 把一根長為1m的鉛絲折成一個矩形，并使矩形的面積最大，應怎樣折?最大面積為多少？浙教版九年級《數學》(上冊) 2.4二次函數的應用(1)
課后作業題第3題(第45頁) 把一根長為1m的鉛絲折成一個矩形，并使矩形的面積最大，應怎樣折?最大面積為多少？問題一(課本第51頁改編)：某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室一面靠現有墻面，已知計劃中的建筑材料可建圍墻50m,設飼養室的長x（m）,占地面積為y（m2）
（1）求y關于x的函數解析式
（2）怎樣規劃矩形的長和寬才能使飼養室的占地面積最大？問題二(課本第51頁改編)：某農場擬建兩間矩形種牛飼養室，飼養室一面靠現有墻面,中間用一道墻隔開，已知計劃中的建筑材料可建圍墻50m,設兩間飼養室的寬x（m）,總占地面積為y（m2）
(1)要使飼養室的面積最大,飼養室的長應為多少?
(2)如果中間有n(n>1)道隔墻,要使飼養室的面積最大,飼養室的長應為多少?問題三(課本第51頁改編)：某農場擬建兩間矩形種牛飼養室，飼養室一面靠現有墻面(可用墻長為20m),中間用一道墻隔開，已知計劃中的建筑材料可建圍墻50m,設兩間飼養室的寬x（m）,總占地面積為y（m2）
（1）求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
（2）畫出函數的圖象
（3）利用函數圖象判斷：若要使兩間飼養室總占地面積達到200m2，則各道墻的長度為多少？
（4）飼養室的占地總面積能超過200m2嗎？ 問題四(課本第51頁改編)：某農場擬建兩間矩形種牛飼養室，飼養室兩面靠墻，已知計劃中的建筑材料可建圍墻50m,設兩間飼養室的寬x（m）,總占地面積為y（m2）
（1）求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；
（2）怎樣規劃矩形的長和寬,才能使矩形的面積最大? 問題五（十堰中考）：某學校在綠化校園時,計劃利用矩形場地的一角的邊緣30m,建一個三角形花圃，怎樣利用邊緣兩邊（不考慮第三邊AB）才能使所建花圃的面積最大？并求出這個最大面積ABC問題六: 某農戶計劃利用現有的一面墻再修四面墻，建造如圖所示的長方體水池，培育不同品種的魚苗。他已備足可以修高為1.5m、長18m的墻的材料準備施工，設圖中與現有一面墻垂直的三面墻的長度都為xm，即AD＝EF＝BC＝xm。(不考慮墻的厚度)
(1)若想水池的總容積為36m3，x應等于多少？
(2)求水池的總容積V與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；
(3)若想使水池的總容積V最大，x應為多少？最大容積是多少？
3、到課后練習中去“淘寶”案例8 如圖，四邊形ABCD是正方形，點E為BC邊的
中點，∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于點F.
求證:AE=EF.4、設計一些開放性問題， 給學生提供充分的探究機會案例9 如圖，點E、F、G、H 分別是正方形ABCD的邊上的中點, 四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
探究一：將條件中的“正方形”分別改為“矩形” 、“菱形” 、
“等腰梯形” 、“四邊形”，那么四邊形EFGH 分別是什么樣的四邊形?
探究二：已知E、F、G、H 分別是正方形ABCD 邊上的點,
AE=BF=CG=DH,那么四邊形EFGH 是什么樣的四邊形?
探究三：已知E、F、G、H 分別是
正方形ABCD 邊上的點,
AE=FC=CG=HA,那么四邊形EFGH
是什么樣的四邊形?案例105、體現例題的思想方法案例11 已知：∠BOC，∠BAC分別是同一條弧所對的圓心角和圓周角。求證∠BAC=∠BOC。
分析：由于圓心有在圓周角內、圓角外和圓周角的一條邊上三類情況，因此需分別對三類不同情況證明。AB如圖，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，
奶站應建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短？街道 基本圖形:兩點一線
基本解法:利用對稱性案例12 基本圖形幾何背景函數背景M在幾何背景下的應用（1）若M是AB邊上的中點，求PM+PB的最小值如圖，正方形ABCD中，AB=2,P是對角線AC上任意一點M點動線不動（3）若M、N分別是AB，BC邊上的點，AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值PNA組變式：點B換成了點N如圖，正方形ABCD中，AB=2,P是對角線AC上任意一點會找基本圖形，
掌握基本解法（4）連結QC，點P、M是QC、BC上任意點，求PM+PB的最小值。B組變式：改動了對稱軸的位置，點M變成了動點如圖，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中點，QB’點線一起動B組題增加題目靈活性，基本思路不變MP如圖，正方形ABCD中，AB=2,C組變式：由兩個點到多個點，增加層次性（1）若M是AB邊上的中點， P是對角線AC上任意一點，
求（PM+PB）2的最小值點的個數動一動M1（1）若M是AB邊上的中點， P是對角線AC上任意一點，求（PM+PB）2的最小值P1如圖，正方形ABCD中，AB=2,（2）若M1、M2是AB邊上的三等分點， P1、P2依次是對角線AC上任意兩點，求（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2的最小值M2P2點的個數動一動C組變式：由兩個點到多個點，增加層次性M1M2M1’P1P2（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2M1D2+M1’M22M1（1）若M是AB邊上的中點， P是對角線AC上任意一點，求（PM+PB）2的最小值P1如圖，正方形ABCD中，AB=2,M2P2M9M8P9（3）若M1、M2…M9是AB邊上的10等分點， P1、P2…P9依次是對角線AC上任意點，直接寫出(P1M1+P1B)2+(P2M1+P2M2)2
+…+(P9M8+P9M9)2的最小值（2）若M1、M2是AB邊上的三等分點， P1、P2是對角線AC上任意兩點，求（P1M1+P1B）2+(P2M1+P2M2)2的最小值點的個數動一動C組變式：由兩個點到多個點，增加層次性（全國數學競賽題）如圖在直角坐標系XOY中，X軸上的動點M（X，0）到定點P（5，5）和到Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標X=————。
-1PQQ’Mxyxy362-2-3在反比例函數 上有兩點A(3,2),B(6,1)，在直線 上有動點P,那么當PA+PB最小時，求P點的坐標.
ABA’PA組移植轉換已知拋物線 若一個動點Ｍ自Ｐ出發，先到達對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A。確定使點M運動的總路徑最短的點F的位置，并求出這個最短路程的長。yoXC1-1A?Ｐ?FB組一次對稱已知拋物線 若一個動點Ｍ自Ｐ出發，先到達對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A。確定使點M運動的總路徑最短的點F的位置，并求出這個最短路程的長。yoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)B組 FyoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?F變一變 若一個動點Ｍ自Ｐ出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A。確定使點M運動的總路徑最短的點E、點F的位置，并求出這個最短路程的長EB組兩次對稱yoXC1-1(0,2)A?(0,1)P?A’(5,2)F變一變 若一個動點Ｍ自Ｐ出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A。確定使點M運動的總路徑最短的點E、點F的位置，并求出這個最短路程的長EP’B組6、提倡一題多解÷.案例13 計算 解法1:原式=÷=×＝＝－3解法2:原式＝×××＝－2＋１＋＝－3用兩種不同的運算順序計算學生在討論命題：“如圖（十二），梯形中，，，則方法時，提出了如下三種思路．
思路1：過一個頂點作另一腰的平行線，轉化為等腰 三角形和平行四邊形；
思路2：過同一底邊上的頂點作另一條底邊的垂線，轉化為直角三角形和矩形；
思路3：延長兩腰相交于一點，
轉化為等腰三角形．
請你結合以上思路，用適當
的方法證明該命題． ．”的證明
案例13謝謝！

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