資源簡介

課件72張PPT。教育部北師大基礎教育研究中心
數學工作室初中數學教材編寫組成員
九江市同文中學 高級教師
高 峻
電話：13607022230
郵箱：[email protected]中考數學復習的設計策略走近2010年數學中考 中考是我國基礎教育的一種選拔性考試，它與高考相比，其參加人數更多，涉及面更廣，對基礎教育的影響更大。可以這樣說，中考在很大程度上影響著當地初高中教學質量和學生的素質發展。因此，各級教育行政部門和教研機構都非常重視中考試題的導向作用。自從我省2001年作為國家級實驗區進入新課程以來，伴隨著課程標準的實施，數學教材在內容的選取、體系的構建和處理的方法等方面都有很大的變化。相應的，這些年來，江西省的中考命題也發生了很多的變革，特別是命題從知識立意向能力立意的轉變，這幾年來的江西省的中考試卷一直得到各地及教材組的專家的好評。前言前言 如何高效地進行中考數學的總復習呢？
我在2009年5月26日北師大《新世紀初中數學網絡研修》舉行的專題“九年級復習課專題研討：高效復習教學經驗談。”和一些學校的老師進行網絡研討。
主要有：主備課學校：湖北宜昌六中 周清華
其它參與學校：成都七中育才學校 魏進華
山西河津第三實驗中學 薛翠平
河南平頂山14中 王廣樹
重慶市珊瑚中學 曾暢
太原第二外國語學校 數學組
教材組參加人員：高峻 老師 主持人：楊繼明
下面就結合教學經驗及回訪交流中得到的信息，和與會代表交流在復習課的教學方面的設計策略。 設計策略一立足于課標與考試說明，抓學生的知識結構 中考有30%的基本題、50%的中檔題，考試的成敗主要取決于這些題目的解答情況，因此在中考總復習中，必須關注基礎知識的落實，對基礎知識的靈活運用就是能力，抓住了基礎就能以不變應萬變。設計策略一 要落實基礎知識，教師首先要明確復習課要復習的內容，這部分內容在初中階段是在哪幾個學段學習的，如何將這些不同階段學習的知識串起來，不同階段的要求是否有差異等，要通過復習，將學生頭腦中孤立的、零碎的知識梳理好，明確這些知識要不同階段學習的特點，以及他們的內在聯系，使得它們形成某種組塊，便于學生的整體認知，使得相關知識系統化、條理化，促進學生的理解，幫助學生建立良好的認知結構。設計策略一 正如布魯納在《教育過程》中指出：“獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯結在一起，那是一種多半會被遺忘的知識，一串不連貫的論據在記憶中僅有短促得可憐的壽命”。
設計策略一 例如，復習《統計》章節，由于統計的內容分別七、八、九年級不同的階段都有學習，教師要將這些知識，以網絡、圖表或列表的方式串起來，這部分一方面可以交給學生以小組的方式完成，教師指導或課堂交流，通過學生自我總結，完善知識結構，更有利于學生建立良好的知識結構。
這部分內容，在中考中的題型可有單項選擇題、填空題、計算題、解答題．從我省命題看，相關問題多為解答題，試題位置、分值相對穩定，問題背景卻與生產生活實際聯系緊密。設計策略一設計策略一江西省的中考中，2006年—2009年統計的試題均以解答題的形式進行了考核.
例1．（2007江西）某學校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，并事先擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分（滿分為10分）： 方案1 所有評委所給分的平均數。 方案2 在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其余給分的平均數。 方案3 所有評委所給分的中位數。 方案4 所有評委所給分的眾數。設計策略一 為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統計實驗．下面是這個同學的得分統計圖：（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最后得分；
（2）根據（1）中的結果，請用統計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學演講的最后得分。設計策略一例2．（2008江西）為了了解甲、乙兩同學對“字的個數”的估計能力，現場對他們進行了5次測試，測試方法是：拿出一張報紙，隨意用筆畫一個圈，讓他們看了一眼后迅速說出圈內有多少個漢字，但不同的是：甲同學每次估計完字數后不告訴他圈內的實際字數，乙同學每次估計完字數后告訴他圈內的實際字數．根據甲、乙兩同學5次估計情況可繪制統計圖如下：
（1）結合上圖提供的信息，就甲、乙兩同學分別寫出兩條不同類型的正確結論；（2）若對甲、乙兩同學進行第6次測試，當所圈出的實際字數為100個時，請你用統計知識分別預測他們估計字數的偏差率，并根據預測的偏差率，推算出他們估計的字數所在的范圍．偏差率的計算公式：
例如，圈內實際字數為80個，某同學估計的實際字數為65個時，偏差率為．顯然，偏差率越低，字數估計能力越強．
設計策略一設計策略一例3．（2009江西）經市場調查，某種優質西瓜質量為（5±0.25）kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質量，農科所采用A、B兩種種植技術進行試驗.現從這兩種技術種植的西瓜中各隨機抽取20顆，記錄它們的質量如下（單位：kg）：
A：4.1　4.8　5.4　4.9　4.7　5.0　4.9　4.8　5.8　5.2
5.0　4.8　5.2　4.9　5.2　5.0　4.8　5.2　5.1　5.0
B：4.5　4.9　4.8　4.5　5.2　5.1　5.0　4.5　4.7　4.9
5.4　5.5　4.6　5.3　4.8　5.0　5.2　5.3　5.0　5.3
（1）若質量為（5±0.25）kg的為優等品，根據以上信息完成下表：設計策略一（2）請分別從優等品數量、平均數與方差三方面對A、B兩種技術作出評價；從市場銷售的角度看，你認為推廣哪種種植技術較好 設計策略一 小結:考查對數據處理（表示、分析）的基本方法、基本技能的理解和掌握；通過對數據的分析來估計總體的統計思想、或對某些實際問題作出合理的決策、對某種統計方法提出質疑等考查學生的統計觀念；設計策略一 建議:教學中要注意所學內容與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系，使學生體會統計對制定決策的重要作用；應注重使學生從事數據處理的全過程，根據統計結果作出合理的判斷；應避免將這部分內容的學習變成數字運算的練習，對有關術語不要求進行嚴格表述。立足于課堂教學，抓學生的復習效率設計策略二 在課堂教學中，教師要對知識的引入，新舊知識的銜接、例題的選擇、學生知識現狀學生對知識的接受能力，復習課上教師注意“以題代點、以題論法”，合理的安排講練的時間，注意知識的縱橫聯系，注意教學基本思想的滲透，注意基本方法的訓練，注意總結出學習的規律性，充分發揮課堂效益，盡量把問題解決在課堂。 設計策略二1、串知識點
[片段一]問題引入：如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的兩點，
（1）若DE∥BC，則△ABC～△ADE，請說明理由。
（2）請你添加一個條件，也使△ABC～△ADE。
解：（1）生：方法一∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C
∴△ABC～△ADE
生：方法二∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，又∵∠A＝∠A
∴△ABC～△ADE設計策略二（2）生1：可添加一個條件：∠ADE＝∠B或
∠AED＝∠C或 ；

生2：也可添加一個條件：∠ADE＝∠C或
∠AED＝∠B或 。
設計策略二 對比與其他教師在上這節復習課時，很多都會一開始提問：判定三角形相似有哪些方法呢？學生回答：（1）兩個角對應相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似。很顯然，這種提問只是一種知識的簡單重復和記憶，學生不用動任何腦筋即可回答，學生自然沒有興趣，也不利于學生的思維發展。而[片段一]則巧妙地將三角形相似的判定方法蘊涵于一個題目當中，同時通過變式，讓學生舉一反三，加深了對三角形相似判定方法的理解，開拓了學生的思維，有很強的實效性。設計策略二 [片段二]師：請同學們思考，問（2）中學生1所添加的三個條件實際上都保證了什么？他們有什么內在的聯系？
生：DE∥BC
師：也就是說只要保證了DE∥BC，則始終有△ABC～△ADE，同時幾何畫板拖動點D在直線AB上移動，學生觀察各種平行位置的△ABC～△ADE。設計策略二請研究二次函數y=x2+4x+3的圖象及其性質，并盡可能多地寫出有關結論。
解：（1）圖象的開口方向: （2）頂點坐標：
（3）對稱軸： （4）圖象與x軸的交點：
（5）圖象與y軸的交點為： （6）增減性：
（7）最大值或最小值： （8）y的正負性：
（9）圖象的平移：
（10）圖象在x軸上截得的線段長
（11）圖象與y軸的交點關于對稱軸的對稱點坐標：設計策略二2、串圖形
基本圖形：D　3.串“典型圖形”設計策略二設計策略二組合一：例4．(湖北省十堰市2008年)海中有一個小島P，它的周圍18海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由． 例5.如圖,為了求河的寬度,在河對岸岸邊任意取一點A,再在河這邊沿河邊取兩點B、C,使得∠ABC=60°,∠ACB＝45°,量得BC長為100米,求河的寬度（即求BC邊上的高）.組合二： 設計策略二設計策略二組合三：例6．(2008年湖北省襄樊市)如圖8，張華同學在學校某建筑物的點處測得旗桿頂部點的仰角為，旗桿底部點的俯角為．若旗桿底部點到建筑物的水平距離米，旗桿臺階高1米，則旗桿頂點離地面的高度為 米（結果保留根號）．設計策略二例7．(2008年河南省)如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經過DC，沿折線A→D→C→B到達，現在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．橋DC和AB平行，則現在從A地到達B地可比原來少走多少路程？（結果精確到0.1km．參考數據：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
D問題1樓房AB的高度是多少?問題2樓房CD的高度是多少?
設計策略二 小結:通過知識點的串聯、圖形組合的串聯、認知結構的串聯等，可以充分讓學生體會其中的聯系與變化，抓住問題的本質，從而達到對知識的全面復習。
注：如果可以，將以上的問題可以放得更開些，形成系列問題，一個個拋出，讓學生形成思維上的深層思考，進一步加深學生探究的興趣設計策略二測底部不能到達的物體高度設計策略二設計策略二測底部不能到達的物體高度設計策略二設計策略二設計策略三立足于教材，抓習題的變換 在復習中要立足于課本，離開了課本的復習必然是無源之水，特別是教師，要充分挖掘和發揮課本中的例題、習題的潛在的功能，教給學生通過類比、延伸，拓展出一些新穎的變式題，并加以解決，從中歸納整理出基礎知識、基本技能、基本方法、掌握教材中的通性通法。 在我們的教學過程中，一方面要善于引導學生積極進行探究，養成主動探究的習慣，而不是為探究而探究。另一方面更要善于捕捉時機，隨時從學生的疑問中發現問題，從而開展探究，提高學生的綜合分析能力與解決問題的能力。設計策略三 下題是我根據課堂上學生提出的疑問而形成的一個綜合題的例子。
產生的背景：習題課上，教材P68問題解決的習題，學生提出如下問題：周長是定值時，當長與寬相等時，圍成矩形的面積最大，即此時的矩形為正方形。當這個矩形一邊靠墻時，如果要保證面積最大，長與寬就不等了，是不是有什么關系呢？
我與學生一起對這個問題進行了深入的探究，從而形成這樣一個綜合題。設計策略三例10． 問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
如圖1，用一段長為100米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的2倍時，菜園的面積最大。
如圖2，用一段長為100米的籬笆圍成二個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的3倍時，菜園的面積最大。設計策略三設計策略二然后運用類比的思想提出了如下命題：
如圖3，用一段長為100米的籬笆圍成三個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y是寬x的4倍時，菜園的面積最大。任務要求
⑴請你從三個命題中選擇一個說明成立的理由，并求出此時菜園的最大面積是多少。
（說明：選①做對的得3分，選②或③做對的得4分）
⑵請你繼續完成下面的探索：
如圖4，用一段長為100米的籬笆圍成四個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y和寬x滿足什么條件時，菜園的面積最大，最大是多少？(4分)設計策略三如圖5，用一段長為100米的籬笆圍成n個一邊靠墻的全等矩形菜園，當這個矩形的長y和寬x滿足什么條件時，菜園的面積最大，最大是多少？(不要求解題過程,直接寫答案)(2分)設計策略三這樣的情況，經常在我的教學中出現，往往是由于學生發現的問題或提出的問題，為解決學生的疑問，從而形成了深入的探討。
例11．如圖1：Rt△ABC為一鋼板余料，∠C=90°,AC=40 cm,BC=30cm,現需如圖所示截出一個矩形CDEF，如何裁剪才能使矩形CDEF的面積最大？教材P67的情景引入設計策略三探究一：如圖2：Rt△ABC為一鋼板余料，∠C=90°, AC=40 cm,BC=30cm,我們現如圖2所示截出一個矩形DEFG，那么這時又該如何裁剪才能使矩形DEFG的面積最大？最大面積還會是△ABC的面積的一半嗎？所截得的線段還會是△ABC的中位線嗎？設計策略三探究二：如圖3，在一塊三角形ABC的余料中，如圖所示截出一個矩形，如何裁剪使矩形DEFG的面積最大。設計策略三例12.如圖是一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板，現準備在黑板四周鑲上木質邊框。
⑴若在其四周鑲上寬為10cm的木質邊框，那么邊框的內外邊緣所成的矩形相似嗎？請說明理由。
教材P123 做一做設計策略三⑵若小明已在黑板的左右兩邊鑲上15cm寬的木條，為了使黑板四周鑲上木條后，邊框內外邊緣所成的矩形保持相似，那么小明應在黑板的上下鑲上多寬的木條？
⑶小紅打算在黑板的左右兩邊鑲上a cm寬的木條，上下兩邊鑲上b cm寬的木條，那么當a、b滿足什么條件時，邊框內外邊緣所成的矩形保持相似。設計策略三設計策略三 小結：一個學生的綜合能力的培養，并不是一朝一夕的事，往往需要我們在平時不斷地創造機會，提高學生的發現問題，提出問題的能力，只有這種能力的提升，才會有解決問題的愿望，從而使學生的能力真正得到提高設計策略三 建議：在中考復習教學中，解題訓練是極為重要的，但習題演練的關鍵不在題量，不是簡單機械的重復訓練和題海戰術，解題訓練要有一定的系統性、針對性，有明確的考察目標和培養方向。在平時教學中，我們應該多對一個已有的習題進行系列改編變式，形成一個題組或題鏈，在變式探究的過程中，學生的思維逐步深入，有利于促進學生對知識本質的認識，對各種數學思想方法的熟練掌握，有利于培養學生思維的靈活性和深刻性。設計策略四立足于反思，抓解題的本質 中考數學試題形式和知識背景千變萬化，但其中運用的數學思想方法卻往往是相通的。要處理好“通法”和技巧的關系，在學習中不應過分地追求特殊方法、技巧，不必將力氣花在鉆難題、怪題上。應抓住數學知識的主干部分與通性通法，在此基礎上通過尋求不同解題途徑與思維方式，培養思維的廣闊性、靈活性和敏捷性。 設計策略四例如：如圖（6），O為正方形ABCD內一點，過點O的兩條互相垂直的直線與正方形的兩組對邊交于點E，F，G，H，求證：EF=GH。
圖（6）設計策略四1．橫向變化：圖（7）圖（8）變式1：在例題中，如果將點O移動到正方形外，
如圖（7），其他條件不變，是否還類似的結論？結論如何表述？設計策略四解決變式1后，再對例題進行變化，提出如下問題：
變式2：如圖（8），已知O為矩形ABCD內一點，過點O作兩條互相垂直的直線分別交矩形于點E，F，G，H，則EF與GH又存在著怎樣的關系呢？
變式3：把點O移到矩形ABCD外（如圖9）是否還有同樣的結論？結論又該如何表述？圖（9）設計策略四類似地，我們還可以進一步探究如下，如把矩形改為平行四邊形，是否還有類似的結論？結論該如何表述呢？如果點O在平行四邊形的外面呢？
在平時的復習教學中，我們若能經常這樣來設計一定量相互銜接和過渡的，具有知識、能力層次、梯度要求的變式問題，，必能優化學生的知識結構，提升學生靈活應用知識、分析問題、解決問題的能力。設計策略四2．縱向變化： 圖（6）設計策略四3．思維延伸：設計策略四例13（2006·江西）問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：
①如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=60°，則BM=CN；
②如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=90°，則BM=CN． 設計策略四然后運用類比的思想提出了如下命題：
③如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、DE上的點，若BM與CN相交于O,∠BON=108°，則BM=CN．設計策略四任務要求
（1）請你從上述①，②，③三個命題中選擇一個進行證明；
（說明：選①做對的得4分，選②做對的得3分，選③做對的得5分）
（2）請你繼續完成下面的探索：
①如圖4，在正n（n＞5）邊形ABCDE…中，M，N分別是CD，DE上的點，BM，CE相交于點O，問當∠BON等于多少度時，結論BM=CN成立？（不要求證明）設計策略四②如圖5，在正五邊形ABCDE中，當M、N分別是DE、AE上的點，且BM與CN相交所成的一個角為108°時，BM=CN是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．設計策略四小結：一個綜合問題的解決，我們一定要給學生充分思考回味的過程。也就是讓學生有個反思的過程，體會解決問題的本質，從而得到真正的方法。 設計策略四建議：教師在中考備考的過程中，選題的時候一定要抓住典型，特別是要處理好通法與特殊技巧之間的關系。我在教材回訪的過程中，經常有教師提出疑問：為什么解一元二次方程的方法中沒有十字相乘。這就是解一元二次方程的通法與特殊技巧方法之間的差異，求根公式是解一元二次方程的通法，所以必須熟練掌握，而十字相乘技巧性太強，所以并沒列入新課標的要求范圍內。所以我們要明確這些要求，才能做到有效復習。設計策略五立足于數學思想，抓綜合運用 初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本的數學思想方法有化歸的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、方程的思想、函數的思想等，突出這些基本思想方法，就相當于抓住了中學數學知識的精髓。 設計策略五實驗與探究：
（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點C的坐標，它們分別是（5，2）， ， ；設計策略五（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標（如圖所示），求出頂點C的坐標（D點坐標用含a，b，c，d，e，f的代數式表示）；設計策略五歸納與發現：
（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發現：無論平行四邊形ABCD處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標a，c，m，e之間的等量關系為 ；縱坐標b，d，n，f之間的等量關系為 （不必證明）；設計策略五運用與推廣
（4）在同一直角坐標系中有拋物線
和三個點 ， ， （其中c>0）。
問當c為何值時，該拋物線上存在點P，使得以G，
S，H，P為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所
有符合條件的P點坐標。思維品質：思維的廣闊性，靈活性，深刻性，目的性和創造性。
思想方法：轉化思想（由淺入深，由特殊到一般）和分類討論思想。設計策略五 小結：經常有學生這樣問我：“老師，你講綜合題的時候我能懂，但要自己解決就難了”；“老師，這一步你是怎么想到的呀，我怎么想不到呢”。等等類似的問題，實際上，我們往往是事先備好課，做到心中有數才走上講臺的，所以講解這種綜合題時，一般是按照我們事先備課的思維進行的，不容易發現問題所在,學生自然會有這樣的疑問。為解決這一問題, 剖析自己的思維,讓學生一起體會解決綜合題的途徑與策略,我經常會采取不備課的方式,由學生拿出綜合問題，我當堂與其他同學們一起來解決綜合問題,把自己的思維暴露到學生面前。 設計策略五 建議：在復習時要有“創新”意識，不簡單的就事論事，簡單重復，在對概念、性質的學習時就會努力去探尋其與其他知識之間的邏輯聯系，在總結一般規律的同時還要挖掘其新的意義、新的作用；在數學解題練習中，特別是對典型題，就會多想一想，還有沒有其他新解法，有沒有更簡捷的解法，等等；在開放題的求解過程中，不僅要重視解法的多樣性，答案的不唯一性，更要重視方法及解答過程的比較與鑒別，在比較與鑒別中復習所運用的數學思想方法，所運用的知識、技能。 總言之，教無定法，我們要從大量的題海中為自己的學生選取合適的試題，選擇合適的教學方法，讓學生從題海中走出來，從更深層次的思考中獲得真正的數學方法與數學思想。
在知識生長點處引入 在知識結合點處展開；
在知識關鍵點處引伸 在能力提高點處設疑；
在有價值處思考討論 在困難處點撥與分析。祝各校中考取得優異成績謝謝大家！課件43張PPT。一、整體觀二、教材觀　“學習共同體”三層含義：1.課堂上師生圍繞學習內容展開對話，構成學習共同體 2.教師之間形成學習共同體例如師徒制，教研室等 還有參與改革的學校和教師之間形成學習共同體，
實現持續的專業成長 3.中小學校之間，學校與社區之間，中小學與大學之間
應形成學習共同體從高中數學看初中數學教學從當前的現狀看初高中的教與學確實存在著斷層現象在我們省內，很多初中學校，高中學校是完全獨立的，這樣高中老師不了解初中的程設置和教學特點，教齡在十年以上的高中老師對初中新課程改革中新課標對教學及學生要求的一系列的變化更是不了解，初中老師也不了解高中的課程設置和教學特點。然而在實際教學過程中我們發現學生進入高中階段后遇到了很多不適應的情況，初高中的教學存在著斷層現象。
整體把握初高中教材知識體系1. 高中新課程的設置情況。
2.初中新課程設置的變化，以及這種變化給學生帶來的影響。
3.從高中教學的需要出發看初中畢業學生在知識，能力，學習習慣及心理方面存在的不足。
4.結合中考要求，我們初中老師能為學生后續階段的學習做些什么？1.初高中新課程的設置情況初中的課程設置（北師大版教材） 高中的課程設置（北師大版教材）

包含必修課程和選修課程

● 必修課程 (包括5個模塊)
數學1:集合,函數概念與基本初等函數
(指數函數,對數函數,冪函數).函數應用
數學2:立幾初步,平幾初步.
數學3:統計，算法初步，概率.
數學4:基本初等函數II(三角函數),平面向量,
三角恒等變換.
數學5:,數列, 解三角形，不等式.1.函數的脈絡
2.幾何的脈絡
3.運算的脈絡
4.算法的脈絡
5.應用的脈絡
6.統計概率的脈絡
高中教材的基本特點 ——突出主要脈絡、整體把握整體把握課程基本結構
為了抓住主要脈絡，高中教材按照必修1、必修2、必修3、必修4、必修5的順序編寫。
必修1幫助學生學會用函數思想來認識后續課程。
必修2將幫助學生學會用圖形描述問題、用圖形尋求解決問題的思路、用圖形表示問題的的結果。
必修3將幫助學生學會用算法認識學過的和將要學習的數學內容，理清他們的邏輯關系。
運算是基本功，它滲透到各冊教材中。
整體把握課程—抓住基本脈絡——函數 20世紀初，在英國數學家貝利和德國數學家克萊因等人的大力倡導和推動下，函數進入了中學數學。克萊因提出了一個重要的思想——以函數概念和思想統一數學教育的內容，他認為：“函數概念，應該成為數學教育的靈魂。以函數概念為中心，將全部數學教材集中在它周圍，進行充分地綜合。”抓住基本脈絡——函數 高中數學教材把函數作為貫穿整個高中數學教材始終的主線，這條線將延續到大學的數學中，我們知道，大學幾乎所有的專業都開設了高等數學，有文科的高等數學，有工科的高等數學，在數學系中，有數學與應用數學專業、信息與計算專業、統計數學專業，這些專業開設了不同高等數學內容的課程，雖然，不同的專業開設不同的高等數學課程，但是，函數是這些高等數學課程的一條主線，在數學系課程中，尤顯突出，例如，數學分析、復變函數、實變函數、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，這些課程都是把函數作為研究對象。函數、映射不僅是數學的基本研究對象，它們的思想滲透到幾乎每一個數學分支。 抓住基本脈絡——函數1．對函數的認識
（1）函數是刻畫變量與變量之間依賴關系的模型
（2）函數是聯結兩類對象的橋梁
（3）函數是“圖形” 以上是認識函數的三個不同角度，可以幫助我們全面地認識函數，也是學生在中學階段中應留下的東西。這些對于進一步學習是很重要的。抓住基本脈絡——函數2．中學數學研究函數的什么性質
數學中研究函數主要是研究函數的變化特征。因為，函數的變化特征反映了它所刻畫的自然規律的特征。在高中階段主要研究函數的單調性、周期性。單調性是在高中階段討論函數“變化”的一個最基本的性質。在高中數學課程中，對于函數這個性質的研究分成兩個方法。
第一種方法，用運算的性質研究單調性；
第二種方法，用導數的性質研究單調性。
3．具體函數模型
簡單的冪函數及其拓展
實際函數的模型——分段函數
指數函數
對數函數
三角函數
數列4．函數與其他內容的聯系
函數與方程
函數與數列
函數與不等式
函數與線性規劃
函數與算法
 抓住基本脈絡——函數 總之，在高中的教材中，函數與方程、數列、不等式、線性規劃、算法、導數及其應用，包括概率統計中的隨機變量等，以及選修系列3、4中的大部分專題內容，都與函數有著密切的聯系。用函數（映射）的思想去理解這些內容，是非常重要的一個出發點。反過來，通過這些內容的學習，可以加深對于函數思想的認識。實際上，在我們的教材中，都需要不斷地體會、理解“函數思想”給我們帶來的“好處”。  抓住基本脈絡——函數抓住基本脈絡——運算抓住基本脈絡——運算 對數學最樸實的理解是：數學就是“算”，即“運算”。“運算”包括兩方面，一個是“運算的對象”，一個是“運算的規律”。“數”、“字母”（代數式）、“指數”、“對數”、“三角函數”、“向量”等等都是運算對象。“結合律”、“a+(-a)=0”（即加一項，減一項）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運算規律。“運算”幾乎滲透到數學的每一個角落，運算是貫穿數學的基本脈絡，是貫穿數學教材的主線，在我們的教材中，發揮著不可替代的作用。整體把握課程 抓住基本脈絡——運算1．對運算的認識
運算是數學學習的一個基本內容。運算對象的不斷擴展是數學發展的一條重要線索。
從數的運算到字母運算，是運算的一次跳躍。
從數的運算，到向量運算，是認識運算的又一次跳躍。
在以后的學習中，運算對象還要進一步拓展。上述種種運算的學習，為學生今后進一步學習其它數學運算，體會數學運算的意義以及運算在建構數學系統中的作用，奠定了基礎。
整體把握課程抓住基本脈絡——運算
2．運算的作用
（1）運算是研究高中數學的基礎
——貫穿在高中數學的始終
（2）運算與推理
（3）運算與算法
（4）運算與恒等變形
整體把握課程抓住基本脈絡——運算3．運算內容的設計
在我們的教材中，主要有幾部分內容集中的介紹了運算：指數運算；對數運算；三角函數運算；向量運算，包括平面向量和空間向量；復數運算；導數運算；等等。 在我們的教材中，自始至終都在強調運算的作用。
必修1.在學函數概念及指對冪函數時，會學習根式與冪指數的互化， 這就要求學生對二次根式，根式分母有理化，根式化簡等有一定基礎；
必修5不等式內容里，一元二次不等式的解法必須具備熟練求解一元二次方程的根的能力，對十字相乘法，因式分解，根的判別式，韋達定理都要求掌握，在學函數單調性證明、數列、不等式、解析幾何初步、圓錐曲線等內容對學生的多項式和分式的化簡和運算能力，有較高要求。
初高中知識、能力方面的斷層現象及原因分析一、知識方面的斷層（1）81.3 %的老師認為在平面幾何結論（三角形的內心、外心、重心、垂心概念，內角平分線定理、重心定理、圓冪定理等）上不銜接 ；
（2）76.4 %的老師認為用十字相乘求一元二次方程的根不銜接 ；65.85 %的老師認為立方和（差）公式不銜接；
（3）61.4 %的老師認為二元二次方程組（含一個二元一次方程）不銜接；
（4）56.5 %的老師認為一元二次不等式求解不銜接 ；
（5）39.4 %的老師認為三元一次方程組求解不銜接 （6）29.26 %的老師認為還有其它知識點不銜接。二、能力方面的斷層（1）83.3 %的老師認為學生對變量的理解與認識不夠；
（2） 82.9 %的老師認為學生的空間想象力不夠；
（3）71.95 %的老師認為學生在書寫規范性和準確簡明表達解題過程方面不足；
（4）58.1 %的老師認為學生的多項式計算化簡能力不強；
（5）48.78 %的老師認為學生對分式的計算與化簡能力不強 運算能力不強的主要表現情況是：76.4 %的老師感覺學生在分式的運算、化簡方面容易出現錯誤；75.6 %的老師認為學生常犯習慣性丟括號、根號、忘記開方等錯誤；56.1 %的老師認為學生會混淆或錯誤使用平方差、完全平方公式；50.4 %的老師發現學生有錯誤使用運算律的現象；36.58 %的老師認為學生還犯其它一些運算錯誤。 總之，老師們普遍認為學生在數學能力方面與高中數學學習要求不符，在運算能力、空間想象能力、變量的理解認識方面有一定的共識。知識分析：
1.代數，幾何，概率統計三方面完全刪 除或降低要求的部分
2.新增或提高要求的部分初高中知識、能力斷層的原因分析1．立方和(差)公式刪除
2．因式分解：總體要求大大降低
3．二次根式刪除同類二次根式的概念，降低分母有理化要求
4.刪除三元一次方程組、二元二次方程組；刪除韋達定理，一元二次不等式分式方程沒有要求可化為一元二次方程的分式方程；
5.函數 6.三角函數代數方面幾何方面1.三角形“四心”中的重心、垂心只做過介紹；大邊、大角關系沒有要求
2.完全刪除平行線分線段成比例定理及逆定理；三角形角平分線定理
比例性質，射影定理沒有明確要求；相似三角形的推理證明要求下降
3.圓的相關要求大大降低概率統計完全刪除標準差；方差計算只要求最基本的。（刪減或降低部分）1．用函數觀點統一方程(組)、不等式(組)：非常明確的提出，并作了詳細的介紹；突出了函數思想的重要性
2．利用圖像法求解方程(組)、不等式(組)：作了介紹，并在一些綜合題中有所體現；加強了數形結合的思想
3．用方程(組)、不等式(組)以及函數解決實際問題：要求大大提高，在每部分都進行了較為系統的訓練，但不同學生的差異較大．更注重數學應用意識 代數方面新增或提高部分幾何方面（幾何方面新增內容為后續高中學習立體幾何，三視圖等知識打下很好基礎）
1．簡單多邊形的重心：探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心）；
2．視圖與投影：(1)會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）．會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型．(2)了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型．(3)了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系．通過典型實例，知道這種關系在現實生活中的應用（如物體的包裝）．(4)通過背景豐富的實例，知道物體的陰影是怎么形成的．能根據光線的方向辨認實物的陰影．(5)了解視點、視角及盲區的涵義，能在簡單的平面圖和立體圖中表示視點、視角及盲區．(6)通過實例了解中心投影和平行投影．
3．幾何變換：(1)學習過平移、旋轉(含中心對稱)、軸對稱、位似四種幾何變換( “位似” 要求較低). (2)利用圖形變換進行推理、計算：初中新課標很重視圖形變換的應用, 但因為靈活性比較強, 所以學生掌握的情況仍然不夠好.概率統計(為高中學習概率統計打下基礎)
1．統計觀念的培養：初中階段的統計分為三個章節完成(數據的收集與整理、數據的描述、數據的分析)，每個章節都有相應的課題學習，要求學生應用所學統計知識解決實際問題；
2. 掌握常用統計圖表(扇形圖、條形圖、折線圖、頻數分布直方圖)的繪制, 理解其意義，在繪制頻數分布直方圖之前對數據分組時, 初中階段目前只要求等距分組, 這樣直方圖中每個矩形的高度即可描述該組頻數的大小；
3．理解常用統計量(平均數、眾數、中位數、極差、方差)的意義, 會計算，其中加權平均數和極差是新增內容；
4．概率：人教版初中課本中用的是 “統計概率” 的定義, 即: 一般地, 在大量重復試驗中, 如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數p附近, 那么這個常數p就叫做事件A的概率. 學生對 “頻率穩定于概率”有了初步的理解；
5．會用列舉法求解簡單的古典概型問題：所謂列舉法主要是指列表法(兩步實驗)和畫樹形圖法(三步及以上)．
可見初中新增內容與高中教材新增內容在體系上保持了一致性，起到了很好的鋪墊作用。 總的說來，新課程改革對初中畢業生較之課改前的要求發生了很大的變化：新課標下的初中教學更重視學生的討論、實驗(包括動手實踐)、探究, 因此相對以前而言, 學生對數學的興趣有所提升, 探究意識和能力都有所增強,對數學知識的應用意識和能力有所增強, 對幾何變換、直角坐標系、函數概念的理解比過去深刻，數形結合的能力也有所提高；但同時也帶來了較明顯的兩極分化，計算能力和推理論證能力下降等問題. 三、數學學習心理上，習慣上的斷層1.心理方面主要表現在以下方面：85.77 %的老師覺得學生只停留于老師作業的完成；78.86 %的老師覺得學生完成作業的質量取決于任科老師的嚴厲程度；69.1 %的老師覺得學生比較貪玩，對老師布置的軟性作業不夠重視； 2.學習習慣方面表現在以下方面：80 %的老師認為學生不能合理安排與協調各科的學習；85.4 %的老師認為學生不能在課下及時回顧和整理課堂內容；73.57 %的老師認為學生沒有學會整理章后小結；69.5 %的老師認為學生不能及時解決學習過程中遇到的問題；59.3 %的老師認為學生上課聽講習慣不好。 我們初中老師能為學生后續階段的學習做些什么？
1.整體把握教材，適當拓寬
2.轉變教學觀念，注重思想方法的滲透
3.注重數學學習習慣的養成
4.培養學習數學興趣，授予正確的學習方法“一綱一本”向 “一綱多本” 轉化,任何一種版本的教科書不再是課堂教學的唯一依據，更不是中考高考的考本，教師的教學任務不是“教教科書”而是 “用教科書”。中高考命題的依據，是課程標準的要求，“教師教教科書——學生背教科書——考試考教科書的應試教育規則將成為過去式。轉變教學教材觀，改進課堂教學新課程理念下的老師是終身學習的典范 老師們談到教材都說如何吃透教材，如何把教材中的知識教給學生，至于教材內容的合理與否，我們思考過嗎？有沒有想過超越教材？
課程標準賦予教師的專業自主權，把教材從圣壇上搬回人間，把仰視教材、仰視權威的意識
從思想中清除干凈。解放教師，解放學生，解放課堂，教育才可能有活力。注重知識的形成過程，教學生學會思維。學會分析問題，而不是簡單的背題型機械模仿，注重數學思想方法的滲透，比如整體思想，數形結合思想，分類討論思想的應用，這也是中考的要求，比如2009年的中考最后一題就是用到分類討論的思想1.積極轉變教學觀念，用新課程理念指導課堂教學。（1）注重課程整體性。
對于初中新課程已經刪減的而在高中的后續學習中需要用的知識點，我們老師要做到心中有數。在平時的教學中適當的拓寬學生的知識視野。激發學生自主探索的欲望。比如函數部分在中考試卷所占比例大約為12%一般必有一道大題兩個小題，中考對這部分的要求也高于課標的要求，在教學時可拓寬，對二次函數的兩根式要補充進來，還有化簡運算也是中考必考內容，在平時的教學中，可加強學生這種分式化簡的運算，提高運算能力。
2.整體把握教材，提高教學和學習有效性 （2）教學注重數學本質概念的教學：概念的引入與生成等
注重通性通法。如使用運算律，配方法、消元法
都是重要的通性通法主要脈絡和各部分知識之間的內在聯系注重思想方法，不要過于強化技巧性
對于學習習慣的養成，是個長期的過程，而在這個長期的過程中，小學初中高中各段的老師在培養學生正確學習習慣和學習方法上要有統一的思想，要有一定的延續性3.注重數學學習習慣的養成。（1）課前預習，課上聽講的習慣。（2）學會積累，善于做筆記的好習慣（3）及時鞏固，課后復習的習慣（4）獨立思考，完成作業的習慣（5）開拓視野，閱讀數學書籍的習慣。。
兩千多年前的《學記》中曾經這樣說過：“善學者，師逸而功倍；不善學者，師勤而功半。” 許多教育專家認為，將來的“文盲”，不再是目不識丁的人，而是一些沒有學會如何獲取知識，不會自己鉆研問題，沒有預見力的人。這就要求學生不僅要掌握知識，更重要的是必須學會如何學習。大家可能聽說過點石成金這個故事。從前有個神仙聽說有位聰明卻貧困的孩子，便找到了這個孩子，想幫助他。神仙用手一指旁邊的一個小石子，小石子立即點化成了小金塊，示意這金子送給你。小孩子搖頭表示不要，神仙順手便把一塊大石頭變成了一個大金塊，小孩子還是沒要。這時神仙又把對面的一座小山變成了金山，覺得這孩子該滿足了。可是孩子仍然不要，神仙便責問道：“給你金山都不要，那你要什么？”孩子不慌不忙的回答：“我要你的手指”。他要的是點石成金的方法。 我們的教育同樣如此，教師在有限的時間內教給學生的知識是有限的，而學生掌握獲取知識的方法，獲取的知識就是無限的。
　4.培養數學學習的興趣，授予正確的學習方法未來的文盲不是目不識丁的人，
而是不會學習的人聯系方式：郵箱：[email protected]
QQ:1298309289
謝謝！
全面實施數學教育，促進學生和諧發展
――兼談2010年中考數學復習與評價
喻漢林 www.jxjyedu.cn [email protected]
★隨想
☆有用與無用。小法與大法。
☆亦遠亦近的數學教育。
☆學校教育的根本目的是三維目標得到和諧的實現。應當是分數與發展的統一。數學教育應當服從服務于人的全面發展的需要。
☆這個世界不是因為你能做什么，而是該做什么。――馬云
☆教師應當是仁義禮智信全面發展的人
仁：沒有愛就沒有教育。慈愛學生。一視同仁。忍耐心。――心靈修養
聯合國公認的兩個信條：把人當人；己所不欲，勿施于人。
愛是一種內在的修養，愛的付出應當是一種智慧的展現。
﹡﹡20世紀英國有位首相叫威爾遜，他在競選首相時，有天在一個廣場上舉行公開演講。演講開始不久，一個年輕人從聽眾中扔出一個雞蛋，打在威爾遜的臉上，蛋清蛋黃布滿了他的臉，很長時間都睜不開眼。這對他來說是件很失面子的事，下面的軍方馬上把年輕人抓起來，但威爾遜要求把他帶到臺上來。臺下聽眾看后，認為威爾遜肯定要懲罰他，但接下來的講話證明他們錯了。威爾遜心平氣和地說：“你的技術不錯，打得特別準！要是我真當上了首相，會讓國防部長把你的技術用上，你在軍事上很有培養前途。”威爾遜的一席話，把聽眾都說樂了，整個場面變得很融洽，下面一直掌聲不斷。結果也不言而喻，那次演講非常成功。
義：宜也。時宜，話宜，問題宜，……善思所思，善說所說，善作所作――技能修養
禮：仁的外在顯現，對學生的尊重。――行為修養
智：智慧。教育教學需要智慧。――智慧修養
信：相信，信用。言必行，行必果。相信學生。相信規律。――人格修養
一、整體把握數學教育，有效進行數學教學
﹙一﹚數學教育的基本內涵
數學教育應當是基于教與學的過程，促使學生在獲得知識與技能的同時，形成一定的數學能力，獲得對數學的理解，獲得數學文化的熏陶，并在基礎上獲得心靈上的健康成長。
比如，學會說理與推理。了解非可靠的判斷：沒有理由﹙可靠的根據﹚，錯誤理由，理由不充分（根據不足）。合情推理可能是理由不充分的一種推理，但不是沒有理由或錯誤理由的推理。證明的意識有時比學會證明更重要。
﹙二﹚做一個心靈健康的人，使教學成為一件快樂的工作。――數學教育的基礎
共同目標：做一個有益于人的人！
江西師大附中：做一個有責任心的中國人。
《朱子格言》說“讀書志在圣賢”。也應避免落于“讀書唯在賺錢”。
教師要作為一盞燈，照亮學生的心靈，驅散心靈之黑暗。
﹙三﹚教師的基本修養：應當具有良心、慈愛心、平等心、包容心、堅定心。
以歡喜心來教學。快樂本是心的一種體驗，快樂建立在心上。以快樂的心態影響自己和學生。
以學生之樂為樂，以學生之憂為憂。先學生之憂而憂，后學生之樂而樂。
學生的基本素質：（1）情感與態度方面：
①勤奮好學。不斷進取，上進心強。②積極主動。③勇敢堅毅：勇于思考，鍥而不舍，勇于探索，勇于質疑，勇于克服困難（不怕困難）。④自信認真。學習上嚴格要求自己。⑤專注嚴謹。聚精會神，全神貫注。一絲不茍。言之有理、論證有據。⑥尊重他人。友好合作等。⑦有興趣有耐心。⑧實事求是（科學態度）。在一定程度上認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值。數學的美學意義。
（2）過程與方法方面，即能力的個體表現：①會學習；②會思考；③會表達；④會反思（會總結，會自我評價等）；⑤會交往（與同伴、教師等的交往中學習，包括會合作，會交流，會求助）。⑥會做事。
（3）知識與技能方面：記憶準確，理解到位，操作熟練。
﹙四﹚解決基本問題，牽好牛鼻子。――想清什么是最重要的，什么是關鍵的。
1.心態與心情――好心態造就好心情，好心情造就好效果。
﹡﹡三個建筑師的故事。
﹡﹡三個樓層的教師：
一樓教師：年年依舊，少反思改進，認為教學是生活的手段。――容易產生職業倦怠
二樓教師：逐年有變，多反思改進，認為教學常有成功體驗。――有時產生職業倦怠
三樓教師：行動研究，常樂在其中，認為教學實現共同成就。――充滿歡喜毫無倦怠
2.習慣與環境
﹙1﹚養成良好的數學學習習慣。數學學習有自身的特點及其表現，例如：①有人在學習數學時，喜歡畫圖，總會用最直觀、形象的語言來解釋本質的內容；②有人在學習抽象數學概念時，總喜歡選擇一些自己熟悉的例子，把抽象概念很清晰地表示出來；③有人在學習數學時，總是追求整體地感覺，全面思考知識的來源、過程、結果、應用等。這些都是非常好的“習慣”。
﹙2﹚好習慣的形成需要長時間的積累，在學習中逐步形成一些適合自身條件、行之有效的好習慣，改變一些不好的習慣，提高學習效率。
﹙3﹚多數人的發展受制于環境。像生態環境一樣，學習環境深刻地影響著學習生活與人的發展。
3.閱讀與思考
閱讀能力是學生自主學習的基礎，也是提高學生學習能力的主要載體，提高學生的數學閱讀能力應是數學教育中的一項基本任務。
讓學生從思考中獲得快樂，是教育的任務與法寶。
4. 關于過程與方法
經歷 “過程”的目的，不僅僅是落實在知識結論上。
學習“過程”，對學生獲得體驗、增強意識、掌握方法、發展能力方面具有重要作用。而后者恰恰是學生解決問題的重要素質。
過程和結果的關系在一定程度上就是素質（能力等）和知識的關系。完成紙筆測驗的題目，不僅靠知識，更加需要的是考生的基本素質。難題一般都難在素質要求上。
“過程”對學生獲得體驗、增強意識、掌握方法、發展能力方面具有不可替代的作用。
教學中要真正“重過程”，就要：(1)認識過程目標的重要性（學習不僅為獲得知識）；(2)克服“解題是為了獲得技巧”的思維定勢；(3)不要把“以知識為線索”變成了“以知識為主”；(4)教學中對教科書進行教學過程的再創造；(5)不僅關注過程的形式，更要關注過程的本質
讓學生理解方法并不很難，方法的教學，難就難在學生是否能將它自覺地應用到新的情景。因此，方法的教學跟知識的教學，應該有所不同。
“過程與方法”目標，很明確地把“方法”跟“過程”聯系在一起，它告訴我們，要使學生能學會、應用某種方法，必須經歷一定的過程。學生在這個過程中不僅僅領悟了該方法、而且形成了運用該方法解決問題的意識。
目前，方法教學的弊端：①方法是教師琢磨出來的，學生此前沒有認識；②學生關于方法的建立缺乏足夠的感性基礎；③學生對方法的操作是模仿；④教師可以使學生理解方法，但難以形成學生運用該方法解決問題的意識。甚至于有的教師把解答某個題目的經驗也當成“方法”讓學生記住。教師在本學科內發掘大量的“方法”讓學生套用。有一些教學內容的三級結論也當成了“方法”讓學生“掌握”，學生面對各個學科的各種名目繁多的“方法”不知所措。
關于方法教學的探討。(1)應重視學生解決問題個例的感性積累；(2)重視學生自己的概括，實現由蘋果到水果的轉化；(3)采用“滲透”方式進行方法的教學――逐步深化：①教學內容上系統布局――不斷；②教學形式上多樣結構——學生喜歡。
5. 聯系與發展
數學知識之間的縱橫聯系，數學與其他學科知識之間的聯系，數學與日常生活之間的聯系。真懂得了事物之間的內在聯系，便掌握了事物之間的內在規律，便為發展創造了條件。
6.問題與解決
數學是從問題中產生的，是從解決問題中發展的。學生是從問題中產生思維的，是從解決問題中得到思維發展的。好的問題，好的解決問題的策略與思路是數學教育教學所應關注的基本對象，也是培養能力的根本途徑。
﹙五﹚教育教學智慧
1.理念層面。
﹙1﹚思是關鍵。先許后察愚者舉，先察后許智者軌。
△孫子兵法：“不盡知用兵之害者，則不能盡知用兵之利也。”
△“智者之慮，必雜于利害。雜于利而務可信也；雜于害而患可解也。”
﹡﹡知先后。知本末。知快慢。當慢則慢，當快則快。哪些地方當慢當快？
﹙2﹚懂是基礎。知是行之始，行是知之成。病之始，始于食不消。
﹙3﹚心是根本。從心上做文章，讓學生動起來。
相信學生：你能行。……說你行，不行也行！
“是故無論真或假，凡事若經久串習，串習力達圓滿時，不思亦能生是心。”
﹡﹡某醫學院曾有一位教授，發給每個學生一顆藥，說這顆藥可使血壓上升。服藥不久后測量血壓，果然都上升了。其實那僅僅是一顆糖而已。――心的力量，潛意識的力量
2.方法層面。
﹙1﹚因勢而變，隨其所宜，隨其所應。“水因地而制流，兵因敵而制勝。”教因生而制成。
隨順學生。有時不是引導，而是觀察、對話和交流。不應過分強調引導，將學生思維納入教師之中，而應循循然，觀察，讓學生說，正所謂：我說比如你說。
例1 想要得瓜偏得豆。
問題：如何求方程組的解？
設計一：教材思路：從“方程組中相同未知數的系數有什么特征”去思考？
設計二：小明和小杰兩個人到肯德基吃東西，他們分別買了如下食品并付了錢。
小明：一份（雞翅）＋兩份（蛋撻）＝17.5元 ①
小杰：一份（雞翅）＋三份（蛋撻）＝22元 ②
問：一份雞翅與一份蛋撻的單價各是多少元？
預估反應：（a）學生根據生活經驗得出蛋撻單價為22-17.5=4.5元。
（b）相互抵消，得 蛋撻＝22-17.5。
教學片段：生：蛋撻單價為22-17.5=4.5元。
師：你怎么知道兩個總價之差就是蛋撻的單價？
生：小杰就比小明多買了一只蛋撻，所以……（“多買”不是抵消）
師：請大家根據題意列出方程組。
生：設……。
師：受剛才思路啟發，是不是可以用一種全新的思路去解這個方程組？
生：由④得 （x+2y）+y=22 ⑤
將③代人⑤，得17.5＋y＝22，所以y＝22-17.5，……
師：（停頓）這個仍然是“代入消元法”，還有沒有其他想法？
生：（全部沉默）
反思分析：教師先有“加減消元法”，再去創設情境。“多買”在學生情理之中，卻在教師的意料之外。
﹙2﹚恰好趕上，不必多做。﹙豐田經驗﹚
﹙3﹚展開辯論或討論。
﹙4﹚學會傾聽。
聽的方式：①行為層面上的聽。表現：表面的聽﹙一只耳朵聽，一只耳朵出﹚，消極的聽（只聽聲音――記憶，沒有聽進意義――理解，情感上沒有產生共鳴），積極關注的聽。
②認知層面的聽。表現：強加的聽﹙文化客位：訪談者將受訪者所說的話迅速納入自己習慣的概念分類系統，用自己的意義解釋來理解對方的談話，并且作出自己的價值判斷﹚，接受的聽﹙文化主位：將自己的判斷懸置起來，主動接受和捕捉受訪者發出的信息，注意他們使用的本土概念，探尋他們所說語言背后的含義，了解他們建構意義的方式﹚，建構的聽﹙在傾聽時積極地與對方進行對話，在反省自己的傾聽的同時與對方進行平等的交流，與對方共同構建新的現實﹚
③情感層面上的聽。
﹡傾聽要求：不輕易打斷對方。容忍沉默。
﹡回應要求：認可。重復、重組和總結。
應當避免的回應方式：論說型回應。評價型回應。
﹙5﹚給予適當指導。
專注。學會聽課：專心與尊敬地聽。
像把水器扣在地上，你在上面倒了多少水，里面也是一滴也不存；就像一個盆子的底是漏的，任你在上面怎么倒水，全部都會漏光、一點也不存留；
②一時做一事情。做一件事的當時，專心做這件事。適當的時機做適當的事情。
③在生活中運用推理。
④學而時習之。
⑤調控自己的心――聽課做作業
﹙6﹚站在學生角度來考慮問題。
①習慣做法：根據需要，從教師角度來設計學生問題；
②嘗試實踐：從發展角度，從學生角度設計學生的問題。
了解學生。方法：望聞問切。自他交換，平等地深度交談與對話。
﹙7﹚整體把握教學
從整體到部分，然后從部分到整體。
① 研究方法的整體把握——已學完某某，該學某某了。
知識結構框圖的整體把握
知識結果圖的不同類型：邏輯型知識結構。并列型知識結構。上升型邏輯結構。
學習數學不僅要深入地理解每一個知識，掌握每一種技能，還需要理解所學數學內容的體系、結構和基本脈絡。
③ 解決問題的整體把握
﹙8﹚創設和諧、有效課堂――平等、輕松、和諧的課堂環境是有效學習的基礎
正確利用評價。評價：“但觀己過，莫論人非”。豎起你的大拇指。以學生進步而快樂。
3.其他。
﹙1﹚尋找對治辦法，克服懶惰等現象。
懶惰現象。打瞌睡現象。散動不安現象。
對治懶惰――正精進。拖延懶惰：等會兒再說吧，明天再說吧。散亂懶惰。自卑懶惰。
﹙2﹚彭聲銘老師的教學精髓：求精、求實、求活.﹙來自于1985年的《教學參考》﹚
要突出重點，使學生抓住主干，舉一反三
要解決難點，使學生掃除障礙，扎實基礎
要教給方法，使學生有規可循，靈活運用
要溝通聯系，使學生掌握個性，明確共性
要瞻前顧后，使學生易于接受，前后貫通
要激發思維，使學生多加實踐，提高能力
要指導預習，使學生學會讀書，掌握方法
﹙3﹚教學要求與目標：作圖有規有矩，說話有根有據，寫字有模有樣，講課有板有眼，活動有聲有色，學得有滋有味。
﹙六﹚復習方法
確定階段性目標，然后使之落實到位
2. 不憤不啟，不悱不發。先不限定學生思維方向。
依賴太多，走得不遠；題型太多，束縛太大。
3．將過程充分展開，通過過程促發展。
例2 一題常規題的求解與反思
九年級某班全體同學要從A地到相距18千米的B地去游玩，只有一輛汽車，所以把全體同學分成甲、乙兩組，先讓甲組乘車，乙組步行，同時出發；開到途中的C地，甲組下車步行，汽車回去接乙組，把乙組送到B地時，甲組也恰好同時到達B地。若汽車的速度是60千米／時，步行的速度是4千米／時，求A、C兩地之間的距離及兩地之間的距離及兩組同學各步行了多少千米。﹙某資料七年級數學二元一次方程組測試題倒數第二題﹚
解法一：﹙思路：①乙ef段時間＝空車cf段時間＝甲cg段時間；
②乙af段時間＝甲ac段時間＋甲cg段時間；
③甲cb段時間＝空車cf段時間＋乙fb段時間。﹚“②③是對稱的”
設甲坐車走了x千米，乙坐車走了y千米。
乙： 甲：
， 代人法？加減法？
解法二：﹙創造性思維：整體把握﹚x＝y。
﹡﹡七年級，過難過難！九年級，難。
﹡﹡難度適應的題目何其重要！
4.從對話中發現了解學生思維，引導，并使其真懂。
從與學生的對話中常獲益多多！
例3 一道常規題的求解對話過程
如圖，是由一個五角星每個角剪去一部分所形成的，那么圖中的和＝ 度。
問：你的結果是多少？
答：2160°。
問：你是怎樣算的？
答：2700－540＝2160°。
問：遇到這個問題時，你敢不敢做？
答：敢。
問：那你當時是怎樣想的？
答：我觀察中間的五邊形，……有5個五邊形，加起來時有有重復，并且知道內角和。（僅少了重復幾次。）
說：你具體地列一列：M1+M2+H+I+J=540°
M3+M4+I+J+F=540°
M5+M6+J+F+G=540°
M7+M8+F+G+H=540°
M9+M10+G+H+I=540°
問：重復了幾次？﹙重復的確定﹚
答：3次。
問：由此得出的最后結果是什么？
答：S+3﹙H+I+J+F+G﹚=2700°
問：不列時，能否確定重復的次數？怎樣確定？……
（每次出現3個，共出現15次；共有5個字母，每個出現3次。）
問：還可怎樣求解？……
A＋M10＋M20＝180，……E+M90+M100=180°
﹙記M10為……三角形的內角，其他類似﹚
（A+B+C+D+E+10×180°-S=5×180°）――轉化為……
﹡﹡比較：……
﹡﹡做點不要錢的家教，從中充分展開對話。
5．注重分析與反思，提升思維能力與品質
例4 小剛在求一個多邊形的內角和時，由于疏忽，把一個內角加了兩遍，而求出的結果為2004°，請問這個內角是多少度、這個多邊形是幾邊形？
分析一：，n＝13，2004°－1980°＝24°
學生：1980÷13＝……？為什么除不盡？（困惑）……為什么一定要除盡？
分析二：
，→→n＝13→代人再求。
比較：直觀與定性把握。
6．抓住關鍵，尋找突破口
例5 已知直角三角形ABC中，BD⊥AC于點D.O是BC的中點，連結AO，OF⊥AO交AC于點F.設，求的值。
思路：能否建立OE與OF的直接聯系；由中點想到什么。
拓展:點O不是中點，會有怎樣的結果？
反思：也不是簡單地從已知中盲目、無方向地列式與推演。
7.抓住數學本質，洞察異中之同
例6﹙2008年﹚已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是
，（其中為常數，且）．
（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；
（2）當時，設與軸分別交于兩點（在的左邊），與軸分別交于兩點（在的左邊），觀察四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；
（3）設上述兩條拋物線相交于兩點，直線都垂直于軸，分別經過兩點，在直線之間，且與兩條拋物線分別交于兩點，求線段的最大值．
﹙2009年﹚如圖，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的左側），與軸相交于點，頂點為.
（1）直接寫出、、三點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接，與拋物線的對稱軸交于點，點為線段上的一個動點，過點作交拋物線于點，設點的橫坐標為；
①用含的代數式表示線段的長，并求出當為何值時，四邊形為平行四邊形？
②設的面積為，求與的函數關系式.
8.解答學生心中的困惑，相信學生經過能力，都能成功
復習過程中，學生可能有下列困惑或問題：
問題1：我努力了，一定能考好嗎？
問題2：今年的中考數學試題會很難嗎？
問題3：課前，我該怎樣預習？
問題4：課中，我該怎樣聽課？
問題5：課后，我該怎樣復習？
問題6：怎樣解答選擇題？
問題7：怎樣解答填空題？
問題8：解答常規求解證明題時要注意什么？
問題9：解答有關閱讀理解、操作性試題要注意什么？
問題10：如何解答開放題？
問題11：如何解答探究題？
問題12：如何突破應用題？
問題13：如何突破綜合題？
問題14：遇到新題怎么辦？
問題15：哪些內容是考試的重點？
教材中最基本、最核心、用途廣泛地知識點、基本技能、基本思想方法、基本數學能力等是數學中考的重點。代數中，如有有理數的意義與運算，等式、不等式、分式的性質，一次函數、反比例函數、二次函數的圖象特征，一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式﹙組﹚的解法，列出方程或解析式來解決簡單的實際問題，化復雜為簡單、化未知為已知的思想，消元法、配分法、待定系數法等。幾何中，平行與垂直，兩點之間直線段最短，三角形內角和定理、勾股定理，等腰三角形、直角三角形、一般的平行四邊形、特殊的平行四邊形、梯形等的性質與判定，兩個三角形全等或相似的性質或判定，圖形的變換，銳角三角函數及其應用，圓的有關性質，化復雜圖形為簡單圖形的思想方法，將復雜問題轉化簡單問題來處理的思想方法，分類討論問題的思想方法等。統計與概率中，平均數、中位數、眾數、頻率、概率等的意義，統計圖的畫法與識別，用樣本估計總體、用頻率估計概率等思想，用統計結果進行推斷的方法等，這些都是中考關注的重要內容。從對能力的考查來說，運算能力、合情推理與邏輯推理的能力，空間想象與直觀把握圖形的能力，數學應用的意識等也常中考數學涉獵的、甚至是必不可少的內容。因此，你在復習過程中，應當知己知彼，知道自己哪些掌握較好，哪些較弱，較弱的應通過自己的能力或別人的幫助及時補上。
問題16：題目做得越多越好嗎？
問題17：學習過程中遇到困難怎么辦？
問題18：怎樣才能將書讀薄來？
問題19：學習過程中應當養成哪些好習慣？
問題20：怎樣使自己在考試中發揮得更好？
9. 分析題目的功能，充分發揮每道題目的作用
例7 ﹙1﹚若，則 ．
略說：觀察，然后變形。
﹙2﹚ 如圖3，刀柄外形是一個直角梯形（下底挖去一小半圓），刀片上、下是平行的，轉動刀片時形成，，則 度．
略說：抽象﹙數學化﹚，然后分析。
﹙3﹚ 已知邊長為的正三角形，兩頂點分別在平面直角坐標系的軸、軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結OC，則OC的長的最大值是 ．

略說：想象與分析的結合。
﹙4﹚ 一天晚上，小偉幫媽媽清洗茶杯，三個茶杯只有花色不同，其中一個無蓋（如圖），突然停電了，小偉只好把杯蓋與茶杯隨機地搭配在一起，則花色完全搭配正確的概率是 ．
略說：化為相應的數學問題。
例8 閱讀下列計算程序:
當x0=1200時,輸出的y值是多少?
問經過二次運算才能輸出y的值,求x0的取值范圍.
略說：讀懂程序，注意細節﹙思維的嚴謹性﹚。
例9 請寫出符合以下三個條件的一個函數的解析式 ．
①過點；
②當時，y隨x的增大而減小；
③當自變量的值為2時，函數值小于2．

略說：逐步滿足條件。
例10 如圖12，有一個邊長為5的正方形紙片，要將其剪拼成邊長分別為的兩個小正方形，使得．①的值可以是________（寫出一組即可）；②請你設計一種具有一般性的裁剪方法，在圖中畫出裁剪線，并拼接成兩個小正方形，同時說明該裁剪方法具有一般性.
思路探討：探究性分析。
思路1：

思路2：

例11﹙Ⅰ﹚ 在中，，點是直線上一點（不與重合），以為一邊在的右側作，使，連接．
（1）如圖1，當點在線段上，如果，則 度；
（2）設，．
①如圖2，當點在線段上移動，則之間有怎樣的數量關系？請說明理由；
②當點在直線上移動，則之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．
略說：探究，并變形。
﹙Ⅱ﹚ 問題探究
（1）請在圖①的正方形內，畫出使的一個點，并說明理由．
（2）請在圖②的正方形內（含邊），畫出使的所有的點，并說明理由．
問題解決
如圖③，現在一塊矩形鋼板．工人師傅想用它裁出兩塊全等的、面積最大的和鋼板，且．請你在圖③中畫出符合要求的點和，并求出的面積（結果保留根號）．


略說：活用與能力。
例12 如圖1、圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板（與地面平行）或繞定點（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下轉動（轉動過程中始終保持）．通過向下踩踏點到（與地面接觸點）使點上升到點，與此同時傳動桿運動到的位置，點繞固定點旋轉（為旋轉半徑）至點，從而使桶蓋打開一個張角．
如圖3，桶蓋打開后，傳動桿所在的直線分別與水平直線垂直，垂足為點，設=．測得．要使桶蓋張開的角度不小于，那么踏板離地面的高度至少等于多少？（結果保留兩位有效數字）（參考數據：）
圖①


略說：敢于，分解，數學化。
二、全面考查數學教育，平穩實施數學評價
﹙一﹚全國2009年中考數學試題題型分類
下面是基于問題的“題型運用分析”內容結構
1. 操作型問題
﹙1﹚測量型問題
①數值性結果
②方案性結果
③斷性結果
﹙2﹚幾何操作型問題
①按要求畫出圖形
②先作幾何操作后完成有關任務
﹙3﹚求解型問題
①生活情景
②純數學情景
2. 推理型問題
﹙1﹚合情推理型問題
①動態的方式
②靜態的方式
﹙2﹚說理型問題
①結合運算的說理
②證明性的說理
③綜合性的說理
3. 應用型問題
﹙1﹚決策型問題
①方案設計型問題
②判斷型問題
③方案決策型問題
﹙2﹚實際中的最值型問題
﹙3﹚其他應用型問題
4. 學習型問題
﹙1﹚對概念與規律的理解
﹙2﹚對過程與方法的理解
﹙二﹚2009年江西中考數學試卷數量分析
考生數
優秀
人數
及格
人數
不及格
人數
最高分
最低分
平均分
及格率
優秀率
69363
21732
42460
26901
120
0
75.7
61.2％
27.5％
題目
題1
題2
題3
題4
題5
題6
題7
題8
題9
10題
11題
12題
滿分
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
3.00
平均分
2.80
2.58
2.70
2.78
2.45
2.83
1.95
1.95
2.43
2.28
2.33
2.68
難度
0.93
0.86
0.90
0.93
0.82
0.94
0.65
0.65
0.81
0.76
0.78
0.89
題目
13題
14題
15題
16題
17題
18題
19題
20題
21題
22題
23題
24題
25題
滿分
3.00
3.00
3.00
3.00
6.00
7.00
7.00
8.00
8.00
8.00
9.00
9.00
10.00
平均分
1.43
2.05
2.48
2.18
5.32
4.67
5.25
5.33
2.88
3.88
3.23
3.16
3.42
難度
0.48
0.68
0.83
0.73
0.89
0.67
0.75
0.67
0.36
0.48
0.36
0.35
0.34
3. 途徑：﹙1﹚讓不同層次學生的數學能力得到充分展現。(2)處處為學生著想。
三、深化數學教育內涵，不斷改進考試評價
努力做到四個滿意：學生，教師，評價者，命題者。
江西省2010年中考數學說明略說。
從理念到細節，努力讓試卷滲透良好的價值取向；努力發揮試卷的教育價值。讓學生經歷有價值的體驗，獲得良好的感受。
1. 數學學科學業考試應當在知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度等方面對學生進行全面的考查，不僅要考查對知識與技能的掌握情況，而且要更多地關注對數學思想方法本身意義的理解和在理解基礎上的應用；不僅要考查學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識與推理能力，而且要重視對學生的思維過程以及發現問題、提出問題、解決問題和數學表達等方面的考查；應當設計有結合現實情景的問題和開放探索性問題等；不出人為編造、繁難的計算題和證明題。
中考數學學業評價的指導思想是：有利于全面考察學生的學習狀況、激勵學生的學習熱情、激發學生的創新意識和創造精神，有利于體現素質教育導向、促進學生的全面發展、進一步推進基礎教育課程改革的實施，有利于高一級學校選拔合格的、具有學習潛能的新生。
2．考試形式和試卷結構
考試采用閉卷筆試形式，全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘。
“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”三個領域所占分值比例約為45％、40％、15％，并將“課題學習”滲透到有關內容之中。
試題由客觀性試題和主觀性試題兩部分組成，客觀性試題和主觀性試題兩部分的分值比例為40％：60％。
客觀性試題包括選擇題和填空題，選擇題8道，每道3分，共24分；填空題8道，每道3分，共24分。主觀性試題有9道，包括操作(作圖)題和解答題(包括計算題、證明題、開放題、探索題、應用題等)，共72分。選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求寫出結果，不必寫出計算過程或推證過程；作圖題只要求保留作圖痕跡，不要求寫作法；解答題在解答時都應寫出文字說明、演算步驟或推理過程。
試題按其難度分為容易題、中等題和較難題，三種試題分值之比為5：3．5：1．50 。
整卷試題的難度系數約為0．60。
3. 樣卷及其特點略說
﹙1﹚小題中設置新題，新而不難
題1 （Ⅰ）如圖，1~7號零件自上面嚴格垂直推進匣子，下列推進的
的順序中，正確的是（ ）
A．1，3，2，7，6，5，4
B．2，1，3，7，5，6，4
C．2，7，5，6，4，1，3
D．1，5，4，7，2，6，3
（Ⅱ）兩本書按如圖所示方式疊放在一起，則圖中相等的角是（ ）
A．∠1與∠2 B．∠2與∠3 C．∠1與∠3 D．三個角都相等
﹙Ⅲ﹚在如圖所示的正方形網格中，的三個頂點是格點，則tanC=　　　．
說明：選擇填空題中，除了常見的基礎題目外，也常設計一些新面孔的題目，這類題目通常略有思考性，但一般不難。主動地選做一些題目，有利于培養自己的能力，應選做一些。
2.將設置與計算器有關的試題，形式不定
題2（選做題：在下兩題中選做一題）
（Ⅰ）在，，，…，中無理數個數是 ．
（Ⅱ）用計算器計算： ＋－＝ .（精確到0.01）
說明：今年的中考數學卷中將命制涉及計算器方面的試題，它可以是以選做題的方式呈現，也可以其它方式呈現。
3.將繼續采用新形式的填空題
題3 二次函數的部分對應值如下表：
…
…
…
…
拋物線的頂點坐標為(1,-9)；
與軸的交點坐標為(0,-8)；
③ 與軸的交點坐標為(-2,0)和(2,0)；
④ 當x= —1時，對應的函數值y為—5．
以上結論正確的是 .
說明：這種填空題，常以“正確的序號是”的形式出現，可能有多個正確答案，并且常安排在最后一道題位置。
4. 基礎性的常規題仍是試題的主體
題4 ﹙Ⅰ﹚解方程：
﹙Ⅱ﹚如圖，△ABC內接于圓，D是BC上一點，將∠B沿AD翻折，B點正好落在圓上E點處.
（1）求證：AD過圓心：
（2）若已知：∠C=38°，求∠BAC的度數.
﹙Ⅲ﹚某商場三月份銷售某品牌電視機，統計了其中三種型號電視機的銷售量如下表所示：
電視機型號
A型
B型
C型
銷售量（臺）
5
10
20
根據本月每種型號電視機的銷售金額和每種電視機型號的單價(銷售金額=銷售量×單價)，制作如下統計圖：
（1）求該商場三月份銷售這三種型號電視機的總銷售金額；
（2）求出B、C兩種型號電視機的銷售單價，并把圖（2）中的條形統計圖補充完整；
（3）四月份，該商場在“家電下鄉”銷售中B、C兩種型號電視機共銷出60臺，銷售金額為150000元，求B、C兩種型號電視機在四月份各銷售了多少臺？
說明：對于化簡求值、解方程（方程組）之類的技能性的題目，重要的核心概念，基本的推理技能，統計圖、概率的理解與計算等基礎內容，常是考試的基本對象，應當熟練掌握。
5.對應用問題的考查力度保持歷年的水平
題5 中華人民共和國國旗的型號如下（單位：mm）：
型號
長
寬
1號
2880
1920
2號
2400
1600
3號
1920
1280
4號
1440
960
5號
960
640
6號
660
440
國慶60周年，大街小巷到處懸掛國旗。按國旗法規定，在一般街巷兩側的單位、商戶用4號國旗．插掛國旗的不銹鋼旗桿或竹竿長度可為1.5米，插掛旗桿的下端離人行道地面2米，與地面夾角呈60°角。升掛國旗要規格、高度一致，國旗旗面整潔鮮艷．﹙可用計算器計算﹚
（1）觀察表中數據，寫出長與寬的關系；
（2）如圖1，國旗展開時，求E點離墻面AB最遠的距離（結果保留四個有效數字）；
（3）如圖2，國旗垂下時，求F點離地面AG最近的距離（結果保留四個有效數字）．

圖① 圖②

題6 為了防控甲型H1N1流感，某初級中學安排該校三個年級一天內完成甲型H1N1流感疫苗的接種任務，接種安排如下表所示。已知接種組每分鐘接種3人.
接種時間
上午8：30－12：00
下午14：30－16：30
接種年級
七、八年級
九年級
（1）已知七年級學生數是八年級學生數的，若上午按時完成接種任務，求七、八兩個年級的學生數；
（2）上午接種過程中，由于心理因素，有12名學生未能順利接種,這12名學生就與九年級學生一道下午接種，且提前了t（t≥0）分鐘完成全部的接種任務.試比較八年級人數與九年級學生人數的多少，并說明理由.
說明：應用性試題歷來是中考的一個重要內容，它主要考查學生將實際問題轉化為數學問題并進行求解的能力，對此，應高度重視。
6. 開放探索題深受關注
題7 如圖，大⊙O半徑OA交小⊙O于C,弦AB=OA,OA=2OC,連接BC并延長交大⊙O于D,連接OD.
(1)由觀察易知:∠ACB=∠DCO,∠ACD=∠BCO,AB=OD=OA等結論,除此之外請你再寫出三個不同類型的正確結論;
(2)BD與小⊙O是什么位置關系?試證明你的結論.
題8 已知A、B、C、D四個實數的平均值為k，各數分別與k的差如下表：
A
B
C
D
a
（1）除實數A外，問哪個實數與k相差最大？
（2）表中第二行各數的和有怎樣的特征，試證明你的結論；并求出a的值。
題9 如圖，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的左側），與 軸相交于點，頂點為D.
（1）直接寫出關于拋物線的兩條結論；
（2）設點Q是線段OB上的一點，△CDQ的面積的最小值為，
①求拋物線的解析式；
②設點為該拋物線對稱軸上的一個動點，若的值最大，求點的坐標.
說明：開放探索、證明推理是數學學習的重要內容，也是考試的熱點。這樣的試題對教學有良好的導向作用，常是不可或缺的題目，不應回避。
7.大題中設計創新試題是大趨勢
題10 某班課題學習小組，進行了一次紙杯制作與探究活動，所要制作的紙杯（如圖①所示）規格要求是杯口直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm，并且在制作過程中紙杯的側面展開圖不允許有拼接.在這樣一個活動中，請你完成如下任務：
（1）求側面展開圖（圖②）中的所在的圓的半徑r的長；
（2）若用一個矩形紙片，按供第﹙2﹚問用圖所示的方式剪出這樣一個紙杯的側面，求這個矩形紙片的長和寬.
（3）如果給你一張直徑為24cm的圓形紙片（如圖中⊙Q），你最多能剪出多少個紙杯側面？（不要求說明理由），并在圖中設計出剪裁方案.（圖中是正三角形網格，每個小正三角形邊長均為6cm）.
題11 有一個直角三角形紙片BCE，設點A是斜邊BE上的一點，連結AC，現沿AC將紙片剪開，并將紙片ADE順時針旋轉擺放成圖2、圖3、或圖4的樣子。
如圖2，當點A是中點，且DE∥BC時，求∠BAE的度數；
如圖3，當點A是中點，但DE不平行于BC時，設M是DE的中點，連結AM交BC于點N，求證：∠ANB+∠BAE=180°；
﹙3﹚ 如圖4，當AB＜AE時，設M是DE上的一點，連結AM交BC于點N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么點M在DE上的位置滿足什么條件？
說明：呈現形式新穎、或問題構造有內涵、重在考查學生思維能力的創新試題，它可以框圖、操作性活動等形式為載體來構造試題，也可以是課題學習的形式來設問，近年來受到較大的關注，也應當是值得努力的方向之一。這類試題，因以考查能力為根本，因此除了適量做些適應性的題目外，更重要的敢思、肯思，在嘗試思考與反思總結中，提高自己的能力。
祝愿：學生在學習與考試成功中開心，
教師在學生成功與自身成長中微笑。
初三備考讓學生的解題能力上一個臺階
在進入初三復習時,作為一名老師不要一昧地給學生提要求而應該在復習前把三年的教材仔細地梳理一遍，學生在復習前知識是零散瑣碎的，而我們老師不能，教材編排上有符合認知結構螺旋上升的特點，我們要讓章節的復習，學生知識網絡的形成，解題能力的提升也體現這一特色。就像螺旋上升的樓梯一樣，在螺旋上升中讓學生感覺上升的幅度不大，但卻輕而易舉地爬到了高處。下面結合我的教學實踐談談我在初三備考時提高學生解題能力的方法，沒有高深的數學理論，只是我在教學中的一些體會和做法。
方法一：注重單一知識點的訓練，章節復習有良好的開端。
很多老師在章節復習時急于把知識模塊化希望能在學生的頭腦中形成一定的知識網絡，但我在一線教學卻不這么認為。我把每章節的復習時分兩個階段進行，首先梳理單一知識點，然后再引導學生形成知識網絡。我堅持在復習每個章節時牢抓單一知識點的梳理，不急于求成，不急于上升到模塊知識體系，讓底子薄的學生撿拾信心，讓他們覺得我也能解決問題，有了信心才不會輕易放棄，我這種思想和方法將一直貫穿在整個章節知識點的復習當中。針對不同的章節根據學生的掌握情況采用不同的方法。例如在復習“數與式”時針對有理數，無理數，整式，分式的有關概念和運算這部分考題大多在中考中以容易題出現，考察的知識與技能單一如：
（1）－的絕對值是＿＿＿（青海）
（2）在實數，－，0，，0．020020002中無理數有＿＿＿（湖北宜昌）
（3）化簡a+b+（a-b）的最后結果是（ ）
A：2a+2b B： 2b C： 2a D： 0 （浙江） 幾乎所有的學生依靠平時知識的積累都能很較好的解決，不必花費過多的時間，但切記不可跳過不提。又如在復習“圖形的位置與變換”時，學生的遺忘率普遍較高，我則采用糾錯的方法復習鞏固。單一平移知識試題，單一旋轉知識試題，單一位似知識試題，我一律讓同學們先在自己的腦海中搜索有關知識，自己嘗試解決問題，然后在糾錯中掌握基本知識與概念。在每章節的這一階段我要讓我的學生都到該記的記住（如概念），該練會的練會（如運算），我要表揚他們抓住每天的閃光點。我這樣做的目的是使我的學生在每章節的復習中都能動手，動筆，都能做基礎題，有信心，有健康的心理把初三的復習進行下去。
方法二：巧用中考題，復習有良好的心理。
這是和方法一緊密聯系的牢不可分的，也將貫穿在整個復習過程當中。我在每章節的復習中尤其是單一知識點的梳理時，必須收集與之相關的中考題備用，保證每一堂課至少一道有題效的中考題，熟悉自然就會親切，我要讓我的學生對中考題消除畏懼感有良好的解題心
理。如在復習一元一次不等式及不等式組的基本知識時：
不等式3x+2≥5的解集是＿＿＿（北京）
不等式組 2x+3＞7的解集是＿＿＿（江西）
3－x＞－2
這兩道中考題都能保證題效，符合《課程標準》中對該部分知識的考察要求。也許有的老師認為這樣的題太簡單不值得一練，我卻認為我的學生通過這樣的中考題的訓練不是已經具備了基本的解題能力嗎？我這樣做能在中考中減少低分率甚至消滅低分率。當然在保證題效的基礎上對優良的學生要有拓展的空間，如：
已知關于x的不等式組 x–a≥0只有四個整數解，則實數a
5-2x＞1
的取值范圍是＿＿＿（長沙）
這不但使復習課的內容得到了延伸，優良的學生有提高解題能力的空間，同時也會激發底子薄的學生的求知欲，增強復習課的氛圍，在興趣中提高解題能力。
方法三：科學建立知識體系，復習有效度。
在章節復習的第二階段我要在我的學生能拿基本分，能做基礎題的基礎上引導他們形成自己的知識體系網絡。如引導學生形成方程與不等式的知識網絡，體現知識能力螺旋上升的思想，我會這樣做：
（一）預備工作：把學生不同層次搭配好分成若干個小組。
（二）老師提問：我們會解哪些方程？你是如何解的？每個小組可以一半人出題，盡量不出相同類型的方程，另一半人求解并告訴出題的人你是了什么方法，如何解出來的？
（目的：激發每個學生主動學習，自動去搜索相關的知識）
（三）我在參與一組的學習后，收集每組的問題及解答，我發現一般會出現以下問題：（1）一些同學解題慢，不同方程間的解法混亂。（2）有解方程的方法但易出錯。（3）有同學構造的方程出現特殊情況，如有無數解，沒有解。
（四）我分類整理同學們自己出的方程及解答，展示給同學并引導幫助他們從散亂的知識逐漸形成知識網絡：
定義
一元一次方程
解法 定義
整式方程 二元一次方程（組）
定義 解法
方程 一元二次方程
定義 解法
分式方程
解法
（五）不回避學生的錯誤，讓錯誤充分暴露。糾正錯誤的同時也是學生的知識網絡清晰完善的過程。我展示分析錯誤，學生小結并做好筆記，如：去分母時不依據等式的基本性質乘以方程中的每一項；一元二次方程漏根；分式方程忘記驗根。
（六）我在學生的知識網絡漸漸形成后，指出有的學生所出方程出現特殊解的原因，讓學生明白即可，學有余力的學生歡迎課后再與同學及老師交流。
在后面的學習中，我會用類似的方法引導幫助學生形成關于不等式（組）的知識結構并類比與方程。我這樣做的目的是：經過如此循序漸進的復習后，所有的學生尤其是底子薄的學生在掌握單一知識點的同時慢慢形成知識網絡，關注知識間的聯系，在類比，糾錯的過程中能掌握中考所需考察的數學基本知識及基本技能的要求。在形成知識網絡時又鞏固了該章節的單一基礎知識，使知識的復習和掌握體現螺旋上升的特點。
學數學，用數學，我接下來又遵循螺旋上升的認知原理從方程與不等式的應用層面進行能力的訓練，使學生的解題能力也隨之上升。對學生而言等式比不等式易理解和掌握，與方法二緊密聯系我會設置有題效，有梯度的中考題進行訓練。
如：例1：（南寧）小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都是勻速前進。已知兩人在上午8時出發，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米，求A，B兩地的路程。
例2：（江西）甲，乙兩同學玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線L起跑，繞過點P跑回起跑線，途中乒乓球掉下時需撿起并回到掉球處繼續賽跑，用時少者勝，結果：甲同學由于心急，掉了球，浪費了6秒鐘，乙同學則順利跑完，事后，甲同學說：“我倆所用的全部時間和為50秒”乙同學說：“撿球過程不算在內時，甲的速度是我的1．2倍”根據以上信息，請問哪位同學獲勝。
例3：（深圳）“震災無情人有情”民政局將全市為四川受災地區捐贈的物資打包成件，其中帳篷和食品共320件，帳篷比食品多80件。
求打包成件的帳篷和食品各多少件？
現計劃租用甲，乙兩種貨車共8輛，一次性將這批帳篷和食品全部運往受災地區。已知甲種貨車最多可裝40件和食品10件，乙種貨車最多可裝帳篷和食品各20件，則民政局安排甲，乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設計出來。
在第（2）問的條件下，如果甲種貨車每輛需付運輸費4000元，乙種貨車每輛需付運輸費3600元。民政局應選擇哪種方案可使運輸費最少？最少運輸費是多少元？
分析：例1貼近學生生活，利用線段圖分析便于找出等量關系，從“列方程→→解方程→→解決問題”的過程提升解決問題的能力。例2有趣味性同樣的行程問題但所列為分式方程，同樣訓練學生“用方程→→列方程→→解方程→→解決問題”的能力，但要求學生思維更周到。例3在前兩題的基礎上引入不等式，綜合使用方程與不等式來解決問題。有前兩題的分析基礎第（1）問可兼顧所有的學生，第（2）問我會這樣問“用方程可以解決問題問題嗎？怎么辦？”分小組討論人人參與，引導絕大部分學生向不等式轉化。經過這樣的訓練對方程與不等式的知識模塊基本可以形成，達到《課程標準》考察的要求。
引導學生形成知識網絡的過程中我的做法時刻兼顧底子薄的學生，激發他們復習狀態的持久性。在這個階段我在教學中一定注意不求全，求深，不強求訓練每個學生的綜合解題能力。因為根據教材的編排特點很多知識點會反復呈螺旋上升（例如在函數的知識模塊中會再次涉及方程與不等式的應用），我也要讓我的學生解題能力呈螺旋上升，緩解復習解題的壓力。又如在復習函數模塊時我會這樣做：
函數的知識模塊如下：
函數的定義及意義
定義
一次函數 圖象與性質
應用
定義及與一次函數的關系
函數 正比例函數 圖象與性質
應用
定義
反比例函數 圖象與性質
應用
定義
二次函數 圖象與性質
應用
從兩個層面（1）函數的意義與性質（2）函數的應用，進行復習后，我會用專門的課節再次把方程（組）與不等式的知識融合其中。如：我會設計這樣一堂課：
每人發一張紙上面有這樣一些問題：
二元一次方程2x+y=1有＿＿＿組解→→直線Y=-2X+1上有＿＿＿個點，每個點的坐標與方程2x+y=1的解有什么關系？
方程組 2x+y=1的解是＿＿＿，→→直線y=1-2x與直
y-x=4
線y=x+4有怎樣的位置關系？方程組的解與它們又有怎樣的聯系？
如果把（2）中的方程組換成 2x+y=1 呢？
6x+3y=11
換成方程組 2x+y=1 呢？你發現了什么？
6x+3y=3
把你的發現與同學和老師交流。（每個小組都有不同層次的同學，我做到人人都有交流的對象。）
我再選三道有梯度，針對性強的例題：
顯然 x+y=1 沒有解，由此可見一次函數y=-x+1與
2x+2y=11
y=-x+的圖象必定（ ）
A：相交 B： 平行 C： 重合 D： 無法判斷
（二）用圖象法解某二元一次方程組時，在同一直角坐標系中作出相應的兩個一次函數的圖象（如圖所示），則所解的二元一次方程組是（ ）
A： x+y-2=0 B 2x-y-1=0 C 2x-y-1=0 D x+y-2=0
3x-2y-1=0 3x-2y-1=0 3x+2y-5=0 2x-y-1=0
（三）（浙江臺州）如圖所示，直線L：y=x+1與直線M：y=mx+n相交于點p（1，b）
（1）求b的值；
（2）不解關于x，y的方程組 y=x+1 請你直接寫出它的解；
y=mx+n
（3）直線y=nx+m是否也經過點p？請說明理由。
分析：通過例1讓學生運用討論交流的結果，讓他們感覺學了就能用，激發興趣。通過例2讓學生在函數模塊的復習中再次回顧方程組的解法產生方程與函數知識間的自我聯接。例3是道有題效的中考題考察的目標明確。同樣的方法我可以再引導學生關注不等式與函數的聯系。通過如此類型課的設計并不僅僅是簡單的重復而是在重復中上升，讓我的學生的解題分析能力逐步提高。
方法四：重視知識的縱向，橫向聯系，復習有深度。
在學生對初中的知識模塊有了一定的了解和認識的基礎上，在章節知識復習后我開始“串知識”，以“串知識”為媒介使我的學生的解題能力再上一個臺階。何謂“串知識”實際就是開始訓練學生的綜合解題能力，關注知識模塊之間的橫向聯系，這也是和方法三相輔相成的緊密聯系的。其實教材在編排上不但有螺旋上升的特點而且也特別注重知識間的關聯。（如八年級上冊的“二元一次方程與一次函數”，下冊的“一元一次不等式與一次函數”，九年級的“二次函數與一元二次方程”等等）我這樣做的目的是學生對知識板塊及之間的聯系越熟悉越全面，他尋求解題方法的反應就越快捷。就如在“圓”中橫向聯系“三角形”，“四邊形”我發現越熟悉“全等三角形及特殊三角形”“特殊四邊形”的性質的同學越容易產生鏈接，實現轉化，快速地尋求解題方法。我在這一階段也同樣注重“綜合性”的逐步推進，使不同層次的學生獲得不同層次的提高。由單一的知識層面過渡到兩個，三個甚至多個體現知識的橫向聯系及縱向深化。例如：
例1：（武漢）直線y=kx+b經過A（2，1），B（-1，-2）兩點，則不等式x＞kx+b＞-2
的解集為＿＿＿
例2：（湖南湘潭）我市花石鎮組織10輛汽車裝運完A，B，C三種不同品質的湘蓮共100噸到外地銷售，按計劃10輛汽車都要裝滿，且每輛汽車只能裝同一種湘蓮，根據下表提供的信息，解答以下問題：
湘蓮品種
A
B
C
每輛汽車運載量（噸）
12
10
8
每噸湘蓮獲利（萬元）
3
4
2
設裝運A種湘蓮的車輛數為x，裝運B種湘蓮的車輛為y，求y與x之間的函數關系式；
如果裝運每種湘蓮的車輛都不少于2輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；
若要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出最大利潤的值。
以上兩題都涉及函數，方程組，不等式組的綜合應用與轉化，但對學生而言的“難度”就不一樣。例1文字閱讀量小，題意明了，直接借助方程組轉化為不等式組，易鼓勵學生求解，讓他們感覺雖然是綜合題但是我也能解。例2文字閱讀量大，運用方程組求X與Y的函數關系式還有參數Z滲透消元的思想，轉為不等式組求變量的取值范圍來確定方案時也不直接明了，比照例1該題對學生而言要求高得多。我每節課都必須注重“綜合性”的不同，時刻兼顧我的所有學生，他們在解答了第一題的基礎上有了一定的滿足感，就會有想分析解答第二道題的欲望，不一定解答的很完美但是卻能讓他們在體驗“綜合”題的同時有勇氣將復習朝深度推進。
方法五：培養數學素養，復習上水平
在我的學生已經具備了一定的綜合解題能力后，我開始用專題的形式培養我的學生的數學素養。數學素養主要表現在：具有較扎實的基礎知識與基本技能，能靈活地運用所學數學知識解決力所能及的實際問題和數學本身問題；能用數學的眼光觀察現實生活，并能提出某些數學問題；能夠用數學的思維方式來思考，分析問題；能夠對數學與社會生活的關系及其作用有正確的認識等方面。在前面不同階段的復習中，我都一直注重所有學生的基本能力和基本技能的訓練。在復習向深層次推進時，我的指導思想是：首先能讓所有的學生都在學，都在思考。其次能讓所有的學生都能學，都能思考。努力兼顧不同層次的學生讓不同層次的同學在這一階段的解題能力得到不同的提高，我會這樣做：
（1）按“探究性活動”，“探究規律活動”，“數學建模解決實際問題”等等收集相關的中考試題及典型范例。
（2）每道范例的分析講解我都會問我的學生“你用了哪些知識？”，“如果這道題是你出的你想考學生什么？達到什么目的呢？”“你還能提出什么問題？還有什么想法嗎？”“你認為體現了我們平時感悟的什么數學思想呢？是怎么體現的呢？”。復習越向深層推進我越堅持還課堂給我的學生，讓他們有思考，討論的時間，讓他們有時間在自己的知識網絡中尋求能解決問題的思路和方法。雖然有的學生的底子薄但是只要他們能想哪怕只是一點一滴，我都認為達到了復習目的。
例如：（山東日照）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2．．．按如圖所示的方式放置，點A1，A2，A3．．．．和點C1，C2 ，C3．．．分別在直線y=kx+b（k＞0）和x軸
上，已知點B1（1，1），B2（3，2），則點Bn的坐標是＿＿＿。
本題綜合了一次函數，正方形的性質來探究點的坐標規律，是一道能很好地提高學生綜合利用知識的好題。對不少學生而言有相當的難度，為了兼顧不同層次的學生我會這樣做：
老師首先設問（一）“只有兩個點的坐標能看出坐標的規律嗎？我們應該怎么做？”
（二）“你認為 B1，B2兩點的坐標怎么用？只告訴你一個點的坐標行嗎？”
（三）“你能提出什么問題？困難在哪里？”
（四）“在你的解法中體現了什么數學思想和方法？”
接下來我收集各小組思考討論的成果及提出的問題。一般有這樣的情況，我按層次整理反饋。（a）受老師第一問的啟發都能聯想到求B3，B4的坐標，主動到自己的知識體系中尋找求點的坐標的方法。（b）提出問題“不知道B1，B2的坐標與B3，B4的坐標的聯系在哪里？”（c）“我們能把B1，B2的坐標結合正方形的性質轉成A1，A2的坐標，并轉化為二元一次方程組求直線表達式，但卻不知道如何下去？直線表達式有何用？”（d）“我們不但能求表達式，并能逆向思維通過求A3，A4的坐標推出B3 ，B4的坐標，建立從已知到結果的過程，很高興還能體會解題過程中的轉化，數形結合的數學思想。但卻在探究規律時有困難。”
在同學提問與解答中，提問題（b）的這部分同學自然受提問題（c）的同學啟發在老師的幫助下解答了自己提出的問題，并加入到這部分層次的學生中。類似的受提出問題（d）的同學啟發又會逐步加入到這部分層次的同學中，思維能力在一步一步向深層發展。使得復習向深層推進我仍然能兼顧我的所有學生。我不求每堂課的題量，有時在這個階段我一節課只分析討論了一道題，我卻讓我的絕大部分學生跟上復習的步伐哪怕他跟在隊伍的后面。
方法六：重視壓軸題，消除備考畏難情緒，提高解題發揮水平
經過前面有層次，有螺旋上升特色的復習后，我的不同層次的學生的解題能力會得到不同層次的提高。最后階段我會把各個省市的中考壓軸題分類整理，每堂課上少則一道多則兩道，看時間允許，不求分析多分析全，只是重視這個過程。我會引導每個學生解答第一，第二小問，讓他們體驗到若把壓軸題的第一，二問換成單個的問題其實并不難。例如：
（江西）正方形ABCD和正三角形EFG的邊長都為1，點E，F分別在線段AB，AD上滑動，設點G到CD的距離為X，到BC的距離為Y，記∠HEF為a（當點E，F分別與B，A重合時，記a=0。°）
當a=0°時，求X，Y的值（結果保留根號）
當。A為何值時，點G落在對角線AC上？請說出你的理由，并求出此時X，Y的值（結果保留根號）
請你補充完成下表（精確到0．01）
A
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
X
0．03
0
0．29
Y
0．29
0．13
0．03
若將“點E，F分別在線段AB，AD上滑動”改為“點E，F分別在正方形ABCD上滑動”當滑動一周時，請使用（3）的結果，在圖中描出部分點后，勾畫出點G運動所形成的大致圖形。
這道題的第一，二問轉化為三角形和四邊形的知識求解并不難便是實證。當我告訴他們這道題的平均得分只有1．66分時，大大鼓舞了他們解答中考壓軸題的信心，降低對壓軸題的畏難情緒。
我這樣做是為了讓我的學生在中考中從頭至尾有良好的解題心態，盡量使學生的解題水平的發揮不受主觀原因的影響，降低低分率甚至消滅低分率的同時追求優秀率。
以上幾點方法是我在教學一線的心得體會和小結，在螺旋上升中提高學生的解題能力，提升學生興趣，使其有良好健康的心態備戰中考。
°
課件25張PPT。 小學生 小作業 小話題 大教師 大講究 大關愛玉山一中文苑學校 劉向陽一.豐富課堂，減少作業二.認真設計，優化作業三.以人為本，適宜作業四.齊抓共管，反饋作業五.培養能力，多元作業六.授人以漁，科學作業七.學會歸納，分類作業教師累了 學生樂了 效率高了 關愛現了一.豐富課堂，減少作業.△教師要認真備課
教師多花一分，學生少用一秒，課前認真設計，要讓學生吃飽，少留課外作業，關愛學生為要。△練習要切合例題
讓學生有學以致用的快感。△練習要循序漸進
讓學生有挑戰極限的愉悅。二.認真設計，優化作業.1.體現情境性2.體現開放性3.體現實踐性4.體現層次性5.體現創新性例1.（教學內容：“你今年幾歲了”）作業設計：在2003-2003賽季意大利足球甲級聯賽的九輪比賽中，尤文圖斯隊保持不敗，共積分25分，按比賽規則：勝一場得3分，平一場得1分，問該隊共勝了幾場？評析：這種短小精悍的新題，難度不大，把列方程解應用題和學生感興趣的足球聯系起來。體現情境性例2.（教學內容：“完全平方式”）作業設計：請把五組數值（a=1，b=2）（ a=4，b=3 ） （ a=12，b=3 ） （ a=2，b=16 ） （ a=7，b= -3 ）分別輸入如圖1的兩個數值轉換機，比較兩個輸出結果，你發現了什么？這說明什么？222評析：通過設計“數值轉換機”，寓單調的有理數運算于活動之中。體現情境性圖1體現開放性例3.（教學內容：“截一個幾何體”）
作業設計：一個正方形，截掉一個角，剩余部分還有幾個角？ (結果開放)例4. （教學內容：“探索直線平行的條件”）
作業設計：如圖2，直線a、b均與c相交，形成∠1 ∠2∠ 3…∠8共八個角，請填上你認為適當的一個條件：
如果_______,那么a∥b。41253678圖2體現實踐性例5.（教學內容：“整式的乘法”）
作業設計：我將要遷新居，其結構如圖3，現在我打算把臥室和客廳鋪上木地板，請你幫老師算一算，我至少需要買多少平方米的地板？
A.12xy B.10xy C.8xy D.6xy客廳臥室衛生間廚房xx2x4x2y評析：把數學作業與生活起來，即讓學生對涉及到的數學知識有了一個更深的認識，又能體現出數學的應用價值。體現層次性作業設計：甲、乙、丙、丁四名打字員承擔一項打字任務，若由這四人中的某一人單獨完成全部打字任務，則甲需要24小時，乙需要20小時，丙需要16小時，丁需要12小時，問：
A.檔題：如果甲、乙、丙、丁四人同時打字，那么多少時間完成？
B.檔題：如果按甲、乙、丙、丁……的次序輪流打字，每一輪中每人各打1小時，那么需要多少時間完成？
C.檔題：能否把(B檔)題中所說的甲、乙、丙、丁的次序作適當適當調整，其余都不變，使完成這項打字任務的時間至少提前半小時？例6(教學內容：期末考試試卷分析)評析：這是一道“檔次”明顯的題目，解題過程是一個層層深入、比較、探究的過程，保證了尖子生的培養，也避免了中下學生以后看到壓軸題就撒手不理的現象。 體現創新性例7(教學內容：“代數式”)
作業設計：舉一例實際應用題，使其結果可用代數式3x-2y表示，用一組具體的婁值代替3x-2y中的x、y，求出代數式的值，并說明該值的實際意義。例8(教學內容：“生活中的圖形”)
作業設計：下面的圖形是用直線、角、三角形、圓等幾種基本圖形設計成表示客觀事物的圖畫，請同學們展開聯想，用你學過的幾何基本圖形來表示生活中的事物，并附解說詞，小組比一比，看看誰的作品更有創意？兩盞電燈一帆風順執勤交警體現創新性例9.(教學內容：“完全平方式”)
作業內容：計算(a + b) ,(a + b + c) 評析：把完全平方公式中的“a + b ”中的次數推廣為3次、4次….或把加數推廣為3個甚至多個數的和，揭示了一種從特殊到一般的思想——推廣思想。 數學教育的目的應是培養有思想有創新能力的人，教師在平時設計作業時就應避免“題海戰術”，防止“熟而生厭”，“熟而生笨”，提倡探索創新、自主選擇，最終讓學生的知識在作業中升華，技能在作業中掌握，能力在作業中形成，思想在作業中發展，讓“講之功有限，習之功無已”。三.以人為本，適宜作業1.適度2.適量3.適時有的老師采用“一刀切”的方式布置作業題，導致學習好的學生感覺“吃不飽”，水平一般的學生難以提高，學習有困難的學生卻“吃不了”。有的老師過分強調“熟能生巧”，使學生陷入了機械重復當中(例：學生在試卷上寫道：‘老師，我已寫了七遍了’)。教會學生使用“水庫原理”，使時間“旱澇保收”。△各年級學生的情趣、能力、要求不盡相同，布置作業要因時而異。
△讓學生分時段完成作業很重要。 適度例：已知如圖(1)△ABC其外角平分線CP、BP交于點P。試探究∠A與∠P的關系；
(2)若CO、BO是其內角平分線交點，試探求∠O、∠A之間的關系？ABECDP解：(1)∵CP、BP平分∠DCB和∠CBE(已知)
∴∠3 = ∠4，∠1 = ∠2(角分線定義)
∵∠CBE = ∠A + ∠ACB(三角形外角等于不相
∠DCB = ∠A +∠ABC 鄰的兩內角和)
∴∠CBE +∠DCB = 2∠A +∠ACB +∠ABC(等式性質)
∴2∠1 + 2∠3 =∠A (三角形內角和定理)
∴∠1 +∠3 =∠A/2+ 90°(等式性質)
又∵∠1 +∠3 =180 °- ∠P (三角形內角和定理)
∴∠A/2+ 90°= 180 °- ∠P(等量代換)
∴∠P = 90°- ∠A/2 (等式性質)1234ABECDO1234（2）結論∠O = 90°+∠A
理由：∵CO平分∠ACB，BO平分∠AOC(1)
∴∠1 = ∠ACB，∠2 = ∠ABC(2)
∵∠A + ∠ACB +∠ABC = 180 °(3)
∴∠A + 2(∠1 +∠2) = 180 °(4)
又 ∵∠O + (∠1 +∠2) = 180 °(5)
∴∠A + 2(180 ° - ∠O) = 180 °(6)(2)
∴∠O = 90°+∠A (7)適度適時去年暑假作業，敝人是這樣布置的：
7.1-7.10休息；
7.11-7.19夯實一、二；
7.21-7.29夯實三、四；
8.1-8.9提升一、二；
8.11-8.19先飛；
8.20-8.29休整；
逢0日自由來校討論；
8月30日檢查作業。四.齊抓共管，反饋作業1、建立作業督查機構，促使學生養成良好
的作業習慣；
2、培養小教師團隊，見逢插針地反饋答案；
3、課代表每日反饋作業中的難題，助教師
備課；
4、勤于管理，及時釋疑；獎勵先進，謹慎
罰劣。五.培養能力，多元作業1、實踐作業不可輕視。如旗桿高度、盒子六面圖.
2、筆記也是一種作業，讓學生每章都要畫樹圖.
3、“命題”是很好的輔助作業.盒子六面圖六.授人以漁，科學作業 學生做作業要做到：
先看透書，再動手做
明確題意，構建思路
限定時間，一氣呵成
做后反思，提高效益
*授人以魚不如授人以漁
*方法比內容更重要七.學會歸納，分類作業好老師善歸納，歸納是學生最好的老師
1、每章節都要學生畫樹圖.
2、比較學習使學生少做題.
3、歸納學習讓學生腦清晰.
4、歸納學習讓老師控全局.比較學習使學生少做題例1：如圖1：在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C >∠B)，試說明∠EAD = (∠C -∠B)解：∵AE平分∠BAC(已知)
∴∠1 =∠EAC = ∠3 + ∠2(角平分線定義)
∵AD⊥BC(已知)
∴∠C +∠2 = 90 °(三角形內角和定理)
∠B +∠1 +∠3 = 90 °
∴(∠C +∠2) – (∠B +∠1 +∠3) = 0
∴∠C - ∠B +∠2 – (∠3 +∠2 +∠3) = 0
∴∠C - ∠B = 2∠3
∴∠3 = (∠C - ∠B)
即：∠EAD = (∠C - ∠B)ABCDEFABCDEABCDE32GH145F(2)若如圖(2)試推導∠EFD與∠B、∠C的關系；
(3)若如圖(3)，(2)中的推導是否成立？
(4)如圖(4)，∠EFD = |∠FBC - ∠FCB |
∠BFE = ∠CFD (1)(2)(3)(4)歸納學習讓學生腦清晰例2：已知AB∥CD，分別探究下面兩個圖形中∠APC和∠PAB，∠PCD的關系，并從所得關系中選一說理。ABCDPABCDABCDPABCDPE1342F5ABCDP1342E123n+1變位變法變數P例3:歸納學習讓學生腦清晰ABCDEABCDEABCDE 敝人將中考綜合題分類編寫為：方程應用、一函應用、一函最值、一函方案、反比函數、二函平移、二函最值、二函綜合、統計初步、概率初步、三角形、四邊形、解三角形、圓、圓動點、圓相切、圓坐標、變換平移、變換折疊、變換旋轉、動點函數、動點存在、探索發現。歸納學習，讓老師在復習中能宏觀掌控謝謝！！千淘萬漉雖辛苦，吹盡黃沙始見金。 課件44張PPT。求真務實 擇優尚新 黃水根 2010.03.16
一、09中考數學試題的設計思路
二、數學解題過程的反思 一、09中考數學試題的設計思路 1.全面考查“四基”，注重學生對知識與技能所蘊含的數學本質的理解和在具體情景中的應用
2.關注思想方法與能力，力求全面體現《標準》提出的九大核心
3.科學編題組卷，以便更好的達成考試目標 1.全面考查“四基”，注重學生對知識與技能所蘊含的數學本質的理解和在具體情景中的應用例1 （試卷第7 題） 如圖，已知 那么添加 下列一個條件后，仍無法判定
的是（ ）
A．　　　　
B．
C．
D．
本題涉及到三角形
全等的所有判定方法. 例2（試卷第21 題）某天，小明來到體育館看球賽，進場時，發現門票還在家里，此時離比賽開始還有25分鐘，于是立即步行回家取票.同時，他父親從家里出發騎自行車以他3倍的速度給他送票，兩人在途中相遇，相遇后小明立即坐父親的自行車趕回體育館.下圖中線段AB、
OB分別表示父、子倆送票、取票過程中，離體育館的路程S（米）與所用時間T（分鐘）之間的函數關系，結合圖象解答下列問題（假設騎自行車和步行的速度始終保持不變）：
（1）求點B的坐標和AB所
在直線的函數關系式；
（2）小明能否在比賽
開始前到達體育館？ S（米）T(分）BO360015(第21題）A 本題以考生熟悉的實際為背景，采用圖文結合的方式呈現問題，第（1）小題求點的坐標和函數關系式，第（2）小題回答具體問題.考查了方程、函數的有關知識,數形結合的思想和建模能力，以及這些內容在具體情景中的應用，學生無論采用何種解法，都需要理解并提取、表達其中的關系，突現了對數學本質的考查，同時對考生將文字、圖象與數學符號之間進行轉換能力也有較高的要求. 例3（試卷第24 題）如圖，拋物線
與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側）， 與y軸相交于點C，頂點為D.
（1）直接寫出A、B、C三點
的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的
對稱軸交于點E，點P為線段BC
上的一個動點，過點P作PF∥DE
交拋物線于點F，設點P的橫坐標
為m；①用含m的代數式表示線段
PF的長，并求出當m為何值時，
四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數關系式. 本題由簡單到復雜的多個問題組成，是一道涵蓋了多個知識點的綜合性試題，考查的內容主要有：解方程（組），一次函數，二次函數，平行四邊形，勾股定理，解三角形，距離、面積的計算等.這些都是初中數學最基礎、最本質的內容，也是后續學習必備的基礎，同時，本題呈現方式和解題方法也與高中解析幾何相類似. 第（2）小題引入了動點，增加了題目的探究性，考生解題時需抓住變化過程中的變量關系，動中取靜，對思維能力有較高的要求. 2.關注思想方法與能力，力求全面體現《標準》提出的九大核心 九大核心：數感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數據分析、隨機現象. 例4（試卷第9 題）如圖，分別是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體的主視圖和俯視圖，則組成這個幾何體的小正方體的個數是（ ）
A．2個或3個　　　
B．3個或4個
C．4個或5個　
D．5個或6個
本題對空間觀念和幾何直觀有較高的要求，具有一定的思維含量，憑機械記憶、模仿較難得到答案，這種設計有利于縮小評價誤差. 例5（試卷第20 題）經市場調查，某種優質西瓜質量為（5±0.25）kg的最為暢銷.為了控制西瓜的質量，農科所采用A、B兩種種植技術進行試驗.現從這兩種技術種植的西瓜中各隨機抽取20顆，記錄它們的質量如下（單位：kg）：
A：4.1　4.8　5.4　4.9　4.7　5.0　4.9　4.8　5.8　5.2
5.0　4.8　5.2　4.9　5.2　5.0　4.8　5.2　5.1　5.0
B：4.5　4.9　4.8　4.5　5.2　5.1　5.0　4.5　4.7　4.9
5.4　5.5　4.6　5.3　4.8　5.0　5.2　5.3　5.0　5.3
（1）若質量為（5±0.25）kg的為優等品，根據以上信息完成下表：



（2）請分別從優等品數量、平均數與方差三方面對A、B兩種技術作出評價；從市場銷售的角度看，你認為推廣哪種種植技術較好. 本題是一道統計題，其實際背景來自于某西瓜基地，考查了數據分析、隨機現象，要求學生從原始數據中整理數據并通過對統計量的分析作出決策，這正是統計內容中需要考查的核心． 本題以等腰梯形為背景，起點較低.第（1）小題求等腰梯形一腰中點到底邊的距離，是一個很基礎的問題，第（2）小題通過引入中位線上的一個動點，抓住其中的“變”與“不變”，問題構造自然流暢，一氣呵成，既關注了幾何圖形變化過程中其圖形特征的改變，又關注了如何對變化過程中幾何圖形的一些元素進行量化描述. 本題將三角形、等腰梯形、解直角三角形的相關知識聯系在一起，要求考生綜合運用這些知識以及數形結合和分類討論等思想解決問題，有較強的綜合性.實測表明，本題具有較好的區分度，同時，本題也是運用代數方法對幾何問題進行研究的一個實例． 3.科學組卷，以便更好的達成考試目標 命題時認真研究了各種題型的搭配和各類試題的設計，特別是在組卷和試題中的問題情景設計方面進行了反復的推敲，大部分試題從雛形到成題都經過了很多的反復. 例7（試卷第5 題）在下列四種圖形變換中，
本題圖案不包含的變換是（ ）
A．位似　 B．旋轉　
C．軸對稱　 D．平移


本題取材于人教版九（下）P63的一個圖案，設計意圖是考查位似、旋轉、軸對稱等概念，考慮到選擇題在概念理解方面的優勢，因而以選擇題的形式呈現. 例9（試卷第23 題）問題背景 在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組于同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量.下面是他們通過測量得到的一些信息：
甲組：如圖1，測得一根直立于平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm.
乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm.
丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm.
任務要求
（1）請根據甲、乙兩組得到的信息計算出學校旗桿的高度；
（2）如圖3，設太陽光線NH與⊙O相切于點M.請根據甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑（友情提示：如圖3，景燈的影長等于線段NG的影長；需要時可采用等式 ）. 本題的實際背景來自于各種版本的教材以及命題所在地的景觀燈，將圓與三角形的有關內容有機地結合在一起，要求學生準確理解“問題背景”提出的信息以及在此基礎上進一步解決問題，在一定程度上考查了學生的應用意識.由于問題情景涉及信息量大，“測量旗桿”與“測量景觀燈”有一定的相似性，因而采用了課題學習的形式呈現.設計友情提示一方面是便于考生更好地理解題意，另一方面是減少運算量. 試卷分析（贛州）中的有關數據
二、解題過程的反思 美籍匈牙利數學家、數學教育家波利亞（Polya,G.）在《怎樣解題》一書中指出：“一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何一個問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做.經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能夠提高自己對這個解答的理解水平.”
命題是在多次對問題進行反思的基礎上完成的. 通常的解題分析（數學解題的專業分析）主要包括解題思路的探求和解題過程的反思.
“解題思路的探求”把“題”作為認識的對象，把“解”作為認識的目標，重點展示由已知條件到未知結論的溝通過程，說清怎樣獲得題目的答案.（認知）
通常認為，一個問題有三個成分：
（1）條件（已知條件）；
（2）要求（未知條件）；
（3）條件與要求之間的聯系.
而問題就是指（3）不夠明確，即條件與要求之間的聯系存在缺口，解決問題就是揭示和把握這種聯系，使缺口閉合.
“解題過程的反思”則繼續把解題活動（包括題目與初步解法）作為認識的對象，不僅關注如何獲得解，而且寄希望于對“解”的進一步分析而增強數學能力、優化認知結構、提高思維素質，學會“數學地思維”，重點在怎樣學會解題.（元認知） （一）對解題過程進行反思 的相關理論 1.波利亞（Polya,G.）的《怎樣解題》
2.弗里德曼（Friedman）的觀點
3.元認知（metacognition）理論
美國心理學家弗拉維爾（J.H. Flavell）關于元認知的定義：元認知是一個人所具有的關于自己思維活動和學習活動的認知和監控.其核心是對認知的認知.元認知的內容包括元認知知識、元認知體驗和元認知監控.
4.羅增儒教授學會解題的四步驟程式
簡單模仿，變式練習，自發領悟，自覺分析 （二）對解題過程進行反思的操作 1.整體分解
正面思考
反面思考
2.信息交合 （三）案例分析 1 .兩個經典問題的解法反思
①《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題
“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔幾何”（人教版七（下）P-95）.
②“曹沖稱象”問題
曹沖：先“化整為零”再“集零為整”，稱一塊塊石頭的重量，得出大象的重量.
曹沖先“化整為零”再“集零為整”的方法，與愚蠢的“宰象”方案在思想方法上是相同的，他的聰明之處在于，既從別人的不成功想法中吸取合理成分，又用等價物代替大象.
以上兩個問題有更好的解決辦法嗎？
啟示：即使是“智慧典范”的解題過程通過反思也有創新的空間. 2.通過反思改變問題表征 “表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦里是如何呈現、如何表現出來的”.對問題作出什么樣的表征，這種表征是否適宜，對問題解決有著非常重大的作用. 3.通過反思優化解題策略 算法：將所有可能達到目的的步驟全部列出，嘗試所有可能的步驟以求得問題解答的策略.算法通常歸結為某個固定的程式、規則或步驟，按照這種程式、規則或步驟進行操作就能夠獲得問題的解.
解題教學中大量進行的“模仿性練習”與“干擾性練習”（變式訓練）主要是進行 “模式識別”，具有鮮明的“算法”特征. 啟發法（數學發現和發明的方法）： 運用與具體任務有關的信息，對大量可能性進行有選擇地搜索的策略. 手段――目的分析法 ：是一種有明確方向，通過設置子目標來逐步縮小起始狀態和目標狀態之間的差別的方法.
逆向工作法：與手段――目的分析法不同，這是一種從目標狀態出發，一步一步退到初始狀態的方法.
規劃簡化法：拋開問題的某些方面，抓住問題的主要結構，先從問題的簡單情形入手，通過對簡單情形的解答幫助或指導解決整個問題的方法. 4.通過反思使認識更接近問題的深層結構 謝謝大家[email protected]

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