資源簡介

數(shù)學中分類討論思想應用的
困惑與對策
一、問題的提出
1、從分類討論思想應用情況看。分類討論思想的應用是學校市級立項課題（教師研修工程）中的一個研修項目，通過對分類討論思想的實踐和研究遇到了三個主要問題，即 “該用的不用”、“不該用的在用”、“用的沒有用好”，通過對這三個主要問題的思考，筆者以為在重視分類討論數(shù)學思想應用的基礎上，要注意“何時應用？如何應用？怎么巧用”三個問題，更要注意克服動輒加以分類討論的思維定勢，同時要充分挖掘數(shù)學問題中潛在的特殊性和單一性，盡力打破常規(guī)，對應該討論的要正確討論，對不必討論的要避免分類討論，從而優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。
2、從數(shù)學分類討論思想在學科中的地位看。分類討論是一種常用的數(shù)學思維方法和解題策略，也是一種重要的數(shù)學思想，這種數(shù)學思想對人的思維發(fā)展起著重要影響。因而分類討論問題現(xiàn)已逐漸滲透到整個中學數(shù)學的每個章節(jié)，成為促進學生有效學習的熱點問題和重點方法，由于這類問題綜合性強，邏輯嚴密又富有探索性，自然也是學習和教學的難點。
3、從高考中的地位看。近年來，高考中每一道題幾乎都考慮到數(shù)學思想方法的運用，同時也檢驗了數(shù)學知識，分類討論思想題深透在各種類型的題目中。故對數(shù)學解題思想方法的研修就更顯得有現(xiàn)實意義，分類討論作為一種重要的數(shù)學思想更顯其地位的顯著。
下面就此作一個分析，以拋磚引玉。
二、面臨的三個主要困惑
1、該用的不用
對于有的問題因需要進行分類討論，但因沒有進行分類討論而導致出錯，如對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究就要對低數(shù)進行分類討論；對于含有絕對值的問題一般也要進行分類討論；對于有關含有參數(shù)或變量的問題等常因沒有進行分類討論而造成錯解。
如：例1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
錯解：設，則，即，在R上為單調(diào)遞減函數(shù).
錯解分析：錯解中雖然依據(jù)了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，也符合定義的要求，但根本的一點是沒有考慮到自變量的取值范圍，忽視了和的取值情況，從而在判斷上含糊不清導致錯解.對于函數(shù)單調(diào)性的證明沒有進行分類討論致錯.
正解：的定義域為，時，，即，故在上為單調(diào)遞減函數(shù).同理可知，在上單調(diào)遞減.
點評：此題還需注意的是：不能說在上單調(diào)遞減，要注意避免這類錯誤.
2、不該用的在用
對于含有參數(shù)，不一定就要用分類討論，而有的同學不管條件，只要含有參數(shù)一味進行分類討論，結果花了時間不算，還大大增加了解題的出錯率.
如例2、已知函數(shù)，是否存在實數(shù)m，n(m錯解：，對于定義域需要分三種情況討論，即或或然后分別求解，特別是對于種情況對于求最小值又要分兩種情況求解，對于，則馬上可解得，即,則m=-4，n=0；而對于時，則由，即，這樣無論是否可解運算量都是很大的，往往會導致無法繼續(xù)求解下去；對于第三種情況則因要再分兩種情況而導致運算量加大，以致阻礙了解題的進程。
錯解分析：以上錯解主要是沒有很好地利用已知條件，特別隱含的二次函數(shù)的最大值不可能大于1，這樣只需考慮一種情況即可化解，也就是此根本不用討論便可求解。
正確：≤,∵3n≤n≤,又, ∴m< ,
∴[m，n](-∞，1). ∵(x)在[m，n]單調(diào)增加, ∴,
即,則m=-4，n=0．
此題是《數(shù)學輔導報》課標高一必修1版第十期的測試卷中第20題，題中的錯解就是因分類討論的應用不當導致錯解甚至無法求解，在學生的練習中遇阻和致錯的現(xiàn)象較多。
3、用的沒有用好
對于有的問題，雖然用了分類討論，但沒有用好，對于各種情況沒有分析清楚導致出錯。
如例3、在一個交通擁擠及事故易發(fā)路段，為了確保交通安全，交通部門規(guī)定，在此路段內(nèi)的車速（單位：）的平方和車身長（單位：）的乘積與車距成正比，且最小車距不得少于半個車身長.假定車身長為（單位：），且當車速為時，車距恰為車身長，問交通繁忙時應規(guī)定怎樣的車速，才能在此路段的車流量最大？
錯解：，將代入得，，又將代入得，由題意得，
將，
綜上所知：取最大值.
錯因分析：上述解法中的結果雖然正確，但解題過程中是錯誤的，即雖然車速要求不低于，所以在求解過程中應分別對低于和不低于這兩種情況進行分類求解，得到分段函數(shù)，錯解就考慮到了這種情況，但沒有對低于的情況進行分析求解致錯.
正解：依題意，得，
則，顯然，當時，是的增函數(shù)，時，，當時，，當且僅當時，，綜上所述，當時車流量Q取到最大值.
三、采取的主要對策
針對以上困惑和問題，面對學生在解題中遇到的種種問題的現(xiàn)實，分類計論思想的教學必須注意破解三個主要問題，即“何時用？如何用？怎么巧用？”，并從更高層次要求尋求如何避免分類討論，不斷提高解題的水平和能力。
1、何時應用？
對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究就要對低數(shù)進行分類討論；對于含有絕對值的問題一般也要進行分類討論；對于含有參數(shù)函數(shù)問題；對于含有參數(shù)的定義域問題等等。因沒有確定的情況，需要分門別類進行研究時則需要討論.
如二次函數(shù)中含有參數(shù)的值域問題
例4、已知函數(shù)在上，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。
分析：此題是只在二次函數(shù)中含有參數(shù)值域問題，它可用數(shù)形結合思想來解決，從圖象中我們可以對對稱軸移動分類解決此值域問題。
解：由題意，即令，在上恒成立，由于的對稱軸是，結合函數(shù)圖象可分類討論：
當時，要求，解得；
當時，只要求，解得；
當時，只要求，解得。
綜合上述三種情況，得實數(shù)的取值范圍應為。
評析：此題是
在二次函數(shù)中含有參數(shù)并給定區(qū)間的二次函數(shù)問題，屬動軸定區(qū)間問題，是二次函數(shù)問題中最為典型的類型之一，只有在結合函數(shù)圖象，合理利用圖象的基礎上，才能正確對參數(shù)進行分類討論，從而求得正確的答案。
一句話就是：分類討論是指在需要討論的時候進行，即這個時候?qū)τ趨?shù)或變量若不討論不能直接進行化解.
2、如何應用？
應用分類討論思想解決有關問題，關鍵是正確地進行分類，而分類一般有以下幾個原則：
（1）、要有明確的分類標準；
（2）、對討論對象分類時要不重復、不遺漏，即分成若干類，其并集為全集，兩兩的交集為空集；
（3）、當討論的對象不止一種時，應分層次進行，以避免混亂，分大類時有一個統(tǒng)一的標準，每一大類中再分幾小類可另有統(tǒng)一的標準。
把一個數(shù)學問題的研究對象按一定的標準分成幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上是一種“分而治之，各個擊破”的策略。其操作步驟主要可分為以下四步①、確定分類討論的對象——理解分類討論的概念；②、進行恰當合理的分類——掌握分類討論的原則；③、逐類逐級討論——學會分類討論的方法；④、綜合概括——培養(yǎng)邏輯思維能力。
下面以不等式的分類討論為例進行說明：
（1）、不含參數(shù)的不等式型。
這種題型解決的關鍵是對變量進行分類討論。
例5 不等式的解集是( 　　　　　　)
(A){x∣-2≤x≤2} (B)
(C){x∣-2≤x＜0或0＜x≤ (D) 　　分析：使不等式有意義的x的范圍是4-x2≥0，x≠0。即-2≤x＜0或0＜x≤2，題設不等式的左邊為兩項，其中一項為二次算術根式，另一項是帶絕對值的分式。宜先分類討論去掉絕對值符號，化為無理不等式處理。
解：(1)當x>0時，，原不等式等價于。由4-x2≥0，x＞0，得0＜x≤2；　(2)當x＜0時，，原不等式等價于，由4-x2≥0;4-x2≥1;x＜0得，所以原不等式的解集為。故應選(B)。
點評：此題是關于自變量的分類討論，運用分類討論可以起到簡化運算的作用，使問題得到順利解決。
（2）、含有參數(shù)的不等式型。
這種題型解決的關鍵是對參數(shù)進行分類討論。
例6、（2001年天津高考題理科）
分析：本題主要考查分式不等式的解法，著重考察化歸思想及分類討論思想。
因為，所以此不等式可以轉化為一元二次不等式，因與大小不能確定，故需分類討論。
解：等價于
所以有（1）若，則不等式變?yōu)闊o解，解集為；
（2）若則，不等式變?yōu)闊o解，解集為；
（3）若則所以故解集為
（4）若則所以故解集為
綜上所述，可得，當原不等式的解集為；
當原不等式的解集為
當原不等式的解集為
點評：此題是含參型不等式題，屬于一級分類討論問題，通過正確的分類，可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。
3、怎么巧用？
從哲學辯證的角度，注意克服動輒加以分類討論的思維定勢，同時要充分挖掘數(shù)學問題中潛在的特殊性和單一性，盡力打破常規(guī)，對應該討論的要正確討論，對不必討論的要避免分類討論，從而優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。下面就如何避免分類計論提出十個方法，以供參考，即對于分類討論思想的運用要做到“用之有度、避之有法”，
（1）、等價變換，避免討論
例7、8個人坐在前后兩排長凳上拍照，若前后排可以隨意坐（包括可以一排沒有人，
一排8人），共有多少種不同坐法？
分析：此問題可以分為：（1）前排沒有人，后排8人；（2）前排1人，后排7人；（3）前排2人，后排6人；……（9）前排8人，后排沒有人9種情況來考慮，但這太繁雜。
該問題等價于8個人再添加一個分隔“元素”，共9個“元素”全排列，后面的坐在后排，由以上分析共有種不同的坐法。
（2）、巧用公式，避免討論
三角函數(shù)部分公式繁多，選擇不當，往往增加解題的難度，解題中要盡量避免由于角
的條件去討論三角函數(shù)的符號，選擇恰當?shù)墓剑纯苫乇苡懻摚睘楹啞?br/>例8：已知求的值。
分析：若選用公式來求，必須對分兩部分和分別討論的符號；若根據(jù)的范圍，直接選用恰當?shù)钠椒疥P系式，則可有效地避開討論。
解：
（3）、挖掘內(nèi)涵，避免討論
例9、解方程組：
分析：按常規(guī)解法，根據(jù)絕對值定義，分類來解方程組。但由第二個方程可發(fā)現(xiàn)
隱含條件，利用這個隱含條件，可以避免討論。
解：由原方程組：中的第二個方程可知，則第一個方程可化為結合可以得到，
故原方程組的解為：，或
（4）、引參換元，避免討論
引入?yún)⒆兞浚鳛榻沂咀兞块g的內(nèi)在聯(lián)系的媒介，有助于對運動變化過程做出定量的
刻畫，消化難點，化難為易。
例10、解不等式
分析：本題按常規(guī)解法是去分母，兩邊平方去根號，而且需要討論左右的正負情況，若我們注意觀察原不等式，引入?yún)?shù)，進行三角換元，可避免繁瑣的解題過程。
解： 令，，則原不等式可化為：，解得，故，，所以原不等式的解集為。
（5）、反客為主，避免討論
在含參數(shù)的方程或不等式中，根據(jù)解題的需要合理選擇主元，反客為主，接下去需解有關主變元函數(shù)的有關問題，往往可以回避討論。
例11、 若 在時恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。
分析：本題形式上是關于的二次函數(shù)，如果用換元的方法去討論，明顯較繁.若能變更主元把原函數(shù)看成是關于的一次函數(shù)，問題便迎難而解了。
解：設關于的函數(shù)
= 當時恒成立。
即只須滿足－1< < < x <。
評注：本題的解法側重于對題意等價地“改頭換面”，更直截了當?shù)匕盐樟藛栴}的本質(zhì)。
（6）、消除參數(shù)，避免討論
回避參數(shù)，運用正難則反、等價轉化等手段可以使問題的解決與參數(shù)的討論無關，以
避開對參數(shù)的煩瑣討論。
例12、已知適合不等式的x的最大值為3，求p的值。
分析：本題的第一感覺是去絕對值討論不等式組的解的最大值，顯然去絕對值和后面的分類討論過程都相當煩瑣，計算復雜。不妨回避討論：由x的最大值為3知道整數(shù)“3”是不等式解的一個端點值這一重要信息，利用不等式的性質(zhì)可把參數(shù)問題具體化。
解：由已知不等式的性質(zhì)知“3”是不等式解的一個端點值，
“3”是方程的一個解，代入得p=8或p=－2。
當p=8時，不等式為，∵
∴ 或 滿足題意。
當p=－2時，不等式為，
易知5是不等式的解，故x的解顯然大于3，不滿足題意。
∴p=8。
評：把含參不等式具體化顯然比直接分類討論求不等式解的最大值要簡單得多。
（7）、整體化歸，避免討論
例13、函數(shù)在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則 .
分析：此題的常規(guī)思維是對底數(shù)分來討論確定函數(shù)的單調(diào)性，再分別求出在[0，1]上的最大值與最小值后求值；若從整體思維出發(fā)，單調(diào)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值總是在端點處達到，則可回避討論，直接求解。
解：由題設得 ，故
說明：將數(shù)學問題分成若干問題，逐個擊破，分而治之固然重要，但有時若能有意識地放大看問題的視線，將問題視為整體，去研究整體的形式與結構，可能會起到意想不到的效果。
（8）、數(shù)形結合，避免討論
利用函數(shù)圖像的直觀性能巧妙地將數(shù)量關系與空間圖形有機的結合起來，有時也可以回避問題的討論。
例14 、已知集合，，若，求的范圍。
解析 按照不等式知識須分分類討論求出集合，而用數(shù)形結合來解就不必討論。
由,解得
令，如圖， ，且2,又，1
（9）、找出共性，避免討論
例15、已知：，證明：
分析：一般常規(guī)解法是分和兩種情況討論。可是無論或，與都是同號，這是共性，抓住這共性就可以避免討論。
解：與同號，
（10）、巧用補集思想，避免討論
有些問題，分類討論比較麻煩，若用補集法去考慮問題的對立面，即從結論的反面去思考和探索，得出反面結論，結合集合性質(zhì)，可以將題目化難為易，化繁為簡，開拓解題思路。
例16、 如果二次函數(shù)的圖像與軸的交點至少有一個在原點的右側，試求的取值范圍.
解析：若從正面求解，必須要對“兩交點均在原點右側”，“一個交點在原點右側另一個交點在原點左側”等情況進行分類討論；若從反面考慮問題，即先考慮兩個交點都在原點左側時的取值范圍，則由一元二次方程有兩負根得：
≥9，
取其補集得，＜9，且必須滿足△≥0與≠0，故二次函數(shù)圖像與軸的交點至少有一個在原點右側的范圍為≤1且≠0。
分類討論思想是重要數(shù)學思想之一，避免復雜的分類討論有助于提高學生思維能力，是學習的一個更高層次。只要我們重視雙基、重視學習，適時避免，選擇適當?shù)姆椒ǎ‘斶\用分類討論思想，做到“用之有度、避之有法”，就會不斷提高學生的解題水平，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。
參考資料：
1、劉文武 《中學數(shù)學中重要的數(shù)學思想--分類討論的思想》
2、任志鴻 《高中總復習優(yōu)化設計（數(shù)學）》
3、吳海彪 《數(shù)學思想和數(shù)學方法的教學》
4、施建昌 《分類討論思想解不等式》（現(xiàn)代教育報（高考周刊）》06年(12)期
5、施建昌 《用之有度、避之有法》（學習周報）（高三） 07(36)期
課件32張PPT。數(shù)學中分類討論思想應用的困惑與對策一、問題的提出1、從分類討論思想應用情況看。2、從數(shù)學分類討論思想在學科中的地位看。3、從高考中的地位看。1、從分類討論思想應用情況看。 分類討論思想的應用是學校市級立項課題（教師研修工程）中的一個研修項目，通過對分類討論思想的實踐和研究遇到了三個主要問題，即 “該用的不用”、“不該用的在用”、“用的沒有用好”，通過對這三個主要問題的思考，筆者以為在重視分類討論數(shù)學思想應用的基礎上，要注意“何時應用？如何應用？怎么巧用”三個問題，更要注意克服動輒加以分類討論的思維定勢，同時要充分挖掘數(shù)學問題中潛在的特殊性和單一性，盡力打破常規(guī)，對應該討論的要正確討論，對不必討論的要避免分類討論，從而優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。2、從數(shù)學分類討論思想在學科中的地位看。 分類討論是一種常用的數(shù)學思維方法和解題策略，也是一種重要的數(shù)學思想，這種數(shù)學思想對人的思維發(fā)展起著重要影響。因而分類討論問題現(xiàn)已逐漸滲透到整個中學數(shù)學的每個章節(jié)，成為促進學生有效學習的熱點問題和重點方法，由于這類問題綜合性強，邏輯嚴密又富有探索性，自然也是學習和教學的難點。3、從高考中的地位看。 近年來，高考中每一道題幾乎都考慮到數(shù)學思想方法的運用，同時也檢驗了數(shù)學知識，分類討論思想題深透在各種類型的題目中。故對數(shù)學解題思想方法的研修就更顯得有現(xiàn)實意義，分類討論作為一種重要的數(shù)學思想更顯其地位的顯著。二、面臨的三個主要困惑1、該用的不用2、不該用的在用3、用的沒有用好1、該用的不用 對于有的問題因需要進行分類討論，但因沒有進行分類討論而導致出錯，如對于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究就要對低數(shù)進行分類討論；對于含有絕對值的問題一般也要進行分類討論；對于有關含有參數(shù)或變量的問題等常因沒有進行分類討論而造成錯解。 對于含有參數(shù)，不一定就要用分類討論，而有的同學不管條件，只要含有參數(shù)一味進行分類討論，結果花了時間不算，還大大增加了解題的出錯率.2、不該用的在用3、用的沒有用好 對于有的問題，雖然用了分類討論，但沒有用好，對于各種情況沒有分析清楚導致出錯。三、采取的主要對策1、何時應用2、如何應用3、怎么巧用 針對以上困惑和問題，面對學生在解題中遇到的種種問題的現(xiàn)實，分類計論思想的教學必須注意破解三個主要問題，即“何時用？如何用？怎么巧用？”，并從更高層次要求尋求如何避免分類討論，不斷提高解題的水平和能力。1、何時應用1、何時應用2、如何應用3、怎么巧用 從哲學辯證的角度，注意克服動輒加以分類討論的思維定勢，同時要充分挖掘數(shù)學問題中潛在的特殊性和單一性，盡力打破常規(guī)，對應該討論的要正確討論，對不必討論的要避免分類討論，從而優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。下面就如何避免分類計論提出十個方法，以供參考，即對于分類討論思想的運用要做到“用之有度、避之有法”。3、怎么巧用（1）、等價變換，避免討論（2）、巧用公式，避免討論（3）、挖掘內(nèi)涵，避免討論（4）、引參換元，避免討論（5）、反客為主，避免討論（6）、消除參數(shù)，避免討論（7）、整體化歸，避免討論（8）、數(shù)形結合，避免討論（9）、找出共性，避免討論（10）、巧用補集思想，避免討論 分類討論思想是重要數(shù)學思想之一，避免復雜的分類討論有助于提高學生思維能力，是學習的一個更高層次。只要我們重視雙基、重視學習，適時避免，選擇適當?shù)姆椒ǎ‘斶\用分類討論思想，做到“用之有度、避之有法”，就會不斷提高學生的解題水平，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)。結束語Tel:13588578563 Qq:294190429（1）、等價變換，避免討論（2）、巧用公式，避免討論（3）、挖掘內(nèi)涵，避免討論（4）、引參換元，避免討論（5）、反客為主，避免討論（6）、消除參數(shù)，避免討論（7）、整體化歸，避免討論（8）、數(shù)形結合，避免討論（9）、找出共性，避免討論（10）、巧用補集思想，避免討論

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