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中學數學思維培養策略初探
一、引言：
教學的中心任務是開發學生的智力，而思維能力是智力的核心，因此思維能力的培養是教學過程的重中之重．建構主義理論認為：數學學習并非是一個被動的接受過程，而應該是一個主動的建構過程．也就是說，一個人的數學知識是學習者在已有的知識和經驗的基礎上，通過操作、交流、能動選擇和反省來主動建構的．而這個過程，必須依賴于學習者主體的思維活動來完成．所以數學教學離不開學生的思維品質的培養．
二、中學數學思維培養面臨的困惑：
我覺得，當前的數學教學存在以下困惑：可以用“紙上談兵”這句成語簡單概括之，因為課堂成了教師演練陣容的唯一戰場，解題成了操起的刀戈，這種教育現象令人憂心忡忡。具體表現在：
1、數學教學的動機不全合理：在高考指揮棒的作用下，數學教學最主要的目的是為了應試，忽視了數學思維品質的培養。
2、教師的教學方式不很科學：為了使學生能熟練解題，考出高分，教師的課堂教學過多地偏重于解題教學，一味的講解題目，課堂上很少留有余地讓學生思考，形成了一個認為只要題目講得多就好的誤區。
3、學生的學習目標過于功利：學生的學習目標就是為了取得高分，一味地解題，大量重復地做機械地訓練，形成了只要做得多就好的誤區，很少進行深入的思考，缺少對知識的理解貫通。
這樣的教學造成的后果：
1、教師教得太苦，學生學得太累，形成事倍功半的局面；
2、學生只會機械的套用公式、法則，缺乏對知識間的聯系與理解，造成數學思維的膚淺性；
3、對解決問題的整體意識淡薄，缺乏自我思考的能力，形成思維定勢的消極性。
然而，中學數學教學大綱明確指出：數學教學應努力培養學生的思維能力，包括：空間想象、直覺猜想、歸納想象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等諸多方面，能夠對客觀事物中的數量關系和數學模型作出思考和判斷。數學是思維的體操，就如何有效地培養學生的思維能力，以達到開發智力的目的，我認為，教師應抓住典型的問題，運用猜測、質疑、對比、類比、轉化、挖掘等方面培養學生良好的思維品質．
三、數學思維的培養策略
1運用猜測假設，培養探究性思維
事物之間往往存在著因果關系和本質聯系．在揭示現象的因果關系和本質聯系的過程中，適當運用猜測和假設的方法，可刺激和保持學生對數學的興趣和注意力，以此為基礎刺激學生的求知欲望，誘導他們去探討、分析、驗證、總結，從而培養其探究性思維．
案例1 求證：．
猜測：因為等式的左邊是一些組合數，且正負相間，故聯想到的偶次冪的特征及二項式定理和棣莫佛公式．
假設：要證等式可能由的代數展開式和三角展開式中實部相等而得到．
推理：由二項式定理得，
由棣莫佛公式得．
結論：根據實部相等可得要證等式成立，同時還可得到副產品．
通過這類典型問題的分析講解，使學生主體性得到充分地體現．學生參與探究的全過程，在活動中學會探究的方法，同時體會到探究問題的樂趣，增進了科學的情感，理解了科學的本質．因此，在教學過程中，教師要處處起示范作用，勤于猜想，敢于猜想，善于猜想，有目的地引導學生大膽地對問題提出各種各樣的猜想，幫助學生初步形成科學的探究能力．
2運用質疑，培養創新思維
思源于疑．思維是以問題為中心來開展的，教師通過提出啟發性問題或質疑問題，給學生創設良好的思維情境，讓學生思考、分析、比較，從而設計或改造一套比原來更完善的方案．如：
案例2 函數的圖象與其反函數的圖象的交點為 ．
解：由得，故交點為
質疑：初一看，上述解法天衣無縫，但其實答案是不正確的，問題出在哪里呢？這就要檢查解題過程，牽扯到原函數圖象與反函數圖象的公共點問題．
分析：一般地，原函數圖象與反函數圖象的公共點不一定都在直線上（如反比例函數），只有當原函數為單調增函數，且其圖象與它的反函數的圖象有公共點時，則此公共點一定在直線上。
命題：若單調遞增，且原函數與反函數的圖象有交點，則交點一定在直線上。
證明：設與的交點為，
則且，
由于單調遞增，則由，
而當時，有，與上式矛盾，故不可能。
同理可證，也不可能。
所以，只能是，即原函數與反函數的交點一定在直線上。
正解：反函數為，由得，
故交點為
通過上述活動，學生會激情高漲，頗有成就感，激起了求新的欲望，又有利于思維嚴謹性的培養，為今后的自主探究打下了基礎．
3運用對比，培養歸納思維
在平時的教學中，教師應注意把零散的知識，復雜的內容及不同的問題，通過對比，形成表象，再在表象的基礎上抽象出規律性的東西，以達到培養歸納思維之目的．
案例3 已知，且且，求證：．
教師在講解這道題時，可將它改為：已知，且且，試比較和的大小．
分析：令時，=；
令時，=9，=5；令時，=27，=7；……
從而歸納出，最后引導學生用數學歸納法加以證明．
像這樣的例子，在教材中有很多，都是直接由歸納而得到的．在教學中，要根據教材的特點，有意識的啟發學生運用歸納的方法猜想出一般的結論．對于教材中直接采用“已知、求證、證明”的方式機械地傳授知識的題目（如上例），教師也應有意識地引導學生將原問題進行等價轉化，運用歸納的方法得出一般的結論，然后再證明．
4運用類比，培養遷移思維
學習的遷移，在于通過綜合的分析，概括歸納出兩個知識之間本質上相同或類似的條件，從而得出解決問題的辦法．簡單地說，遷移思維的本質在于尋找物質之間的共同屬性，從而判斷兩者之間的融合點和嫁接點．
案例4 過橢圓的右焦點F作直線交軸于點P，交橢圓于點M和N，若，則等于. 類比橢圓的這一結論，在雙曲線中，等于 ．
分析：這是一個有橢圓的性質類比雙曲線性質的一個試題，但此題若用一般方法求解，則較難進行．我們可將問題特殊化，取過右焦點F的直線就為x軸，和橢圓的交點M、N即為橢圓長軸的兩個端點，則，，得=．類比到雙曲線，同樣取過右焦點F的直線就為x軸，和雙曲線的交點M、N即為雙曲線的兩個頂點，易得結論=.
遷移思維的培養，目的在于使學生能有效地找到知識之間的相似性和內在聯系，從而快速解決陌生的問題．學習數學的目的，不僅在于發現問題，更重要的在于解決問題．由于類比是一種思維方法，它是根據兩種事物在某些特征上的相似性，得出它們在某些特征上也有相似的結論，特殊化的思想在類比中經常用到，在平時的教學中應加以足夠的注意．
5運用轉化，培養逆向思維
其主要的思路是：順推不行就考慮逆推，直接解決不行就考慮間接解決，從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手，探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性，用一種命題無法解決就考慮轉換成另一種等價的命題等等．總之，在解決問題的過程中，要經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索，正確而巧妙地運用逆向轉換的思維方式去解決數學問題，常常能使人茅塞頓開，突破思維定勢，使思維進入新的境界，這是逆向思維的主要形式．
案例5 為哪些實數值時，的任何實數值都不滿足不等式？
分析：這道題若從正面考慮則較困難，若改為：為哪些實數值時，的任何數值都滿足不等式，問題即可迎刃而解．
解：顯然，二次項系數為零不合題意，故當時，函數的圖象是一條拋物線．
由恒成立，知解得．
所以，當或時，的任何數值都不滿足這一不等式．
思維點撥：為使學生的逆向思維能力得到培養和強化，教師在選編題目時，應注意將常規題目“倒過來”，以培養學生的逆向思維習慣．
6運用挖掘，培養發散思維
發散思維是指人們沿不同的方向去思考，進行跳躍式思維．它不就事論事，不拘泥于一個途徑，一種方法，是求異和創新．發散思維是學生對已學知識靈活運用的充分體現，是富有創造性的心理活動過程，也是智力因素表現的最高形式．教師可通過啟發和誘導，讓學生在解題方法等方面進行深層次挖掘，逐步培養學生的發散思維．如：
案例6 求函數y=的值域．
解法一：（利用三角函數的有界性）將y=變形得：
于是sin(=，（其中滿足sin=，cos=）．
∵｜sin( ∴|| ∴－.
解法二：（利用萬能代換）令t=tan，∴y=，整理得：(y－１)t－２，
當y=1時，代入上式得t=；當y≠１時，由△＝２０－４(y－1)(3y－1)≥０得：－≤y≤2.
解法三：（利用復數模的性質）將y=變形得：
令z＝，z＝sin，則zz＝（．
由|2y－1|=||zz|=得：５＋y，
即：３y(當ysin時取等號)．解得－．
解法四：（利用解析法求值域）
可將y看成是動點Ｍ（cos，和定點Ａ（－２，－１）連線的斜率．
設x= cos，y=，消去得（如圖）．
當ＭＡ與橢圓相切時得出斜率的最大值與最小值．
y
令切線斜率為k，切線方程是y+1=k(x+2)得y=k(x+2) －１．
將y=k(x+2)－１代入橢圓方程，
o
得(k．
x
（４k
A
= －60k解得k=－，k=2．
故y=的值域是［－
解法五：（利用三角方程根的判別式）將y=變形得：
由得：解得：
說明：三角方程的根的判別式若則方程有兩個不同的實數解（把終邊相同的角看作同一個解，以下同）；若則方程有兩個相同的實數解；若則方程沒有實數解．用此結論可方便地求一些三角函數的最值．
解法六：（利用點到直線的距離公式）原函數可化為：，
所以，點A是直線L：上的點，
由原點O到直線L的距離不大于|OA|=1，得，
化簡得3y解得－．
從此例多解，我們深刻地體會到：數學各分支在基礎知識方面是互相關聯、互相滲透的．只有仔細分析問題的條件，揭示其內涵，尋找轉換機制，采用不同的數學工具、方法和技巧去解決，才能達到逐步優化解題過程的目的，而這過程就是培養和訓練學生發散性思維的很好手段．
四、數學思維培養的綜合性
對學生有效、成功的思維引導，是數學教師在課堂教學中發揮主導作用的重要體現．如何在數學教學中真正地體現教師的導學、助學和促學的作用，關鍵在于數學教師抓住恰當的時機，用恰如其分的力度和清晰明白的語言對學生進行思維引導，充分借助于數學知識這一載體，把思維過程的展示滲透到概念的形成、規律的揭示、問題的解決之中，培養學生善于觀察、勤于思考的好習慣，努力做到“四個充分”，即充分發揮學生的主體性，充分調動學生的好奇性，充分開發學生的創新思維，充分挖掘學生的創新潛能，通過數學的學習使學生更具有靈性與悟性，更具有探索與創新精神．
事實上，數學思維的培養不能單一地、孤立的進行，一個問題的探究、解決，往往同時具有培養多種思維的功能，在培養探究思維的同時，也可培養創新思維、歸納思維、遷移思維、發散思維等，下面的例子就是很好的說明．
1 問題的提出
人教版高中數學第二冊（上）第75頁例2：已知圓的方程是，求經過圓上一點的切線方程．
此題的求解，教材首先討論了切線的斜率存在的情況，并設切線的斜率為k，利用直線方程的點斜式求出切線方程為，再討論此方程對于斜率不存在的情況也適用．這種解題方法通俗易懂，不失為一種好方法．
但我們說，一個問題的解決，并不是問題的終了．在教學中，教師可由一個問題出發，進行演變與引申，引導學生拓寬思路，積極探索，深入探究某類問題的內在規律，以培養學生由此及彼的思維遷移能力．
對于上面的例2，教師引導學生可作如下探究：能否利用課本中給出的解題方法，類比推廣到求過橢圓、雙曲線、拋物線上一點的切線方程呢？經探索，回答是否定的，這就是課本給出解法的一點小小遺憾所在．那么，能否找到一種求過圓錐曲線上一點的切線方程的統一解法呢？
2 探究一：尋求切線方程的統一解法
對于上面的問題，能否尋得統一的解題方法？回答是肯定的．利用導數求解即可，解答如下：
對圓方程兩邊求導，得，得．故與圓相切于點的切線斜率為，得切線方程，化簡并把代入，得切線方程為．
命題1 過橢圓上一點的切線方程為．
證明：方法同上，對橢圓方程兩邊求導，得，得，故與橢圓相切于點的切線斜率為，得切線方程為，化簡并把代入，得過橢圓上一點的切線方程為．
命題2 過雙曲線上一點的切線方程為．
命題3 （1）過拋物線上一點的切線方程為．
（2）過拋物線上一點的切線方程為．
上述命題的證明方法類似于橢圓，歸納為同一種證明方法，這里不再贅述．
我們說，“問題是數學的心臟，探索是數學的生命線”．數學教學的核心是通過問題的解決來啟迪和發展學生的思維，既要完成知識的傳授，同時又要培養學生的思維能力，這一教學過程的關鍵是教師的教學設計，而數學教學設計中最重要之一應是例習題的教學．對于上面的問題，可繼續引導學生作如下探究：若點不在曲線上，而在曲線外，則過點M可作兩條切線，得到兩個切點，那么，切點弦所在的直線方程又是如何？
3 探究二：尋求曲線的切點弦方程
命題4 過圓外一點作圓的兩條切線，則切點弦所在的直線方程為．
證明：過圓外一點作圓的兩條切線，設兩切點分別為A、B，則，．又M在直線MA上，得①，M在直線MB上，得②，由①②兩式說明A、B兩點都在直線上，且由A、B兩點確定的直線唯一，故切點弦AB所在的直線方程為．
用同樣的方法，可以證明：
命題5 過橢圓外一點作橢圓的兩條切線，則切點弦所在的直線方程為．
命題6 過雙曲線外一點作雙曲線的兩條切線，則切點弦所在的直線方程為．
命題7 （1）過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，則切點弦所在的直線方程為．
（2）過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，則切點弦所在的直線方程為．
許多問題都有其特定的背景，在數學教學中，教師應鼓勵學生從其特定的背景出發，有意識地創設聯想情境，激發學生借助于相關知識，從新的角度去聯想、去探究，養成一種反思回顧的習慣，認真分析、歸納，總結經驗，使思維品質得到優化，思維能力得到深化，又可為進一步探索打下基礎．
對于上例，求過曲線上點的切線方程相對應的問題，我們很容易聯想到求過曲線上點的法線方程，可引導學生繼續作如下探究．
4 探究三：尋求曲線的法線方程
命題8 過橢圓上一點的法線方程為．
證明：過橢圓上一點的切線斜率為，則法線的斜率為，故法線的方程為，化簡得．
命題9 過雙曲線上一點的法線方程為．
命題10 （1）過拋物線上一點 的法線方程為．
（2）過拋物線上一點的法線方程方程為．
上述兩命題的證明方法類似于橢圓，請讀者自己完成．至于圓的法線必經過圓心，求解更為簡單，這里不在贅述．
由上探索可知，如果教師在教學過程能引導學生認真鉆研教材，吃透教材，在基本題目的基礎上，引導學生對原題進行引申，深入探究教材中每一個例題、習題的潛在功能，注重教材中各類知識的聯系，充分發揮學生的想象力和創造力，適當添加教材外的內容，既可以使學生輕松愉快地學到知識，又能充分調動學生的學習積極性，有效地發展學生的思維，培養學生的思維能力．
五、總結與反思：數學課堂教學不在于講得多，而應立足于培養學生的思維品質．
課件44張PPT。中學數學思維 培養策略初探提綱：一、引言
二、中學數學思維培養面臨的困惑
三、數學思維的培養策略
四、數學思維培養的綜合性
五、總結與反思一、引言：
教學的中心任務是開發學生的智力，而思維能力是智力 的核心，因此思維能力的培養是教學過程的重中之重．建構 主義理論認為：數學學習并非是一個被動的接受過程，而應該是一個主動的建構過程．也就是說，一個人的數學知識是學習者在已有的知識和經驗的基礎上，通過操作、交流、能動選擇和反省來主動建構的．而這個過程，必須依賴于學習者主體的思維活動來完成．所以數學教學離不開學生的思維品質的培養. 二、中學數學思維培養面臨的困惑：
我覺得，當前的數學教學存在以下困惑：可以用“紙上談兵”這句成語簡單概括之，因為課堂成了教師演練陣容的唯一戰場，解題成了操起的刀戈，這種教育現象令人憂心忡忡。具體表現在：

1、數學教學的動機不全合理：在高考指揮棒的 作用下，數學教學最主要的目的是為了應試，忽視 了數學思維品質的培養。
二、中學數學思維培養面臨的困惑：
2、教師的教學方式不很科學：為了使學生能熟練解題，考出高分，教師的課堂教學過多地偏重于解題教學，一味的講解題目，課堂上很少留有余地讓學生思考，形成了一個認為只要題目講得多就好的誤區。


3、學生的學習目標過于功利：學生的學習目標就是為了取得高分，一味地解題，大量重復地做機械地訓練，形成了只要做得多就好的誤區，很少進行深入的思考，缺少對知識的理解貫通。
二、中學數學思維培養面臨的困惑：
這樣的教學造成的后果：

1、教師教得太苦，學生學得太累，形成事倍功 半的局面；
2、學生只會機械的套用公式、法則，缺乏對知識間的 聯系與理解，造成數學思維的膚淺性；

3、對解決問題的整體意識淡薄，缺乏自我思考 的能力，形成思維定勢的消極性。 二、中學數學思維培養面臨的困惑：
然而，中學數學教學大綱明確指出：數學教學 應努力培養學生的思維能力，包括：空間想象、直覺猜想、歸納想象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等諸多方面，能夠對客觀事物中的數量關系和數學模型作出思考和判斷。數學是思維的體操，就如何有效地培養學生的思維能力，以達到開發智力的目的，我認為，教師應抓住典型的問題，運用猜測、質疑、對比、類比、轉化、挖掘等工具培養學生良好的思維品質． 事物之間往往存在著因果關系和本質聯系．
在揭示現象的因果關系和本質聯系的過程中，　適當運用猜測和假設的方法，可刺激和 保持　　學生對數學的興趣和注意力，以此為基礎 刺　　激學生的求知欲望，誘導他們去探討、分析、　驗證、總結，從而培養學生的探究性思維．三、數學思維的培養策略1、 運用猜測假設，培養探究性思維案例1 求證： 猜測：因為等式的左邊是一些組合數，且正負相間，
故聯想到i的偶次冪的特征及二項式定理和棣莫佛公式 通過這類典型問題的分析講解，使學生主體性得以 體現．學生參與探究的全過程，在活動中學會探究的方法，體會到探究問題的樂趣，增進了科學的情感，理解了科學的本質．在教學過程中，教師要處處起示范作用，勤于猜想，敢于猜想，善于猜想，有目的地引導學生大膽地對問題提出各種各樣的猜想，幫助學生初步形成科學的探究能力．三、數學思維的培養策略★ 運用猜測假設，培養探究性思維 思源于疑．思維是以問題為中心來開展的， 教師通過提出啟發性問題或質疑問題，給學生創設良好的思維情境，讓學生思考、分析、比較，從而設計或改造一套比原來更完善的方案．三、數學思維的培養策略２、運用質疑，培養創新思維.案例2 函數的圖象與其反函數的圖象的交點為 ． 　質疑：初一看，上述解法天衣無縫，但其實答案是不正確的，問題出在哪里呢？這就要檢查解題過程，牽扯到原函數圖象與反函數圖象的公共點問題．案例2 函數的圖象與其反函數的圖象的交點為 ． 分析：一般地,原函數圖象與反函數圖象的公共點
不一定都在直線y=x上（如反比例函數y=1/x）. 只有
當原函數為單調增函數, 且其圖象與它的反函數的
圖象有公共點時, 則此公共點一定在直線y=x上。命題:若f(x)單調遞增，且原函數與反函數的圖象有交點，則交點一定在直線y=x上。案例2 函數的圖象與其反函數的圖象的交點為 ． 　　通過上述活動，學生會激情高漲，頗有成就感，
激起了求知的欲望，又有利于思維嚴謹性的培養，
為今后的自主探究打下了基礎．　在平時的教學中，教師應注意把零散的知識，復雜的內容及不同的問題，通過對比，形成表象，再在表象的基礎上抽象出規律性的東西，以達到　培養歸納思維之目的．3、運用對比，培養歸納思維三、數學思維的培養策略案例3 已知，且且求證： 對于教材中直接采用“已知、求證、證明”的方式機械地傳授知識的題目（如上例），教師要有意識的啟發學生將原問題進行等價轉化，運用對比的方法猜想出一般的結論，再利用數學歸納法加以證明.★ 運用對比，培養歸納思維三、數學思維的培養策略 學習的遷移，在于通過綜合的分析，概括 出兩個知識之間本質上相同或類似的條件，從而得出解決問題的辦法．簡單地說，遷移思維的本質在于尋找物質之間的共同屬性，從而判斷兩者之間的融合點和嫁接點．4、運用類比，培養遷移思維三、數學思維的培養策略案例4 過橢圓的右焦點F作直線交y軸于點P，交橢圓于點M和N，若則類比橢圓的這一結論，在雙曲線 中，分析：將問題特殊化，取過右焦點F的直線就為x軸，和橢圓的交點M、N即為橢圓長軸的兩個端點，則 類比到雙曲線，同樣取過右焦點F的直線就為 x軸，和雙曲線的交點M、N即為雙曲線的兩個頂點，易得所求結論。.★ 運用類比，培養遷移思維三、數學思維的培養策略 遷移思維的培養，目的在于使學生能有效地找到知識之間的相似性和內在聯系,從而快速解決陌生的問題.學習數學的目的,不僅在于發現問題,更重要的在于解決問題．由于類比是一種思維方法，它是根據兩種事物在某些特征上的相似性，得出它們在某些特征上也有相似的結論，特殊化的思想在類比中經常用到，在平時的教學中應加以足夠的注意． 5、運用轉化，培養逆向思維三、數學思維的培養策略 其主要的思路是:順推不行就考慮逆推,直接解決不行就考慮間接解決,從正面入手解決不了就考慮從問題的反面入手,探求問題的可能性有困難就考慮探求其不可能性,用一種命題無法解決就考慮轉換成另一種等價的命題等等.總之,在解決問題的過程中,要經常引導學生去做與習慣性思維方向相反的探索.正確而巧妙地運用逆向轉換的思維方式去解決數學問題,常常能使人茅塞頓開,突破思維定勢,使思維進入新的境界,這是逆向思維的主要形式． 案例5 m為哪些實數值時，x的任何實數值都不滿足不等式 為使學生的逆向思維能力得到培養和強化， 教師在選編題目時，應注意將常規題目“倒過來”，以培養學生的逆向思維習慣． 思維點撥：6、運用挖掘，培養發散思維三、數學思維的培養策略 發散思維是指人們沿不同的方向去思考，進行跳躍式思維．它不就事論事，不拘泥于一個途徑，一種方法，是求異和創新．發散思維是學生對已學知識靈活運用的充分體現，是富有創造性的心理活動過程，也是智力因素表現的最高形式．教師可通過啟發和誘導，讓學生在解題方法等方面進行深層次挖掘，逐步培養學生的發散思維． 案例6 求函數y=的值域．．案例6 求函數y=的值域．案例6 求函數y=的值域．．★ 運用挖掘，培養發散思維三、數學思維的培養策略 從此例多解，我們深刻地體會到：數學各分支在基礎知識方面是互相關聯、互相滲透的．只有仔細分析問題的條件，揭示其內涵，尋找轉換機制，采用不同的數學工具、方法和技巧去解決，才能達到逐步優化解題過程的目的，而這過程就是培養和訓練學生發散性思維的很好手段．四、數學思維培養的綜合性 在對學生有效、成功的思維引導，是數學教師在課堂教學中發揮主導作用的重要體現．如何在數學教學中真正地體現教師的導學、助學和促學的作用，關鍵在于數學教師抓住恰當的時機，用恰如其分的力度和清晰明白的語言對學生進行思維引導，充分借助于數學知識這一載體，把思維過程的展示滲透到概念的形成、規律的揭示、問題的解決之中，培養學生善于觀察、勤于思考的好習慣，努力做到“四個充分”， 即充分發揮學生的主體性，充分調動學生的好奇心,充分開發學生的創新思維，充分挖掘學生的創新 潛能，通過數學的學習使學生更具有靈性與悟性，更具有探索與創新精神．
事實上，數學思維的培養不能單一地、孤立的進行，一個問題的探究、解決，往往同時具有培養多種思維的功能，在培養探究思維的同時，也可培養創新思維、歸納思維、遷移思維、發散思維等，下面的例子就是很好的說明．四、數學思維培養的綜合性1、問題的提出2 探究一：
尋求切線方程的統一解法 對于上面的問題，能否尋得統一的解題方法？命題1 過橢圓上一點的切線方程為命題2 過雙曲線上一點的切線方程為　　我們說，“問題是數學的心臟，探索是數學的生命線”．數學教學的核心是通過問題的解決來啟迪和發展學生的思維，既要完成知識的傳授，同時又要培養學生的思維能力，這一教學過程的關鍵是教師的教學設計，而數學教學設計中最重要之一應是例習題的教學．對于上面的問題，可繼續引導學生作如下探究：若點Ｍ(x0,y0)不在曲線上，而在曲線外，則過點M可作兩條切線，得到兩個切點，那么，切點弦所在的直線方程又是如何？四、數學思維培養的綜合性3 探究二：
尋求曲線的切點弦方程命題5 過橢圓外一點作橢圓的兩條切線,則切點弦所在的直線方程為命題7 (1)過拋物線外一點作拋物線的兩條切線,則切點弦所在的直線方程為四、數學思維培養的綜合性4 探究三：
尋求曲線的法線方程.命題9 過雙曲線 上一點的法線方程為　 由上探索可知，如果教師在教學過程能引導 學生認真鉆研教材,吃透教材,在基本題目的基礎上,引導學生對原題進行引申,深入探究教材中每一個例題、習題的潛在功能, 注重教材中各類知識的聯系,充分發揮學生的想象力和創造力,適當添加教材外的內容, 既可以使學生輕松愉快地學到知識,又能充分調動學生的學習積極性,有效地發展學生的思維，培養學生的思維能力． 四、數學思維培養的綜合性　 數學課堂教學不在于講得多，而應立足于培養學生的思維品質。 五、總結與反思： 謝謝指導!

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