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培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析能力的實踐與思考

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培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析能力的實踐與思考

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課件31張PPT。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析能力的實踐與思考 數(shù)學(xué)問題分析能力是指閱讀、理解對數(shù)學(xué)問題進行陳述的材料,并能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題,并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述 ,它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。1、數(shù)學(xué)的特點決定了學(xué)生必須具有特定的分析、推理、演繹、歸納、探究等能力,包括:
數(shù)學(xué)語言理解能力
圖象信息分析能力
數(shù)據(jù)信息分析能力
基本圖形處理能力
邏輯推理能力
規(guī)律探究能力
……
2、學(xué)生問題分析能力的現(xiàn)狀
學(xué)生分析解決問題時,普遍存在著以下不足:
①走馬看花,不求問題實質(zhì)。
例如:某矩形的鄰邊長滿足方程x2-4x+3=0,則此矩形的周長等于 .很多學(xué)生都填8,而漏了4和12.這里主要是受思維定勢的影響,把方程的解和矩形邊長滿足方程的對應(yīng)關(guān)系發(fā)生“缺鏈”現(xiàn)象。
類似的問題還有:已知三角形的三邊滿足方程x2-6x+8=0,則此三角形的周長等于 .很多學(xué)生的答案是10,而實際上還有6和12.一、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的背景與意義 ②蜻蜓點水,思考沒有深度。
主要表現(xiàn)出:為做題而做題,不懂得歸納與梳理,更不用說發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。
③無的放矢,分析缺乏條理。主要表現(xiàn)為:問題敘述時東拉西扯,表達(dá)缺乏條理。
因此引導(dǎo)學(xué)生問題分析和問題解決的能力,從而優(yōu)化與拓展學(xué)生的解題思路與解題策略,成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的迫切任務(wù)。通過問題分析能力的培養(yǎng),可以讓學(xué)生學(xué)會善于觀察數(shù)學(xué)問題中的已知條件或結(jié)論中蘊涵的數(shù)學(xué)本質(zhì),找到解決問題的有效途徑與方法,從而拓展思維空間,開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)睿智。一、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的背景與意義1、引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想,掌握思維方法
數(shù)學(xué)思想在人們的實踐活動中產(chǎn)生,并且成為人們認(rèn)識世界和改造世界的極為重要的工具,是問題解決的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中指出:這里所說的數(shù)學(xué)不僅指數(shù)學(xué)知識,尤指數(shù)學(xué)的精神、思想、方法。學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識,因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué),所以,通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神,數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發(fā)生作用,使他們受益終身。
二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試1、引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想,掌握思維方法
教學(xué)片段:(《函數(shù)》復(fù)習(xí)課上)
問題:已知點(x,y)在如圖所示的正方形的邊上,求s=y-2x的最大值和最小值。
(說明:本題原題為:|x|+|y|=1,求s=y-2x的最大值和最小值。對非競賽的要求來說是超范圍的,所以我把它改編成上述問題。)二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試(從數(shù)式上引導(dǎo))
師:從式子s=y-2x上看,s與y,
x的大小有和關(guān)聯(lián)?
生:沉思……
生1:從s=y-2x出發(fā),當(dāng)y盡量大,
x盡量小時,s有最大值;反之,
當(dāng)y盡量小,x盡量大時,s有最小值。
師:這思路好,我們怎么來解?
生:當(dāng)y=0,x=-1時,s最大,
當(dāng)y=0,x=1時,s最小。
師:那x=-1,y=1時,S不是還要大嗎?你
怎么不考慮呢?
生:點(x,y)取不到(-1,1)二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試
師:那其它點上呢?我們又怎樣讓人信服呢?(這一問學(xué)生又被問倒了)
生:沉思……
師:(提示)點(x,y)在正方形的邊上,正方形的邊又能給大家什么啟示?
生2:老師,我有辦法啦!
把正方形的邊分成四條直線段,進行分類討論。
師:你的想法很有道理,請說說你的具體過程!
生2:
①y=-x+1(0≤x≤1), s=y-2x=-x+1-2x=-3x+1,最小-2,最大1
②y=x+1 (-1≤x≤0), s=y-2x=x+1-2x=-x+1, 最小1,最大2
③y=-x-1(-1≤x≤0), s=y-2x=-x-1-2x=-3x-1 , 最小-1,最大2
④y=x-1 (0≤x≤1), s=y-2x=x-1-2x=-x-1 , 最小-2,最大-1
綜上得:s最大值為2,最小值為-2。
師:你用了分段的方式,運用分類討論的思想完整地解決了剛才許多同學(xué)的困惑,
謝謝你,你真的很優(yōu)秀。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試(從數(shù)與形兩方面引導(dǎo))
師:實際上,該同學(xué)上述的做法中,我們都能體會到他還用了函數(shù)
的思想,視s為x的函數(shù),作了個出色的解答。 那么由此大家是否可
以視y為x的函數(shù)來解決呢?
生3:我把它整理成y=2x+s,接下去不知該怎么做了?
師:好,你說到同學(xué)們的困惑處了。同學(xué)們,如果我們暫時將s
當(dāng)作常數(shù)來認(rèn)識,那么s在一次函數(shù)中我們稱呼它叫什么?
生:(齊聲)截距。
師:現(xiàn)在我們又讓它還原本色,s是一個可變化的截距,
它會在什么范圍內(nèi)變化呢?下面請同學(xué)們開始以2人
小組合作討論,要求如下:
一位同學(xué)定一個s的值,另一位同學(xué)畫出對應(yīng)的直線,
看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
生4:老師我們發(fā)現(xiàn)了,不管s怎么取值,這些直線都
與直線y=2x平行。
師:說得好,其實我們都知道,對于直線y=kx+b,當(dāng)k不變時,與b對應(yīng)的所有直線都
互相平行,
所以我們通過畫圖可以看出當(dāng)直線y=2x+s經(jīng)過點(-1,0),(1,0)時,
相應(yīng)的截距分別達(dá)到最大值和最小值(如圖)。所以我們直接將點(-1,0),
(1,0)代入直線y=2x+s解析式就可以求得s的最大與最小值。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試 上述問題的整個引導(dǎo)過程,教師不是直接按一種思路分析,而是引導(dǎo)學(xué)生善于察“數(shù)”觀“形”,根據(jù)已知條件與結(jié)論,從數(shù)式、數(shù)形等方面按自己的不同理解作一番議論,然后讓他們逐步完善自己的解題思路,并深入挖掘題目中隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì),目的是使學(xué)生對問題有本質(zhì)的理解,獲得聽、說、議、思等多方面能力的發(fā)展,運用數(shù)學(xué)思想分析思考,有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的觀察分析更有針對性、思考更有方向性、策略更有實效性。 二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試2、引導(dǎo)學(xué)生善用關(guān)鍵數(shù)式,推敲解題策略
根據(jù)數(shù)學(xué)的特點,關(guān)鍵的數(shù)、式對解題起了非常重要的作用。學(xué)生在解題的過程中往往沒有注意到某個數(shù)或式的存在,不能抓住問題的本質(zhì)所在,所以在平時的分析指導(dǎo)中,應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生借助關(guān)鍵數(shù)、式,細(xì)細(xì)品味,反復(fù)推敲,從而找到與眾不同的解題策略。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試 教學(xué)片段(函數(shù)復(fù)習(xí)課上)問題:已知5x+12y=60,求
的最小值。
其閱讀分析指導(dǎo)過程如下:
師:對式子5x+12y=60,你有什么特別的理解?
對式子 呢?
學(xué)生的反應(yīng):
※5x+12y=60其圖象是一條直線
※由5x+12y=60可變形為:y= -  x+5,x= - y+12
※5x+12y=60在y軸上的交點為(0,5),在x軸上的
交點為(12,0)
※式子 有點象Rt△的斜邊
※ 表示點(x,y)到原點的距離……
二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試
師:由同學(xué)們的回答,我們來考慮下列的問題:
(1)從結(jié)論出發(fā)思考:x2+y2可以表示成x的函數(shù)嗎?
生:可以:x2+y2= x2- x+25
師:(2) 最小值結(jié)果是多少?
生: (等待片刻) ( )
師:從上述解得的結(jié)果中思考感悟本題還有其他解法嗎?
此問一出,有學(xué)生馬上說:本題結(jié)果好象與5,12,13組成的Rt△有關(guān), 的最小值正好等于此Rt△斜邊上的高。
師:(于是乘熱打鐵)對,大家知道這又是為什么呢?
學(xué)生一個個用期待的眼神等待著、思考著…… 二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試
師:剛才有同學(xué)說式子 表示是點(x,y)到原點的距
離,請思考:這些點是在什么圖形上的呢?
生:直線5x+12y=60上。
師:將這些點與原點連接起來,組成的圖形讓你聯(lián)想到什
么嗎?
(畫圖,思考)
生:連接點到直線的所有線段中,垂線段最短。
師:妙,你說得極妙 。因此本題的最小值就是△ABO斜邊上的高。
上述分析指導(dǎo)過程是先讓學(xué)生自己對式子作各自水平上的理解,相當(dāng)于上他們通讀一遍已知條件或結(jié)論,接著按常規(guī)思維解答引導(dǎo),在解題完成以后,再次引導(dǎo)學(xué)生進行非常規(guī)的閱讀思考,從而使學(xué)生對問題的解決經(jīng)歷一個“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一春”的憤緋過程,可以更好地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)特有的閱讀分析方式進行閱讀、分析、理解與探究,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力,更好地訓(xùn)練發(fā)展學(xué)生的思維。3、引導(dǎo)學(xué)生善編善變,促進靈活多變
讓學(xué)生自己參與問題的設(shè)計,或改變條件或改變結(jié)論,從而更好地挖掘問題的生長點,獲得更多的解題策略,促進學(xué)生分析問題與解決問題能力的進一步提升。
教學(xué)片段:《圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)》
教學(xué)中我只給出問題的條件:
如圖:已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于E,AE=a,BE=b。
請同學(xué)們根據(jù)自己的理解,你補上一個問題。
當(dāng)時的課堂氣氛非?;钴S,同學(xué)們紛紛參與:
(1)求證:∠ACB=90°
(2)求⊙O的半徑
(3)求CE的長
(4)求CD的長
(5)求AC,BC的長
(6)求△ABC的面積或求△CEB的面積
(7)求OE的長
(8)求證:弧AC=弧AD,
(9)連BD,求證:∠A=∠BCD=∠BDC
(10)連OC,OD,求證:∠COB=∠DOB=2∠A
(并一一板書)
……二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試3、引導(dǎo)學(xué)生善編善變,促進靈活多變
問題的設(shè)計上學(xué)生自由發(fā)揮:不但系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了圓的軸對稱性,
更重要的是將學(xué)生的積極性都調(diào)動了起來,這對于下面問題的提出
做了鋪墊。
師:接下去我們一起討論如何求CD的長。
師:從圖形結(jié)構(gòu)上看,所求線段的長與已知條件有什么關(guān)聯(lián)?
生1:從圖形上我看到了∠ACB=Rt∠,CE⊥AB,CE=DE,
△ACE∽△CBC∽△ABC,可以通過△ACE∽△CBE得出CE與
AE,BE的關(guān)系是CE2=AE·BE,結(jié)合垂徑定理再求CD。
師:你分析很有道理,并快捷地找到了解決的辦法,非常棒,謝謝你。
請同學(xué)們仔細(xì)觀察,CE的長還有其它求法嗎?請仔細(xì)審閱圖形。
生2:我想到了由半徑、半弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形,連OC,半徑OC= ,

只要知道弦心距就可以求CE了,可是弦心距還沒求出,不知可行否?
師:大家認(rèn)為可行嗎?
生3:老師,可行的,弦心距= (剛才說求OE的同學(xué)補充上來)。
師:說得好,但能不能對弦心距作更合理的表示?
生3:弦心距= 。
師:非常好,我們感謝兩位同學(xué),給我們找出了新的思路,下面請同學(xué)逐一解答。(解決完畢得出CD=2 )二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試3、引導(dǎo)學(xué)生善編善變,促進靈活多變
師:可見圖形套圖形的問題,我們應(yīng)學(xué)會尋找基本圖形,
以獲得解題思路與方法。
師:如果給你條件a+b=10,請?zhí)骄縜b的最大值。
生4:ab可以表示成a或b的二次函數(shù),用二次函數(shù)求最大值的方法來解。
師:這思路很有創(chuàng)意,你真機靈!真好。請大家算一下,ab的最大值。
生5:ab最大值為25,此時a=b=5。
師:此時CD在什么位置?
生(齊生)過圓心
師:同學(xué)們,從剛才的討論中,你還能找出求ab最大值的又一種方法嗎?
生6:有了,因為直徑是圓的最大的弦,所以CD≤AB,而CD=2 ,所以
2 ≤AB=a+b=10,此時a=b=5。
師:太好了,謝謝你又給大家找出了一種好方法。
師(點評):細(xì)觀察,勤思考,常會獲得意想不到的解題捷徑 。
師:請同學(xué)們課外再思考2 ≤a+b是否一定成立? 上述問題的設(shè)計是讓學(xué)生通過自主分析問題的條件,嘗試寫出結(jié)論或可求解的問題,在教師的引領(lǐng)下,對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)自然貼切,對問題的深化恰當(dāng)自然,最后從動態(tài)的角度又回歸圓中的基本元素直徑與弦的關(guān)系,對問題的理解更直觀形象,促進學(xué)生能靈活多變地全面分析思考。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試4、引導(dǎo)學(xué)生善于換位思考,突破思維定勢
數(shù)學(xué)的思維方式有很強的靈活性,這種靈活性常常要求克服思維定勢,結(jié)合題目的特點,適當(dāng)調(diào)整視角,使題目中的元素進行“角色換位”,讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度去審視面臨的問題,實現(xiàn)已知與未知、常量與變量、相等與不等、特殊與一般、局部與整體、數(shù)式與圖形、運動與靜止等的轉(zhuǎn)換,突破思維定勢,獲得新解題的思路和方法。
教學(xué)片段1:《應(yīng)用題復(fù)習(xí)》
問題:設(shè)四個數(shù),其中每三個數(shù)之和分別為25,30,27,23. 求這四個數(shù).
師:每三個數(shù)的和與這四個數(shù)的關(guān)系你有什么想法?采用什么方法解決?
生1:設(shè)這四個數(shù)分別為a、b、c、d,列方程組a+b+c=25,b+c+d=30,
c+d+a=27,d+a+b=23,可是我解不出來。
師:其他同學(xué)能提供幫助嗎?
生:(沉默)
師:能否對上述四個等式作適當(dāng)?shù)淖儞Q,使他們能出現(xiàn)相同的數(shù)式?
生2:以上四個等式兩邊按順序分別加上d,a,b,c,可以得到
a+b+c+d=25+d=30+a=27+b=23+c,
師:運用整體思想將a+b+c+d視為一個整體x,如何用x的代數(shù)式表示這四個數(shù)呢?
生3:老師我知道,d=x-25,a=x-30,b=x-27,c=x-23
師:能列出關(guān)于x的一個等式嗎?
生3:能,等式為:(x-25)+(x-30)+(x-27)+(x-23)=x,
(解得x=35,四個數(shù)分別為5、8、12、10)
師:上述過程體現(xiàn)了整體與局部的換位,問題的解決比前一種簡潔,未知量少。當(dāng)然我們也可以從局部到整體的方式求解第一個同學(xué)提出的問題 。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試教學(xué)片段2:興趣輔導(dǎo)課上《一元二次方程的復(fù)習(xí)》
問題:已知關(guān)于x的方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一個實數(shù)根,求實 數(shù)p的取值范圍。
師:這是一個關(guān)于x的一元三次方程,同學(xué)們對它的解法未曾接觸,但本節(jié)課的主題是一元二次方程的復(fù)習(xí),大家有辦法將此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程嗎?
生:沉默片刻,搖搖頭……
師:顯然不能,但如果未知數(shù)不是x,也就是將x當(dāng)已知數(shù)來看,其它已知的數(shù)或字母當(dāng)未知數(shù)來認(rèn)識有可能嗎?請大家找一找平方關(guān)系。
生:(一會兒)是否可以將p當(dāng)未知數(shù)來看
師:對,請大家試一試,,方程變成怎樣的了?
生:(動筆嘗試)
師:請大家嘗試整理成ap2+bp+c=0的形式,即表示成p的降冪排列。
生:老師我把它整理成:p2-(x2+2x)p+(x3-1)=0,可我不知道如何解下去?
師:接下去,我們應(yīng)考慮如何用x的代數(shù)式表示p,再求x。
(由于以下內(nèi)容分解較難,根據(jù)情況由教師指導(dǎo)下進行)
解得p=x-1, 或p=x2+x+1
∴x=p +1, 或x2+x+1-p=0
∵原方程有且只有一個實數(shù)根,
∴方程x2+x+1-p=0沒有實數(shù)根
由△=12-4(1-p)<0,得p<3/4。二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試 教學(xué)片段3:興趣輔導(dǎo)課上《函數(shù)的應(yīng)用》
問題:對于滿足|p|≤2的所有實數(shù)p,使x2 + px+1>2x+ p恒成立,求x的取值范圍。
分析:從二次函數(shù)的角度去解決這個問題會感到棘手,運用換位思考的方式,將變量(x)與常量(p)換位,使函數(shù)性質(zhì)由二次變?yōu)橐淮?,視(x-1)p+(x-1)2 為p的一次函數(shù),原式化為(x-1)p+(x-1)2>0,然后分兩類討論
(1)x>1且(-2)(x-1)+(x-1)2>0 ,
(2)x<1且 2(x-1)+(x-1)2>0.
得x>3或x<-1.
二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試5、引導(dǎo)學(xué)生善于多角度思考,拓展思維空間 案例《應(yīng)用題的復(fù)習(xí)課》 例題:某消防官兵了解到汶川地震災(zāi)區(qū)一帳篷小學(xué)的小朋友喜歡奧運福娃,就特意購買 了一些送給這個小學(xué)的小朋友。如果每班分10套,那么余6套,如果每班分13套,那么最后一個班級分有福娃,但不足4套,問這個小學(xué)有多少班級? 設(shè)有x個班級
方法一:列一元一次方程,分三類討論:
(1)最后一個班級分得1套福娃
13(x-1)+1=10x+6
(2)最后一個班級分得2套福娃
13(x-1)+2=10x+6
(3)最后一個班級分得3套福娃
13(x-1)+3=10x+6 方法二:列不等式組


方法三:列二元一次方程:
設(shè)按第二種分法,最后一個班分得y套福娃,則
10x+6=13(x-1)+y(0<y<4)
得:3x+y=191、設(shè)計一個好的問題,以激發(fā)學(xué)生的興趣,使問題分析獲得有效的展開,促進問題分析能力的提高。
我們知道良好的開端是成功的一半,一個好的問題易于吸引學(xué)生,激起學(xué)生思維的火花,搭起學(xué)生思維的橋梁,同時也有利于教師掌控課堂,促進問題分析的有效展開。好問題設(shè)計應(yīng)遵循以下原則:
①接受性原則:問題要容易為學(xué)生所理解,要有一定的意義,容易引起學(xué)生對問題的關(guān)注。
②障礙性原則:問題的解決辦法不是顯而易見的,是沒有現(xiàn)成的方法可供使用的但又確實與已學(xué)內(nèi)容有一定聯(lián)系的問題。
③探究性原則:學(xué)生能進行探究,而探究的過程又有明確的價值去向,如中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的價值、思維的價值或是人文的價值等。
④可控性原則:教師對所選問題在嘗試引導(dǎo)環(huán)節(jié)中要能對學(xué)生的活動圍繞著教學(xué)中心加以適當(dāng)?shù)目刂婆c誘導(dǎo)。
⑤可生性原則:所選取的問題要有新問題或新知識的生長點,能夠在部份條件更改下產(chǎn)生新的問題,或是問題能夠遷移、變形,或變換思維角度有不同的解法。
⑥開放性原則:所提供的問題或條件或結(jié)論或策略是開放的,不唯一的。三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考 2、以教師的個人魅力來調(diào)動學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力,使學(xué)生對問題的分析抱以積極的態(tài)度,逐步提高問題分析的信心。
①做好突破與延伸工作。
教師的引導(dǎo)應(yīng)突破認(rèn)知領(lǐng)域,向情感等其它領(lǐng)域延伸,對學(xué)生進行動態(tài)的指導(dǎo)和評價。在課堂教學(xué)中,要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點,及時地給予鼓勵和肯定,從而實現(xiàn)從知識領(lǐng)域向情感領(lǐng)域、方法領(lǐng)域延伸,實現(xiàn)內(nèi)化與感悟。
②予以恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)與鼓勵。
當(dāng)學(xué)生思維受阻時,教師應(yīng)當(dāng)用恰當(dāng)?shù)倪^渡語給予評價與指導(dǎo),給其明確思考、討論的方向,這樣既教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法,同時又有利于增強學(xué)習(xí)的信心,從而形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。
③用感人的語言滋潤學(xué)生的心田。
良好的精神狀態(tài)會促使學(xué)生積極地思維,活躍地思維。因此面對學(xué)生的“失敗”過程,教師也應(yīng)肯定“失敗”的思維價值, “你說到問題點子上了”、“你已幫大家說出了困惑的焦點”等感人的語言來滋潤學(xué)生“憤”、“悱”之心,讓學(xué)生學(xué)會面對挫折不氣餒,保持樂觀的態(tài)度。課堂教學(xué)中,教師熱情洋溢的贊美、肯定、鼓勵和褒獎,是學(xué)生創(chuàng)新精神和能力的生長劑,會使學(xué)生充分認(rèn)識到自己的潛能和聰明才智。
這種積極的評價和引導(dǎo),不但會有利于問題的解決,而且會使學(xué)生增強戰(zhàn)勝困難的勇氣和努力學(xué)好數(shù)學(xué)的決心,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成積極的心理影響會使他們終生受益。三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考 3、做好恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)以啟迪學(xué)生的思維,拓展學(xué)生思維的空間,使學(xué)生對問題的分析向廣、深發(fā)展。
①發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用。
問題分析解決教學(xué)過程中,教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、合作者、參與者,教師的作用在于引導(dǎo)。教師的引導(dǎo)作用主要是讓學(xué)生積極參與到問題的思考與解決中來,給其一個解決問題的方向,而非告訴其問題的答案,當(dāng)解決某個問題有困難時,才予以適當(dāng)?shù)闹R傳授或方法補充。
②給學(xué)生創(chuàng)造自主發(fā)揮的時間與空間
也可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力等情況成立學(xué)生學(xué)習(xí)合作小組,在教學(xué)進程中,把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生互相合作交流,在平等的條件下主動探究,充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性,使學(xué)生在自主的環(huán)境中有更多的時間和空間盡情地暢想。三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考 努力做到“六讓”: 特征讓學(xué)生觀察, 思路讓學(xué)生探索, 方法讓學(xué)生尋找, 意義讓學(xué)生概括, 結(jié)論讓學(xué)生驗證, 難點讓學(xué)生突破。 4、探究問題分析解決后的發(fā)展和遷移,促進新知識的生成和新方法的延伸,使問題分析能力獲得進一步提升。
問題的發(fā)展和遷移是指進行問題分析解決教學(xué)時,在創(chuàng)設(shè)的問題已經(jīng)獲解的情況下,對問題情境中的新問題、新知識的生長點上,作進一步的探究,從而提出新的問題或獲得新的解題方法。這一環(huán)節(jié),充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性、批判性和創(chuàng)造性,教師通??刹捎靡韵虏呗裕?br/> ①剖析錯誤原因,發(fā)現(xiàn)問題的根源。對于學(xué)生在問題解決中出現(xiàn)的一些似是而非的“解法”進行必要的反思,或許在錯誤的解答中會發(fā)現(xiàn)新的知識生長點或解決問題的新的策略,獲得意外的收獲,同時也能糾正學(xué)生思維的誤區(qū),達(dá)到一箭雙雕的作用。
三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考
?、谧兏鼦l件結(jié)論,提出新的問題。
隨著條件、結(jié)論的改變,往往會引出新的問題與新的解題策略,從而獲得新的發(fā)展與提高。
③換位思考問題,獲得更多策略。問題的換位思考,是數(shù)學(xué)思想的根本,有利于教學(xué)內(nèi)容的深化和延伸,是培養(yǎng)學(xué)生探究意識和創(chuàng)新能力的有效途徑,有利于進一步提升學(xué)生問題分析與解決的能力。三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考 謝謝培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)問題分析能力的實踐與思考
數(shù)學(xué)問題分析能力是指閱讀、理解對數(shù)學(xué)問題進行陳述的材料,能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題,并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述,它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。
一、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的背景與意義
1、數(shù)學(xué)的特點決定了學(xué)生必須具有特定的分析、推理、演繹、歸納、探究等能力,包括:
數(shù)學(xué)語言理解能力
圖象信息分析能力
數(shù)據(jù)信息分析能力
基本圖形處理能力
邏輯推理能力
規(guī)律探究能力
……
2、學(xué)生問題分析能力的現(xiàn)狀
學(xué)生分析解決問題時,普遍存在著以下不足:
①走馬看花,不求問題實質(zhì)。
例如:某矩形的鄰邊長滿足方程x2-4x+3=0,則此矩形的周長等于 。很多學(xué)生
都填8,而漏了4和12.這里主要是受思維定勢的影響,把方程的解和矩形邊長滿足方程的對應(yīng)關(guān)系發(fā)生“缺鏈”現(xiàn)象。
類似的問題還有:已知三角形的三邊滿足方程x2-6x+8=0,則此三角形的周長等于 。很多學(xué)生的答案是10,而實際上還有6和12。
②蜻蜓點水,思考沒有深度。主要表現(xiàn)出:為做題而做題,不懂得歸納與梳理,更不用
說發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新。
③無的放矢,分析缺乏條理。主要表現(xiàn)為:問題敘述時東拉西扯,表達(dá)缺乏條理。
因此引導(dǎo)學(xué)生問題分析和問題解決的能力,從而優(yōu)化與拓展學(xué)生的解題思路與解題策
略,成為我們數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的迫切任務(wù)。通過問題分析能力的培養(yǎng),可以讓學(xué)生學(xué)會善于觀察數(shù)學(xué)問題中的已知條件或結(jié)論中蘊涵的數(shù)學(xué)本質(zhì),找到解決問題的有效途徑與方法,從而拓展思維空間,開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)睿智。
二、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的嘗試
①引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想,掌握思維方法
數(shù)學(xué)思想在人的實踐活動中產(chǎn)生,并且成為人們認(rèn)識世界和改造世界的極為重要的工具,是問題解決的靈魂。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中指出:這里所說的數(shù)學(xué)不僅指數(shù)學(xué)知識,尤指數(shù)學(xué)的精神、思想、方法。學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識,因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué),所以,通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神,數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發(fā)生作用,使他們受益終身。
教學(xué)片段:(《函數(shù)》復(fù)習(xí)課上)問題:已知:點(x,y)在如圖所示的正方形的邊上,求s=y-2x的最大值和最小值。
(說明:本題原題為:|x|+|y|=1,求s=y-2x的最大值和最小值。對非競賽的要求來說是超范圍的,所以我把它改編成上述問題。)
分析引導(dǎo)過程如下:
(從數(shù)式上引導(dǎo))
師:從式子s=y-2x上看,s與y,x的大小有和關(guān)聯(lián)?
生:沉思……
生1:從s=y-2x出發(fā),當(dāng)y盡量大,x盡量小時,s有最大值;反之,當(dāng)y盡量小,x盡量大時,s有最小值。
師:這思路好,我們怎么來解?
生:當(dāng)y =0,x=-1時,s最大,當(dāng)y =0,x=1時,s最小。
師:那其它點上呢?我們又怎樣讓人信服呢? (這一問學(xué)生又被問倒了)
生:沉思……
師:(提示)點(x,y)在正方形的邊上,正方形的邊又能給大家什么啟示?
生2:老師,我有辦法啦!
把正方形的邊分成四條直線段,進行分類討論。
師:你的想法很有道理,請說說你的具體過程!
生2:
①y=-x+1(0≤x≤1), s=y-2x=-x+1-2x=-3x+1,最小-2,最大1
②y=x+1 (-1≤x≤0), s=y-2x=x+1-2x=-x+1, 最小1,最大2
③y=-x-1(-1≤x≤0), s=y-2x=-x-1-2x=-3x-1 ,最小-1,最大2
④y=x-1 (0≤x≤1), s=y-2x=x-1-2x=-x-1, 最小-2,最大-1
綜上得:s最大值為2,最小值為-2。
師:你用了分段的方式,運用分類討論的思想完整地解決了剛才許多同學(xué)的困惑,謝謝你,你真的很優(yōu)秀。
(從數(shù)與形兩方面引導(dǎo))
師:實際上,該同學(xué)上述的做法中,我們都能體會到他還用了函數(shù)的思想,視s為x的函數(shù),作了個出色的解答。那么由此大家是否可以視y為x的函數(shù)來解決呢?
生3:我把它整理成y=2x+s,接下去不知該怎么做了?
師:好,你說到同學(xué)們的困惑處了。同學(xué)們,如果我們暫時將s當(dāng)作常數(shù)來認(rèn)識,那么s在一次函數(shù)中我們稱呼它叫什么?
生:(齊聲)截距。
師:現(xiàn)在我們又讓它還原本色,s是一個可變化的截距,
它會在什么范圍內(nèi)變化呢?下面請同學(xué)們開始以2人
小組合作討論,要求如下:
一位同學(xué)定一個s的值,另一位同學(xué)畫出對應(yīng)的直線,
看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
生4:老師我們發(fā)現(xiàn)了,不管s怎么取值,這些直線都
與直線y=2x平行。
師:說得好,其實我們都知道,對于y=kx+b,當(dāng)k不變時,與b對應(yīng)的所有直線都相互平行,所以我們通過畫圖可以看出當(dāng)直線y=2x+s經(jīng)過點(-1,0),(1,0)時,相應(yīng)的截距分別達(dá)到最大值和最小值(如圖)。所以我們直接將點(-1,0),(1,0)代入直線y=2x+s解析式就可以求得s的最大與最小值。
上述問題的整個引導(dǎo)過程,教師不是直接從中按一種思路分析,而是引導(dǎo)學(xué)生善于察
“數(shù)”觀“形”,根據(jù)已知條件與結(jié)論,從數(shù)式、數(shù)形等方面按自己的不同理解作一番議論,然后讓他們逐步完善自己的解題思路,并深入挖掘題目中隱含的數(shù)學(xué)本質(zhì),目的是使學(xué)生對問題有本質(zhì)的理解,獲得聽、說、議、思等多方面能力的發(fā)展,運用數(shù)學(xué)思想分析思考,有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的觀察分析更有針對性、思考更有方向性、策略更有實效性。
2、引導(dǎo)學(xué)生善用關(guān)鍵數(shù)式,推敲解題策略
根據(jù)數(shù)學(xué)的特點,關(guān)鍵的數(shù)、式對解題起了非常重要的作用。學(xué)生在解題的過程中往往沒有注意到某個數(shù)或式的存在,不能抓住問題的本質(zhì)所在,所以在平時的分析指導(dǎo)中,應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生借助關(guān)鍵數(shù)、式,細(xì)細(xì)品味,反復(fù)推敲,從而找到與眾不同的解題策略。
教學(xué)片段(函數(shù)復(fù)習(xí)課上):問題:已知5x+12y=60,求的最小值。
師:對式子5x+12y=60,你有什么特別的理解?對式子呢?
學(xué)生的反應(yīng):※5x+12y=60其圖象是一條直線
※由5x+12y=60可變形為:y=-x+5,x=-y+12
※5x+12y=60在y軸上的交點為(0,5),在x軸上的交點為(12,0)
※式子有點象直角三角形的斜邊
※表示點(x,y)到原點的距離
……
師:由同學(xué)們的回答,我們來考慮下列的問題:
(1)從結(jié)論出發(fā)思考:x2+y2可以表示成x的函數(shù)嗎?
生:可以:x2+y2=x2—x+25
師:(2)最小值結(jié)果是多少?
(等待片刻)
生:()
師:從上述解得的結(jié)果中思考感悟本題還有其他解法嗎?
此問一出,有學(xué)生馬上說:
本題最小值好象與5,12,13組成的Rt△有關(guān),的最小值正好等于此Rt△斜邊上的高。
師:(于是乘熱打鐵):對,大家知道這又是為什么呢?
學(xué)生一個個用期待的眼神等待著、思考著……
師:剛才有同學(xué)說:式子的表示是點(x,y)到原點的距離,請思考:這些點是在什么圖形上的呢?
生:直線5x+12y=60上。
師:將這些點與原點連接起來,組成的圖形讓你聯(lián)想到什么嗎?
生:(畫圖,思考)
生:連接點到直線的所有線段中,垂線段最短。因此本題的最小值就是△ABO斜邊上的高。
師:妙,你說得極妙。
上述分析指導(dǎo)過程是先上學(xué)生自己對式子作各自水平上的理解,相當(dāng)于上他們通讀一遍已知條件或結(jié)論,接著按常規(guī)思維解答引導(dǎo),在解題完成以后,再次引導(dǎo)學(xué)生進行非常規(guī)的閱讀思考,從而使學(xué)生對問題的解決經(jīng)歷一個“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一春”的憤緋過程,可以更好地培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)特有的分析方式進行閱讀、分析、理解與探究,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力,更好地訓(xùn)練發(fā)展學(xué)生的思維。
3、引導(dǎo)學(xué)生善編善變,促進靈活多變
讓學(xué)生自己參與問題的設(shè)計,或改變條件或改變結(jié)論,從而更好地挖掘問題的生長點,獲得更多的解題策略,促進學(xué)生分析問題與解決問題能力的進一步提升。
教學(xué)片段:《圓的基本性質(zhì)復(fù)習(xí)》
教學(xué)中我只給出問題的條件:
如圖:已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于E,AE=a,BE=b。請同學(xué)們根據(jù)自己的理解,請你補上一個問題。
當(dāng)時的課堂氣氛非?;钴S,同學(xué)們紛紛參與:
(1)求證:∠ACB=90°
(2)求⊙O的半徑
(3)求CE的長
(4)求CD的長
(5)求AC,BC的長
(6)求△ABC的面積或求△CEB的面積
(7)求OE的長
(8)求證:弧AC=弧AD,
(9)連BD,求證:∠A=∠BCD=∠BDC
(10)連OC,OD,求證:∠COB=∠DOB=2∠A
(并一一板書)
……
問題的設(shè)計讓學(xué)生自由發(fā)揮:不但系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了圓的軸對稱性,更重要的是將學(xué)生的積極性都調(diào)動了起來,這對于下面問題的提出做了鋪墊。
師:接下去我們一起討論如何求CD的長。
師:從圖形結(jié)構(gòu)上看,所求線段的長與已知條件有什么關(guān)聯(lián)?
生1:從圖形上我看到了∠ACB=Rt∠,CE⊥AB,CE=DE,△ACE∽△CBE∽△ABC,可以通過△ACE∽△CBE得出CE與AE,BE的關(guān)系是CE2=AE·BE,結(jié)合垂徑定理再求CD.
師:你分析很有道理,并快捷地找到了解決的辦法,非常棒,謝謝你,請坐。請同學(xué)們仔細(xì)觀察,CD的長還有其它求法嗎?請仔細(xì)審閱圖形。
生2:我想到了由半徑、半弦、弦心距所構(gòu)成的直角三角形,連OC,半徑OC=,
只要知道弦心距就可以求CE了,可是弦心距還沒求出,不知可行否?
師:大家認(rèn)為可行嗎?
生3:老師,可行的,弦心距=(剛才說求OE的同學(xué)補充上來)。
師:說得好,但能不能對弦心距作更合理的表示?
生3:弦心距=。
師:非常好,我們感謝兩位同學(xué),給我們找出了新的思路,下面請同學(xué)逐一解答。
(解決完畢得出CD=2)
師:可見圖形套圖形的問題,我們應(yīng)學(xué)會尋找基本圖形,以獲得解題思路與方法。
師:如果給你條件a+b=10,請?zhí)骄縜b的最大值。
生4:ab可以表示成a或b的二次函數(shù),用二次函數(shù)求最大值的方法來解。
師:這思路很有創(chuàng)意,你真機靈!真好。請大家算一下,ab的最大值。
生5:ab=a(10—a)=-a2-10a=—(a-5)2+25,ab最大值為25,此時a=b=5。
師:此時CD在什么位置?
生(齊生)過圓心
師:同學(xué)們,從剛才的討論中,你還能找出求ab最大值的又一種方法嗎?
生6:有了,因為直徑是圓的最大的弦,所以CD≤AB,而CD=2,所以2≤AB=a+b=10,(當(dāng)a=b=5,ab最大值等于25)。
師:太好了,謝謝你又給大家找出了一種好方法。
師(點評):找出所給圖形的本質(zhì),關(guān)鍵是靠同學(xué)們積極去品味,去分析,你會獲得新的發(fā)現(xiàn)。所以細(xì)觀察,勤思考,常會獲得意想不到的解題捷徑。
師:請同學(xué)們課外再思考2≤a+b是否一定成立?
上述問題的設(shè)計是讓學(xué)生通過自主分析問題的條件,嘗試寫出結(jié)論或可求解的問題,在教師的引領(lǐng)下,對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)自然貼切,對問題的深化恰當(dāng)自然,最后從動態(tài)的角度又回歸圓中的基本元素直徑與弦的關(guān)系,對問題的理解更直觀形象,促進學(xué)生能靈活多變地全面分析思考。
引導(dǎo)學(xué)生善于換位思考,突破思維定勢
數(shù)學(xué)的思維方式有很強的靈活性,這種靈活性常常要求克服思維定勢,結(jié)合題目的特點,適當(dāng)調(diào)整視角,使題目中的元素進行“角色換位”,讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度去審視面臨的問題,實現(xiàn)已知與未知、常量與變量、相等與不等、特殊與一般、局部與整體、數(shù)式與圖形、運動與靜止等的轉(zhuǎn)換,突破思維定勢,獲得新解題的思路和方法。
教學(xué)片段1:《應(yīng)用題復(fù)習(xí)》
問題:設(shè)四個數(shù),其中每三個數(shù)之和分別為25,30,27,23. 求這四個數(shù).
師:每三個數(shù)的和與這四個數(shù)的關(guān)系你有什么想法?采用什么方法解決?
生1:設(shè)這四個數(shù)分別為a、b、c、d,列方程組a+b+c=25,b+c+d=30,c+d+a=27,d+a+b=23,可是我解不出來。
師:其他同學(xué)能提供幫助嗎?
生:(沉默)
師:能否對上述四個等式作適當(dāng)?shù)淖儞Q,使他們能出現(xiàn)相同的數(shù)式?
生2:以上四個等式兩邊按順序分別加上d,a,b,c,可以得到
a+b+c+d=25+d=30+a=27+b=23+c,
師:運用整體思想將a+b+c+d視為一個整體x,如何用x的代數(shù)式表示這四個數(shù)呢?
生3:老師我知道,d=x-25,a=x-30,b=x-27,c=x-23
師:能列出關(guān)于x的一個等式嗎?
生3:能,等式為:(x-25)+(x-30)+(x-27)+(x-23)=x,
(解得x=35,四個數(shù)分別為5,8,12,10)
師:上述過程體現(xiàn)了整體與局部的換位,問題的解決比前一種簡潔,未知量少。當(dāng)然我們也可以從局部到整體的方式求解第一個同學(xué)提出的問題。
教學(xué)片段2:興趣輔導(dǎo)課上《一元二次方程的復(fù)習(xí)》
例1 已知關(guān)于x的方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一個實數(shù)根,求實數(shù)p的取
值范圍。
師:這是一個關(guān)于x的一元三次方程,同學(xué)們對它的解法未曾接觸,但本節(jié)課的主題是一元二次方程的復(fù)習(xí),大家有辦法將此方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程嗎?
生:沉默片刻,搖搖頭……
師:顯然不能,但如果未知數(shù)不是x,也就是將x當(dāng)已知數(shù)來看,其它已知的數(shù)或字母當(dāng)未知數(shù)來認(rèn)識有可能嗎?請大家找一找平方關(guān)系。
生:(一會兒)是否可以將p當(dāng)未知數(shù)來看
師:對,請大家試一試,,方程變成怎樣的了?
生:(動筆嘗試)
師:請大家嘗試整理成ap2+bp+c=0的形式,即表示成p的降冪排列。
生:老師我把它整理成:p2-(x2+2x)p+(x3-1)=0,可我不知道如何解下去?
師:接下去,我們應(yīng)考慮如何用x的代數(shù)式表示p,再求x。
(由于以下內(nèi)容分解較難,根據(jù)情況由教師指導(dǎo)下進行)
解得p=x-1, 或p=x2+x+1
∴x=p +1, 或x2+x+1-p=0
∵原方程有且只有一個實數(shù)根,
∴方程x2+x+1-p=0沒有實數(shù)根
由△=12-4(1-p)<0,得p<3/4.
教學(xué)片段3:興趣輔導(dǎo)課上《函數(shù)的應(yīng)用》
問題:對于滿足|p|≤2的所有實數(shù)p,使x2 + px+1>2x+ p恒成立,求x的取值范圍。
分析:從二次函數(shù)的角度去解決這個問題會感到棘手,運用換位思考的方式,將變量(x)與常量(p)換位,使函數(shù)性質(zhì)由二次變?yōu)橐淮?,視(x-1)p+(x-1)2 為p的一次函數(shù),原式化為(x-1)p+(x-1)2>0,然后分兩類討論
(1)x>1且(-2)(x-1)+(x-1)2>0 ,
(2)x<1且 2(x-1)+(x-1)2>0.
得x>3或x<-1.
5、引導(dǎo)學(xué)生善于多角度思考,拓展思維空間
案例《應(yīng)用題的復(fù)習(xí)課》
例題:某消防官兵了解到汶川地震災(zāi)區(qū)一帳篷小學(xué)的小朋友喜歡奧運福娃,就特意購買
了一些送給這個小學(xué)的小朋友。如果每班分10套,那么余6套,如果每班分13套,那么最后一個班級分有福娃,但不足4套,問這個小學(xué)有多少班級?
解: 設(shè)有x個班級
方法一:列一元一次方程,分三類討論:
(1)最后一個班級分得1套福娃
13(x-1)+1=10x+6
(2)最后一個班級分得2套福娃
13(x-1)+2=10x+6
(3)最后一個班級分得3套福娃
13(x-1)+3=10x+6
方法二:列不等式組

方法三:列二元一次方程:
設(shè)按第二種分法,最后一個班分得y套福娃,則
10x+6=13(x-1)+y(0<y<4)
得:3x+y=19
三、培養(yǎng)學(xué)生問題分析能力的教學(xué)策略思考
1、設(shè)計一個好的問題,以激發(fā)學(xué)生的興趣,使問題分析獲得有效的展開,促進問題分析能力的提高。
我們知道良好的開端是成功的一半,一個好的問題易于吸引學(xué)生,激起學(xué)生思維的火花,搭起學(xué)生思維的橋梁,同時也有利于教師掌控課堂,促進問題分析的有效展開。好問題設(shè)計的應(yīng)遵循以下原則:
①接受性原則:問題要容易為學(xué)生所理解,要有一定的意義,容易引起學(xué)生對問題的關(guān)注。
②障礙性原則:問題的解決辦法不是顯而易見的,是沒有現(xiàn)成的方法可供使用的但又確實與已學(xué)內(nèi)容有一定聯(lián)系的問題。
③探究性原則:學(xué)生能進行探究,而探究的過程又有明確的價值去向,如中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的價值、思維的價值或是人文的價值等。
④可控性原則:教師對所選問題在嘗試引導(dǎo)環(huán)節(jié)中要能對學(xué)生的活動圍繞著教學(xué)中心加以適當(dāng)?shù)目刂婆c誘導(dǎo)。
⑤可生性原則:所選取的問題要有新問題或新知識的生長點,能夠在部份條件更改下產(chǎn)生新的問題,或是問題能夠遷移、變形,或變換思維角度有不同的解法。
⑥開放性原則:所提供的問題或條件或結(jié)論或策略是開放的,不唯一的。
2、以教師的個人魅力來調(diào)動學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力,使學(xué)生對問題的分析抱以積極的態(tài)度,逐步提高問題分析的信心。
①做好突破與延伸工作。
教師的引導(dǎo)應(yīng)突破認(rèn)知領(lǐng)域,向情感等其它領(lǐng)域延伸,對學(xué)生進行動態(tài)的指導(dǎo)和評價。在課堂教學(xué)中,要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點,及時地給予鼓勵和肯定,從而實現(xiàn)從知識領(lǐng)域向情感領(lǐng)域、方法領(lǐng)域延伸,實現(xiàn)內(nèi)化與感悟。
②予以恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)與鼓勵。
當(dāng)學(xué)生思維受阻時,教師應(yīng)當(dāng)用恰當(dāng)?shù)倪^渡語給予評價與指導(dǎo),給其明確思考、討論的方向,這樣既教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法,同時又有利于增強學(xué)習(xí)的信心,從而形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。
③用感人的語言滋潤學(xué)生的心田。
良好的精神狀態(tài)會促使學(xué)生積極地思維,活躍地思維。因此面對學(xué)生的“失敗”過程,教師也應(yīng)肯定“失敗”的思維價值, “你說到問題點子上了”、“你已幫大家說出了困惑的焦點”等感人的語言來滋潤學(xué)生“憤”、“悱”之心,讓學(xué)生學(xué)會面對挫折不氣餒,保持樂觀的態(tài)度。課堂教學(xué)中,教師熱情洋溢的贊美、肯定、鼓勵和褒獎,是學(xué)生創(chuàng)新精神和能力的生長劑,會使學(xué)生充分發(fā)揮到自己的潛能和聰明才智。
這種積極的評價和引導(dǎo),不但會有利于問題的解決,而且會使學(xué)生增強戰(zhàn)勝困難的勇氣和努力學(xué)好數(shù)學(xué)的決心,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成積極的心理影響會使他們終生受益。
3、做好恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)以啟迪學(xué)生的思維,拓展學(xué)生思維的空間,使學(xué)生對問題的分析向廣、深發(fā)展。
①發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用。
問題分析解決教學(xué)過程中,教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、合作者、參與者,教師的作用在于引導(dǎo)。教師的引導(dǎo)作用主要是讓學(xué)生積極參與到問題的思考與解決中來,給其一個解決問題的方向,而非告訴其問題的答案,當(dāng)解決某個問題有困難時,才予以適當(dāng)?shù)闹R傳授或方法補充。
②給學(xué)生創(chuàng)造自主發(fā)揮的時間與空間
也可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力等情況成立學(xué)生學(xué)習(xí)合作小組,在教學(xué)進程中,把學(xué)習(xí)主動權(quán)交給學(xué)生,讓學(xué)生互相合作交流,在平等的條件下主動探究,充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性,使學(xué)生在自主的環(huán)境中有更多的時間和空間盡情地暢想。努力做到“六讓”:
特征讓學(xué)生觀察,
思路讓學(xué)生探索,
方法讓學(xué)生尋找,
意義讓學(xué)生概括,
結(jié)論讓學(xué)生驗證,
難點讓學(xué)生突破。
4、探究問題分析解決后的發(fā)展和遷移,促進新知識的生成和新方法的延伸,使問題分析能力獲得進一步提升。
問題的發(fā)展和遷移是指進行問題分析解決教學(xué)時,在創(chuàng)設(shè)的問題已經(jīng)獲解的情況下,對問題情境中的新問題、新知識的生長點上,作進一步的探究,從而提出新的問題或獲得新的解題方法。這一環(huán)節(jié),充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的深刻性、批判性和創(chuàng)造性,教師通??刹捎靡韵虏呗裕?br/>①剖析錯誤原因,發(fā)現(xiàn)問題的根源。對于學(xué)生在問題解決中出現(xiàn)的一些似是而非的“解法”進行必要的反思,或許在錯誤的解答中會發(fā)現(xiàn)新的知識生長點或解決問題的新的策略,獲得意外的收獲,同時也能糾正學(xué)生思維的誤區(qū),達(dá)到一箭雙雕的作用。
②變更條件結(jié)論,提出新的問題。隨著條件、結(jié)論的改變,往往會引出新的問題與新的解題策略,從而獲得新的發(fā)展與提高。
③換位思考問題,獲得更多策略。問題的換位思考,是數(shù)學(xué)思想的根本,有利于教學(xué)內(nèi)容的深化和延伸,是培養(yǎng)學(xué)生探究意識和創(chuàng)新能力的有效途徑,有利于進一步提升學(xué)生問題分析與解決的能力。

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