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聚焦《絕對值》
【圖解考點】
【技法透析】
　　1．絕對值的基本性質
在含有絕對值式子的運算及變形中，絕對值的性質有很重要的作用，其主要性質有：若a、b為有理數，則：
(1)非負性：①≥0；②若＋＝0，則a＝b＝0；
(2)若＝，則a＝±b；
(3)；（b≠0）；
④．
特別關注：若干個非負數之和為0，則這幾個非負數必須同時為0，即：＋＋…＋＝0，則a＝b＝…＝n＝0．
2．去絕對值符號的方法
去掉絕對值符號是絕對值化簡的關鍵，而絕對值符號內的數（或式）的正負性的判斷是化簡的關鍵，在實際運用中常見的去絕對值符號的方法有：
(1)由已知條件去絕對值．
(2)從數軸上“讀取”相關信息，運用數形結合去絕對值．
(3)運用“零點分段法”分類討論去絕對值，
特別關注：對于多個絕對值問題，其解題思路為：求零點、分區間、定性質、去符號，即令各絕對值代數式為零，得若干個絕對值為零的點，這些點把數軸分成若干個區間，再在各區間內化簡求值即可．
3．絕對值方程
(1)最簡單的絕對值方程為＝a，它的解法情況如下：
①當a>0時，方程有兩解：x＝a或x＝－a，
②當a＝0時，方程有一解：x＝0，
③當a<0時，方程無解．
(2)解絕對值方程的一般步驟
①求出各個零界點．
②根據未知數的取值范圍分類討論．
③去絕對值符號，化為一般方程求解，在轉化過程中，經常荽用到分類討論，數形結合等方法．在解題過程中，要充分利用絕對值的意義和性質，善于觀察，發掘題目中的隱含條件，從而簡化解題過程．
特別關注：對于解絕對值方程，零點分段法是一種非常重要的方法．
4．絕對值的幾何意義在生活中的應用
在實際生活中經常要通過借助數軸模型使復雜的數量關系形象化，簡單化，同時又使實際問題數學化，從而運用絕對倌的幾何定義求解．一般地，設a1，a2，a3，…an是數軸上依次排列的點表示的有理數，對于，則：
(1)當n為奇數時，此式在x＝時取最小值；
(2)當n為偶數時，此式在≤x≤時取最小值．
【名題精講】
賽點1　絕對值的化簡
例1 　＝_______．
【切題技巧】　脫去絕對值符號是絕對值化簡的切入點，而對絕對值符號中的正負性的判斷是化簡的關鍵，本例若直接化簡會很繁鎖，應從的性質入手，由題中條件可知，每一絕對值符號內均為負數，于是有當a<0時＝－a．
【規范解答】　原式=
=
【借題發揮】　絕對值化簡關鍵是要去掉絕對值符號，而要去掉絕對值符號，先要對絕對值符號中的數（或式）的正負性進行判斷．去掉絕對值符號有三種方法，本例可以由已知條件直接判斷各個絕對值符號內均為負數，于是可以利用1a1的性質順利達到去掉絕對值符號的目的．
【同類拓展】1．有理數a，b的大小關系如圖，則的值是( D )
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
賽點2　絕對值的分類討論
例2 　若abc<0，a＋b＋c>0，且x＝，試求代數式(1－2x)2016－2016 x＋2016的值．
【切題技巧】　解決本題的關鍵是對a、b、c的符號的所有可能情況進行分類討論，由abc<0可知a、b、c中有一個或三個全為負數，又由a＋b＋c>0知a、b、c不可能全為負數，所以a、b、c中有一個負數，兩個正數．
【規范解答】　由abc<0，可知a、b、c中有一個負數或三個全為負數，又由a＋b＋c>0知a、b、c不可能全為負數，所以可得a、b、c中有一個負數，兩個正數，依x的輪換性，不妨設a>0、b>0、c<0．則：
．所以原代數式的值為：(1－2×1)2016－2016×1＋2016＝1－2016＋2016＝1．
【借題發揮】　解含絕對值符號的化簡求值題的關鍵，在于善于運用已知條件去掉絕對值符號，而用分類討論法是能達到去掉絕對值符號的常用方法．在分類討論時，分類要全面、準確、不失一般性．
【同類拓展】　已知有理數x，y，z滿足xy<0，yz>0，且＝3，＝2，，求x＋y＋z的值． －2
賽點3 求的最小值．
【規范解答】　由絕對值的幾何意義知1x－a1在數軸上表示數x與數a兩點之間的距離，故求原式的最小值就是在數軸上找出表示x的點，使它到1，2，3，…，2015，2016的點的距離和最小．
【規范解答】　由絕對值的幾何意義可知：求原式的最小值，就是在數軸上找出表示x的點，使它到1，2，3，…2016的點的距離之和最小，
可看出當1008≤x≤1009時，原式的值最小，把x＝1008代入原式中得：
原式＝
=1007+1006+1005+…+1+0+1+2+3+…1008
=2（1+2+3+…1007）+1008
【借題發揮】　(1)由絕對值的幾何意義可知如圖①當a≤x≤b時，的值最小，如圖②當x＝b時，的值最小．
(2)一般地，設a1，a2，a3…an是數軸上依次排列的點表示的有理數，若n為奇數，則當x＝時，的值最小；若n為偶數，則當a≤x≤時， 的值最小．
(3)在實際牛活中，有時需借助數軸模型，使實際問題數學化，從而運用絕對值的幾何定義解決問題．
如某公共汽車運營線路AB段上有A、B、C、D四個汽車站，如圖所示，現在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，要求A、B、C、D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處最好？求最小路程總和，即求M到A、B、C、D的距離和最小，不妨設A、B、C、D四點在數軸上且分別表示為數a，b，c，d(a【同類拓展】　3．某城鎮，沿環形路上依次排列有五所小學，它們順次有電腦15臺、7臺、11臺、3臺、14臺，為使各學校里電腦數相同，允許一些小學向相鄰小學調出電腦，問怎樣調配才能使調出的電腦總臺數最少？并求出調出電腦的最少總臺數．
一小向二小調3臺，三小向四小調出1臺，五小向四小調出6臺，一小向五小調出2臺，這樣調出的電腦總數最小數目為12臺．
賽點4　絕對值方程
例4 解方程
【規范解答】　解含絕對值符號的方程的關鍵是去絕對值符號，這可采用“零點分段法”，即令x－2＝0，2x＋1＝0，分別得到x＝2，x＝－用2，－將數軸分成三段：
【規范解答】　
【借題發揮】　對于含有多重絕對值符號的方程，可用零點分段法，從內向外逐個去掉絕對值符號，只是在分類討論時要注意未知數的取值范圍，以免出錯，如解方程：＝3，解題時運用“零點分段法”從內向外，根據絕對值的代數定義、性質去簡化方程．
【同類拓展】　4．已知，求x＋y的最大值和最小值．
－3．

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