資源簡介

寫在前面
我們經過幾年的信息技術課程的學習，對常用的辦公軟件、網頁制作軟件都有了比較詳細的了解，為我們有效利用信息技術改造學習奠定了良好的基礎。本學年，我們將就信息技術和學科學習的整合進行探索，分上下兩篇：上篇主要學習用幾何畫板做數理實驗的方法；下篇則重點掌握信息技術在研究性學習中的應用。
考慮到初三課程的實際情況，我們沒有嚴格按照課時來安排內容，而是用專題和案例的方式來組織材料，方便各校根據教學環境和課時情況靈活安排教學進度。
我們在順德教育信息中心為初三信息技術的學習開辟了專門的網站：網絡探索（WebQuest），域名是http://wq.sdedu.net。本課程的相關工具和范例都在這里提供，各章節的編者擔任相應欄目的版主，隨時歡迎廣大師生前往交流。
歡迎隨時訪問網絡探究網站，了解網絡學習的最新進展！
上篇 用幾何畫板做數理實驗
同學們都喜歡物理和初三新開的化學，因為這兩門課都有好多實驗，那么數學就沒有實驗嗎？
有的。我們可以用特定的“數字化的實驗室軟件”來驗證數學定律，探索數學規律。這樣的軟件現在國內外有很多，比較著名的有國內的“數學實驗室”和國外的“幾何畫板”。鑒于初中的數學知識范圍，我們可以先學習簡單易學的“幾何畫板”，高中以后我們可以借助大型的“數學實驗室”平臺來完成更多的數學實驗。
說明：幾何畫板是一個著名的教學工具軟件，網上可以下載其試用版本，國內已經有3.05版的漢化版本。本教材以3.0版為例編寫。在我們的網絡探索社區（http://wq.sdedu.net）的順德信息技術教材專區中，有專門的幾何畫板學習討論專欄，方便于同學們在網上交流學習心得，討論學習問題。同時，本課程的案例程序也可以在該欄目找到。最新的幾何畫板試用版本也會放到這里供下載，請到自行下載安裝。（安裝過程請參考http://yzy68.home.sohu.com/Jc/Jhhb.htm），
在順德市教育信息中心（http://www.sdedu.net）的虛擬教研社區 “培訓大樓”中，也有幾何畫板專欄，專門供老師和有興趣的同學討論幾何畫板的高級使用問題。
除了用幾何畫板進行大量的數學探索實驗之外，與數學緊密相連的物理同樣可以在幾何畫板上完成很多實驗。我們將選取大家在初中數學和物理中遇到的一些典型問題為例子，利用幾何畫板來完成一些數學和物理實驗。學完這些例子，相信同學們會熟練地應用幾何畫板，并且對學習過的或將要學的數學知識、物理知識有更進一步的認識。好啦，讓我們開始吧。
首先請下載安裝好幾何畫板軟件，打開幾何畫板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如圖所示：
圖1-0.1
我們主要認識一下工具箱和狀態欄，其它的功能在今后的學習過程中將學會使用。

案例一 四人分餅
有一塊厚度均勻的三角形薄餅，現在要把它平均分給四個人，應該如何分？
圖1-1.1
思路：這個問題在數學上就是如何把一個三角形分成面積相等的四部分。
方案一：畫三角形的三條中位線，分三角形所成的四部分面積相等，（其實四個三角形全等）。如圖1-1.2。
圖1-1.2
方案二：四等分三角形的任意一邊，由等底等高的三角形面積相等，可以得出四部分面積相等，如圖1-1.3。
圖1-1.3
用幾何畫板驗證：
第一步：打開幾何畫板程序，這時出現一個新繪圖文件。
說明：如果幾何畫板程序已經打開，只要由菜單“文件”(“新繪圖”，也可以新建一個繪圖文件。
第二步：(1)在工具箱中選取“畫線段”工具；
(2)在工作區中按住鼠標左鍵拖動，畫出一條線段。如圖1-1.4。
注意：在幾何畫板中，點用一個空心的圈表示。
圖1-1.4
第三步：(1)選取“文本”工具；(2)在畫好的點上單擊左鍵，可以標出兩點的標簽，如圖1-1.5：
注意：如果再點一次，又可以隱藏標簽，如果想改標簽為其它字母，可以這樣做：
用“文本”工具雙擊顯示的標簽，在彈出的對話框中進行修改，(本例中我們不做修改)。如圖1-1.6
圖1-1.6
在后面的操作中，請觀察圖形，根據需要標出點或線的標簽，不再一一說明
圖1-1.5
第四步：(1)再次選取“畫線段”工具，移動鼠標與點A重合，按左鍵拖動畫出線段AC；(2)畫線段BC，標出標簽C，如圖1-1.7。
注意：在熟悉后，可以先畫好首尾相接的三條線段后再標上標簽更方便。
圖1-1.7
第五步：(1) 用“選擇”工具單擊線段AB，這時線段上出現兩個正方形的黑塊，表示線段處于被選取狀態；(2) 由菜單“作圖”(“中點”，畫出線段AB的中點，標上標簽。得如圖1-1.8。
注意：如果被選取的是點，點的外面會有一個粗黑圓圈。在幾何畫板中，選取線段是不包括它的兩個端點的，以后的問題都是這樣，如果不小心多選了某個對象，可以按Shift鍵后用左鍵再次單擊該對象取消選取。
圖1-1.8
第六步：用同樣的方法畫出其它兩邊的中點。得如圖1-1.9。
技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“選擇”工具分別點擊三條線段，可以同時選取這三條線段，再由“作圖”(“畫中點”(或按快捷鍵Ctrl+M)，就可以同時畫好三條邊的中點。
圖1-1.9
第七步：用“畫線段”工具連結DE、EF、FD，得如圖1-1.10：
技巧：畫線段的另一方法，在保證畫線工具出現的是“畫線段”按鈕(不必選取)的前提下。
選取兩點后，由菜單“作圖”(“畫線段”，(或按快捷鍵Ctrl+L),可以畫出連結兩點的線段。
本例最快的做法：
1、選取“畫點”工具，按住Shift鍵不放在工作區中畫三個點，這時三個頂點都保持選取狀態
2、按Ctrl+L,可以同時畫出三條邊并且三邊同時被選取；
3、按Ctrl+M，可以同時畫出三邊中點且三中點同時被選取；
4、按Ctrl+L,可以同時畫出小三角形三條邊，標上標簽即可。
圖1-1.10
第八步：(1) 按住Shift鍵不放，用“選擇“工具選取點A、D、F；(2) 由菜單“作圖”(“多邊形內部”填充多邊形內部；(3) 保持內部的選取狀態，由菜單“度量”(“面積”，可以量出ADF的面積，如圖1-1.11。
圖1-1.11
第九步：(1) 用同樣的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF；(2) 選取DEF的內部，由菜單“顯示”(“顏色”，選擇其它顏色，如藍色，得到如圖1-1.12。
圖1-1.2
注意：在制作過程中，要經常保存文件，以免因意外原因造成文件丟失，以下每一個例子都是這樣，不再加以說明。
歸納結論：
拖動頂點A、B、C中的任一個，可以改變三角形的大小和形狀，請觀察不同情況下，四部分的面積是否總是相等？這樣做可以完成分餅的任務嗎？
說明：這是通過實驗來驗證數學規律，不能保證結論一定是正確，一般來說，有一些結果經過了人類的長期實踐，大家都公認了它的正確性，這時會把這個結論作為公理直接使用；而大多數情況下，實驗得到的結果仍然需要進行推理證明。那么，實驗有什么用呢？實驗可以幫助我們認識規律，更容易接受知識，并且常常可以讓我們找到解決問題的方向。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例一供參考。
練習：
1、對于方案二，四等分面積的問題就轉化為四等分線段的問題，四等分線段可以用哪些方法？
2、為了方便在改變等分的份數（例如要分成五份）時方法仍然能用，這里介紹利用平行線等分線段的方法把一條線段四等分。
第一步：(1) 選取“畫射線”工具；(2)移動鼠標到與點A重合，按住左鍵拖動，畫出一條以點A為端點的射線AD，得如圖1-1.13。
圖1-1.13
第二步：(1) 選取“畫點”工具，移動鼠標到射線AD上，在靠近點A處單擊畫出一個點E，得如圖1-1.14；
(2) 按住Shift鍵不放，用“選擇”工具，依次選取點A、E，由菜單“變換”(“標記向量A-E”。
說明：標記了一個向量后，可以在后面的平移變換中按這個向量來平移，保證出現若干段相等的線段，
標記向量時，一定要注意選選擇點的先后順序。
圖1-1.14
第三步：(1) 用“選擇”工具選取點E，由菜單“變換”(“平移…”，在彈出的對話框中點“確定”即可得一點Ｅ’；(2) 選取Ｅ’，做同樣的操作可以得Ｅ’’，……，這樣做下去，直到得到你想要的若干段相等的線段，這里是四段，如圖1-1.15。
圖1-1.15
第四步：(1) 連結BＥ’’’；（2）同時選取線段BＥ’’’、點E、Ｅ’、Ｅ’’，由菜單“作圖”(“平行線”，畫出了一組平行線，如圖1-1.16。
圖1-1.16
第五步：(1) 用“選擇”工具單擊平行線和AB相交處，得到三個四等分點；
(2) 選取所有平行線、射線AD及AD上的點(除A外)，由菜單“顯示”(“隱藏 對象”，可以隱藏制作過程中的輔助線。得如圖1-1.17。
以下只要連結點C和三個四等分點就行了，……
注意：在最后結果中不需要看到的對象，一般是把它隱藏，如果你選取后刪去了它，你會發現你要的四等分點也會消失，這是因為這些點是受輔助線控制的，隱藏的對象只是看不到，但它仍然起作用。隱藏和刪除是不同的。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例一的練習供參考。
圖1-1.17
３、自己比較一下這兩種方法，在只需要四等分的情況下，哪種方法方便？，在需要其它等分的情況下，哪種方法更具有一般性？
案例二 三角形的內角和
現有一塊三角形的木板，用來制作一個半圓形的木蓋，請設計一個浪費比較小并且便于施工的方案。
圖1-2.1
思路：以三角形較短一邊的一半為半徑，以三個頂點為圓心畫弧，得到三個扇形后拼成半圓，如圖1-2.2：
圖1-2.2
那么，如何知道拼成的一定是一個半圓呢？下面用幾何畫板做一個實驗來說明。
方案：畫一個三角形；量三個內角的度數；用幾何畫板的計算功能計算三個內角的和。如果對于任意的三角形，總有內角和是1800，那么說明拼成的一定是一個半圓形。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。畫出三角形ABC
第二步：(1) 選取“選擇”工具，按住Shift不放，依次選取點B、A、C；(2) 由菜單中的“度量”(“角度”，量出∠BAC的度數，
用同樣的方法度量其它兩個角。如圖1-2.3
說明：由于每個人畫的圖不同，度數不一定和圖1-2.3一樣）。
注意：選一個角的關鍵是角的頂點要第二個選。
圖1-2.3
第三步：由菜單“度量”(“計算”彈出一個計算器，依次點擊“∠BAC=…”、“+”、“∠ABC=…”“+”、“∠ACB=…”、“確定”，如圖1-2.4。
說明：“∠BAC=…”在本例中是“∠BAC=45.00”，這里用省略號表示，是因為每個人畫的圖不同，量出的度數有可能不同，以后類似的問題都這樣來表示。
技巧：彈出計算器的方法有：(1) 由菜單“度量”(“計算”；(2) 雙擊工作區中的任一度量值，如“∠BAC=…”；(3) 在工作區中擊鼠標右鍵，由“度量”(“計算”。
圖1-2.4
歸納結論：
請按要求操作后填寫下表：
序號
操 作
現象
三個角的和等于
1
觀察
∠BAC=______
∠ABC=______
∠ACB=______
2
用鼠標拖動其中一個頂點改變三角形變成鈍角三角形
∠BAC=______
∠ABC=______
∠ACB=______
3
用鼠標拖動其中一個頂點改變三角形變成直角三角形
∠BAC=______
∠ABC=______
∠ACB=______
4
用鼠標拖動其中一個頂點任意改變三角形的形狀
三個內角的和總是
結論
三角形的內角和總是________
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例二供參考。
練習：
1、自己畫一個凸四邊形，度量它的內角，計算內角和，驗證凸四邊形的內角和是3600。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例二練習1供參考。
2、用“選擇”工具同時選取點A、B，由菜單“度量”(“距離”，可以度量出線段AB的長度，請你用上面所學的知識驗證“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊”。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例二練習2供參考。

案例三 最佳行走路線
如圖1-3.1：你身在草原上，現在要走到公路邊去等車，請設計一個最佳行走路線。
圖1-3.1
思路：把人所處位置看作一個點，公路看作一條直線，行走的路線看作線段，由垂線段最短可以找到最佳行走路線。
方案：畫一條直線，過直線外一點引直線的垂線段和斜線段，度量線段的長，動態驗證垂線段最短。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。
第二步：(1) 按住工具箱中的畫線工具不放，在彈出的工具條中選取“畫直線”工具，按住鼠標左鍵拖動畫出一條直線；(2) 用“畫點”工具在直線外畫一點，如圖1-3.2。
圖1-3.2
第三步：(1) 按Shift鍵，用鼠標選取點C和直線AB，(不要選取點A和B)；(2) 由菜單“作圖”(“垂線”，畫出了過點C垂直于AB的直線，如圖1-3.3
說明：雖然點A、B在直線AB上，但選取直線時并沒有選取直線上的點，在后面的學習中，如果要求選取直線、線段、圓等對象，這時不要把對象上的點也選取，除非特別指明要選取這些點。
圖1-3.3
第四步：(1) 用“選擇”工具單擊垂足處，定義出垂足，標上標簽D；
(2) 選取垂線CD(不要選取點C、D)、點A、B，由“顯示”(“隱藏”，把選取的對象隱藏，用“文本”工具在直線上點一下，標出直線的標簽j；(3) 選“畫線段”工具，連結線段CD，如圖1-3.4。
說明：點A、B是控制直線AB的點，通過拖動這兩點，可以改變直線的方向和位置，一般情況下，如果不想再改變直線的位置，或不再畫其它線經過這兩個點，可以在制作完成后把它隱藏。
1-3.4
第五步：(1) 選取“畫線段”工具；(2) 移動鼠標到點C處，按下左鍵拖動，當鼠標位于直線j上時松開，如圖1-3.5。
技巧：CE是直線j的斜線段，所以要保證一個端點是C，另一個端點E只能在直線j上移動，怎樣才能保證呢？，在畫圖的過程中，移動鼠標到點C時，注意觀察狀態欄中有“從點C”，這時按下左鍵可以保證一個端點為C，移動鼠標到直線j時，狀態欄中有“到點位于直線j”時松開，這樣點E一定在直線上，不能拖到直線外。在幾何畫板中，狀態欄的作用非常重要。
圖1-3.5
第六步：同時選取點C、D，由“度量”(“距離”，量出CD，同理量出CE，如圖1-3.6。
圖1-3.6
歸納結論：
拖動點E在直線j上移動，觀察CD與CE的大小，什么時候CE=CD？，除了這個位置外的其它位置CD與CE哪一個比較大？
以上操作說明：從直線處一點引直線的所有線段中，_________最短，因而最佳行走路線是走點到直線的垂線段。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載實例三供參考。
練習：
1、在圖1-3.6的基礎上，增加一個點F，通過度量∠CDF、∠CEF，如圖1-3.7，拖動點E，觀察什么情況下兩個角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直線j垂直嗎？
圖1-3.7
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例三練習供參考。

案例四 橫梁有多長
如圖1-4.1，一個三角形屋架，屋面的寬度是13米，立柱長5米，那么橫梁有多長？
圖1-4.1
思路：這是直角三角形中應用勾股定理的問題，那么，是不是任意的直角三角形三邊都有這種關系？
方案：大家都已經證明過勾股定理，但現在我們用不同的方法來重新認識一下這個老朋友。用幾何畫板畫一個直角三角形，度量三條邊，計算兩直角邊的平方和，計算斜邊的平方，不斷改變圖形的大小形狀(但保持直角不變)，驗證定理是否總是成立。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。
第二步：在工作區中畫一條線段AB，如圖1-4.2。
圖1-4.2
第三步：(1) 按住Shift，用“選擇”工具選取點A和線段AB；(2) 由菜單“作圖”(“垂線”，作出點A垂直于線段AB的直線。如圖1-4.3
注意：不要選另外一個端點B，那樣過B點也會有一條直線與AB垂直，本例中我們不需要同時畫兩條垂線。
技巧：只有這樣畫的圖才能在你拖動點改變圖形的大小和形狀時總是保持垂直的關系，如果只是畫出一條自己看上去“垂直”的直線，就不能在改變形狀時保持垂直關系。
圖1-4.3
第三步：(1) 選“畫點”工具；(2) 移動鼠標到垂線上單擊，如圖圖1-4.4
注意：觀察狀態欄中出現“點位于直線上”時單擊，這樣畫的點永遠位于直線上，不會拖到外面。
圖1-4.4
第三步：(1) 選取垂線CD，由“顯示”(“隱藏直線”，把垂線隱藏； (2) 用畫線段工具畫出線段AC、線段BC，如圖1-4.5。
技巧：最后的圖中應該是線段，但為了保證變化過程中保持垂直關系，必須先畫輔助垂線，最后在不需要時把它隱藏。
圖1-4.5
第四步：用“文本”工具單擊三角形的三邊，得到如圖1-4.6所示，
圖1-4.6
第五步：用“文本”工具雙擊標簽n，在彈出的對話框中作如下改動：如圖1-4.7。
圖1-4.7
用同樣的方法改j為c，改m為b，如圖1-4.8。
說明：這樣做是為了照顧我們的數學習慣，或者是題目本身的要求，這種改點或線的標簽的方法，在操作過程中會經常用到。
圖1-4.8
第七步：同時選取線段a、b、c，由菜單“度量”(“長度”，可以同時量出三條邊的長度，如圖1-4.9
圖1-4.9
第八步：彈出計算器，依次點擊“b=…”、“^”、“2”、“+”、“c=…”、“^”、“2”，然后按“確定”，可以計算出b2+c2的值；同樣可以算出a2的值，
得到如圖1-4.10，
說明：這里“^”表示乘方運算。
圖1-4.10
歸納結論：
序號
操 作
現象
b2+c2與a2相等嗎？
1
觀察
b2+c2=____
a2=_____
2
用鼠標拖動點B到另一位置。
b2+c2=____
a2=_____
3
用鼠標拖動點B到另一位置。
b2+c2=____
a2=_____
4
任意拖動三角形頂點改變直角三角形的形狀，
結論
b2+c2____a2
可以看到，總是有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，本例中的橫梁用勾股定理算得一半為12米，全長為24米。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載實例四供參考。
練習：
1、量出直角三角形的兩銳角的度數，驗證直角三角形的兩銳角互余。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例四練習1供參考。
2、學畫一個矩形，先完成本例到第三步得圖1-4.11，這里只是把原來的點C改成了D。
圖1-4.11
（1）選取點D和線段AB，由“作圖”(“平行線”，畫出過D平行AB的直線；（2）選取點B和直線AD，同樣畫出過點B平行于AD的直線；（3）用“選擇”工具定義出第四個頂點，標記標簽為C；如圖1-4.12
圖1-4.12
（4）隱藏三條直線，畫出線段AD、DC、CB，即得矩形ABCD，如圖1-4.13。
說明：拖動點A、B可以改變矩形的大小和位置并可以旋轉一定的角度；拖動點D只能改變矩形在縱向上的大小，拖動點C不會改變矩形的大小，但可以改變矩形的位置，但無論如何改變，這個圖形一定是矩形，你可以通過度量角和邊來證實這一點。
圖1-4-13
3、先畫出如圖1-4-14的圖形，然后用類似于第2題的方法畫一個平行四邊形，
圖1-4-14

案例五 三角形的高
三角形的高可能出現在哪些位置？
思路：應該對于直角、銳角、鈍角三種不同類形的三角作不同的回答。
方案：如果用筆在紙上畫圖，只能三種類型中各畫一個圖來說明，現在借助幾何畫板，我們可以動態地改變三角形的形狀，使不同類形的三角形的高可以動態改變。
用幾何畫板驗證：
第一步：(1) 選取“畫點”工具畫三個點；(2) 選取“畫直線”工具后，什么都不用做；(3) 選取“選擇”工具，在屏幕上拉一個虛線框框住畫好的三點；(4) 由菜單“作圖”(“畫直線” (快捷鍵是Ctrl+L) ，可以畫出過這三點的三條直線，標上標簽，如圖1-5.1。
技巧：(1) 如果要選取的對象比較多，可以用“選擇”工具在工作區中拉一個虛線框框住這些對象，這時可能會多選了一些你并不想選的，可以按Shift鍵后，單擊該對象取消選擇狀態；(2) 上面第二步選“畫直線”工具的操作會影響菜單中會不會出出“畫直線”的選項，如果你沒有做這一步，菜單中通常出現“畫線段”，也就是說，幾何畫板中的有些菜單命令和按鈕的顯示狀態是相關的。
1-5.1
第二步：過點A作直線BC的垂線，并單擊垂足，定義出垂足D，用同樣的方法作出垂線BE和CF，如圖1-5.2，
圖1-5.2
第三步：按住Shift鍵，用“選擇”工具選取所有的直線，注意不要選到點；由菜單“顯示”(“隱藏直線”，可以隱藏所有直線，得到如圖1-5.3
圖1-5.3
第四步：(1) 同時選取點A、B，(2) 選取“畫線段”工具，然后按Ctrl+L，畫出線段AB;(3) 用同樣的方法畫出線段BC、AC、AD、BE、CF，得到如圖1-5.4。
技巧：上面說Ctrl+L是畫直線，但當你先畫了“畫線段”的工具后，它的功能會自動變邊畫線段。
注意：為什么不一開始就畫三條線段組成三角形呢？這是本例的要點，因為如果一開始畫的是線段，點D、E、F被定義為垂線和線段的交點，如果你拖動三角形變為鈍角三角形，垂線和線段沒有交點，這樣會導致有兩條高消失。現在的點D、E、F分別是垂線和直線的交點，再拉動三角形成鈍角三角形時，高不會消失。
圖1-5.4
第五步：(1) 拖動點A，使∠ACB變成鈍角，（如圖1-5.5）；(2) 選取點C和D，按Ctrl+L，畫出線段CD；(3) 保持線段CD的選取狀態，由菜單“顯示”(“線型”(“虛線”，改CD為虛線，符合通常的習慣，
用同樣的方法畫線虛線段CE，
圖1-5.5
第六步：拖動點A使使∠ABC變成鈍角后用同樣的方法作出虛線段BF。最后完成圖1-5.6
圖1-5.6
歸納結論；
序號
操 作
三角形三條高的位置
三條高（或高的延長線）交于一點嗎？
1
觀察
2
用鼠標拖動點C到另一位置。
使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，
3
用鼠標拖動點A到另一位置。
使△ABC變為直角三角形，再觀察，
4
用鼠標拖動點A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察
結論
三角形的三條高或高的延長線___________.
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例五供參考。
練習：
觀察三角形的三條中線，三條角平分線的位置關系。
其中畫中點的方法：選取線段，由菜單“作圖”(“中點”（或按Ctrl+M）可以作出線段的中點，接著就可以畫中線了；
畫角平分線的方法：如按Shift，依次點選點B、A、C，可以作出∠BAC的平分線，確定角平分線和對邊的交點后，隱藏角平分線，再連出線段就行了。
1、請自己畫一個三角形作出它的三條中線，然后按要求填寫實驗報告。
序號
操 作
三角形三條中線的位置
三條中線交于一點嗎？
1
觀察
2
用鼠標拖動點C到另一位置。
使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，
3
用鼠標拖動點A到另一位置。
使△ABC變為直角三角形，再觀察，
4
用鼠標拖動點A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察
結論
三角形的三條中線___________.
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例五練習1供參考。
2、請自己畫一個三角形，作出它的三條角平分線，然后按要求填寫實驗報告。
序號
操 作
三角形三條角平分線的位置
三條角平分線交于一點嗎？
1
觀察
2
用鼠標拖動點C到另一位置。
使△ABC仍為銳角三角形，再觀察，
3
用鼠標拖動點A到另一位置。
使△ABC變為直角三角形，再觀察，
4
用鼠標拖動點A到另一位置。使∠ABC為鈍角，再觀察
結論
三角形的三條角平分線___________.
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例五練習2供參考。
案例六 掛畫的學問
要把一幅畫掛在墻上，畫的上下邊框要和橫梁平行，左右與立柱的距離相等，應該如何釘上掛釘？
圖1-6.1
思路： 這個問題可以轉化為和線段的垂直平分線有關的問題。
方案：掛繩拉緊后，掛點到像框邊框兩端的距離應該相等，考慮到平行和等距的條件，只要橫梁的中垂線與邊框中垂線二線合一就行了，所以只要畫橫梁的中垂線，把掛繩的中點定位在橫梁中垂線上即可。下面驗證“線段垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等”。
用幾何畫板驗證：
第一步：畫一條線段AB。如圖1-6.2
圖1-6.2
第二步：(1) 用選擇工具選取線段AB，(2) 由菜單“作圖”(“中點”（快捷鍵是Ctrl+M），畫出線段AB的中點C，如圖1-6.3
注意：不要多選其他對象，如果你多選了其他對象，“中點”這個選項是灰色的不可用，一般來說，只要選擇的對象不符合要求的條件，就不可能使用相應的菜單項。
如圖1-6.3
第三步：(1) 用“選擇”工具按住左鍵拉一個框經過點C和線段AB（但不要框住A、B兩點），這樣可以同時選取點C和線段AB，(2) 由菜單“作圖”(“垂線”，畫出過點C垂直于線段AB的垂線，即是線段AB的垂直平分線。如圖1-6.4
注意：如果你畫的圖不是這樣，過點A或B也有了垂線，那是因為你多選了點A或點B。
圖1-6.4
第四步：選取“畫點”工具，在中垂線上畫一點，標記為P，如圖1-6.5
圖1-6.5
第五步：(1) 畫出線段PA、PB；(2) 選取點P、A，由菜單“度量”(“距離”，量得PA，同樣量出PB。
第六步：(1) 同時選取點P和中垂線；(2) 由菜單“編輯”(“操作類按鈕”(“動畫”，在彈出的對話框中，設置如圖1-6.6
圖1-6.6
這樣在屏幕上會出出一個“動畫”按鈕，當雙擊這個按鈕時，點P會在直線上雙向地移動。便于我們動態地觀察。
最后結果如圖1-6.7。
注意：不要多選其它對象，這里只需要點P在中垂線上運動。
圖1-6.7
歸納結論：
序號
操 作
現象
結論(是否相等)
1
拖動點P到另一位置，
這時PA=____
PB=____
PA____PB
2
拖動點P到第二個位置
這時PA=____
PB=____
PA____PB
3
拖動點P到第三個位置
這時PA=____
PB=____
PA____PB
4
雙擊“動畫”按鈕，
點P在AB的中垂線上不停的運動，
PA____PB
結論
只要點P在線段AB的中垂線上，實驗過程中PA______PB.
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例六供參考。
練習:
1、我們將在前面作圖的基礎上，進一步驗證等腰三角形、等邊三角形的一些性質。
第七步：(1) 選取垂直平分線，將它隱藏；(2) 畫出線段PC。得到如圖1-6.8。
圖1-6.8
第八步：用量距離的方法量AC、BC，量∠PAB、∠PBA、∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC的度數，得到如圖1-6.9。
圖1-6.9
歸納結論：
序號
操 作
現象
結論
1
用鼠標拖動（或雙擊動畫按鈕）不斷地改變點P位置。
PA和PB總是相等嗎？
____________________
△PAB是______三角形。
2
∠PAB和∠PBA總是相等嗎？
等腰三角形的兩底角__________
3
∠PCB總是等于90度嗎？______________
PC是等腰三角底邊上的________
4
AC和CB的長總是相等嗎？______
PC是等腰三角形底邊上的_________.
5
∠APC和∠BPC總是相等嗎？__________
PC是等腰三角形頂角的_______________.
結論
等腰三角形的兩底角_______，底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線三線__________.
也可以拖動使∠APB=600，再觀察邊角的變化。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例六練習1供參考。
2、學畫一個菱形，接第1題，先畫出如圖1-6.10的圖形，由于點P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。
圖1-6.10
（1）選擇線段AB，由“變換”(“標記鏡面…”，標記AB為鏡面，線段上出現閃爍后消失的兩個方框。
說明：標記鏡面后，一個對象如果關于這個鏡面反射，這時就好象人照鏡子一樣，人離鏡面近，人像離鏡面也近，用數學的說法，鏡面就是對稱軸，反射可以得到對稱點或對稱圖形。
技巧：標記鏡面的另兩種方法：（1）直接雙擊直線（線段、射線）；（2）選取直線（線段、射線）后用快捷鍵Ctrl+G.
（2）同時選取點P、線段PA、PC、PB；（3）由“變換”(“反射”，得到如圖1-6.11。
（4）用“文本”工具改各點標簽為你想要的，例如得圖1-6.12。
說明：在幾何畫板中，畫特殊四邊形的方法不只一種，但不管用哪種方法，都要符合圖形的幾何關系，也就是當改變大小了位置時，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。
圖1-6.11 圖1-6.12
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例六練習2供參考。

案例七 抽水房的位置
在一條河的同一旁有兩個村莊A和B，現在要在河邊建一個抽水房，應該建在什么位置，才能使所用的水管的錢最少?
圖1-7.1
思路：用錢最少，一般要求所用的水管最短，轉化為數學問題，即是在表示河流的直線上找一個點C，使AC+BC最小。
方案：作點A關于河流的對稱點A’，連A’B交河流于C，計算AC+CB；在河流上另取一點D，計算AD+DB，通過拖動點D在直線上移動，驗證AC+CB最小，從而說明C為最佳點。
用幾何畫板驗證：
第一步：（1）畫出表示村莊的點A、B；（2）畫一條直線表示河流，隱藏直線上的兩個點，設置直線的標簽為“河流”，如圖1-7.2。
說明：標簽可以用中文表示，這種技巧常用來標注點或線等對象的功能，例如：給某一點標上“拖動我改變圖形”。
圖1-7.2
第二步：（1）選取表示河流的直線；（2）由菜單“變換”(“標記鏡面…”，直線上出現閃爍后消失的兩個方框。
第三步：（1）選取點A，由菜單“變換”(“反射”，得點A關于直線（河流）的對稱點；（2）用文本工具標出標簽，默認的是字母A’，得到如圖1-7.3
圖1-7.3
第四步：（1）用“畫線段”工具連結A’B；（2）用“選擇”工具在線段和河流相交處單擊，作出線段和河流的交點，標出交點的標簽C，如圖1-7.4。
圖1-7.4
第五步：（1）用“畫點”工具在河流上畫一個點，標記為D；（2）用“畫線段”工具連結AC、AD、BD、A’D，如圖1-7.5。
圖1-7.5
第六步：（1）同時選取點A、點C；（2）由菜單“度量(“距離”，量出AC；（3）用同樣的方法量出A’C、CB、AD、A’D、DB，如圖1-7.6。
說明：量出點A、C的距離，由數學定義可知，這就是線段的長；量線段的長還可以直接選取線段AC，（不要選取點A、C），“度量”(“長度”，但這樣的方法無法直接量出圖1-7.6中CB的長，還要進一步作圖。
圖1-7.6
第七步：（1）調出計算器；（2）依次點擊“AC=…”、“+”、“CB=…”、“確定”，可以計算出AC+CB的值；（3）同樣去計算A’C+CB、AD+DB、A’D+DB，拖動到適當位置得到如圖1-7.8。
圖1-7.8
歸納結論：
(一)
序號
操 作
現象
D點是否是最佳點
1
觀察
AC+CB=____
AD+DB=____
2
拖動點D遠離點C，
上面的兩個和差距變______（大或小）
3
拖動點D靠近點C，
上面的兩個和差距變______（大或小）
4
拖動點D與點C重合，
上面的兩個和_____
結論
以上現象說明，只有取點____處，才能使所用的水管最短，
（二）
序號
操 作
現象
有無相等的關系
1
觀察
AC+CB=____
A’C+CB=____
AD+DB=____
A’D+DB=____
2
拖動點D遠離點C，
AC+CB=____
A’C+CB=____
AD+DB=____
A’D+DB=____
3
拖動點D靠近點C，
AC+CB=____
A’C+CB=____
AD+DB=____
A’D+DB=____
4
拖動點D與點C重合，
AC+CB=____
A’C+CB=____
AD+DB=____
A’D+DB=____
結論
以上現象說明，研究AC+CB、AD+DB的關系，可以轉為研究A’C+CB和A’D+DB的關系，而這個關系可以簡單地用三角形的兩邊之和____第三邊來說明。
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練習：
畫一條直線，在直線的一旁畫一個三角形，標記直線為“鏡面”（即對稱軸），選取三角形的全部（包括頂點和邊），“反射”出它關于直線對稱的圖形，
用鼠標拖動改變三角形的形狀，體會“對稱的圖形是全等形”，
連結對稱點，通過過量角和量線段，體會“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例七練習供參考。
案例八 選擇廠址
如圖，河南區新建一個工廠，在公路西側，到公路的距離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋的距離為300米，在圖上標出工廠的位置，并說明理由。比例尺是1：20000
圖1-8.1
思路：這里可以把橋看作是一個角的頂點，河岸和公路分別是角的兩邊，問題轉化為：在角平分線上找一點，使它到頂點的距離是300米。
方案：（1）畫出角的平分線，以頂點為圓心；（2）1.5cm為半徑畫圓，定義圓與角平分線的交點即為所求。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板文件。
第二步：選“畫射線”工具，畫一個角，如圖1-8.2。
圖1-8.2
第三步：（1）用“選擇”工具依次選取點B、A、C；（2）由菜單“作圖”(“角平分線”，畫出了∠BAC的平分線，如圖1-8.3。
圖1-8.3
第四步：用“畫點工具”在角平分線上畫一個點，標出標簽。得到如圖1-8.4。
圖1-8.4
第五步：（1）用“選擇”工具同時選取點D和射線AB；（2）由“作圖”(“垂線”，畫出過點D垂直于射線AB的直線；（3）用“選擇”工具單擊垂足處，定義表示垂足的點，并用“文本”工具標上標簽；（4）選取畫好的垂線，把它隱藏，并用“畫線段”工具畫出垂線段DE，用同樣的方法畫出垂線段DF，得到如圖1-8.5
圖1-8.5
第六步：（1）選取點D和射線AD，（2）由“編輯”(“操作類按鈕”(“動畫”，在彈出的對話框中設置點D在射線AD上雙向慢速運動。得到如圖1-8.6。
圖1-8.6
第七步：度量出∠AED、∠AFD，線段DE、DF，最后的結果如圖1-8.7。
操作驗證：雙擊“動畫”按鈕或用鼠標拖動點D移動，可以發現DE、DF總是分別垂直于角的兩邊，并且DE=DF，這說明了我們要找的點可以定位于角平分線上。
圖1-8.7
第八步：在工作區中畫一條線段GH，量出距離，通過調整G、H的位置，使GH=1.5cm。如圖1-8.8
說明：取GH=1.5cm是因為比例尺是1：20000。
圖1-8.8
第九步：（1）同時選取點A和線段GH（不要選點G和H）；（2）由“作圖”(“以圓心和半徑畫圓”，得到一個以點A為圓心，半徑是1.5cm的圓；（3）用“選擇”工具單擊圓與角平分線的相交處，定義出的交點I即為所求。如圖1-8.9
如圖1-8.9
第十步：（1）選取圓把它隱藏；（2）度量AI；（3）選取點I和射線AB，由“度量”(“距離”，可以量出點I到射線的距離，同理量出點到角的另一邊的距離，如圖1-8.10
由圖可知，點I為所求的點。
說明：本例是為了幫助學習角平分線的有關作圖，復習角平分線的性質，所以設計了較多的步驟，如果只是為了解決問題本身，可以在畫好角平分線后轉入第八步，可以快速確定出點I。
圖1-8.10
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例八供參考。
練習：
1、如圖1-8.11是兩個互為鄰補角的角，分別畫出它們的角平分線，驗證所畫角平分線的關系。
圖1-8.11
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例八練習1供參考。
2、驗證平行線的性質
第一步：（1）畫一條直線；（2）在直線外畫一點。如圖1-8.12。
圖1-8.12
第二步：（1）選取點C和直線AB；（2）由“作圖”(“平行線”，得如圖1-8.13
圖1-8.13
第三步：畫第三條直線和這兩條平行線相交，最后完成如圖1-8.14
圖1-8.14
請自己度量同位角、內錯角，同旁內角，計算同旁內角的和，拖動點改變圖形，驗證平行線的性質。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例八練習2供參考。
案例九 古建筑的窗格
在古建筑中，常可以看到這樣的窗格，如圖1-9.1，這其中有什么數學知識呢？
圖1-9.1
思路：外圈是一個矩形，相當于連結矩形四邊的中點，得到一個四邊形，再連結它的四邊的中點。
方案：（1）先畫一個平行四邊形，順次連結四邊中點，再順次連結所得四邊形四邊中點，度量三個四邊形的四邊和一個內角，此步可以用來說明“順次連結平行四邊形四邊中點得到什么樣的圖形”；
（2）通過拖動點的位置，使最大的四邊形的一個內角的度數為900，這時可以觀察里面的兩個四邊形，此步可以說明：“順次連結矩形四邊中點得到什么樣的圖形”、“順次連結菱形四邊中點得到什么樣的圖形”；
（3）繼續拖動點的位置，保持最大四邊形的內角是900的前提下，使它的鄰邊相等，這時最大的四邊形是正方形，此步可以說明：“順次連結正方形四邊中點得到什么樣的圖形”。
用幾何畫板驗證：
第一步：畫一個平行四邊形，
先畫好線段AB、BC；
分別過點C作線段AB的平行線，過點A作線段BC的平行線；
用“選擇”工具定義得交點D，如圖1-9.2。
圖1-9.2
第二步：（1）隱藏直線AD、DC；（2）連結線段AD、DC，得如圖1-9.3。
注意：隱藏直線時不要誤選點A、D、C，這三點不能隱藏。
圖1-9.3
第三步：（1）選取平行四邊形的四邊，由“作圖”(“中點”，畫出四邊中點，用線段順次連結；
（2）再選取所連四條線段，同樣定義中點，順次連結，如圖1-9.4。
圖1-9.4
第四步：（1）同時選點A、B，由“度量”(“距離”，量出AB的長，用同樣的方法量出每個四邊形的四條邊；
（2）按住Shift，依次選點D、A、B，量出∠DAB，同樣量∠HEF、∠KLI；得如圖1-9.5。
圖1-9.5
歸納結論：
拖動點C改變平行四邊形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD總是平行四邊形，四邊形EFGH是_______________,四邊形I JKL是____________，說明順次連結平行四邊形的四邊中點，所得的圖形是________________.
拖動點C，使∠DAB=900，這時ABCD是______形，四邊形EFGH是_______，四邊形IJKL是________。說明順次連結矩形四邊中點得_______，順次連結菱形四邊中點得______.
拖動點C，保持∠DAB=900，同時使AB=AD，這時ABCD是______形，四邊形EFGH是_______，四邊形I JKL是________。說明順次連結正方形四邊中點得_______。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例九供參考。
練習：
1、（1）畫一個四邊形，順次連結四邊中點，如圖1-9.6，看得到的GFEH什么樣的圖形，請度量GFEH的邊長來說明；
（2）拖動點A成圖1-9.7位置，GFEH還是平行四邊形嗎？
（3）拖動點A成圖1-9.8位置，GFEH還是平行四邊形嗎？
以上操作說明：四條線段首尾相接(不一定是凸四邊形)，順次連結各線段中點所得的圖形是_______
圖1-9.6
圖1-9.7
圖1-9.8
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例八練習1供參考。
2、更深入的探究：順次連結什么樣的四邊形的四邊中點可以得到矩形、菱形、正方形？
（1）連結得正方形。
第一步：畫一條線段，AB，在AB上畫一點C，如圖1-9.9
圖1-9.9
第二步：用“選擇”工具雙擊點C，標記點C為中心，下面將要進行的旋轉是繞點C進行的，
技巧：標記一點為中心的另兩種方法是
選取一個點，由“變換”(“標記中心”；
選取一個點，按快捷鍵Ctrl+F。
第三步：選取點A、B，由“變換”(“旋轉”，在彈出的對話框中設置如圖1-9.10：得到如圖1-9.11。
圖1-9.10
說明：這樣做的目的是保證兩條線段垂直且相等。
圖1-9.11
第四步：選取點A'、B'，由“變換”(“平移”，在彈出的對話框中做如圖1-9.12設置，得圖1-9.13。
圖1-9.12
說明：如果我們直接由剛才的四個點連結得四邊形，會得到一個梯形，平移的目的在于，平移后A''B''仍垂直且等于AB，但四邊形不再是梯形，這時可以得到一個比較一般的四邊形。
圖1-9.13
第五步：隱藏A'、B'，連結AA''、A''B、AB''、BB''，如圖1-9.14。
圖1-9.14
第六步：作四邊形各邊中點，連結如圖1-9.15。
以下請自己度量DEFG的四邊和一個內角，通過拖動點C改變圖形，
只要四邊形的對角線垂且相等，順次連結四邊中點所得圖形是_______。
圖1-9.15
（2）自己畫兩條垂直但不相等的相交線段，以它們為對角線畫出四邊形，看看順次連結四邊中點得什么樣的圖形。
（3）畫兩條相等但不垂直的相交直線，以它們為對角線畫出四邊形，看看順次連結四邊中點得什么樣的圖形。
提示：在第（1）小題中旋轉時不要轉900，改為其它度數即可。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例八練習2供參考。
案例十 成功之路不只一條
以幾何畫板為工具，你會用多少種方法來畫一個正方形？
思路：無論你用什么方法，你必須保證這樣的結果，畫好的正方形在改變大小和位置時，仍然是一個正方形，也就是說，“四邊相等”、“四個角是直角”、“對角線互相垂直平分且相等”這些性質仍然保持。
下面給出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否則請參考后面的詳細步驟：
方案一：（1）畫一條線段；（2）作出線段的中點；（3）標記中點為“中心”；（4）選取線段和它的兩個端點，由“變換”(“旋轉”，在彈出的對話框中設置“按90度旋轉”；（5）連結旋轉后兩條線段的端點。
方案二：（1）畫一條線段；（2）標記線段的一個左端點為“中心”；（3）選取線段和右端點，按上面介紹的方法把它們旋轉90度；（4）標記右端點為“中心”；（5）選取線段和左端點，按上面的方法旋轉-90度；（6）連出第四條邊。
方案三：（1）畫一條直線，在這條直線上畫一點；（2）過這一點畫已知直線的垂線；（3）以垂足為圓心畫一個圓；（4）定義出圓和兩條直線的交點；（5）順次連結四個交點，隱藏不需要的對象。
方案四：（1）畫一個圓，標記圓心為中心；（2）；在圓上畫一點，選取這個點，由“變換”(“旋轉”，設置旋轉90度，這時得到另一個點；（3）保持新得到的點的選取狀態，把它又旋轉90度，得到第三個頂點；（4）連結四個頂點，隱藏不需要的對象。
…………在這里提出你的新方案：
以上四種雖然都能畫出正方形，但畫好的四邊形在控制大小和位置時有的比較方便，有的不是很方便，請自己比較哪些方案比較方便。
用幾何畫板驗證：
方案一的驗證
第一步：畫一條線段AB，作出它的中點C，用“選擇”工具雙擊點C，點C被標記為中心，如圖1-10.1。
圖1-10-1
第二步：選取點A、B和線段AB，由“變換”(“旋轉”，在彈出的對話框中設置“按90度旋轉”，如圖1-10.2。
圖1-10.2
第三步：改標簽為我們常用的，如圖1-10.2。
圖1-10.2
第四步：最后連結得如圖1-10.3。
說明：拖動點C或A可以把正方形“擺正”。
圖1-10.3
方案二的驗證：
用幾何畫板學習到現在，相信大家會有一個感覺，幾何畫板中為什么不能直接畫出矩形、正方形等特殊圖形，其實是可以的，但是這個功能需要自己把畫圖的過程保存為一個記錄文件，然后在“對象參數設置”面板中設置好使用記錄文件的路徑，這時工具箱中會多出一個按鈕，可以通過這個按鈕調用記錄文件，這時可以快速畫好一個特殊的圖形。
如何制作一個記錄文件：
第一步：（1）新建一個幾何畫板文件；（2）選取“文件”(“新記錄”，這時窗口變成如圖1-10.4。左邊是繪圖窗口，右邊是記錄窗口，
注意：繪圖文件是擴展名是.gsp，記錄文件的擴展名是 .gss。
圖1-10.4
第二步：點一下記錄窗口中的“記錄”，按鈕，記錄窗口變成如圖1-10.5。
圖1-10.5
第三步：點擊“繪圖”窗口，在窗口中畫一個線段，如圖1-10.6。
圖1-10.6
第四步：（1）用“選擇”工具雙擊左邊端點，標記此點為“中心”；（2）選取右邊的端點和線段，由“變換”(“旋轉”，在彈出的對話框中設置“按90度旋轉”，得如圖1-10.7。
圖1-10.7
第五步：（1）用“選擇”工具雙擊右邊端點，標記此點為“中心”；（2）選取左邊的端點和線段，由“變換”(“旋轉”，在彈出的對話框中設置“按－90度旋轉”，得如圖1-10.8。
圖1-10.8
第六步：（1）連出最后一邊；得圖1-10.9；
（2）單擊“記錄窗口”中的停止按鈕，結束記錄的錄制；
（3）在保持“記錄窗口”是活動窗口的前提下，由“文件”(“存盤”，彈出“文件另存為”窗口，默認的文件名是“記錄01.gss”，可以改為“正方形.gss”，默認的位置是幾何畫板的安裝目錄，不用修改直接點“確定”。
以上的工作已經錄制好一個記錄并保存，下面學習如何從工作箱中調用這個記錄。
圖1-10.9
如何設置記錄工具所在目錄：
第七步：（1）由“顯示”(“參數選擇…”，彈出一個對話框； （2）在對話框中點“R其他”按鈕，又彈出一個“高級參數選擇”對話框，請注意“記錄工具目錄”這一部分，如圖1-10.10。
圖1-10.10
第八步：（1）單擊“設置”按鈕，彈出選擇目錄對話框，選擇目錄為你剛才存放記錄“正方形.gss”的文件夾；（2）點“確定”按鈕關掉第三個對話框，再點“繼續”按鈕關掉第二個對話框，最后點“確定”關閉第一個對話框，完成記錄工具目錄的設置。
說明：這個操作只需設置一次，以后制作好的目錄都存在已設置好的文件夾中，就可以方便的調用了。
如何使用記錄工具：
第九步：當你正確設置好后，工具箱中會多出一個按鈕，點擊這個按鈕，出現圖1-10.11。
點取正方形這一項，然后在窗口中按鼠標左鍵拖動，可以快速畫出一個正方形。
圖1-10.11
練習：
自己錄制一個畫矩形的記錄，存放在正方形記錄所在文件夾。
錄制一個畫正三角形的記錄。
錄制一個畫平行四邊形的記錄。
錄制你常用的其它圖形的記錄。
案例十一 圓周角與圓心角
方案：畫一個圓，畫出一段弧所對的圓心角和圓周角，驗證同弧所對的圓周角是圓心角的一半。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板文件。
第二步：（1）選取“圓畫”工具；（2）按住鼠標左鍵在工作區中拖動，可以畫一個圓；（3）標出標簽并改為所要的，如圖1-11.1。
這時同時會出現兩個點，一個是圓心，一個是圓上的點，這兩個點可以用來控制圓的大小和位置，在下面的作圖過程中，一般不要用到圓上的這一點，以免在拖動的過程中改變了圓的大小。
圖1-11.1
第三步：用“畫點”工具，在圓上畫出三個點，標上標簽并改為點P、A、B，得到如圖1-11.2。
圖1-11.2
第四步：連結PA、PB、OA、OB，度量∠AOB、∠APB，得到如圖1-11.3。
圖1-11.3
第五步：由菜單“度量”(“計算”，彈出幾何畫板的計算器，依次點取“∠APB”、“/”、“∠AOB”、“確定”，可以計算出兩個角的比。得到如圖1-11-4。
圖1-11-4
歸納結論：
序號
操 作
現象
結論
1
拖動點P，在弧AGB上移動，
∠APB=_____
∠AOB=_____
同弧所對的圓周角_________;
同弧所對的圓周角是圓心角的____
2
拖動點B，把弧AB變長，
∠APB=_____
∠AOB=_____
同弧所對的圓周角是圓心角的____
結論
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十一供參考。
練習：
自己畫一個圓，在圓上畫四點，畫出一個圓內接四邊形，驗證圓內接四邊對角互補。
畫三角形的外接圓，畫法要點：（1）先畫好一個三角形；（2）畫兩邊的垂直平分線，用“選擇工具”單擊兩條垂直平分線的交點處，確定出外心；（3）按住Shift，用“選擇工具”先選取外心，再選取三角形的一個頂點，由菜單“作圖”(“以圓心和圓周上的點畫圓”，畫出三角形的外接圓，隱藏兩條中垂線，得到最后的圖形。
畫三角形的內切圓，畫法要點：（1）先畫好一個三角形，畫出三角形的兩條角平分線，并確定對角線的交點，即是內心；（2）過內心作一條邊的垂線，確定出垂足；（3）按住Shift，用“選擇工具”先選取內心，再選取剛才作的垂足，由菜單“作圖”(“以圓心和圓周上的點畫圓”，畫出三角形的內切圓，隱藏兩條角平分線和垂線，得到最后的圖形。
案例十二 與圓有關的比例線段
思路：相交弦定理，切割線定理及其推論，形式上有類似之處，那么三者之間到底是什么樣的關系呢？
方案：設計一個滿足以下條件的小課件，（1）可以動態地變化出弦相交于圓內或它們的延長線相交于圓外；（2）割線和圓的兩交點可以變成一個交點，從而變成切線，方便研究關系。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板文件。
第二步：在工作區畫一個圓，并在圓上畫四點，標上標簽并改為A、B、C、D，如圖1-12.1。
圖1-12.1
第三步：（1）選取“畫直線”工具，移動鼠標到點A按下，拖動到點B放開，畫出直線AB，同理畫直線CD；（2）用“選擇”工具單擊兩條直線的交點處確定出交點。標記標簽為P，得到圖1-12.2。
注意：此步一定選畫直線相交，如果一開始畫的是線段，就不能讓它們在圓外相交了。
圖1-12.2
第四步：（1）選取剛才畫的兩條直線AB、CD，由菜單“顯示”(“隱藏直線”，把直線AB、CD隱藏；（2）選取“畫線段”工具分別畫出線段PA、PB、PC、PD。得到圖1-12.3。
圖1-12.3
第五步：（1）按Shift鍵不放，選取點P、A，由菜單“度量”(“距離”，量出PA，用同樣的方法量出PB、PC、PD；（2）由菜單“度量”(“計算”，彈出幾何畫板的計算器，依次點擊“PA=…”、“*”、“PB=…”、“確定”，可以計算出PA與PB的積，同理可以計算出PC與PD的積，得到如圖1-12.4。
注意：由于每個人畫的圖不同，度量的數據和計算的結果都不會相同，但只要完成同樣的操作就行了。
圖1-12.4
歸納結論：
序號
操 作
現象
結論
1
拖動點C在弧ACB上移動，
點P在圓的___部；
PA·PB_____PC·PD
圓的兩條弦AB與CD相交于點P，
PA·PB_____PC·PD
2
拖動點C移到弧ABD上運動，
點P在圓的___部；
PA·PB_____PC·PD
圓的兩條弦AB與CD的延長線相交于圓外一點P，
PA·PB_____PC·PD
3
拖動點C移動到與點D重合。
線段CD與圓的兩個交點變為___個，此時PC（PD）就是圓的__線段
PA·PB_____PC2
從圓外一點引圓的切線段和割線，切線和是這點到割線與圓交點的兩條線段長的__________。
結論
從實驗可以看出，如果考慮弦相交或弦的延長線相交，或者當兩個交點變為一個時，割線變成了切線，三個定理在本質_____（是或不是）統一的。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十二供參考。
練習：
驗證直線與圓的位置關系，操作要點：（1）畫一個圓，畫出它的一條半徑，量出半徑的長；（2）畫一條垂線，作出圓心到直線的垂線段，量出垂線段的長；（3）通過拖動直線和圓的相對位置，比較半徑和垂線段的長的大小，找出相互關系的數量表示方法；
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十二練習1供參考。
驗證圓與圓的位置關系：操作要點：（1），畫大小不同的兩個圓；（2）畫出各自的半徑和連心線；（3）度量它們的半徑和圓心距，并用計算器計算出半徑之和、半徑之差；（4）通過拖動圓（不要只拖圓心），改變兩個圓的相對位置，找到不同位置關系下的數量表示方法。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十二練習2供參考。
案例十三 一次函數的圖象
思路：
畫出一次函數y=kx+b的圖象，研究k、b對一次函數的位置關系的影響。
方案：
在橫軸和縱軸上各畫一個點，用橫軸上的點的橫坐標表示k，用縱軸上的點的縱坐標表示b，計算出函數值，畫出函數的圖象，通過拖動坐標軸上的點改變k和b的值，從而觀察函數圖象的變化。
用幾何畫板驗證：
第一步：新建一個幾何畫板文件。
第二步：由菜單“圖表”(“建立坐標系”，這樣可以在平面內建立一個平面直角坐標系；得到如圖1-13.1。
圖1-13.1
第三步：（1） 選取“畫點工具”，分別在x軸畫兩個點、y軸上畫一個點；
（2） 用“文本”工具標出它們的標簽，并x改軸上的為k，改y軸上的為b,，得到如圖1-13.2
注意：這樣不符合常規的表示方法，一般的點是用大寫字母表示的，但這里為了能更清楚的觀察，我們例外地這樣表示。
圖1-13.2
第四步：（1） 選取b點和點k，由菜單“度量”(“坐標”，可以量出這兩點的坐標；
（2） 由菜單“度量”(“計算”，彈出計算器。用鼠標在點b的坐標處單擊。在彈出的一個灰色板中選y，然后按“確定”，這樣可以計算出點b的縱坐標yb；用同樣的方法，可以計算出點k的橫坐標xk；
（3） 可以用“文本”工具雙擊xk，在彈出的對話框（圖1-13.3）中選文本格式，并改等式的左邊為k，同樣可以改變yb的顯示格式。
在x軸上再畫一個點，度量它的坐標，分離出橫坐標x=…，最后得到如圖1-13.4。
圖1-13.4
圖1-13.3
第五步：(1) 由菜單“度量”(“計算”彈出計算器，然后順次點取“k=…”、“*”、“x=…” “+”、“b=…”、“確定”，這樣可以計算kx+b的值；
（2） 用“選擇工具”按順序選“x=…”、“kx+b=…”，由菜單“圖表”(“P繪出點(x,y),可以繪出以“x=…”的值為橫坐標，以“kx+b=…”為縱坐標的一個點，標記為點A。
（如果看不到這個點，請調整k、b的位置靠近原點，直到看到這個點）。
（3） 用“選擇工具”選取點X和點A，然后由菜單“作圖”(“軌跡”，可以畫出一次函數y=kx+b的圖象。得如圖1-16.5。
圖1-13.5
歸納結論：
（一）
序號
操 作
現象
結論
1
拖動點b在y軸的正半軸上移動，
b____0
當b>0時，圖象與y軸的交點在x軸的______方。
2
拖動點b和原點重合，
b____0
當b=0時，圖象與y軸的交點在______。
3
拖動點b在y軸的負半軸上移動，
b____0
當b<0時，圖象與y軸的交點在x軸的______方。
結論
b的數值決定了直線和_____軸交點的位置。
（二）
序號
操 作
現象
結論
1
拖動點k在x軸的正半軸上移動，
k____0
直線向____方傾斜
2
拖動點k和原點重合，
k____0
直線變成和___軸平行。
3
拖動點k在x軸的正半軸上移動，
k____0
直線向____方傾斜
結論
k的數值決定了直線相對于_____軸傾斜的方向。
說明：當k=0時，函數已經不是一次函數，但仍然和一次函數有一定的聯系。
（三）
拖動點k和b，使它們的值滿足下面的表格，觀察函數圖象經過的象限。
k>0
k=0
k<0
b>0
經過一、二、三象限
一、二
b=0
就是x軸
b<0
三、四
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十三供參考。
練習：
用類似的方法畫出反比例函數的圖象，研究當k>0和k<0時函數圖象的位置。
案例十四 二函數的圖象
思路：
畫出函數的圖象，要求能動態地控制圖象的開口方向、形狀、位置。
用幾何畫板驗證：
第一步：建立一個新的幾何畫板文件，
第二步：（1）由菜單“圖表”(“建立坐標系”，這樣可以在平面內建立一個平面直角坐標系；
（2）選取“畫點”工具在x軸上畫四個點，其中一個畫得比較靠近原點，標記為x，另外三個盡量靠近工作區的最右邊，不用標出標簽；
（3） 按住Shift不放，用“選擇”工具選取剛才畫的右邊三點和x軸，由“作圖”(“垂線”，畫出分別過這三點垂直于x軸的三條直線；
（4）選取“畫點”工具，在畫好的三條垂線上各畫一個點，分別標標簽為，a、h、k。
得到如圖1-14.1。
圖1-14.1
第三步：（1）度量點x、a、h、k的坐標，再用計算器分離出點x的橫坐標、點a、h、k的縱坐標；
（2）用“文本工具”修改顯示格式，最后得x=…、a=…、h=…、k=…的形式，
（3）調出計算器，依次點擊“a=…”、“*”、“（”、“x=…”、“－”、“h=…”、“）”、“^”、“2”、“+”、“k=…”、“確定”，這樣可以計算函數值，供后面畫點用。
如圖1-14.2。
圖1-14.2
第四步：（1）按住Shift不放，用“選擇”工具按順序先選取“x=…”，再選“=…”；（2）由菜單“圖表”(“P繪出（x,y）”，可以繪出圖象上的一個點，標記為P；
（3）按住Shift不放，用“選擇”工具按順序先選取點x，再選取點P，然后由菜單“作圖”(“軌跡”，這樣就畫出了二次函數的圖象；
（4）按住Shift不放，用“選擇工具”按順序先選取“h=…”，再選“k=…”，然后由菜單“圖表”(“P繪出（x,y）”，可以繪出拋物線的頂點；
（5）選取畫好的頂點和x軸，由“作圖”(“垂線”，這樣實際上畫出了二次函數圖象的對稱軸；（6）選取對稱軸，由“顯示”(“線型”(“虛線”，這樣改變對稱軸為虛線，便于區別。得到如圖1-14.3。
圖1-14.3
歸納結論：
（一）由a值引起的變化
序號
操作
現象
結論
1
拖動點a在x軸的上方向上移動，
函數的圖象開口向____
a的值越來越___
a的值越大，圖象越____（靠近，離開）對稱軸。
當a>0時，圖象開口向____;
a越大，圖象越靠近________
2
拖動點a到x軸上
a=___
這時函數不是二次函數，它的圖象變為_____________-
3
拖動點a在x軸的下方向下移動，
函數的圖象開口向____
a的值越來越___
a的值越小，圖象越____（靠近，離開）對稱軸。
當a<0時，圖象開口向____;
a越小，圖象越靠近________
結論
a的值影響函數圖象的____方向，當a>0時，開口向___，當a<0時，開口向____.
（二） h的值引起的變化
序號
操作
現象
結論
1
拖動點h向上移動，
h的值越來越___
函數對稱軸向____移動
當h>0時，對稱軸在y軸的___側，h越大，對稱軸越靠___.
2
拖動點h向下移動，
h的值越來越___
函數對稱軸向____移動
當h<0時，對稱軸在y軸的___側，h越大，對稱軸越靠___.
結論
h的值影響圖象______的位置，實際上它控制了圖象的左右移動。
（三）k值引起的變化
序號
操作
現象
結論
1
拖動點k向上移動，
k的值越來越___
函數圖象向__移動
當k>0時，頂點在x軸的____方
2
拖動點k向下移動，
k的值越來越___
函數圖象向__移動
當k<0時，頂點在x軸的____方
結論
k的值控制了圖象的______移動。
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十四供參考。
練習：
畫函數的圖象，觀察圖象，說出x取哪些值時，函數值為0。
案例十五 多久能追上
甲與乙同向跑步，乙在甲前面的3米處。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4.5米/秒，兩人同時起跑，問甲幾秒鐘追上乙？
思路：利用幾何畫板的計算功能，讓甲乙兩個對象在時間的控制下，根據自己的速度移動，當甲追上乙時，顯示的時間即為所求。
用幾何畫驗證：
第一步：新建一個幾何畫板文件，由菜單“圖表”(“建立坐標系”，在工作區中出現了一個平面直角坐標系。
第二步：(1) 在Y軸的正半軸上畫一點C，選取點C和Y軸；(2) 由“作圖”(“垂線”，畫出過點C垂直于Y軸的直線；(3) 在垂線位于第一象限內的部分上畫一點D，如圖1-15.1。
圖1-15.1
第三步：(1) 選取垂線CD，由“顯示”(“隱藏”，把垂線隱藏；(2) 選取“畫射線”工具，從點C按鼠標拖動到點D，畫出射線CD；(3) 用畫點工具在射線CD上畫一個點E；(4) 把D點隱藏，得到如圖1-15.2。
說明：這樣反復操作的目的在于，由于我們要用點E的橫坐標來代表時間，點E的橫坐標只能取正值，為保證點E不會拖動到第二象限，所以畫好的垂線要變成射線，同時隱藏點D，使這條射線不能再拖到其它象限。
圖1-15.2
第四步：(1) 選取點E，由菜單“度量”(“坐標”，得到點E的坐標；(2) 由“度量”(“計算”，調出計算器；(3) 在點E的坐標上單擊，在出現的面板中選x，按確定，即可分離出點E的橫坐標，操作如圖1-15.3，結果如圖1-15.4。
圖1-15.3
圖1-15.4
第五步：(1) 用“文本”工具雙擊分離出來的橫坐標，在彈出的對話框中做如下改動(圖1-3-5)；(2) 隱藏點E的坐標，得如圖1-3-6。
圖1-15.5
圖1-15.6
第六步：(1) 調出計算器，依次點“5”、“*”、“t=…”、“確定”，計算出5t的值；(2) 調出計算器，依次點擊“3”、“+”、“4”、“.”、“5”、“*”、“t=…”,計算出3+4.5t的值，如圖1-3-7。
說明：乘號用“*”表示，“t=…”指的是工作區中的“t=1.62”，但由于每個人畫點的位置不同，數值可以不同，所以這里用省略號表示。
圖1-15.7
第七步：(1) 選擇“5t=…”，由菜單“圖表”(“繪制度量值…”，在彈出的“繪制度量值”對話框中直接確定；(2) 選擇“3+4.5t=…”，同樣繪制度量值，得如圖1-3-8。
說明：這樣得到的兩條虛線，受度量值的控制，度量值又受到時間t的控制，當兩條虛線重合時，說明甲追上了乙，這時的t就是所求。
圖1-15.8
第八步：(1) 由菜單“圖表”(“繪制點”，在彈出的對話框中輸入0、1，按步驟操作畫出固定點(0,1)(圖1-15.9)，(2) 同樣畫出(0，2)，得如圖1-15-10。
圖1-15-9
圖1-15.10
第九步：(1) 選取點G和Y軸，由“作圖”(“垂線”，過點G畫出Y軸的垂線；(2) 用“選擇”工具單擊剛畫好的垂線與根據“3+4.5t=…”所畫虛線的相交處，確定出交點，并標記交點為“乙”；(3) 同樣，過點H畫Y軸的垂線后確定它與另一條虛線交點，標記為“甲”，如圖1-3-11。
說明：為了便于區分，可以改虛線和下兩條Y軸的垂線為不同顏色。
圖1-15.11
歸納結論：
拖動點E在CE上移動，注意觀察兩個度量值的變化和紅、藍虛線的位置，當兩條虛線重合時，兩個度量值有什么關系？這時的t是多少？，你知道問題的答案嗎？
如有問題，請到http://wq.sdedu.net幾何畫板分版，下載案例十五供參考。
練習：
對于同類的問題，只需要改變度量值，并跟據新的度量值繪制虛線，然后確定甲、乙兩點，就可以使它來求新的解，就象做好了一個“解題機”。(不過有時得到的只能是近似數，這是受到電腦顯示的數的精確度的影響)
1、對于上例，改為乙在甲前面2米，問幾秒后甲追上乙？(精確到十分位)。
2、對于上例，相距距離不變，乙的速度不變，改甲的速度為5.5米/秒，問幾秒后甲追上乙？(精確到十分位)。
上篇結束語：
通過一個學期的學習，本篇已經告一段落。希望通過幾何畫板的學習，同學們能夠掌握一種用電腦來進行幾何研究的方法，從而使我們的學習能夠如虎添翼。我們會發現，幾何已經不再抽象難懂，在幾何畫板里面，幾何真的“活”了！
實際上，幾何畫板不僅可以用來說明數學和物理問題，也可以用來制作經濟學、天文學方面的小課件，我們上面學習的實例，主要是學習幾何畫板的一些常用的技巧，至于更深的應用，同學們可以訪問我們教材的支持論壇，我們將根據大家學習的情況提供更進一步的學習支持，提供一些技巧更強的教程，并且把我們搜集的一些課例放在上面，同時也希望大家把自己的經驗放在論壇上給大家分享
下面介紹幾個國內非常好的幾何畫板網站，供大家學習參考：
物理課件園地：http://www.nrcce.com/zhangxichun/index.htm
幾何畫板教程：http://www.21maths.com/jihehuaban/index.htm
CAI輔導站：http://www.hongzhong.com/hzcai/hzcai.htm
幾何畫板天地：http://www.mathsedu.com/gsketchp/gsketchp.html
數學教育教學資源：http://liyistudio.home.chinaren.com/jhhb/jhhb.htm
不學無數：http://gzsx.51.net/jhhb/cai/index.htm
臺州教師信息港：http://tzth.51.net/6.htm
幾何畫板介紹：http://ez.sm.fj.cninfo.net/xdjy/cai/sketch-forum.htm
軟件教程：http://go7.163.com/losir/jc-index.htm
幾何畫板課件下載：http://202.101.104.46/stuff/jihe.htm
中學數學教與學：http://shuxue.fsjy.net/jhhb.htm
數學課件積件庫：http://go4.163.com/zjycy/kjzc/sxkjml1.htm

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