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一、例題講解
例1. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，
且，若、分別為、的中點.
求證：（1）// 平面； （2）平面平面.
證明：（1）連結，∵ 底面是邊長為的正方形，
∴與互相平分，
∵為的中點， ∴為與的交點，
在中，∵為的中點， ∴//，
又 ∵平面，平面， ；
（2）∵ 面面，平面面，平面，，
　　 ∴ 平面，
∵平面， ，
又 ∵， ∴，
∴是等腰直角三角形，且，即，
　　 ∵ ， ∴ 面，
　　 又 ∵面， ∴ 面面.
例2. 如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和俯視圖在下面畫出（單位：cm）.
（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連結，證明：面.
（Ⅰ）解：如圖

（Ⅱ）解：所求多面體體積為；
（Ⅲ）證明：在長方體中，連結，則，
∵分別為、中點，∴，
∵，∴，
又∵面，平面，∴面.
例3. 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB = BC = 2 AD = 4， E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF ( 如圖 ) .
(1) 當x = 2時，求證：BD⊥EG；
(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為 f ( x )，求f ( x ) 的最大值.
（1）證明: 作DH⊥EF于H，連結BH、GH，
由平面平面，得DH⊥平面EBCF，
∵ EG平面EBCF， ∴ EG⊥DH，
在梯形ABCD中，∵ EF∥BC，AD∥BC， ∴ EF∥AD，
∵∠ABC =∠BAD =， ∴ ∠EBC =∠BEF =∠AEF =，
∴ AE∥DH，∴ 四邊形AEHD為矩形，∴ AD = EH，
∵ AB = BC = 2 AD = 4，G是BC的中點， ∴ BG = EH，
∴ 四邊形BGHE為正方形， ∴ EG⊥BH，
∵ BHDH＝H，∴ EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴BD⊥EG；
（2）解：∵ AD∥BC，BC面BFC，AD面BFC，∴ AD∥面BFC，
∴ VD - BFC ＝ VA - BFC ＝＝ 4(4-x)x，
即當時，有最大值為.
注意：平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變；
二、練習：
1. 已知是平面，是直線，則下列命題中不正確的是（ ）
A、若∥，則　 B、若∥，則∥
C、若，則∥　 D、若，則
2. 設表示平面，表示直線，給定下列四個命題：
①；②；③；④.
其中正確命題的個數有 ( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3. 已知一個實心鐵質的幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖都是半徑為3的圓，將6個這樣的幾何體熔成一個實心正方體，則該正方體的表面積為（ ）
A． B． C． D．
4. 下圖是由哪個平面圖形旋轉得到的（ ）
A B C D
5. 如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2，且側棱
，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的
側視圖面積為（ ）
A. B. C. D.
6. 對于任意直線l與平面，在平面內必有直線m，使m與l（　　）.
（A）平行　　　　　 （B）相交　　 （C）垂直　　　　　（D）互為異面直線
7. 將邊長為的正方體沿對角線折起，使得，則三棱錐的體積為 .
8. 已知一幾何體的三視圖如下，正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為正方形，在該幾何體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結論的編號）
① 矩形；
② 不是矩形的平行四邊形；
③ 有三個面為直角三角形，有一個面為等腰三角形的四面體；
④ 每個面都是等腰三角形的四面體；
⑤ 每個面都是直角三角形的四面體.
9. 如圖，在四棱錐中，側面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長
為的菱形，，是中點，截面交于.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積.
10. 圖1是某儲蓄罐的平面展開圖，其中，
且，．若將五邊形看成底面，
為高，則該儲蓄罐是一個直五棱柱.
（1）圖2為面的直觀圖，請以此為底面將該儲
蓄罐的直觀圖畫完整；
（2）已知該儲蓄罐的容積為，求制作該
儲蓄罐所需材料的總面積（精確到整數位，材料厚
度、接縫及投幣口的面積忽略不計）．
三、練習的參考答案：
1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C
6. 解析：抓住題中的關鍵詞“任意”與“必有”，那么l可以在平面外，也可以在平面內；當l在平面外時，還有與平面相交與平行兩種可能，不管在何種情況下，平面內必有直線m⊥l.
7. 解析：先作圖如下：
對照平面圖形（圖1）和立體圖形（圖2）可知：折疊前的線段DO和BO，它們在折疊后的長度未變，仍為. 由勾股定理的逆定理可得，在立體圖形（圖2）中，∠DOB = 90°. 折疊前與AC垂直的線段BD雖被折成兩段，但與AC的垂直關系并沒有改變，即DO⊥AC. 因此易知DO即為三棱錐
的高，從而易求出三棱錐的體積.
8. ①③④⑤
9. 證明：（Ⅰ）∵ 底面是邊長為的菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面， ……2分
∵平面，平面平面，
∴； ……4分
（Ⅱ）取的中點，連結、、，
∵ 底面是邊長為的菱形，，
∴ 是正三角形， ∴ ，
同理可得，，
又 ∵ ，∴平面，
∵ 平面， ∴， ………………6分
∵，是中點，∴， ………………8分
∵， ∴⊥平面； ………………9分
（Ⅲ）∵ 側面底面，側面底面，，
∴ 底面， ………………11分
∵ 是邊長為2的正三角形， ∴，
∵ 是邊長為2的正三角形， ∴，
∴ 三棱錐的體積V . …………14分
10. 解：(1) 該儲蓄罐的直觀圖如右圖所示；
(2) 設，則五邊形的面積為=，
∴ 該儲蓄罐的容積為，解得，
∴ 該儲蓄罐的展開圖的面積為
，
∴ 制作該儲蓄罐所需材料的總面積約為.

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