資源簡介

第十六章《分式》教材分析
執(zhí)筆人：武漢市翠微中學 陳浩
　一、教科書內(nèi)容和課程學習目標
　?。ㄒ唬┙炭茣鴥?nèi)容
　　全章共包括三節(jié)：《16．1 分式》、《16．2 分式的運算》、《16．3 分式方程》。
　　其中，16．1 節(jié)引進分式的概念，討論分式的基本性質及約分、通分等分式變形，是全章的理論基礎部分。11．2節(jié)討論分式的四則運算法則，這是全章的一個重點內(nèi)容，分式的四則混合運算也是本章教學中的一個難點，克服這一難點的關鍵是通過必要的練習掌握分式的各種運算法則及運算順序。在這一節(jié)中對指數(shù)概念的限制從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，這給運算帶來便利。11．3節(jié)討論分式方程的概念，主要涉及可以化為一元一次方程的分式方程。解方程中要應用分式的基本性質，并且出現(xiàn)了必須檢驗（驗根）的環(huán)節(jié)，這是不同于解以前學習的方程的新問題。根據(jù)實際問題列出分式方程，是本章教學中的另一個難點，克服它的關鍵是提高分析問題中數(shù)量關系的能力。
　?。ㄈ┱n程學習目標
　　本章教科書的設計與編寫以下列目標為出發(fā)點：
1．以描述實際問題中的數(shù)量關系為背景，抽象出分式的概念，體會分式是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一類代數(shù)式。
（1）分式的概念
例1（漢陽區(qū)期中考試題）代數(shù)式，，，中，其中是分式的個數(shù)有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
例2（江岸區(qū)期中考題）在下列各式中：，，，，，分式有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
（2）分式有無意義
例1（2009·常德）要使分式有意義，則應滿足的條件是（　?。?br/> A． B． C． D．
例2（2009·清遠）當 時，分式無意義．
解析：若分母不為0，則分式有意義；若分母等于0，則分式無意義．反之亦然．根據(jù)分式有無意義的條件，可輕松得出答案：例2的答案是B，例3的答案是2.
例3 （江岸區(qū)期末考試題）如果分式有意義，那么x的取值范圍是（ ）
A．x＞1 B．x＞－1 C．x≠1 D．x≠－1
例4（江岸區(qū)期中考試題）分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠－3
例5（硚口區(qū)考試題）分式有意義的x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
例6（青山區(qū)考試題）使分式有意義的條件是（ ）
A．x≠2 B．x≠－2 C．x＝±2 D．x≠±2
（3）分式的值為0。
例1（漢陽區(qū)期中考試題）如果分式的值為0，則a的值是( )
A． B．2 C． D．以上全不對
例2 (2009·安順)已知分式的值為0，那么的值為______________．
解析：分式的值為0，應滿足兩個條件，即分子等于0的同時，分母不為0．∴x+1=0，x-1≠0，∴x=-1．特別提醒：分式的值為0，必須在分式有意義的前提下．
【同類中考試題】
1．（2009·重慶綦江）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ．
2．（2009·黔東南州）當x______時，有意義．
3、(2009·肇慶)若分式的值為零，則的值是（ ）A
A．3 B． C． D．0
4、（2009·天津市）若分式的值為0，則的值等于 ．2
2．類比分數(shù)的基本性質，了解分式的基本性質，掌握分式的約分和通分法則。
一、分式的通分與約分
例1（漢陽區(qū)期中考試題）下列式子計算正確的是( )
A． B．
C． D．
例2（2009·荊門）計算的結果是（ ）
A．a(chǎn) B．b C．1 D．－b
解析：本題考查積的乘方運算與分式的約分，，故選B．
例3（2008·恩施州）請從下列三個代數(shù)式中任選兩個構成一個分式，并化簡該分式
ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2－4ｙ2 ｘ－2ｙ
例4（2009·長沙）分式的計算結果是（ ）
A． B． C． D．
解析：本題考查了分式的加減運算．解決本題首先應通分，最后要注意將結果化為最簡分式．．故選C．
【同類中考試題】
1、（2009·淄博）化簡的結果為（ ）B
A． B． C． D．
2、（2009·吉林）化簡的結果是（ ）D
A． B． C． D．
3、（2009·深圳）化簡的結果是（ ）D
A． B． C． D．
4．（2009·濱州）化簡： ．
5、若實數(shù)滿足則的最大值是 ．
6、（2009·棗莊）a、b為實數(shù)，且ab=1，設P=，Q=，則P Q（填“＞”、“＜”或“＝”）．
3．類比分數(shù)的四則運算法則，探究分式的四則運算，掌握這些法則。
例1（2009·長春）先化簡，再求值：，其中。
解析：原式=，當x=2時，原式=．本題意在說理，題型新穎活潑，化簡時，除法運算應轉化為乘法運算，運算過程中，能約分的一定要約分．
例2（期中考試題）（1） （2）
【同類中考試題】
1、（2009·青島）化簡：；
原式 ．
2、(2009·安順)先化簡，再求值：，其中
原式=，當時，原式=0.5.
3、（2009·黃石）先化簡，再求值其中．
原式=．當時，原式．
二、分式的加減
例2 （2009年株洲市）先化簡，再求值：，其中．
解析：=+=， 當時，原式．
【同類中考試題】
1、（2009·舟山）化簡：　　　　　　　?。?
2．（2009·邵陽）已知，用“+”或“”連接，有三種不同的形式：，請你任選其中一種進行計算，并化簡求值，其中∶=5∶2．
選擇：，當∶=5∶2時，，原式=．
3．（2009·山西）化簡：
原式===1．
三、 分式的混合運算
例3 (2009·肇慶)已知，求代數(shù)式的值．
解析： ，
∵，∴原式
例2（漢陽區(qū)期中考試題）先化簡代數(shù)式，然后求代數(shù)式的值：（1）先化簡，再求值：，其中．
【同類中考試題】
1、（2009 ·大興安嶺）先化簡：，當時，請你為任選一個適當?shù)臄?shù)代入求值．
原式= ， 的取值注意滿足（、）．
2、（2009·益陽）先化簡，再求值：，其中．
原式= ==，當時
原式==．
3、（2009·崇左）已知，求代數(shù)式的值．
原式===，，，原式，原式=1．
4．結合分式的運算，將指數(shù)的討論范圍從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，構建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系。
5．結合分析和解決實際問題，討論可以化為一元一次方程的分式方程，掌握這種方程的解法，體會解方程中的化歸思想。
一、分式方程問題
例1（漢陽區(qū)期中考試題）將分式方程去分母后，其中結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
例2 （2009·襄樊市）分式方程的解為（ ）
A．1 B．－1 C．－2　 D．－3
解析：方程兩邊同乘，得，解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，故選D．解簡單的分式方程并不難，關鍵是不要忘了檢驗，因為解分式方程有時會產(chǎn)生增根．
例3（漢陽區(qū)期中考試題）（1）；（2）；
【同類中考試題】
1、（2009·山西）解分式方程，可知方程（ ）D
A．解為 B．解為 C．解為 D．無解
2、（2009·嘉興）解方程的結果是（　　　）D
A． B． C． D．無解
3．（2009·孝感）關于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）D
A．a(chǎn)＞－1 B．a(chǎn)＞－1且a≠0
C．a(chǎn)＜－1 D．a(chǎn)＜－1且a≠－2
4.（2009·賀州）解分式方程：
方程兩邊同乘，得 解這個方程，得x=2 檢驗：當x=2時，=0，所以x=2是增根，原方程無解．
二、分式方程的應用
例1 （漢陽區(qū)期中考試題）比鄰而居的蝸牛神和螞蟻王相約，第二天上午8時結伴出發(fā)，到相距16米的銀杏樹下參加探討環(huán)境保護問題的微型動物首腦會議．蝸牛神想到“笨鳥先飛”的古訓，于是給螞蟻王留下一紙便條后提前2小時獨自先行，螞蟻王按既定時間出發(fā)，結果它們同時到達．已知螞蟻王的速度是蝸牛神的4倍，求它們各自的速度．
例2（2009·寧波市）如圖，點A，B在數(shù)軸上，它們所對應的數(shù)分別是，，且點A、B到原點的距離相等，求的值．
解析：由題意得， ，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的解．的值為．
【同類中考試題】
1、（2009·十堰）某工廠準備加工600個零件，在加工了100個零件后，采取了新技術，使每天的工作效率是原來的2倍，結果共用7天完成了任務，求該廠原來每天加工多少個零件？
1、設該廠原來每天加工x個零件，由題意得：解得，x=50
經(jīng)檢驗：x=50是原分式方程的解，答：該廠原來每天加工50個零件．
2、（2009·齊齊哈爾）某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟危機影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元．
（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？
（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案？
（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金元，要使（2）中所有方案獲利相同，值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？
解：（1）設今年三月份甲種電腦每臺售價元，，解得：
經(jīng)檢驗：是原方程的根，所以甲種電腦今年每臺售價4000元．（2）設購進甲種電腦臺， ，解得 ，因為的正整數(shù)解為6，7，8，9，10，所以共有5種進貨方案，（3）設總獲利為元， 當時，（2）中所有方案獲利相同．
此時，購買甲種電腦6臺，乙種電腦9臺時對公司更有利
3、（2009·本溪）“五·一”期間，九年一班同學從學校出發(fā)，去距學校6千米的本溪水洞游玩，同學們分為步行和騎自行車兩組，在去水洞的全過程中，騎自行車的同學比步行的同學少用40分鐘，已知騎自行車的速度是步行速度的3倍．
（1）求步行同學每分鐘走多少千米？
（2）右圖是兩組同學前往水洞時的路程（千米）
與時間（分鐘）的函數(shù)圖象．
完成下列填空：
①表示騎車同學的函數(shù)圖象是線段 ；
②已知點坐標，則點的坐標為（ ）．
3、設步行同學每分鐘走千米，則騎自行車同學每分鐘走千米。根據(jù)題意，得：， ，經(jīng)檢驗，是原方程的解答：步行同學每分鐘走千米．（2）①②．
　　二、本章的編寫特點
（一）反映分式和分式方程等概念的實際背景，體現(xiàn)數(shù)學概念來自實際、服務于實際。
　　本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示實際問題中的數(shù)量關系；在討論分式的乘除和加減的過程中，前后安排了涉及容積、工作效率、耕作面積、工程進度、增長率等多個實際問題；在討論分式方程時，更注意結合分析、解決實際問題逐步深入?？梢钥闯?，本章從引言到小結始終保持貼近實際、貼近生活。這樣編寫的目的主要是反映兩重意思：
　　1．客觀世界中有大量的問題需要用數(shù)學進行研究，許多數(shù)學概念正是在客觀實際的需求中產(chǎn)生的；
　　2．掌握數(shù)學知識和方法后，可以能動地運用它們分析和解決大量的實際問題。
　　上述兩方面是符合辯證唯物主義關于理論與實際的關系的觀點的，在本套教科書的其他部分也有這樣的反映。
　　人們接受正確的哲學觀點需要經(jīng)歷不斷加深認識的過程，結合學習的不同階段滲透辯證唯物主義和歷史唯物主義，幫助學生逐步形成正確的世界觀和方法論，是數(shù)學教育的任務之一。本套教科書力求體現(xiàn)的一個特點，就是使它成為反映科學發(fā)展和文化進步的一面鏡子，使學生通過這面鏡子的照射更清楚地認識數(shù)學的本來面目、更清楚地認識世界。
　　本章中安排大量實際問題，也是為更好地體現(xiàn)本套教科書非常重視的一點，即通過分析與解決實際問題，提高學生聯(lián)系實際地應用數(shù)學知識的意識、興趣和能力，更好地培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神。
　　（二）通過類比分數(shù)，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式
　　人們認識事物往往經(jīng)歷“從具體到抽象，從特殊到一般”的過程，本章教科書對幾個內(nèi)容的安排正是按照這樣的過程展現(xiàn)的。
　　分數(shù)與分式的關系是具體與抽象、特殊與一般的關系。分數(shù)等表示具體的數(shù)值，或者說每個分數(shù)表示兩個特殊的整數(shù)的除法；分式則具有一般的、抽象的意義，例如表示的是一般的倒數(shù)，表示的是任意兩個數(shù)的除法。分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則，是從分數(shù)的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則中經(jīng)過再抽象而產(chǎn)生的。在學習本章之前，學生已經(jīng)對分數(shù)有較多的了解，因此本章教科書的另一個編寫特點是：在學生對分數(shù)已有認識的基礎上，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式。在16．1節(jié)討論分式的基本性質、約分、通分和11．2節(jié)討論分式的四則運算時，教科書通過多次的“觀察”“思考”，進行上述類比，溫故而知新，完成知識的深化。希望讀者能細心體會這樣安排的良苦用心，教學中充分發(fā)揮知識之間正向遷移的積極作用。
　　（三）分析分式方程的特點，明確指出解分式方程的基本思路
　　在學習本章之前，學生已經(jīng)分兩次學習過整式方程（一元一次方程、二元一次方程組），他們對于整式方程特別是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化為的形式）已經(jīng)比較熟悉。分式方程的未知數(shù)在分母中，它的解法比以前學過的方程復雜，隨著問題復雜性的增加，人們需要不斷地提高認識問題的水平，這里包括提高對新事物與已熟悉的事物之間的聯(lián)系的認識。這種認識水平的提高，是構建知識體系的過程中不可缺少的。
　　本章最后的第16．3節(jié)“分式方程”，從分析分式方程的特點入手，引出解分式方程的基本思路，即通過去分母使分式方程化為整式方程，再解出未知數(shù)。教科書注意在這里要體現(xiàn)出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地產(chǎn)生的，是在原來已經(jīng)認識的解方程的基本思路──使方程逐步化為 的形式的想法基礎上發(fā)展而得到的。這樣處理既突出了分式方程解法上的特點及其算理，又反映了分式方程與整式方程在解法上的內(nèi)在聯(lián)系。
　　在強調解分式方程必須檢驗時，考慮到學生的知識基礎和接受能力，教科書沒有對解分式方程中增根的理論問題進行深入的討論，而是通過具體例子展現(xiàn)了解分式方程時可能出現(xiàn)增根的現(xiàn)象，并結合例子分析了什么情況下產(chǎn)生增根，然后歸納出檢驗增根的方法，這樣處理是想以典型例子簡明地說明檢驗增根方法的依據(jù)。教科書的編者對如何把握這個問題的深度作了認真思考，力求做到既說明做法的合理性，有適可而止，不超越學生的實際水平。
　　在本章小結中，教科書通過本章知識結構圖和思考題，再次強調了解分式方程的基本思路以及檢驗的問題，這又一次反映出編者對分式方程不僅關注使學生會解，而且還重視使學生認識解法后面的道理，即使學生能知其然也知所以然。
　三、幾個值得關注的問題
　?。ㄒ唬┲匾暦謹?shù)與分式的聯(lián)系，注意通過分數(shù)認識分式
　　數(shù)學是以數(shù)量關系和空間形式為主要研究對象的科學，數(shù)量關系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，這樣的抽象是一個逐步深入的過程。人們首先從計算具體物體個數(shù)的活動中抽象出整數(shù)的概念，又從把一個具體物體分為若干份的活動中抽象出分數(shù)的概念，這是一種從實物到數(shù)的抽象。人們在研究整數(shù)和分數(shù)的過程中，為了更好地反映一般規(guī)律，又抽象出整式和分式的概念，這是一種從數(shù)到式的抽象。
　　正如前面所述，分數(shù)與分式的關系是具體與抽象、特殊與一般的關系，即相對于分式而言分數(shù)就是具體的、特殊的基礎對象。分式是把具體的分數(shù)一般化后的抽象代表，根據(jù)這種關系，分式的基本性質、約分與通分、四則運算法則等應該與分數(shù)的基本性質、約分與通分、四則運算法則等相對應，即兩者具有一致性，這也可以說是數(shù)式通性?！皬木唧w到抽象，從特殊到一般”，是人們認識事物往往經(jīng)歷的過程，本章教科書對分式的概念、基本性質、約分與通分、四則運算法則等內(nèi)容的展開，充分地考慮了這樣的認識過程。因此，教學中應重視分數(shù)與分式的聯(lián)系，考慮到學生對分數(shù)已有一定認識的基礎，要發(fā)揮這樣的認識基礎的作用，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式，這將有助于理解和記憶所學的分式內(nèi)容。同時，這樣的學習過程對于培養(yǎng)良好的學習方法也會起到引導作用。
　?。ǘ┲匾暦质脚c實際的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學建模思想
　　由于分式是在分數(shù)基礎上再次抽象的產(chǎn)物，所以相對說來就與客觀實際的聯(lián)系而言，分式不如分數(shù)更直接。但是，如果我們不僅考慮實際問題中的具體數(shù)值，而且考慮其中的運算或對應規(guī)律，那么仍然有與分式存在密切聯(lián)系的實際問題情景。
　　如前所述，本章教科書中從引言開始安排了大量實際問題，一方面要體現(xiàn)與研究分數(shù)類似研究分式同樣也是實際需要，另一方面也是為通過運用分式為工具分析與解決實際問題，提高學生把實際問題轉化為數(shù)學形式的能力，即結合本章內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)學建模思想，進一步加強學生應用數(shù)學知識于實際問題的興趣和意識，從長遠看這將有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神。
　　在本章的教學和學習中，應重視分式與實際的聯(lián)系，選擇一些適合分式內(nèi)容而又接近學生生活的實際問題，結合這些問題展開分式的內(nèi)容。要注意避免脫離任何實際問題地講述分式的內(nèi)容，雖然這種純數(shù)學的處理方法在數(shù)學體系內(nèi)部并無問題，但是從教學角度看它具有局限性，不適合初中學生接受，也不利于全面地提高學生素質?？傊?，要充分注意有關現(xiàn)實背景，通過它們反映出分式來自實際又服務于實際，加強對代數(shù)式（包含分式）也是解決現(xiàn)實問題的一種數(shù)學模型的認識。
　　對于把實際問題轉化為有關代數(shù)式的問題，分析和解決它們的關鍵是找出問題中相關數(shù)量之間的運算關系，并把這樣的關系 “翻譯”為數(shù)學形式，而正確地理解問題情境是基礎。在本章的教學和學習中，可以從多種角度思考實際問題，例如借助圖象、表格、式子等進行分析，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)量關系，并檢驗所建立的式子的合理性。
　　（三）重視分式方程的特殊性，突出其解法的關鍵步驟
　　本章所討論的主要對象是分式，分式方程與分式有直接的關系。如前所述，本章之前，已經(jīng)出現(xiàn)過整式方程，對于解方程就是使方程逐步化為 的形式這一基本思路，學生已經(jīng)比較熟悉。與整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知數(shù)在分母中。正因如此分式方程的解法與整式方程的解法有兩個明顯的區(qū)別：
　　1．一般說，解分式方程時要通過去分母使它先轉化為整式方程，也就是使未知數(shù)從分母的位置移上來。注意這里的去分母是在方程兩邊同乘一個含未知數(shù)的式子而不是一個非零常數(shù)，因此這樣的去分母不能保證新方程與原方程同解。
　　2．通過去分母得出的解必須經(jīng)過檢驗，當這個解使得分式方程的分母不為零時，它才是分式方程的解。
　　由于解一元一次方程已不是新問題，所以上述兩點就成為本章中解分式的關鍵步驟。
　　在本章的教學和學習中，應重視分析分式方程的特殊性，并根據(jù)它認識解分式方程的基本思路（先化分式方程為整式方程，再解出未知數(shù)，再檢驗確認），明白這樣做的道理，再次體會化歸思想在解方程時的指導作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不會去死記硬背解法步驟了。這也就是說，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的關鍵步驟及其算理，在已有的對解方程的認識的基礎上再認識分式方程的解法。
此外，需要強調：本章的主要內(nèi)容包括分式的基本概念、基本性質、基本運算，分式方程的基本解法等，這些都是進一步學習數(shù)學時必須具備的基礎知識，打好基礎很重要，因此教學中應注意通過必要的練習使學生切實掌握它們。
第十七章《反比例函數(shù)》教材分析
　?。ㄒ唬┙炭茣鴥?nèi)容
　　本章的主要內(nèi)容是反比例函數(shù)，教科書從幾個學生熟悉的實際問題出發(fā)，引進反比例函數(shù)的概念，使學生逐步從對具體函數(shù)的感性認識上升到對抽象的反比例函數(shù)概念的理性認識。
　　第17．1節(jié)的內(nèi)容是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質。反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象分布在兩個象限，當時，圖象分布在一、三象限，y隨x的增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?；當時，圖象分布在二、四象限，y隨x的增大（減?。┒龃螅p?。?br/>　　第17．2節(jié)的內(nèi)容是如何利用反比例函數(shù)解決現(xiàn)實世界的實際問題，以及如何用反比例函數(shù)解釋現(xiàn)實世界中的一些現(xiàn)象。本章主要涉及到如下的4個現(xiàn)實世界中的反比例函數(shù)模型：當圓柱體的體積V一定時，圓柱的底面積S是高（深度）d的反比例函數(shù)；當工程總量k一定時，做工時間t是做工速度v的反比例函數(shù)；在使用杠桿時，如果阻力和阻力臂不變，則動力是動力臂的反比例函數(shù)；電壓U一定，輸出功率P是電路中電阻 R的反比例函數(shù)。
　　一、路程、速度與時間問題
例1（海南）在勻速運動中，路程一定時，速度關于時間的函數(shù)關系的大致圖象是（ 　）
解：由，當路程一定時，速度是關于時間的反比例函數(shù)，所以它的圖象是雙曲線，又，所以圖象在第一象限，故選Ａ．
二、密度、質量與體積問題
例2（廈門）一定質量的干松木，當它的體積m3時，它的密度kg/m3，則與的函數(shù)關系式是（　?。?br/>Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：由，當m3時,它的密度kg/m3時，有，解得：，所以，，故選Ｄ．
三、電壓、電流與電阻問題
例3（江蘇）在某一電路中，電源電壓保持不變，電流與電阻之間的函數(shù)圖象如右圖所示：
（1）與的函數(shù)關系式為： ；
（2）結合圖象回答：當電路中的電流不得超過時，電路中電阻的取值范圍是 ．
　　解：（1）設，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點，
∴所以，解得：．
所以，與的函數(shù)關系式為：．
（2）當時，即，解得電阻的取值范圍是：．
四、壓強、壓力與面積問題
例4（江蘇）在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強是它的受力面積的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
（1）求與之間的函數(shù)關系式；
（2）求當m2時物體承受的壓強．
解：（1）設，
∵點在函數(shù)的圖象上，
∴，∴．
∴與之間的函數(shù)關系式是：．
（2）當m2時，（帕）．

此外，本章還安排了兩個選學內(nèi)容：第17．1節(jié)的“信息技術應用”中安排了“探索反比例函數(shù)的性質”，第17．1節(jié)的“閱讀與思考”中安排了“生活中的反比例關系”。這兩個內(nèi)容可以開闊學生的視野，拓展知識面。
　?。ǘ┱n程學習目標
　　本章內(nèi)容的設計與編寫以下列目標為出發(fā)點：
1．使學生理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式，能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)；
4、（青山區(qū)）下列關系中，是反比例函數(shù)的是
A． B. C. D.
例1（2009·達州）下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的為（ ）
A、 B、 C、 D、
例2（2009·新疆）若梯形的下底長為，上底長為下底長的，高為，面積為60，則與的函數(shù)關系是____________．（不考慮的取值范圍）
例3（2009·漳州）矩形面積為4，它的長與寬之間的函數(shù)關系用圖象大致可表示
為（ ）
例4（2009·衡陽）一個直角三角形的兩直角邊長分別為，其面積為2，則與之間的關系用圖象表示大致為（ ）

2．能描點畫出反比例函數(shù)的圖象，會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進一步理解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點；
例1（漢陽區(qū)期中考試題）某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（－2，3），則下列點中在此函數(shù)圖象上的是 ( )
A．（2，－3） B．（—3，－3） C．（2，3） D．（－4，6）
例2（2009·瀘州）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P(一l，2)，則這個函數(shù)的圖象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
例3（2009·資陽）如圖，某個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，則它的解析式為（　　 ）
A．y＝?。▁>0） 　　　 B．y＝－　（x>0）
C．y＝?。▁<0） 　　　 D．y＝－　（x<0）
例4（2009·衢州）水產(chǎn)公司有一種海產(chǎn)品共2 104千克，為尋求合適的銷售價格，進行了8天試銷，試銷情況如下：
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售價x(元/千克)
400
250
240
200
150
125
120
銷售量y(千克)
30
40
48
60
80
96
100
觀察表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用反比例函數(shù)刻畫這種海產(chǎn)品的每天銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)之間的關系．現(xiàn)假定在這批海產(chǎn)品的銷售中，每天的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)之間都滿足這一關系．
(1)寫出這個反比例函數(shù)的解析式，并補全表格；
(2)在試銷8天后，公司決定將這種海產(chǎn)品的銷售價格定為150元/千克，并且每天都按這個價格銷售，那么余下的這些海產(chǎn)品預計再用多少天可以全部售出？
(3)在按(2)中定價繼續(xù)銷售15天后，公司發(fā)現(xiàn)剩余的這些海產(chǎn)品必須在不超過2天內(nèi)全部售出，此時需要重新確定一個銷售價格，使后面兩天都按新的價格銷售，那么新確定的價格最高不超過每千克多少元才能完成銷售任務？
解析：（1）函數(shù)解析式為；（2）2 104－(30＋40＋48＋50＋60＋80＋96＋100)＝1 600，即8天試銷后，余下的海產(chǎn)品還有1 600千克．當x＝150時，＝80．1 600÷80＝20，所以余下的這些海產(chǎn)品預計再用20天可以全部售出；（3）1 600－80×15＝400，400÷2＝200，即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克． 所以新確定的價格最高不超過60元/千克才能完成銷售任務．
《盤點反比例函數(shù)的六大類型》
本文發(fā)表在《中學生》雜志2008年第10期上
定義型
例1 （2006年黃岡市中考試題）反比例函數(shù)，當x＞0時，y隨x的增大而增大，則該函數(shù)的解析式為 ．
解析：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，∴m2－2＝－1，得，m＝±1，當x＞0時，y隨x的增大而增大，∴2m－1＜0，m＜，故m＝－1，將m＝－1代入中，得該函數(shù)的解析式為y＝－3x－1＝－．
一點型
例2（2008年大連市）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1，2)，則k的值為____________．
解析：設該函數(shù)的解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，2），∴2＝，∴k＝2，故該函數(shù)的解析式為．
例3 (2008年寧波市)如圖1，正方形的邊長為2，反比例函數(shù)過點，則的值是（ ）
A． B． C． D．
解析：設該函數(shù)的解析式為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（－2，2），∴2＝，∴k＝－1，故該函數(shù)的解析式為．
三、圖示型
例4（2008年湖北省宜昌市）某物體對地面的壓力為定值，物體對地面的壓強p（Pa）與受力面積S（㎡）之間的函數(shù)關系如圖所示．這一函數(shù)表達式為p＝________．
解析：由題意及函數(shù)的圖象可知該函數(shù)為反比例函數(shù)，設該函數(shù)的解析式為，
∵點P（16，10）正是該圖象上的一點，，∴k＝160，則該函數(shù)的解析式為p＝．
開放型
例5（2008年甘肅省白銀市）一個函數(shù)具有下列性質：
①它的圖像在二、四象限內(nèi)； ②在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．則這個函數(shù)的解析式可以為 ．（寫出一個即可）
解析：本題答案眾多，結論開放，如。
四、面積型
例6 （2007年蘇州市中考試題）．已知點P在函數(shù) (x＞0)的圖象上，PE⊥x軸、PF⊥y軸，垂足分別為E、F，則矩形OAPB的面積為3，則反比例函數(shù)的解析式是__________．
解析：∵設點P的坐標為，設該函數(shù)的解析式為，因為點P（xP，yP）在該函數(shù)的圖象上，則，∴xP×yP＝k，又∵長方形PEOF的面積＝＝
∴＝3，則k＝±3，由于該函數(shù)的圖象分布在二、四象限，故k＜0，∴k＝－3．
則該函數(shù)的解析式為．
例7 （2008年巴中市）如圖8，若點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，的面積為3，則 ．
解析：設該函數(shù)的解析式為，由上例可知四邊形ABOC的面積為，△AOB的面積等于四邊形ABOC的面積的一半，即：＝＝6，∴＝6，則k＝±6，由于該函數(shù)的圖象分布在第二象限，故k＜0，∴k＝－6．則該函數(shù)的解析式為．
實際問題型
例8（2006年南昌市中考試題）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0． 25m，則y與x的函數(shù)是關系式為 ．
解析：由題意可設，∴，∴k＝100，則y與x的函數(shù)是關系式為．
3．能根據(jù)圖象數(shù)形結合地分析并掌握反比例函數(shù)的函數(shù)關系和性質，能利用這些函數(shù)性質分析和解決一些簡單的實際問題；
例1（2009·恩施市）一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“”圖案，如圖所示，設小矩形的長和寬分別為、，剪去部分的面積為20，若，則與的函數(shù)圖象是（　　?。?br/>例2． (2008·西寧市) 如圖，已知函數(shù)中，時，隨的增大而增大，則的大致圖象為（ ）A
例3 （2009·茂名）已知反比例函數(shù)＝(≠0)的圖象，在每一象限內(nèi)，的值隨值的增大而減少，則一次函數(shù)＝－＋的圖象不經(jīng)過（ ） 答案：C
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
4．探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關系，在解決實際問題的過程中，進一步體會和認識反比例函數(shù)這種刻畫現(xiàn)實世界中特定數(shù)量關系的數(shù)學模型；
例1（2008·湛江市）已知三角形的面積一定，則它底邊上的高與底邊之間的函數(shù)關系的圖象大致是（　?。〥
A． B． C． D ．
例2 (2008·益陽) 物理學知識告訴我們，一個物體所受到的壓強P與所受壓力F及受力面積S之間的計算公式為． 當一個物體所受壓力為定值時，那么該物體所受壓強P與受力面積S之間的關系用圖象表示大致為( )
5．使學生在學習一次函數(shù)之后，進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，進一步認識數(shù)形結合的思想方法。
例1（2008·咸寧市）兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；
④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．
其中一定正確的是 （把你認為正確結論的序號都填上，少填或錯填不給分）．
例2（2009·蘭州）如圖，在直角坐標系中，點是軸正半軸上的一個定點，點是
雙曲線（）上的一個動點，當點的橫坐標逐漸增大時，
的面積將會
A．逐漸增大 B．不變 C．逐漸減小 D．先增大后減小
【答案】C
二、本章編寫特點
　?。ㄒ唬┩怀龇幢壤瘮?shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系
　　從日常生活、參加生產(chǎn)和進一步學習的需要看，關于（反比例）函數(shù)的知識是非常重要的。例如，在討論社會問題，經(jīng)濟問題時，越來越多地運用數(shù)學思想、方法，函數(shù)的內(nèi)容在其中占有相當?shù)牡匚?。又如，計算機日漸普及，學習、使用計算機是需要函數(shù)的有關知識的。正是由于函數(shù)知識的重要性，在高中將更多、更深入地學習、研究函數(shù)。
　　反比例函數(shù)是一種反映現(xiàn)實世界特定數(shù)量關系的數(shù)學模型，為了突出反比例函數(shù)與現(xiàn)實世界有著密切的聯(lián)系，教科書對本章內(nèi)容的安排采取了如下的步驟：
　　本章引用了大量的現(xiàn)實世界中的實際問題，尤其是專門安排一節(jié)來說明反比例函數(shù)的實際應用，一方面說明在現(xiàn)實世界反比例函數(shù)大量存在，另一方面說明如何用反比例函數(shù)的知識分析和解決實際問題。本章的“閱讀與思考”欄目提供了大量的，學生身邊的反比例函數(shù)的例子，可以使學生進一步體驗函數(shù)的重要性，提高靈活地分析解決問題的能力。
例1（2008·巴中市）為預防“手足口病”，某校對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（mg）與燃燒時間（分鐘）成正比例；燃燒后，與成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測得藥物10分鐘燃完，此時教室內(nèi)每立方米空氣含藥量為8mg．據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）求藥物燃燒時與的函數(shù)關系式;（2）求藥物燃燒后與的函數(shù)關系式;
（3）當每立方米空氣中含藥量低于1．6mg時，對人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經(jīng)多長時間學生才可以回教室？
例2．（2009·河池）為了預防流感，某學校在休息天用藥熏消毒法對教室進行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例；藥物釋放完畢后，與成反比例，如圖9所示．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）寫出從藥物釋放開始，與之間的兩個函數(shù)
關系式及相應的自變量取值范圍；
（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0．45毫克
以下時，學生方可進入教室，那么從藥物釋放開始，
至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能進入教室？
例3（2008·蘇州）如圖，帆船和帆船在太湖湖面上訓練，為湖面上的一個定點，教練船靜候于點．訓練時要求兩船始終關于點對稱．以為原點，建立如圖所示的坐標系，軸，軸的正方向分別表示正東、正北方向．設兩船可近似看成在雙曲線上運動．湖面風平浪靜，雙帆遠影優(yōu)美．訓練中當教練船與兩船恰好在直線上時，三船同時發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險的船，此時教練船測得船在東南方向上，船測得與的夾角為，船也同時測得船的位置（假設船位置不再改變，三船可分別用三點表示）．
（1）發(fā)現(xiàn)船時，三船所在位置的坐標分別為和；
（2）發(fā)現(xiàn)船，三船立即停止訓練，并分別從三點出發(fā)船沿最短路線同時前往救援，設兩船的速度相等，教練船與船的速度之比為，問教練船是否最先趕到？請說明理由．

（二）注重數(shù)學思想的滲透
　　從數(shù)學自身的發(fā)展過程看，正是由于變量與函數(shù)概念的引入，標志著初等數(shù)學向高等數(shù)學邁進，盡管本章講述的反比例函數(shù)僅是一種最基本、最初步的函數(shù)，但其中蘊涵的數(shù)學思想和方法，對學生觀察問題、研究問題和解決問題都是十分有益的。
　　我們知道函數(shù)的定義不是惟一的，從不同的理解角度出發(fā)可以給出函數(shù)不同的定義。教科書在“第11章　一次函數(shù)”已經(jīng)給出了函數(shù)定義，這個定義突出了數(shù)學中的變化與對應的數(shù)學思想，其內(nèi)涵主要有兩個：首先，兩個變量互相聯(lián)系，一個變量變化時另一個變量也發(fā)生變化；其次，函數(shù)與自變量之間是單值對應關系，自變量的值確定后，函數(shù)的值是唯一確定的。
在本章的編寫時，一方面十分注意具體題目的分析及求解過程，另一方面更加注重一些重要的數(shù)學思想，如變化與對應的數(shù)學思想、數(shù)形結合的思想以及轉化思想的傳授和滲透。
　　三、幾個值得關注的問題
　?。ㄒ唬┳⒁庾龊门c已學內(nèi)容的銜接
　　教科書在“第11章　一次函數(shù)”已經(jīng)給出了函數(shù)的一般概念以及自變量、函數(shù)值等概念．，學生對函數(shù)已經(jīng)形成了初步的認識。反比例函數(shù)的教學，一方面要以前面所學的函數(shù)概念及相關知識為基礎，另一方面可以反過來進一步深化對函數(shù)內(nèi)涵的理解和掌握。
　　從學生第一次接觸函數(shù)所蘊涵的“變化與對應”思想至今已經(jīng)半年有余，學生對與函數(shù)相關的概念不可避免會有所遺忘或生疏。因此，學習好本章的關鍵是處理好新舊知識的聯(lián)系，盡可能地減少學生接受新知識的困難。例如，在引進反比例函數(shù)概念時，要適時復習第11章中的函數(shù)、自變量、函數(shù)值、正比例函數(shù)、一次函數(shù)等定義或概念，為反比例函數(shù)的學習做好鋪墊。這樣，學生就能夠比較順利地接受和掌握反比例函數(shù)的概念和性質。
　?。ǘ┘訌姺幢壤瘮?shù)與正比例函數(shù)的對比
　　在復習“第11章　一次函數(shù)”內(nèi)容的基礎上，引進本章內(nèi)容。應該有意識地加強反比例函數(shù) （k為常數(shù)，）與正比例函數(shù)（k為常數(shù)，）之間的對比，對比可以從如下幾方面進行：
　　1．兩種函數(shù)的解析式有何相同與不同？兩種函數(shù)的圖象的特征有何區(qū)別？
　　2．在常數(shù) 相同的情況下，當自變量 變化時兩種函數(shù)的函數(shù)值 的變化趨勢有什么區(qū)別？
　　3．兩種函數(shù)中 的取值范圍有何不同？常數(shù) 的符號改變對兩種函數(shù)圖象所處象限的影響如何？
　　回答是這樣的：
　　1．兩種函數(shù)的解析式的相同點是，自變量只有一個，即x，都有一個常數(shù)k，且；不同點是自變量 在解析式中的位置不同，正比例函數(shù)的解析式 的右邊是一個整式，不為0的常數(shù)k是自變量x的系數(shù)，而反比例函數(shù)的解析式的右邊是一個分式，自變量x處在分母的位置，不為0的常數(shù)k處在分子的位置。
　　兩種函數(shù)的圖象都分布在兩個象限內(nèi)，這是相同之處；不同點在于正比例函數(shù)的圖象是一條直線，而反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線。正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，而反比例函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點。
　　2．在常數(shù)相同的情況下，當自變量x增大（減?。r，正比例函數(shù)的y值增大（減?。?，而反比例函數(shù)的y值減?。ㄔ龃螅辉诔?shù)相同的情況下，當自變量x增大（減?。r，正比例函數(shù)的y減?。ㄔ龃螅?，而反比例函數(shù)的 t值增大（減?。?。
　　3．當常數(shù) 的符號改變時，兩類函數(shù)圖象所處的象限都會隨之改變。當時，兩類函數(shù)的圖象都分布在一、三象限；當時，兩類函數(shù)的圖象都分布在二、四象限。
　　對于這些問題，不要急于給出答案，應該注意鼓勵學生積極探究，在這樣的氛圍中，學生的數(shù)學思維和興趣會被激發(fā)起來，對所學內(nèi)容的掌握也就更牢固。
　　（三）把突出函數(shù)中蘊涵的重要數(shù)學思想作為本章的主要線索
　　無論從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，再到以后的二次函數(shù)，甚至高中的其他各類函數(shù)，都是函數(shù)的某種具體形式，都是為近一步深刻領會函數(shù)的內(nèi)涵提供了一個平臺。隨著學習的函數(shù)類型的增多，學生對函數(shù)內(nèi)涵的理解也會逐步提高?？梢哉f對函數(shù)內(nèi)涵的理解是一個漸進的過程，需要較長的時間。
　　對于一個具體的反比例函數(shù)來說，它有其自身的獨特性質，但其中蘊涵的變化與對應的數(shù)學思想是具有普遍性的。在教學時，尤其要注意在這種數(shù)學思想的滲透方面下功夫。
　　通過對圖象的研究和分析可以確定函數(shù)本身的性質，這體現(xiàn)的是數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，數(shù)形結合思想是數(shù)學中最重要的思想之一。而數(shù)形結合的思想早在學習數(shù)軸、平面直角坐標系時就已經(jīng)學習到了。結合本章內(nèi)容可以進一步對數(shù)形結合的思想方法順其自然地理解，并逐步加以靈活運用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個方面共同分析解決問題的優(yōu)勢。
　　教學過程中，可以安排較多的通過圖象分析函數(shù)解析式、通過函數(shù)解析式分析圖象的題目，這體現(xiàn)的既是數(shù)形結合思想，也體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想。深刻領會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，突出兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用。
　　突出變化與對應的思想、數(shù)形結合思想和轉化思想是本章教學的重要任務，充分發(fā)揮教材中“思考”欄目應有的作用，對實現(xiàn)上述任務是大有裨益的。一些具體的數(shù)學知識對學生的影響也許是短暫的，但一些重要的數(shù)學思想方法必將會使學生終身受益。
　?。ㄋ模┩黄浦R的難點和重點
　　本章的重點是反比例函數(shù)的概念、圖象和性質，圖象是直觀地描述和研究函數(shù)的重要工具。教材中給出了大量的具體的反比例函數(shù)的例子，用以加深學生對所學知識的理解和融會貫通。本章的難點是對反比例函數(shù)及其圖象和性質的理解和掌握，教學時在這方面要投入更多的精力。
例1（漢陽區(qū)期中考試題）在雙曲線上有三點A1(x1， y1 )、A2(x2， y2)、A3(x3， y3 )，已知x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3的大小關系是 ( )
A． y2＜ y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
例2（漢陽區(qū)期中考試題）如圖3，直線y＝6－x與雙曲線（x＞0）相交于A，B兩點，設點A的坐標為A（a，b），那么以長為a，寬為b的長方形的面積和周長分別是（ ）
A．5，12 B．8，12 C．5，6 D．8，6
例3（2009·江西）函數(shù)的圖象如圖所示，則以下結論：
①兩函數(shù)圖象的交點的坐標為；②當時，；③當時，；④當逐漸增大時，隨著的增大而增大，隨著的增大而減小．
其中正確結論的序號是 ．
【答案】①③④

【同類中考試題】
1．(2008年寧夏回族自治區(qū)) 反比例函數(shù)(k＞0)的部分圖象如圖所示，A、B是圖象上兩點，AC⊥軸于點C，BD⊥軸于點D，若△AOC的面積為S，△BOD的面積為S，則S和S 的大小關系為（ ）
A．S＞ S B。S＝ S C。S ＜S D。無法確定
2．（2008年湖北省仙桃市潛江市江漢油田）對于反比例函數(shù)()，下列說法不正確的是
A． 它的圖象分布在第一、三象限 B． 點（，）在它的圖象上
C． 它的圖象是中心對稱圖形 D． 隨的增大而增大
3．（2008恩施自治州）如圖5,一次函數(shù)ｙ＝ｘ－1與反比例函數(shù)ｙ＝的圖像交于點A(2,1),B(－1,－2),則使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范圍是
A． ｘ＞2 B． ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0
C． －1＜ｘ＜2 D． ｘ＞2 或ｘ＜－1
4． (2008年西寧市&漢陽區(qū)期末考試題) 如圖，已知函數(shù)中，時，隨的增大而增大，則的大致圖象為（ ）A
5．(2008年揚州市)函數(shù)的圖象與直線沒有交點，那么k的取值范圍是( )
A、 B、 C、 D、
例2（漢陽區(qū)期中考試題）⑴點（2，3）關于y軸對稱的點的坐標是
⑵反比例函數(shù)關于y軸對稱的反比例函數(shù)解析式為 ．
⑶求反比例函數(shù)(k≠0)關于x軸對稱的反比例函數(shù)解析式
例3（漢陽區(qū)期中考試題）等邊△ABO在直角坐標系中的位置如圖13所示，BO邊在x軸上，點B的坐標為（－2，0）點，反比例函數(shù)y＝（x＜0）經(jīng)過點A．
（1）求這個反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖14，直線y=kx+2與x軸，y軸交于C，D兩點，與（1）中的反比例函數(shù)的圖象交于E，F(xiàn)兩點，EG⊥x軸于G點，F(xiàn)H⊥y軸于H點，若△DFH的面積記為S△DF已知S△DFH+S△FOE+S△ECG=S△COD，求k的值；
（第二問的問題背景：武漢市2007年4月調考題）
（3）如圖15，點D為（1）中的等邊△ABO外任意一點，且∠ADO＝30°，連接AD，OD， BD，則AD2，OD2，BD2之間存在一個數(shù)量關系，寫出你的結論并加以證明．
（第三問的問題背景：勾股四邊形）（2007·鄂爾多斯）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．
（1）寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 ， ；
（2）如圖1，已知格點（小正方形的頂點），，，請你畫出以格點為頂點，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形；
（3）如圖1，將繞頂點按順時針方向旋轉，得到，連接，．
求證：，即四邊形是勾股四邊形．
分析：本題定義“勾股四邊形”，提示了本題的解題思想是構造直角三角形．問題（3）△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉，可得，即AC=DE，因此只要證明△DCE為直角三角形即可．
解析：（1）正方形、長方形、直角梯形．
（2）如圖3所示．或．
（3）證明：連接，，∴，．
又，∴是等邊三角形．∴，，又，∴ ，∴，即．∴四邊形是勾股四邊形．
評析：本題通過新定義“勾股四邊形”增加了一些創(chuàng)意，對學生來說多了一道門檻． 在難度的設計上也有一定的梯度，體現(xiàn)了逐步深入的探究方式．（1）、（2）兩問是直覺感受“勾股四邊形”，（3）問是對一種特殊情形的研究，是對前面二問的深入．
參考論文一、《巧用反比例函數(shù)的對稱性》
反比例的圖象具有軸對稱性，中心對稱性，妙用其圖象的對稱性，有利于我們理清思路，快速解題，得出頗多體會，以下舉例加以說明．
妙用反比例函數(shù)的圖象的軸對稱性．
知識點：當k1＋k2＝0時，反比例函數(shù)與的圖象關于x軸、y軸對稱．
例1 （濟南市中考試題）如圖，l1是
反比例函數(shù)在第一象限的函數(shù)圖象，且過點
A（2，1），l2與l1關于x軸對稱，那么圖象l2的函
數(shù)解析式為 （x＞0）．
解析：反比例函數(shù)過點A（2，1），則有1＝，k＝2，故圖象l1的解析式為（x＞0），又因為l2與l1關于x軸對稱，則圖象l2的解析式應該為（x＞0）．故應填入的是．
例2（宜昌市中考試題）如圖所示的圖象的函數(shù)關系式可能是（ ）．
A．y＝x B．
C．y＝x2 D．
解析：對于函數(shù)，當x＞0時，＝，此時圖象在第一象限，當x＜0時，＝－，此時函數(shù)的圖象在第二象限，故得上述圖象；同時此題可以這樣理解，函數(shù)y＝與y＝－的圖象關于x、y軸對稱，由的特點知，函數(shù)值恒大于0，故圖象分布在x軸的上方，故選D．
妙用反比例函數(shù)的圖象的中心對稱性．
知識點：反比例函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，故反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點關于原點對稱．
例3 （大連市中考試題）如圖，雙曲線y＝與正比例函數(shù)y＝mx相交于點A、B兩點，B點的坐標為（－2，－3），則點A的坐標為 ．
解析：點（a，b）關于原點對稱的點的坐標為（－a，－b），由于反比例函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，則反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點關于原點對稱．因為點B的坐標為（－2，－3），則點A的坐標為（2，3）．
例4（南通市中考試題），反比例函數(shù)y＝與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于點A、B兩點，點A、B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則2x1y2－7x2y1＝
．
解析：由題意可知y1＝，則x1y1＝4，同理：x2y2＝4，同時，可知點A、B關于原點對稱，則有x1＋x2＝0，y1＋y2＝0，則2x1y2－7x2y1＝2x1(－y1)－7x2(－y2)＝－2x1y1＋7x2y2＝－2×4＋7×4＝20．
參考論文二、《多角度看雙曲線的對稱性》
武漢市翠微中學 朱紅俊 430050
形象思維與理性思維是思維的兩翼，人教版教材在畫反比例函數(shù)的圖象時，總是有意識地取一些具有對稱性的點，畫出函數(shù)圖象后讓學生觀察其特征，盡管這種不完全歸納法在數(shù)學上是不嚴格的，但這種歸納方式卻符合學生認知水平，學生也可以從“形”上把握雙曲線的對稱性，如雙曲線關于原點成中心對稱，關于直線y＝±x成軸對稱．
但是，隨著時間的推移，隨著老師，學生在分析具體問題時草稿圖的頻繁出現(xiàn)，雙曲線的這種形似乎“變”了，不少學生對雙曲線的對稱性產(chǎn)生了“懷疑”，原本給學生的就是一個形象思維的概念，如今這個“形”扭曲了，再讓他們?nèi)コ姓J雙曲線的對稱性恐怕有點困難了，這或許就是理性認識不足所致．
作為教師，我們該如何看待這個問題，又該如何引導學生更深刻地領會這個對稱性呢?以下就雙曲線y＝(k>0)為例簡單證明其對稱性質．(k<0時同理)．
（1）關于原點成中心對稱
如圖1，在雙曲線上任取一點A(m，n)，則點A關于原點的對稱點A`(－m，－n)，
∵（－m）(－n)＝mn＝k，∴ 點A`也在函數(shù)圖象上．故雙曲線關于原點對稱．雙曲線的中心對稱性在中考題中屢見不鮮。
【例題1】 （南通市中考試題）反比例函數(shù)y＝與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于點A、B兩點，點A、B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則2x1y2－7x2y1＝ ．
解析：由題意可知y1＝，則x1y1＝4，同理：x2y2＝4，同時，可知點A、B關于原點對稱，則有x1＋x2＝0，y1＋y2＝0，則2x1y2－7x2y1＝2x1(－y1)－7x2(－y2)＝－2x1y1＋7x2y2＝－2×4＋7×4＝20．
關于直線y＝x對稱

如圖2，在雙曲線上任取一點A(m，n)，過點A作直線y＝x的垂線，交雙曲線于點B，設直線AB的解析式為：y＝－x＋b， ∵點A(m，n)在直線AB上，∴b＝m＋n，即直線AB為：y＝－x＋m＋n，聯(lián)立： ， ∴，整理： ． ∴，又∵mn＝k，∴即 ，∴A(m，n) B(n，m)，也就是說A，B兩點關于直線y＝x對稱，由于點A的任意性，雙曲線上任一點關于直線y＝x的對稱點都在它的圖象上，所以函數(shù)圖象關于直線y＝x對稱．
（2）關于直線y＝－x對稱
如圖3， 在雙曲線上任取一點A(m，n)，過點A作直線y＝－x的垂線， 交雙曲線于點B，
設直線AB的解析式為：y＝x＋b ∵點A(m，n)在直線AB上，∴b＝n－m，即直線AB為：y＝x＋n－m
聯(lián)立： ，∴＝x＋n－m，整理得： ，∴，又∵mn＝k， ∴即 ，∴A(m，n) B(－n，－m) 也就是說A，B兩點關于直線y＝－x對稱．由于點A的任意性，雙曲線上任一點關于直線y＝－x的對稱點都在它的圖象上，所以函數(shù)圖象關于直線y＝－x對稱．
從上面的證明過程我們不難發(fā)現(xiàn)，證明雙曲線的關鍵就在于找到對稱點，因為“點動成線”，點 (m，n)與點 (n，m)是關于直線y＝x對稱的點，這一點作為老師當然清楚，然而學生是否一定都明白呢?初中階段是如何向學生解釋這個問題的?下面我們通過三角形的全等來證明一下．如圖：
設點A（m，n）與點A`是關于直線y＝x的對稱點，分別過點A與點A`向x軸和y軸作垂線，垂足為D，E，連結OA，OA`，由對稱的定義可知OA＝OA`，∠AOB＝∠A`OB，又∵∠EOB＝∠DOB＝45°∴∠AOE＝∠A`OE，另∠ADO＝∠A`EO＝90°，∴△AOD≌△A`OE(AAS)，所以就有
AD＝A`E，OD＝OE，即可知道A`(n，m)對稱點的問題解決了，要解釋反比例函數(shù)的對稱性就容易了．
反比例函數(shù)y＝的圖象，以正比例函數(shù)y＝x的圖象（第一、三象限的角平分線）為對稱軸．這是因為，當點（a，b）在反比例函數(shù)y＝的圖象上時．一定有，于是也一定有．因此點（b，a）也在反比例函數(shù)的圖象上，而點（a，b）和點（b，a）關于直線y＝x對稱．
類似地，反比例函數(shù)y＝的圖象，也以正比例函數(shù)y＝－x的圖象（第二、四象限的角平分線）為對稱軸．這是因為，當點（a，b）在反比例函數(shù)y＝的圖象上時，一定有，于是也一定有，因此點（－b，－a）也在反比例函數(shù)y＝的圖象上，而點（a，b）和點(－b,－a) 關于直線y＝－x對稱．
我們也可以將雙曲線的軸對稱性運用于解題，這樣考慮問題更直觀，思維更流暢．
【例題2】已知直線＝－＋,(＞0)交反比例函數(shù)＝于A、B兩點，直線AB交軸于C點，交軸于D點．
（1）當A點的坐標為（1，2），求另一個交點B的坐標．
（2）在⑴的條件下，試判斷△AOB的形狀，并說明理由．
（3）y＝ (k＞0, x＞0)的圖象上是否存在點P，使 S△AOP＝S△BOP，若存在，求P點的坐標，若不存在，說明理由．

解析：上題其實考慮的都是同一個問題，都可以用雙曲線的對稱性解決．顯然線段CD和雙曲線都是關于直線y＝x成軸對稱的，所以它們的交點A與B關于y＝x對稱，∵A（1，2），∴B（2，1）；因為線段AB是關于y＝x成軸對稱的，所以OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形；接下來，找尋使得S△AOP＝S△BOP成立的點P，自然是雙曲線與直線y＝x的交點了．
以上是我在教學過程中的點點感悟，雖然教科書中并未對雙曲線的對稱性作較高要求，但并不意味著可以忽視這方面的教學，畢竟函數(shù)的對稱性在中學數(shù)學中占有重要的地位，對于渴望求知的學生而言，我們更應該引導學生去探索，去理解，學生的認知結構豐富了，解決問題的思路亦會更靈活．
第二十章《數(shù)據(jù)的分析》教材分析
　　從《標準》看，本章屬于“統(tǒng)計與概率”領域。對于“統(tǒng)計與概率”領域的內(nèi)容，本套教科書獨立于“數(shù)與代數(shù)”和“空間與圖形”領域編寫，共有四章。這四章內(nèi)容采用統(tǒng)計和概率分開編排的方式，前三章是統(tǒng)計，最后一章是概率。統(tǒng)計部分的三章內(nèi)容按照數(shù)據(jù)處理的基本過程來安排。我們在7年級上冊和8年級上冊分別學習了“第4章 數(shù)據(jù)的收集與整理”“第12章 數(shù)據(jù)的描述”，本章是統(tǒng)計部分的最后一章，主要學習分析數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度的常用方法。
　　　　一、教科書內(nèi)容與課程學習目標
　　對于一組數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計圖表整理和描述以后，數(shù)據(jù)分布的一些面貌和特征就可以通過這些圖表反映出來。為了進一步了解數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律，還需要計算出一些特征量來表示這組數(shù)據(jù)的集中趨勢或典型水平。這些特征量代表這組數(shù)據(jù)頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向一點集中的情況，從而反映出數(shù)據(jù)資料的典型水平。
　　這些統(tǒng)計量之所以能夠代表全班成績?nèi)ミM行比較，是因為它們從不同的角度度量了全班測驗成績集中于哪一點或哪一個范圍，因此把它們統(tǒng)稱為集中趨勢的度量，常用度量集中趨勢的特征量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和分位數(shù)等，本章研究前三個統(tǒng)計量。
　　統(tǒng)計中常用的平均數(shù)有算數(shù)平均數(shù)（簡單算數(shù)平均數(shù)和加權算數(shù)平均數(shù)）、調和平均數(shù)、幾何平均數(shù)等。根據(jù)《標準》的要求，本章著重研究了加權平均數(shù)。本章第20.1節(jié)開始，首先給出一個農(nóng)業(yè)方面的實際問題，要求根據(jù)問題中提供的數(shù)據(jù)計算人均耕地面積，這是一個計算加權平均數(shù)的問題。教科書沒有直接給出利用加權平均數(shù)解決問題的做法，而是設置一個討論欄目，給出一種學生中常見的一種錯誤解法（即直接求平均數(shù)的平均數(shù)），讓學生討論這種解法，通過討論發(fā)現(xiàn)錯誤，找到產(chǎn)生錯誤的原因，借此給出正確的解法，引進加權平均數(shù)的概念。通過比較解決這個實際問題的正確與錯誤的解法，也使學生對“權”的意義和作用有所體會?！皺唷钡闹匾栽谟谒軌蚍从硵?shù)據(jù)的相對“重要程度”，為了更好地說明這一點，教科書安排了2個例題，從不同方面體現(xiàn)“權”的作用，使學生更好地理解加權平均數(shù)。在求n個數(shù)的算數(shù)平均數(shù)時，有時會遇到重復數(shù)據(jù)較多的情況，這時可以將求算數(shù)平均數(shù)的公式進行簡化，比如可以寫成，如果將分別看成是的權，則算數(shù)平均數(shù)和加權平均數(shù)就統(tǒng)一起來，只是這里“權”的意義并不是很突出。教科書在這里將兩者統(tǒng)一起來，為的是使學生對加權平均數(shù)有一個較全面的認識。接下去，教科書又通過一個探究欄目，研究了對于區(qū)間分組的數(shù)據(jù)如何求加權平均數(shù)的問題，這類問題是統(tǒng)計中常見的。利用計算器的統(tǒng)計功能可以方便地求出一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，但由于不同品牌的計算器的操作步驟不同，因此教科書沒有針對某一款計算器介紹統(tǒng)計功能的使用，而是概要地介紹了一下過程。到此為止，教科書中涉及到的問題都是針對全體數(shù)據(jù)，不涉及樣本數(shù)據(jù)的問題。本節(jié)最后，教科書結合一個例題，介紹了如何利用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)的問題，使學生對抽樣的必要性、樣本的代表性和用樣本估計總體的思想有了更深的體會。
　　本章在第20.1.2小節(jié)，通過幾個具體實例，研究了中位數(shù)和眾數(shù)。中位數(shù)是一個反映數(shù)據(jù)集中趨勢的位置代表值，能夠表明一組數(shù)據(jù)排序最中間的統(tǒng)計量，可以提供這組數(shù)據(jù)中，約有一半的數(shù)據(jù)大于（或小于）中位數(shù)。對于中位數(shù)的這個作用，教科書通過一個比較典型的考察體育比賽成績的例子來體現(xiàn)。另外，在這個例子中，也體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想。眾數(shù)是表明一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的統(tǒng)計量，當一組數(shù)據(jù)有較多的重復數(shù)據(jù)時，眾數(shù)往往是人們所關心的一個統(tǒng)計量，它提供了哪個（些）數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多。對于眾數(shù)的這個作用，教科書也是通過一個典型的銷售量問題來研究，在這個例子中，同樣也體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想。在本節(jié)最后，教科書結合一個具體問題，編寫了綜合利用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)解決問題的例子，在這個例子中，涉及到根據(jù)具體問題的的需要選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量來刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的問題，在解決問題的過程中，也樣學生經(jīng)歷了一個對數(shù)據(jù)適當分組、用表格整理數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，分析統(tǒng)計圖表和計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來分析數(shù)據(jù)的一個數(shù)據(jù)處理的基本過程。在這個過程中也體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想。在本節(jié)最后，教科書利用一個歸納的欄目，對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三種刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量進行了概括總結，突出了它們各自的統(tǒng)計意義和各自的特征。
　　本章第20.2節(jié)研究了刻畫數(shù)據(jù)波動情況的統(tǒng)計量。統(tǒng)計中刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量常有極差、方差、標準差、平均差、四分位差等，根據(jù)《標準》的要求，本章只研究極差和方差。極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動范圍，是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的最簡單的統(tǒng)計量。教科書利用溫差的例子來研究極差，溫差是人們?nèi)粘Ｉ钪惺煜さ母拍睿且粋€典型的極差的例子，利用溫差介紹極差，有助于學生認識極差的統(tǒng)計意義。方差是統(tǒng)計中常用的一種刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量，教科書對方差進行了比較詳細的研究。首先在一個討論欄目設計了一個實際問題背景，根據(jù)背景提出兩個具體問題，從統(tǒng)計上看，這兩個問題中是要計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和比較它們的波動情況。通過計算可知兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是相同的，這一點有利于學生理解數(shù)據(jù)的波動情況。為了直觀第看出數(shù)據(jù)的波動情況，教科書畫出了兩個散點圖，通過觀察散點圖，可以比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況。這兩個散點圖的使學生對數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個直觀的認識。在此基礎上，教科書引進了利用方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的方法，介紹了方差的公式，并從方差公式的結構上分析了方差是如何刻畫數(shù)據(jù)的波動的，即方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小。將利用方差刻畫數(shù)據(jù)的波動和利用散點圖顯示數(shù)據(jù)的波動結合起來，更有利于學生理解方差的意義，因此，教科書對本小節(jié)開始提出的實際問題用兩種方法進行了比較，然后又設計一個例子，來利用方差反映數(shù)據(jù)的波動。利用計算器的統(tǒng)計功能也可以求方差，由于不同品牌計算器在計算方差時操作的步驟不同，教科書對使用計算器求方差，只做了簡單的介紹。在本節(jié)最后，教科書回到本章前言中提出的問題。因為這個實際問題涉及到用樣本方差估計總體方差的問題，這樣，教科書就結合這個例子介紹了如何利用樣本方差估計總體方差的問題。
　　教材在最后一節(jié)安排了一個具有一定綜合性和活動性的“課題學習”。這個“課題學習”選用了與學生生活聯(lián)系密切的體質健康問題。由于本章是統(tǒng)計部分的最后一章，因此這個課題學習的綜合性比前面兩章統(tǒng)計中的課題學習更強。為了便于教學操作，教科書根據(jù)《中學生體質健康登記表》提供了一個樣例，樣例中涉及到選擇樣本收集數(shù)據(jù)、用統(tǒng)計表圖整理和描述數(shù)據(jù)，通過計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差和方差等分析數(shù)據(jù)得出結論的統(tǒng)計過程。完成這個課題學習，要求學生綜合運用本章以及以前所學有關數(shù)據(jù)處理的知識和方法，通過小組合作活動的方式，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理得出結論以及對所得結論進行解釋和反駁的統(tǒng)計過程。在這個過程中，讓學生進一步感受用樣本估計總體的統(tǒng)計思想，進一步體驗統(tǒng)計是進行決策的有利手段。
對于本章內(nèi)容，教學中應達到以下幾方面要求：
1．進一步理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等統(tǒng)計量的統(tǒng)計意義。
例1 (2009·武漢)小明記錄了今年元月份某五天的最低溫度（單位：℃）：1，2，0，，，這五天的最低溫度的平均值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
例2（2009·甘肅白銀）有19位同學參加歌詠比賽，所得的分數(shù)互不相同，取得分前10位同學進入決賽．某同學知道自己的分數(shù)后，要判斷自己能否進入決賽，他只需知道這19位同學成績的（　?。〣
A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差
例3. （浙江省紹興）如圖1是小敏五次射擊成績的圖，根據(jù)圖示信息，則此五次成績的平均數(shù)是________環(huán)。
圖1
解析：由統(tǒng)計圖知，五次射擊成績分別為：7，9，8，8，10。
所以五次成績的平均數(shù)（環(huán)）
例4（長沙市）長沙地區(qū)七、八月份天氣較為炎熱，小華對其中連續(xù)十天每天的最高氣溫進行統(tǒng)計，依次得到以下一組數(shù)據(jù)：34，35，36，34，36，37，37，36，37，37（單位℃），則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ ）
A. 36，37 B. 37，36
C. 36.5，37 D. 37，36.5
解析：將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：34，34，35，36，36，36，37，37，37，37，其中間的兩個數(shù)據(jù)都是36，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36；由于這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是37，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為37。故應選A。
例5 （濱州市）數(shù)學老師布置10道選擇題作為課堂練習，課代表將全班同學的答題情況繪制成條形統(tǒng)計圖（如圖），根據(jù)圖表，全班每位同學答對的題數(shù)所組成樣本的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（ ）
A. 8，8 B. 8，9
C. 9，9 D. 9，8
圖2
解析：由統(tǒng)計圖（如圖2）知，該班有名同學做練習，其中有4名做對7道，20名做對8道，18名做對9道，8名做對10道。由于排在中間的數(shù)據(jù)有兩個，都為9，所以中位數(shù)是9；出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)有一個，即8出現(xiàn)了20次，所以眾數(shù)是8。故應選D。
2．會計算加權平均數(shù)，理解“權”的意義，能選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量表示數(shù)據(jù)的集中趨勢；
例1(2009·湖州)某商場用加權平均數(shù)來確定什錦糖的單價，由單價為15元/千克的甲種糖果10千克，單價為12元/千克的乙種糖果20千克，單價為10元/千克的丙種糖果30千克混合成的什錦糖果的單價應定為（ ）B
A．11元/千克　　　B．11.5元/千克　　 C．12元/千克　　　D．12.5元/千克
3．會計算極差和方差，理解它們的統(tǒng)計意義，會用它們表示數(shù)據(jù)的波動情況；
例1（2009·吉林?。┠承Ｆ吣昙売?3名同學參加百米競賽，預賽成績各不相同，要取前6名參加決賽，小梅已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，還需要知道這13名同學成績的（ ）
A．中位數(shù) B．眾數(shù) C．平均數(shù) D．極差
例2(2009·內(nèi)江市)今年我國發(fā)現(xiàn)的首例甲型H1N1流感確診病例在成都某醫(yī)院隔離觀察，要掌握他在一周內(nèi)的體溫是否穩(wěn)定，則醫(yī)生需了解這位病人7天體溫的（ ）B
A．眾數(shù) B．方差 C．平均數(shù) D．頻數(shù)
例3（2009·婁底）我市統(tǒng)計局發(fā)布的統(tǒng)計公報顯示，2004年到2008年，我市GDP增長率分別為9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 經(jīng)濟學家評論說，這5年的年度GDP增長率相當平穩(wěn)，從統(tǒng)計學的角度看，“增長率相當平穩(wěn)”說明這組數(shù)據(jù)的 比較小.?
A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．方差?
例4（2009·長沙）甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試，每人10次射擊成績的平均數(shù)均是9.2環(huán)，方差分別為，，，，則成績最穩(wěn)定的是（ ）D
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
　4．能用計算器的統(tǒng)計功能進行統(tǒng)計計算，進一步體會計算器的優(yōu)越性；
5．會用樣本平均數(shù)、方差估計總體的平均數(shù)、方差，進一步感受抽樣的必要性，體會用樣本估計總體的思想；
例1（2009·仙桃）為了參加市中學生籃球運動會，一支校籃球隊準備購買10雙運動鞋，各種尺碼的統(tǒng)計如下表所示，則這10雙運動鞋尺碼的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（ ）D
A、25.6 26 B、26 25.5 C、26 26 D、25.5 25.5
例2（2009·蘭州）下列說法正確的是( )C
A．一個游戲的中獎概率是，則做10次這樣的游戲一定會中獎；
B．為了解全國中學生的心理健康情況，應該采用普查的方式；
C．一組數(shù)據(jù)6，8，7，8，8，9，10的眾數(shù)和中位數(shù)都是8；
D．若甲組數(shù)據(jù)的方差，乙組數(shù)據(jù)的方差，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定。
例3（2009·涼山州）有兩名學員小林和小明練習射擊，第一輪10槍打完后兩人打靶的環(huán)數(shù)如圖所示，通常新手的成績不太穩(wěn)定，那么根據(jù)圖中的信息，估計小林和小明兩人中新手是 ．
小林
6．從事收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結論的統(tǒng)計活動，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的基本過程，體驗統(tǒng)計與生活的聯(lián)系，感受統(tǒng)計在生活和生產(chǎn)中的作用，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習慣和實事求是的科學態(tài)度。
例1（2009年武漢市5月調考試題）在今年“五一”小長假期間，某學校團委要求學生參加一項社會調查活動，八年級學生小明想了解他所居住的小區(qū)500戶居民的家庭收入情況，從中隨機調查了本小區(qū)一定數(shù)量居民家庭的收入情況（收入取整數(shù)，單位：元），并將調查的數(shù)據(jù)繪制成如下直方圖和扇形圖，根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)這次共調查了 個家庭的收入，a＝ ，b＝ ；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖，樣本的中位數(shù)落在第 個小組；
（3）請你估計該居民小區(qū)家庭收入較低（不足1000元）的戶數(shù)大約有多少戶？
（4）若隨機對該小區(qū)某戶居民的家庭收入情況進行調查，則該戶居民的家庭收入在哪一個范圍內(nèi)的可能性最大？
解析：（1）40、a＝15%，b＝7．5%；
（2）補全頻數(shù)分布直方圖（如右圖）
樣本的中位數(shù)落在第三個小組；
（3）（戶）；
（4）在1000~1199這個范圍的可能性最大
因為P(1000~1199)＝45%，是幾種情況中概率最大的
∴則該戶居民的家庭收入在1000~1199元這個范圍內(nèi)的
可能性最大
例2（2008年武漢市中考試題）典典同學學完統(tǒng)計知識后，隨機調查了她所在轄區(qū)若干名居民的年齡，將調查數(shù)據(jù)繪制成如圖1的扇形和條形統(tǒng)計圖：
請根據(jù)以上不完整的統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）典典同學共調查了 名居民的年齡，扇形統(tǒng)計圖中＝ ，＝ ；
（2）補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若該轄區(qū)年齡在0～14歲的居民約有3500人，請估計年齡在15～59歲的居民的人數(shù)．
解析：（1）由15~40歲的居民有230人，占抽樣人數(shù)的46%，所以共調查了230÷46%＝500人，a＝，b＝1－22%－20%－46%＝12%；（2）略；（3）＝ 11900（人）
【同類中考試題】
1、(2009·義烏市)五月花海，歌聲飄揚，2009年5月，義烏市各中小學舉行了 “班班有歌聲”活動，某校比賽聘請了10位老師和10位學生擔任評委，其中甲班的得分情況如下統(tǒng)計圖（表）所示。
（1）在頻數(shù)分布直方圖中，自左向右第四組的頻數(shù)為；
（2）學生評委計分的中位數(shù)是分；
（3）計分辦法規(guī)定：老師、學生評委的計分各去掉一個最高分、一個最低分，分別計算平均分，別且按老師、學生各占60%、40%的方法計算各班最后得分。已知甲班最后得分為94.4分，求統(tǒng)計表中的值。
解：（1）5，（2）95，（3）解法一：設表示有效成績平均分，則，，．老師評委有效總得分為．
2、（2009·河池市）某校為了解九年級學生體育測試情況，以九年級（1）班學生的體育測試成績?yōu)闃颖荆此膫€等級進行統(tǒng)計，并將統(tǒng)計結果繪制成如下的統(tǒng)計圖，請你結合圖中所給信息解答下列問題：
（說明：A級：90分~100分；B級：75分~89分；C級：60分~74分；D級：60分以下）
（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）樣本中D級的學生人數(shù)占全班學生人數(shù)的百分比是 ；
（3）扇形統(tǒng)計圖中A級所在的扇形的圓心角度數(shù)是 ；
（4）若該校九年級有500名學生，請你用此樣本估計體育測試中A級和B級的學生人數(shù)約為 人．
2、（1）條形圖補充正確；
（2）10﹪；
（3）72°；
（4）330．
　　二、本章編寫特點
　　1．注意突出統(tǒng)計思想
統(tǒng)計中常常采用從總體中抽出樣本，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計和推測總體的情況，用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想。本套教科書對于統(tǒng)計的這一基本思想給予充分重視。本章在第4章的抽樣調查收集數(shù)據(jù)的基礎上，研究了如何用樣本的集中趨勢和波情況估計總體相應情況的問題。例如在20.1節(jié)通過實例學習了如何用樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)估計總體的相應情況，在20.2節(jié)通過實例研究了如何用樣本的方差估計總體的方差的問題，在20.3節(jié)的課題學習中也要讓學生通過抽樣進行統(tǒng)計調查活動，通過對樣本數(shù)據(jù)的分析得出對總體的估計等等。因此，本章編寫時，在每一節(jié)都注意體現(xiàn)了用樣本估計總體的思想，使學生有更多的機會接觸這一思想，使得他們對抽樣的必要性、樣本的代表性、用樣本估計總體的可行性，以及不同的抽樣可能得到不同的結果（即結論的“不確定性”等有更多體會。
《數(shù)據(jù)的分析》這部分知識體現(xiàn)的數(shù)學思想有：
一、統(tǒng)計思想
例1. 從魚塘打撈草魚240尾，從中任選9尾，稱得每尾的質量分別是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.8，1.3，1.4（單位：kg），估計這240尾草魚的總質量大約是（ ）
A. B. 360kg C. 36kg D. 30kg
分析：先求出樣本中9尾魚的平均質量，再乘以240即得。
解：因為這9尾魚的平均質量是：（千克），所以這240尾草魚的總質量大約是：。故應選B。
二. 方程思想
例2. 一組數(shù)據(jù)：4，，9，5，3，x的平均數(shù)是4，那么x等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
分析：依題意可構造方程求解。
解：因為4，，9，5，3，x的平均數(shù)是4，所以有。
解得。故應選B。
例3. 某班進行個人投籃比賽，受污損的下表記錄了在規(guī)定時間內(nèi)投進n個球的人數(shù)分布情況，同時，已知進球3個或3個以上的人平均每人投進3.5個球；進球4個或4個以下的人平均每人投進2.5個球，問投進3個球和4個球的各有多少人？
分析：若設投進3個球的有x個人，投進4個球的有y個人，這樣就可以由進球3個或3個以上的人平均每人投進3.5個球；進球4個或4個以下的人平均每人投進2.5個球列出方程組求解。
解：設投進3個球的有x個人，投進4個球的有y個人。
則根據(jù)題意，得 即
解得 經(jīng)檢驗，是原方程組的解。
答：投進3個球的有9個人，投進4個球的有3個人。
三. 分類思想
例4. 已知一組數(shù)據(jù)：，4，6，x的極差為9，試確定x的值。
分析：這一組數(shù)據(jù)中的x可能是最大值，也有可能是最小值，所以應分情況討論。
解：因為數(shù)據(jù)，4，6，x的極差為9，所以有或。解得或。
四. 數(shù)形結合思想
例5. 為了從甲、乙兩名學生中選拔一人參加今年六月份的全縣中學生數(shù)學競賽，每個月對他們的學習水平進行一次測驗。如圖1是兩人賽前5次測驗成績的折線統(tǒng)計圖。
（1）分別求出甲、乙兩名學生5次測驗成績的平均數(shù)及方差；
（2）如果你是他們的輔導教師，應選派哪一名學生參加這次數(shù)學競賽。請結合所學統(tǒng)計知識說明理由。
圖1
分析：依題意須數(shù)形結合，進而從統(tǒng)計圖中捕捉求解信息。
解：從統(tǒng)計圖中可以知道甲的5次成績分別是：65，80，80，85，90；乙的5次成績分別是：70，90，85，75，80。于是：
（1）甲的平均數(shù)，乙的平均數(shù)，進而可以求出甲的方差，乙的方差；
（2）因，所以乙同學的成績比較穩(wěn)定，但從發(fā)展的眼光看，因甲同學學習成績一直是上升趨勢，故應選甲參加。
五. 整體思想
例6. 已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，則一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是________。
分析：因為數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，所以有，即，這樣要求一組新數(shù)據(jù)，…，的平均數(shù)，只要利用平均數(shù)的定義公式，從中找到的因式，從而利用整體代入求解。
解：因為，所以一組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是
　　2．強調在活動中建立統(tǒng)計觀念，突出統(tǒng)計活動的基本過程
　　統(tǒng)計觀念反映的是由一組數(shù)據(jù)所引發(fā)的想法、能推測到的可能結果以及自覺地想到用統(tǒng)計的方法解決問題等，是在親身經(jīng)歷統(tǒng)計活動的過程中培養(yǎng)出來的一種感覺。培養(yǎng)統(tǒng)計觀念的一種最有效的方法是讓學生從事統(tǒng)計活動，經(jīng)歷統(tǒng)計活動的基本過程，在收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計活動中，逐步學會用數(shù)據(jù)說話。本套教科書特別注意讓學生經(jīng)歷統(tǒng)計活動的基本過程，在活動中學習有關統(tǒng)計的知識和方法，建立統(tǒng)計觀念。例如，對于“統(tǒng)計與概率”領域中統(tǒng)計的內(nèi)容，全套教科書以數(shù)據(jù)處理的基本過程為線索，按照數(shù)據(jù)的收集與整理、數(shù)據(jù)的描述、數(shù)據(jù)的分析來安排統(tǒng)計內(nèi)容。在每一章的中，對于統(tǒng)計的知識和方法又都是放在數(shù)據(jù)處理的基本過程中來學習的，本章也是如此。例如，本章在研究選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的問題時（例6），教科書從一個實際問題出發(fā)，要求學生通過活動，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的基本過程，在這個過程中，學習根據(jù)實際問題的需要，依照各統(tǒng)計量的特征來選擇它們描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。再如，本章第20.3節(jié)的課題學習，強調讓學生綜合利用所學的統(tǒng)計知識和方法，通過調查活動獲得一些信息。動手處理數(shù)據(jù)并展示自己的成果是一個活動性很強，并且充滿樂趣的過程，在這個活動中，學生將經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結論，并對結論進行解釋或反駁的過程。這樣的一種處理方式，將統(tǒng)計的概念、方法與原理統(tǒng)一到數(shù)據(jù)處理的活動過程中，使學生更好地體會統(tǒng)計的思想，幫助學生建立統(tǒng)計觀念。
　　3．素材豐富，體現(xiàn)統(tǒng)計與生活的密切聯(lián)系
　　統(tǒng)計與現(xiàn)實生活的聯(lián)系是非常緊密的，這一領域的內(nèi)容對學生來說應該是充滿趣味性和吸引力的，本套教科書編寫時特別注意將統(tǒng)計的學習與實際問題緊密結合，選擇典型的、學生感興趣的和富有時代氣息的現(xiàn)實問題作為例子，在解決這些實際問題的過程中，學習數(shù)據(jù)處理的方法，理解統(tǒng)計的概念和原理，本章亦是如此。例如，在第20.1節(jié)中，教科書利用“求人均耕地面積”“公司招聘職員”“演講比賽成績”“公共汽車載客量”“燈泡的使用壽命”等實際問題來學習加權平均數(shù)，利用“體育比賽成績”“鞋店銷售量”等學習中位數(shù)和眾數(shù)，在解決實際問題的過程中體現(xiàn)加權平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的統(tǒng)計意義；又如，在20.2節(jié)中，借助于“”溫差“年齡”“身高”“選擇甜玉米種子”等實際問題，研究極差和方差，結合這些實際問題情景，使學生更好地理解極差與方差的統(tǒng)計意義；再如，在第20.3節(jié)中，教科書選擇了一個與學生生活密切聯(lián)系的“體質健康測試中的數(shù)據(jù)分析”作為“課題學習”，使學生綜合運用本章知識和方法進行統(tǒng)計活動。這樣的一種與實際問題緊密結合編寫方式，可以使學生在解決實際問題的過程中，學習有關的統(tǒng)計知識和方法，體會統(tǒng)計的思想，同時也使學生感受到統(tǒng)計與實際生活的密切聯(lián)系，以及統(tǒng)計在解決現(xiàn)實問題中的作用。
　　三、幾個值得關注的問題
　　1．注意與前兩個學段相關內(nèi)容的銜接
　　本章是第三學段“統(tǒng)計與概率”的最后一章，主要學習分析數(shù)據(jù)集中趨勢和離散程度的知識與方法，這也是數(shù)據(jù)處理的最后一個環(huán)節(jié)。對于數(shù)據(jù)的分析，《標準》在第2學段和本學段都有要求，第2學段要求“理解、會求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量表示數(shù)據(jù)的不同特征”，這樣看來，對于分析數(shù)據(jù)集中趨勢的三種統(tǒng)計量，學生在第2學段已經(jīng)有所接觸，已經(jīng)會求平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，對它們可以表示數(shù)據(jù)的不同特征有所體會；《標準》在本學段要求“會計算加權平均數(shù)，能選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量表示數(shù)據(jù)的集中程度；會計算極差方差，會表示數(shù)據(jù)的離散程度”，這樣看來，本學段在第2 學段的基礎上，需要學習利用加權平均數(shù)刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢以及用極差、方差刻畫數(shù)據(jù)的離散程度等。根據(jù)《標準》的這個特點，本章在編寫時，注意與前兩個學段的銜接，將三個學段的相關內(nèi)容，在分析數(shù)據(jù)的這個大背景下統(tǒng)一起來，在對學生已有的相關知識進行整理的基礎上學習新的知識。例如，對于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，本章就是在研究數(shù)據(jù)集中趨勢的大背景下，在整理學生已有的關于這三種統(tǒng)計量的認識的基礎上，學習加權平均數(shù)，研究如何根據(jù)統(tǒng)計量的特征選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)的集中趨勢等。這樣的一種編寫方式，將三個學段的學習連成一個相互聯(lián)系、螺旋上升的整體。因此，教學中要注意對已有知識的復習，在復習的基礎上學習新內(nèi)容，使學生對于分析數(shù)據(jù)的知識和方法形成整體認識。
　　2．準確把握教學要求
　　對于統(tǒng)計中一些重要的思想方法，本套教科書采用螺旋上升的編排方式。例如，關于用樣本估計總體的思想，《標準》在本學段要求“通過豐富的實例，感受抽樣的必要性，能指出總體、個體、樣本，體會不同的抽樣可能得到不同的結果”，“通過實例，體會用樣本估計總體的思想，用樣本平均數(shù)、方差估計總體的平均數(shù)、方差”等。對于《標準》的這個要求，教科書在第4章“數(shù)據(jù)的收集與整理”和本章都有安排，但在要求上有不同的層次。第4章從收集數(shù)據(jù)的角度研究抽樣調查，要求初步感受抽樣調查的必要性，初步體會用樣本估計總體的思想；本章要求通過較多實例，從不同的方面進一步感受抽樣的必要性，并初步感受樣本的代表性，體會不同的抽樣可能得到不同的結果，能夠用樣本的平均數(shù)、方差估計總體的平均數(shù)、方差等。因此，在本章教學時，要注意把握教學要求。
　　3．合理使用計算機（器）
信息技術的發(fā)展給統(tǒng)計學的研究帶來很大變化，為統(tǒng)計工作的高效、準確提供了便捷的工具。對于計算機（器）等現(xiàn)代信息技術對統(tǒng)計的作用，本套教科書給予充分重視。本章中，編寫了使用計算器求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的內(nèi)容作為碧血內(nèi)容，還編寫了利用計算機求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差等集中統(tǒng)計量的內(nèi)容作為選學內(nèi)容等。教學中要注意發(fā)揮計算器（機）在處理數(shù)據(jù)中的作用，也要注意合理地使用計算器（機）。比如，在初學加權平均數(shù)和方差的概念時，應該讓學生使用筆算或使用計算器的一般計算功能進行計算，使學生對求加權平均數(shù)方法和方差的結構有更多的理解，在此基礎上，再學習使用計算器的統(tǒng)計功能求平均數(shù)或方差的方法，將學習重點放在理解統(tǒng)計思想和從事統(tǒng)計活動上來。
由于時間倉促，其中定有不足之處，歡迎大家批評斧正！1、請致電：15071360011，
2、Email：[email protected]，謝謝大家！
Part 1：人教版八年級上冊數(shù)學分析
執(zhí)筆人：武漢市翠微中學 陳浩 430050 QQ：442052942
第11章　《全等三角形》分析
一、教科書內(nèi)容和課程學習目標
【目標】本章的主要內(nèi)容是全等三角形，主要學習全等三角形的性質及各種三角形全等的判定方法，同時學會如何利用全等三角形進行證明。本章分三節(jié)，第一節(jié)介紹全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性質。第二節(jié)介紹一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一個特殊的判定方法。在第三節(jié)，利用三角形全等的判定方法證明了角平分線的性質，并利用角的平分線的性質進行證明。
【地位】通過本章的學習，可以豐富和加深學生對已學圖形的認識（如兩個三角形滿足一定的條件就完全一樣了，角的平分線上的一點到角的兩邊的距離相等），同時為學習其他圖形知識打好基礎。全等三角形是研究圖形的重要工具，學生只有掌握好全等三角形的內(nèi)容，并且能靈活地運用它們，才能學好四邊形、圓等內(nèi)容。也是武漢市中考中的重要內(nèi)容，在武漢市中考中的地位也越來越突出。
【重、難點】從本章開始，要使學生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式。這既是本章的重點，也是教學的難點。教科書把研究三角形全等條件的重點放在第一個條件（“邊邊邊”條件）上，使學生以“邊邊邊”條件為例，理解什么是三角形的判定，怎樣判定。在掌握了“邊邊邊”條件的基礎上，使學生學會怎樣運用“邊邊邊”條件進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程。“邊邊邊”條件掌握好了，再學習其他條件就不困難了。
　　在“三角形全等的判定”一節(jié)中，得出如下結論：三邊對應相等的兩個三角形全等；兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等；兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。用這些結論可以判定兩個三角形全等。三角形全等的這些判定方法都是可以證明的，都可以作為定理處理。但是，這些定理（除“邊邊邊”定理外）的證明方法都比較特殊。學生開始學習這些判定定理時，掌握定理的內(nèi)容并不困難，困難的是定理的證明，而這些特殊的證明方法，在正式學習推理證明的開始階段，并不要求學生掌握。所以為了突出重點，突出判定方法這條主線，本章中上述判定方法都是作為基本事實（公理）提出來的，通過畫圖和實驗，使學生確信它們的正確性。值得注意的是，本節(jié)中的另一個判定方法“兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等”，則是利用“兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等”證明的。
　　運用三角形全等的條件可以判定兩個直角三角形全等。還可以利用“斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等”（HL）判定兩個直角三角形全等。本章中這個判定方法是作為基本事實（公理）提出來的，也是通過畫圖和實驗，使學生確信它的正確性。
在“角的平分線的性質”一節(jié)中，介紹了角的平分線的作法，以及“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”兩個結論。教科書用三角形全等證明了前一個結論，并結合證明過程總結了證明一個幾何命題的一般步驟。這兩個結論是互逆定理。為了保證學生在本章學好簡單證明的重點，本章暫不介紹互逆命題、互逆定理等內(nèi)容，這些內(nèi)容在八年級下冊“勾股定理”一章中介紹。本節(jié)例題讓學生證明三角形兩條對角線的交點到三角形三邊的距離相等，并進一步讓學生得出這個交點在第三條角平分線上，即三角形的三條角平分線交于一點。這也為學生今后在“圓”一章學習內(nèi)心作好了準備。
得到：角平分線時的輔助線的方法（定理）與如何證明角平分線的方法（逆定理）
舉例：
例1（2006年黃陂區(qū)期中考試題、定理）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C，D，O為五個旅游城鎮(zhèn)，他們之間都有筆直的公路相通，OC平分∠AOB，公路AO所在的直線的解析式為，公路AB所在的直線的解析式為，
求出A城鎮(zhèn)的坐標；
有公汽行駛在城鎮(zhèn)之間，其票價與路程成正比，已知各城鎮(zhèn)間的公汽票價如下：
OA ：4元 ； A B ：3元
O B ：5元； O D ：4元
現(xiàn)將舉辦一個繞B，C，D三城的“環(huán)行一周游”旅游項目，按上述標準能否確定此項目的公汽的票價？若能，求出其票價；若不能，試說明理由。
例2（2008年漢陽區(qū)期中考試第16題、定理）如圖，∠AOC＝∠BOC＝15°，DC∥x軸，CB⊥x軸于點B，點D、B的橫坐標分別為2+，4+，則點C的坐標為 .
例3（2008年漢陽區(qū)期中考試題第22題）如下圖，點P為∠ABC角平分線上的一點，D點和E點分別在AB和BC上，且PD＝PE，試探究∠BDP與∠BEP的數(shù)量關系，并給予證明．（∠BDP+∠BEP=180°）
變式1：若在BC上截取BQ=BD，求證：PQ=PE
變式2：過P作PA⊥BA，試寫出BE、BD、BA之間的數(shù)量關系；（BD+BE=2BA）
例4（2008·硚口區(qū)期中考試題、逆定理）沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個角的平分線嗎？如圖11，是小紅的做法，他的畫法正確嗎？請用全等三解形的知識來說明理由.
①利用三角板的刻度尺在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON.
②分別過M、N畫OM、ON的垂線，交點為P.
③畫射線OP.
所以射線OP為∠AOB的角平分線.
例5（2009·湖南懷化市中考試題）如圖9，P是∠BAC內(nèi)的一點，，垂足分別為點．
求證：（1）；
（2）點P在∠BAC的角平分線上．
【簡而言之】本章的學習目標如下：
1．了解全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素。
例6 （2009·海南省中考卷第5題）已知圖2中的兩個三角形全等，則∠度數(shù)
是（ ）
A.72° B.60° C.58° D.50°
　　2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式。
　　3．了解角的平分線的性質，能利用三角形全等證明角的平分線的性質，會利用角的平分線的性質進行證明。
　　二、本章編寫特點
　?。ㄒ唬┳⒅靥剿鹘Y論
　　在“三角形全等的判定”一節(jié)設計了8個探究，讓學生經(jīng)歷三角形全等條件的探索過程，突出體現(xiàn)新教材的設計思想：
　　探究1：兩個三角形滿足三條邊對應相等，三個角對應相等這六個條件中的一個或兩個，兩個三角形是否一定全等；
　　探究2：三邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；（SSS）
　　探究3：兩邊及其夾角對應相等，兩個三角形是否一定全等；（SAS）
　　探究4：兩邊及其中一邊所對的角對應相等，兩個三角形是否一定全等；（SSA）
　　探究5：兩角和它們的夾邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；（ASA）
　　探究6：兩角和其中一個角的對邊對應相等，兩個三角形是否一定全等；（AAS）
　　探究7：三個角對應相等，兩個三角形是否一定全等；（AAA）
　　探究8：斜邊和一條直角邊對應相等，兩個直角三角形是否一定全等。(HL)
　　探究2～7讓學生探索兩個三角形滿足三條邊對應相等，三個角對應相等六個條件中的三個，兩個三角形是否一定全等?？偟陌l(fā)展脈絡是三邊，兩邊一角（包括探究3，探究4兩種情況），一邊兩角（包括探究5，探究6兩種情況），三個角，這樣學生容易把握探索的過程。
探究1、（兩個條件不可），探究4、（SSA），探究7（AAA）是不一定能判定全等的情況，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情況。其中應該記?。⊿SA），探究7（AAA）的兩個特例。
例 7 （2009·江蘇?。┤鐖D，給出下列四組條件：①；②；③；
④．其中，能使的條件共有（ ）
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
（二）注重推理能力的培養(yǎng)
　　證明是數(shù)學的最高境界——目前再不是七年級的說點理了，本章開始要求學生嚴格的進行證明，為了解決這個難點，教科書做了一些努力。
　　1．注意減緩坡度，循序漸進。開始階段，證明的方向明確，過程簡單，書寫容易規(guī)范化。這一階段要求學生體會例題的證明思路及格式，然后再逐步增加題目的復雜程度，小步前進，每一步都為下一步做準備，下一步又注意復習前一步訓練的內(nèi)容。通過精心選擇全等三角形的證明問題，減緩學生學習幾何證明的坡度。
　　2．在不同的階段，安排不同的練習內(nèi)容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。先讓學生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。在此之后安排的問題涉及以前學過的平行線等內(nèi)容，重點培養(yǎng)學生分析問題、根據(jù)需要選擇有關的結論去證明的能力。
3．注重分析思路，讓學生學會思考問題，注重書寫格式，讓學生學會清楚地表達思考的過程。例如，在“三角形全等的判定”一節(jié)證明例1的結論“△ABD≌△ACD”以前，首先指出證題的思路：“要證△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應相等?！睘榱饲宄乇磉_上述思考過程，引入“∵”“∴”及綜合法證明的格式，把證明的過程簡明地表達出來。
　?。ㄈ┳⒅芈?lián)系實際
　　在“全等三角形”一節(jié)，教科書從實際例子引入全等形的概念，并讓學生舉出一些例子。這樣做既可以使學生易于理解相關概念，也可以調動他們學習的積極性。又如，從分析平分角的儀器的原理引入角的平分線的畫法。再如，通過確定集貿(mào)市場的位置的問題引出“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”的結論，使學生看到理論來自實際的需要。
　　用三角形全等可以說明實際測量方法的道理，教科書在例題和習題中安排了測量池塘兩端的距離、測量河兩岸相對兩點的距離、用卡鉗測量工件的內(nèi)槽寬等內(nèi)容，還安排了利用三角形全等測量旗桿高度的數(shù)學活動。
三、幾個值得關注的問題
　?。ㄒ唬╆P于內(nèi)容之間的聯(lián)系
　　在“全等三角形”一節(jié)，讓學生通過觀察、思考得出平移、翻折、旋轉（全等變換）前后的圖形全等的結論。這樣處理一方面可以復習鞏固全等三角形的概念，另一方面也使學生在某些情況下容易找到全等三角形的對應元素。
透視全等三角形的三大類型

武漢市翠微路中學 陳 浩 （430050）（本文發(fā)表在《中學生天地》2007年第3期上）
與“三角形全等”有關的問題林林總總，習題又可變式發(fā)散，這樣題量就千千萬萬，浩瀚無邊，但其類型不外乎以下幾種，抓住了全等三角形的幾種類型，就抓住了問題的精髓，從而發(fā)現(xiàn)證明“全等”問題的方向．現(xiàn)分類透視，供同學們學習時參考．
一、平移型全等三角形
把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形．有時這
條直線就是△ABC的某一條邊所在直線．下圖1，圖2是常見的平移型全等三角形．
在證明平移型的全等型試題中，常常要碰到移動方向上的邊的加（減）公共邊，為邊長相等創(chuàng)立條件．如圖1，若BE＝FC，則BE＋EC＝FC＋EC，即：BC＝FE．如圖2，若BE＝FC，則BE－EC＝FC－EC，即：BC＝FE．
例1 如圖3，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D點，∠C的平分線CE交AB、AD于E、G，過G作FG∥BC交AB于F點．試說明：AE＝BF．
提示：過E點作EH⊥BC于H點．證△AFG≌△BEH，得BE＝AF，BE－EF＝AF－EF．即AE＝BF．
二、軸對稱型全等三角形
把△ABC沿直線l翻折后，能與另一個三角形重合，則稱它們是軸對稱型全等三角形．下圖是常見的軸對稱型全等三角形，其對稱軸l是對稱點所連線段的垂直平分線．

識別軸對稱三角形全等要注意題中的一些隱含條件，例如有些具有公共邊（如圖4中的AC，有些具有公共角或對頂角（如圖6、圖7中的∠ACB＝∠DCE）．
例2 （2008·哈爾濱市）已知：如圖，B、E、F、C四點在同一條直線上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求證：OA＝OD．
例3 如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關系始終保持不變，試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（ ）
A、∠1+∠2=2∠A B、∠1+∠2=∠A
C、∠A=2（∠1+∠2） D、∠1+∠2=∠A
三、旋轉型全等三角形
1．旋轉一個任意角度
將△ABC繞頂點C旋轉后，到達△DCE的位置，則稱△ABC和△DCE為旋轉型全等三角形．如下圖所示，這些是常見的旋轉型全等三角形．
識別旋轉型全等三角形時，要注意圖9、10、11中，∠ACB和∠DCE隱含著一個等量減（加）等量的條件，通常用邊角邊（SAS）來識別兩個三角形全等．
例4 （2008·遼寧大連市）如圖12，P是正△ABC內(nèi)的一點，若將△PAC繞點A逆時針旋轉到△P′AB，則∠PAP′的度數(shù)為________．（∠PAP′=60°，請讀者自己證明）．
例5 （2008·河南?。土暋叭热切巍钡闹R時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP．”
小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請你就圖②給出證明．
2．旋轉角度為1800
把果把△ABC繞著一個點O旋轉180°，得到另一個相應的三角形，那么這兩個三角形稱為中心對稱型全等三角形，點O稱為對稱中心．中心對稱型全等三角形是旋轉型全等三角形的一個特例（旋轉角度為1800）．如圖所示是常見的中心對稱型全等三角形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心O，且被點O平分．
例6 （2008·黃石市中考試題）如圖，是上一點，交于點，，CF∥AB．求證：．
例7 （2009·莆田市中考試題）已知：如圖在中，過對角線的中點作直線分別交的延長線、的延長線于點
（1）觀察圖形并找出一對全等三角形：____________________，請加以證明；

（2）在（1）中你所找出的一對全等三角形，其中一個三角形可由另一個三角形經(jīng)過怎樣的變換得到？

　　為了使學生更全面地認識“全等”和“全等三角形”，教科書安排了“閱讀與思考 全等與全等三角形”。這篇閱讀材料以師生對話的形式對“全等”和“全等三角形”的相關問題作了進一步的介紹。全等是幾何中的重要概念，是學生今后幾何學習的重要基礎。以三角形為載體介紹全等的知識，原因主要包括兩個方面：一是三角形是最簡單的多邊形，可使學生在相對簡單的圖形環(huán)境中學習全等；二是任意多邊形都可以分解為若干三角形，從而有利于把全等的知識推廣到其他多邊形。對全等三角形的研究分為“性質”和“判定”兩個方面，這兩個方面是相輔相成的。認識到這一點，有利于學生今后對如平行四邊形的性質和判定等知識的學習。
　　作圖內(nèi)容在本章中是分散安排的，小結時應注意復習本章中涉及的下面幾種作圖：
　　 （1）已知三邊作三角形；
　?。?）作一個角等于已知角；
　?。?）已知兩邊和它們的夾角作三角形；
　?。?）已知兩角和它們的夾邊作三角形；
　?。?）已知斜邊和一條直角邊作直角三角形；
　　（6）作已知角的平分線。
?。ǘ╆P于證明
　　解決推理入門難是本章的難點，除了教科書作了一些安排外，教師在教學中要特別注意調動學生動腦思考。只有學生自己思考了，才能逐步熟悉推理的過程，掌握推理的方法。課堂上要注意與學生共同活動，不要形成教師講，學生聽的局面。教師課堂上多提些問題，并注意留給學生足夠的思考時間。
　　一般情況下，證明一個幾何中的命題有以下步驟：
　?。?）明確命題中的已知和求證；
　?。?）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；
　　（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。
　　分析證明命題的途徑，這一步學生比較困難，需要在學習中逐步培養(yǎng)學生的分析能力。在一般情況下，不要求寫出分析的過程。有些題目已經(jīng)畫好了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了。
　　證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”。這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理、已經(jīng)學過的重要結論。
在本章中還會遇到通過舉反例說明兩個三角形滿足某些條件不一定全等。判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例。找反例對學生來說是比較困難的，學生在一般情況下不容易發(fā)現(xiàn)反例。教師要根據(jù)學生的情況進行指導，盡量多發(fā)現(xiàn)幾個反例，使學生學會舉反例。

問題鏈中的意外插曲（中學數(shù)學07年第3期）
陳 浩1 李樂利2
【1：武漢市翠微中學 430050 2：武漢市黃陂區(qū)教研室 430300】
美國數(shù)學家哈爾莫斯指出：“定理、證明、概念、定義、理論、公式、方法中的任何一個都不是數(shù)學的心臟，只有問題才是數(shù)學的心臟”．數(shù)學的思維是解決問題的心智活動，為引導學生不斷深入思考，再創(chuàng)，從深層次，多角度思考問題，筆者在《全等三角形》這一章，特意設計了如下的問題鏈，卻出現(xiàn)了一個讓人意外小插曲，讓人意外，但又回味悠長！
首先給出：問題鏈I：
命題1：有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個銳角三角形全等．
命題2：有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個銳角三角形全等．
對于這兩個命題，大多數(shù)同學能順利完成．
推廣鏈II：將命題中的“高”分別換成“中線”，得到
命題3：有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個銳角三角形全等．
命題4：有兩邊和第三邊上的中線對應相等的兩個銳角三角形全等．
對于命題3的證明，學生不會感到困難，命題4利用“中線倍長”也可解決．
鏈III：將命題中的“中線”分別換成“角平分線”，得到類似命題
命題5：有兩角和其中一角的角平分線對應相等的兩個銳角三角形全等．
命題6：有兩角和第三個角的角平分線對應相等的兩個銳角三角形全等．
弱化鏈IV：將上述6個命題中的銳角三角形中的“銳角”去掉，判斷這6個命題的真假，從而認識三角形的“高”的特殊性，得到 “有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等”，“有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等”這兩個命題不成立．
現(xiàn)畫出反例圖形如下：如圖1，CC'∥AE，BC=BC'， △ABC與△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，AB邊上的兩條高CD、C'E相等，明顯△ABC與△ABC'不全等，如圖2，△ABC與△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，AC邊與AC'邊上的高相同，明顯△ABC與△ABC'也不全等．
以上探究活動，較好地復習鞏固了三角形全等的知識，同時通過類比思想，引導學生得到探究問題的方法．至此，筆者正準備進入下一個環(huán)節(jié)，一生提出：
鏈V：命題7：有兩邊及兩邊夾角的平分線對應相等的兩個三角形全等．
此言一出，語驚四座，猜想聲，討論聲不絕入耳，眼看形勢難收，于是提出讓學生課后討論、實踐、實驗、測量驗證，初步得到這是一個真命題，但全等的幾個判定方法不太適用，事隔數(shù)日，終不能如愿，后筆者查找資料，為學有余力的同學提供兩種較好的證明方法：
方法一：利用斯臺沃特定理
△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，D為BC任意一點，BD=u，CD=v， AD=t
引理【1】：（斯臺沃特定理）
引理【2】：當AD為△ABC的角平分線時， ( 其中p=)
引理【1】證明：如圖3，過A作AE⊥BC于E， 設DE=x， 則有，
(若E在BC的延長線上，則將換成)于是有：
消去x得：
∴
引理【2】證明：當AD為△ABC的角平分線時，由三角形平分線定理得：
，，代入引理[1]中，得引理【2】
設a+b+c=2p， 得（這就是內(nèi)角平分線公式）
于是，如圖4，在△ABC中和△A'B'C'中，
設AB=A'B'=c， AC=A'C'=b，
BC=a， B'C'=a' 又∵ a+b+c=2p， a '+b+c=2p'
∵AD=A 'D'，由引理【2】得：
∴
∴p(p-a)=p' (p'-a') 即
∴ a=a' ， 即BC=B'C'
則兩三角形的三邊對應相等，由“SSS”可以證明命題7是真命題．
方法二、利用余弦定理：
證明：如圖5，在△ABC中和△A'B'C'中，
設AB=A'B'=c， AC=A'C'=b， AD=A'D'=y， ∠BAD=∠CAD=α，∠B'A'D'=∠C'A'D'=β，
由余弦定理知：
同理：
∵ ∴
∴
化簡后得：
（1）若b=c，可由等腰三角形的知識很快證明，這里不再贅述．
（2）可由“相似三角形”的相關知識證明，
（3）∴，∵ ， ，∴，即∠BAC=∠B'A'C'
則命題7的正確性，可由“SAS”得證．對于數(shù)學在探究之中提出的問題，不要一棒子打死，讓他們在探究，實驗，測量之中得到樂趣，得到探究的欲望，若教師加以適當?shù)妮o導，讓優(yōu)秀的學生看得更遠，飛得更高，同時也能教學相長！
改進證明：AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，AD，A＇D＇分別是∠BAC∠B＇A＇C＇的平分線，AD=A＇D＇，求證△ABC≌△A′B′C′
證明：，∵AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，AD=A＇D＇，則DE=D＇E＇，則AE=A＇E＇，證明△ABE≌△A＇B＇E＇（SSS），則∠BAD=∠B＇A＇D＇，則∠BAC=∠B＇A＇C＇，則△ABC≌△A＇B＇C＇（SAS）
拓展命題1：有兩邊和其中一邊的對角的平分線對應相等的兩個三角形全等。
命題2：有兩邊和其中一邊的中線對應相等的兩個三角形全等。
命題3：有三條中線對應相等的兩個三角形全等。
命題4：有三條高線對應相等的兩個三角形全等。
參考《中小學數(shù)學》教師版2007年第1-2期《全等三角形判定中的幾個拓展命題》，作者：浙江省慈溪市附海鎮(zhèn)初級中學 童浩軍

（三）基本思路與基本習題
一、關注基本圖形與基本結論
二、關注圖形變換中的證明
例4 （2008·河北省中考試題）如圖14-1，的邊在直線上，，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且．
（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關系和位置關系；
（2）將沿直線向左平移到圖14-2的位置時，交于點，連接，．猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關系和位置關系，請證明你的猜想；
（3）將沿直線向左平移到圖14-3的位置時，的延長線交的延長線于點，連接，．你認為（2）中所猜想的與的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
證明：（1）；．（2）；．證明：①由已知，得，，．又，．．
在和中，，，，
，．②如圖3，延長交于點．
，．
在中，，又，
．．．
（3）成立．證明：①如圖4，，．
又，．．
在和中，
，，，．．
②如圖4，延長交于點，則．，．在中，，．．．
三、借題掘題、變式訓練
題基：如圖1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，求證：BE=2CD。
【實例1·某報期中考試模擬試題】 如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝900，點A、C分別在y軸、x軸上．
（1）如圖17，若已知點A的坐標為（0，2），OC＝5，求B點的坐標；
（2）如圖18，點P是第一三象限的平分線DQ上的一動點，是否存在點P，使得△PAC的面積是12，若存在，求出P點的坐標，若不存在，說明理由；
（2）如圖19，將△ABC繞C點旋轉，使得x軸恰好平分∠ACB，AC交x軸于點N，過B點作BM⊥x軸于M點，寫出NC與BM的數(shù)量關系，證明你的理由；
變式1：如圖1，BE是等腰Rt△ABC∠ABC的平分線，過E作ED⊥BC于D點，求證：△EDC的周長等于AB的長。
變式2：如圖2，連接AD，求證：∠ADB=45°；
變式3：如圖3，若點P為△ABC外一點，且∠APC=135°，判斷BP、PC的位置關系；（key：BP⊥PC）（附加：PB、PC、PA之間還有一個的數(shù)量關系，略）
變式4：如圖4，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M．連接CD，求的值。（key：）
變式5：如圖5，延長BA、CD交于F點，求證：AF+CE=AB；
變式6：如圖6，過A作AT⊥BD于T點，寫出AT、TE、BE之間的數(shù)量關系；（key：AT+TE=）。（附加：AT+TE=CD）
變式7：將題目中的條件“AE平分∠BAC”改為“AE平分∠BAC處的外角”，其他條件不變，上述還成立嗎？
四、立足課本、變式編擬
例4 （課本習題）如圖1，△ABC中，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，判斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關系；
變式1：如圖2，將“∠B、∠C的平分線交于O點”改為“∠B與∠ACB的鄰補角交于O點”，其他條件不變，判斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關系；
變式2：如圖3，將“∠B、∠C的平分線交于O點”改為“∠B的鄰補角與∠ACB的鄰補角交于O點”，其他條件不變，判斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關系。
變式4：（2006·北京市中考試題）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。
變式5：如圖，AB∥CD，BE、CE分別平分∠ABC、∠DCB，求證：AB+CD=BC；
變式6：如圖，直線y=x+1分別與坐標軸交于A、B兩點，在y軸的負半軸上截取OC=OB。
求直線AC的解析式；
在x軸上取一點D（-1，0），過點D做AB的垂線，垂足為E點，交AC于點F，交y軸于點G，求F點的坐標；
過B點作AC的平行線BM，過點O作直線y=kx（k＞0），分別交直線AC、BM于點H、I，試求的值。
第12章　《軸對稱》分析
　　【教材內(nèi)容與目標】本章的主要內(nèi)容是從生活中的圖形入手，學習軸對稱及其基本性質，欣賞、體驗軸對稱在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。在此基礎上，利用軸對稱，探索等腰三角形的性質，學習它的判定方法，并進一步學習等邊三角形。
　　軸對稱是現(xiàn)實生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，是密切數(shù)學與現(xiàn)實聯(lián)系的重要內(nèi)容。在本章第1小節(jié)“軸對稱”中，教科書立足于學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學活動經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實生活中的對稱現(xiàn)象開始，引出軸對稱圖形和圖形的軸對稱的概念，從整體上概括出軸對稱的特征。結合探索對稱點的關系，歸納得出對應點連線被對稱軸垂直平分的性質（解決折疊問題），并結合這一性質的得出，討論了垂直平分線的性質定理及其逆定理。接下來，在第2小節(jié)“作軸對稱圖形”中，通過作軸對稱圖形、簡單的圖案設計、確定最短路線等活動，讓學生進一步體會軸對稱的應用價值和豐富內(nèi)涵。用坐標表示軸對稱，從數(shù)量關系的角度刻畫了軸對稱。教科書從觀察和實驗入手，歸納得出坐標平面上一個點關于x軸或y軸對稱的點的坐標的規(guī)律，并進一步探討了如何利用這種規(guī)律在平面直角坐標系中作出一個圖形關于x軸或y軸對稱的圖形。
　　等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質。由于它的這些特殊性質，使它比一般三角形應用更廣泛。而等腰三角形的許多特殊性質，又都和它是軸對稱圖形有關，這也是教科書把這部分內(nèi)容安排在本章的一個重要原因。在本章第3小節(jié)“等腰三角形”中，利用等腰三角形的軸對稱性，得出了“等邊對等角”“三線合一”等性質，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質與判定方法的內(nèi)容。
　　【重、難點】在本章，軸對稱的性質是本章的重點，軸對稱的應用，利用軸對稱設計圖案，用坐標表示軸對稱等都是圍繞這一性質進行的。另外，等腰三角形的性質和判定也是本章的重點，它們是證明線段和角相等的重要根據(jù)，應用也比較廣泛。
　　按照整套教科書對于推理證明的安排，在“全等三角形”已經(jīng)要求讓學生會用符號表示推理（證明）的基礎上，對于一些圖形的性質（如線段垂直平分線的性質、等腰（邊）三角形的性質與判定等），仍是要求學生證明。由于學生剛開始接觸用符號表示推理，雖然教科書控制了證明難度，但是相對于上一章，推理的依據(jù)多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使一些學生感到無處下手，這是本章教學的一個難點，要注意幫助學生克服這一難點。
　　【簡而言之】學習目標
1．通過具體實例認識軸對稱、軸對稱圖形，探索軸對稱的基本性質，理解對應點連線被對稱軸垂直平分的性質；
例1（2007年南昌市&漢陽區(qū)期末考試題）下列奧運會徽標圖案中是軸對稱圖形的是（ ）

例2（2007年河南?。┤鐖D，ΔABC與ΔA’B’C’關于直線l對稱，則∠B的度數(shù)為【 】
A．30° B．50° C．90° D．100°
2．探索簡單圖形之間的軸對稱關系，能夠按照要求作出簡單圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；認識和欣賞軸對稱在現(xiàn)實生活中的應用，能利用軸對稱進行簡單的圖案設計；
例3（漢陽區(qū)期末考試題）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；（2）涂黑部分成軸對稱圖形．請在圖1～3中分別設計另外三種涂法．（特別說明：在所設計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種涂法，如圖乙與圖丙）（每一種1分）
3．了解線段垂直平分線的概念，探索并掌握其性質；了解等腰三角形、等邊三角的有關概念，探索并掌握它們的性質以及判定方法；
例4（2008·漢陽區(qū)期末考試題）如圖，長方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點與原點重合，AB＝2，AD＝1，過定點Q（0，2）和動點P（a，0) 的直線與長方形ABCD的邊有公共點，則a的取值范圍是 __．
4．能初步應用本章所學的知識解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡單的實際問題，在觀察、操作、想象、論證、交流的過程中，發(fā)展空間觀念，激發(fā)學習空間與圖形的興趣。
例5 (2008·臺灣省)如圖，(ABC的內(nèi)部有一點P，且D、E、F是P分別以AB、BC、AC為對稱軸的對稱點。若(ABC的內(nèi)角(A=70(，(B=60(，(C=50(，則(ADB＋(BEC＋(CFA的度數(shù)是( ) C
(A) 180( (B) 270( (C) 360( (D) 480(
例6 （2008年武漢市中考試題）如圖，六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，若∠AFC+∠BCF=150°，則∠AFE+∠BCD的大小是（　?。?br/>Ａ.150° ?。拢?00° ?。茫?10° Ｄ．330°．
例7（2009年4月調考試題）如圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點，
若∠ABC＝50°，則∠ADC的大小是（ ）
A．100° B．115° C．130° D．150°
例8（2009·湖南懷化）如圖，在中， ，是的垂直平分線，交于點，交于點．已知，則的度數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
例9 (2009武漢)如圖，已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，則∠ADO+∠DCO的大小是（ ）
A．70° B．110° C．140° D．150°

　　二、本章編寫特點
　　1．有機的整合“圖形與幾何”領域的相關內(nèi)容，利用變換研究圖形的性質
　　在以往的教科書中，等腰三角形的有關內(nèi)容一般安排于介紹三角形的內(nèi)容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性質和判定。在本套教科書中，等腰三角形的有關內(nèi)容安排在了“軸對稱”一章，學生學完了軸對稱的相關性質之后，利用軸對稱的有關知識研究等腰三角形的性質，再利用三角形的全等的知識給以證明，這是本章編排上的一個特點。
等腰三角形是一個很好的軸對稱圖形，它的許多性質都與它是軸對稱圖形有關。利用它的軸對稱性，不僅有助于發(fā)現(xiàn)等腰三角形的一些性質，而且也能為利用三角形全等的知識證明一些性質提供思路，在教科書的編寫中，充分重視了這一點。例如，教科書引出等腰三角形概念時，不是直接給出定義，而是直接通過一個“探究”欄目，讓學生自己剪出一個三角形。這個剪三角形的過程，就是利用軸對稱得到一個等腰三角形的過程。這個過程還保留下了中間折疊的痕跡，它就是等腰三角形的對稱軸。接下來教科書安排的“思考”欄目是前面“探究”的繼續(xù)，受剪出等腰三角形的過程的啟發(fā)，學生很容易想到它是一個軸對稱圖形，折痕就是它的對稱軸。通過找出其中重合的線段和重合的角利用軸對稱變換的性質，可以很容易的引導學生得出等腰三角形的兩個性質：“等邊對等角”以及“三線合一”。在進一步證明這兩個性質的過程中，關鍵是要添加輔助線，而有了前面的“探究”“思考”的鋪墊，如何添加這個輔助線也就是水到渠成的了。
例10(2008·福建龍巖)16．如圖，在邊長為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點E、F是AD上的兩點，則圖中陰影部分的面積是（ C ）
A．4 B．3
C．2 D．
再如，利用等腰三角形的軸對稱性，可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中許多相等的線段或角，如兩底角平分線、兩腰的中線、兩腰的高等。教科書也安排了這樣一個“數(shù)學活動”，讓學生利用等腰三角形的軸對稱性去發(fā)現(xiàn)一些等腰三角形中的相等的線段和角，利用圖形的運動研究圖形的性質。等腰三角形是一種軸對稱圖形，教科書將等腰三角形的相關內(nèi)容安排在軸對稱之后，就是要利用軸對稱研究等腰三角形的有關性質，并進一步利用三角形的全等證明這些性質。將圖形的運動與圖形的認識、圖形的證明有機整合，利用運動研究圖形，得到圖形的性質，再通過推理證明這些結論。
例11 (漢陽區(qū)期末考試題)如圖，已知AB=AC，PB＝PC，D 是AP上的一點，求證：．
2．注意聯(lián)系實際
　　人們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“圖形與幾何”的學習提供了大量真實的素材。本章的內(nèi)容具有豐富的實際背景，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用，因此在教學中要注意聯(lián)系實際，從實際出發(fā)引入概念，并將所學知識應用到實際生活中。
　　例如，軸對稱現(xiàn)象在生活中是很常見的，教科書選用了從天安門到故宮的鳥瞰圖作為章頭圖，在第1節(jié)的開頭，也舉出了如自然景觀、分子結構、建筑物、藝術作品、日常生活用品、窗花等實際例子，讓學生感受對稱現(xiàn)象的無處不在，通過觀察這些圖形，引出軸對稱的概念。在實際教學中，可以結合當?shù)貙嶋H選擇一些軸對稱圖形的例子，這些素材不僅應包括人們所習慣的標準幾何圖形，更應包括豐富多彩的現(xiàn)實世界中的二、三維圖形，使學生欣賞現(xiàn)實世界中與軸對稱有關的圖案，并能夠從中發(fā)現(xiàn)軸對稱的特征。
除了注意從實際例子引出軸對稱內(nèi)容的學習以外，教科書也給出了一些應用軸對稱的例子，如利用軸對稱的觀點來解釋現(xiàn)實生活中的有關現(xiàn)象、簡單的利用軸對稱設計圖案、利用軸對稱解決一些有關最大、最小的選址問題等等，教科書也注意體現(xiàn)所學知識的應用，體現(xiàn)一個具體──抽象──具體的過程。
例12（漢陽區(qū)期末考試題）如圖1，直線y＝－2x＋4分別與x軸、y軸相交于點A和點B，以B為頂點在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點C的坐標；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得MA＋MC最小，如果存在，請求出的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若P點為y軸正半軸上一個動點，分別以AP、OP為腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，連接CD交y軸于N點，當點P在y軸上移動時，下列兩個結論：①CD－CP的值不變；②PN的長度不變。其中有且只有一個是正確的，請選擇，并求其值．
　　
3．注意讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、歸納、論證的過程
　　在內(nèi)容處理上，教科書加強了實驗幾何的成分，將實驗幾何與論證幾何有機結合。論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用，而實驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用。對于本章中的一些概念、性質、公理和定理，教科書大多是通過“留空”、設問、設置“思考”“探究”“歸納”以及“數(shù)學活動”等欄目，讓學生通過畫圖、折紙、剪紙、度量或做試驗等活動，探索發(fā)現(xiàn)幾何結論，經(jīng)歷知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程，在探究活動的過程中發(fā)展創(chuàng)新思維能力，改變學生的學習方式．在發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，再經(jīng)過推理證明這些結論，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續(xù)，使圖形的認識與圖形的證明有機整合。
例如，對于等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”的性質的得出，教科書通過設置一個“探究”“思考”欄目，讓學生剪出等腰三角形，并進一步利用軸對稱的性質思考其中相等的線段和相等的角，進而發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質。接下來，從上面的操作過程啟發(fā)，通過做出等腰三角形的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等證明等腰三角形的這兩個性質。這種處理，將實驗幾何與論證幾何有機的整合在一起，使學生經(jīng)歷了一個觀察、實驗、探究、歸納、推理、證明的認識圖形的全過程，把推理證明作為學生觀察、實驗、探究得出結論之后的自然延續(xù)，完成好由實驗幾何到論證幾何的過渡。
例13（2008·山東濰坊）如圖，中，，，平分，交于，，下列結論一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
　　三、幾個值得關注的問題
　　1．注意知識間的聯(lián)系
　　本章的內(nèi)容較多，課程標準“圖形與幾何”領域中圖形的性質、圖形的運動、圖形與坐標各個部分的內(nèi)容在本章都有涉及，教學時要注意把握各個部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，有機的整合各個部分的內(nèi)容。
　　本章從認識軸對稱圖形開始，又進一步介紹了兩個圖形關于某條直線對稱（兩個圖形成軸對稱），要注意這兩個概念間的區(qū)別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，說的是一個具有特殊形狀的圖形，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合。它們的聯(lián)系：定義中都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，這兩個圖形就是關于這條直線成軸對稱，反過來，如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形。從運動的角度來看，成軸對稱的兩個圖形的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱得到，一個軸對稱圖形由它的一部分為基礎，經(jīng)過軸對稱拓展而成。
　　另外，教科書還安排了用坐標表示軸對稱的內(nèi)容，從數(shù)的角度刻畫軸對稱的內(nèi)容。包括關于坐標軸對稱的點或圖形的坐標的變化以及由點或圖形坐標的變化引起點或圖形軸對稱的內(nèi)容。這里的關鍵是要讓學生感受圖形軸對稱之后點的坐標的變化，把“形”和“數(shù)”緊密的結合在一起，把坐標思想和圖形變換的思想聯(lián)系起來。
例14（漢陽區(qū)期中考試題）如圖，利用關于坐標軸對稱的點的坐標特點，分別畫出△ABC關于x軸和y軸對稱的圖形．
關于x軸對稱 關于y軸對稱
2．滿足學生多樣化的學習需求，為學生提供個性化學習的時間和空間
　　本章內(nèi)容中有許多需要發(fā)揮學生想象和個性的活動，如欣賞軸對稱圖案，利用軸對稱進行圖案設計，探究對稱軸是與坐標軸平行（垂直）時軸對稱的坐標特點，發(fā)現(xiàn)等腰三角形中相等的線段等等，這些內(nèi)容都為學生個性化的學習提供了空間。教學時應有意識地滿足學生多樣化的學習需求真正為學生提供個性化學習的時間和空間。例如，對于利用軸對稱設計圖案，不同學生可能會有不同的創(chuàng)意，也會有不同的操作方法（如折疊、剪紙、扎眼、計算機等）完成自己的創(chuàng)意，教師應該鼓勵學生大膽想象、大膽嘗試，不能用唯一的標準判斷全體學生的成果，要把關注點放在活動中的數(shù)學層面上，看學生是否真正理解了軸對稱變換的特點。
　　3．注意推理證明的教學
　　對于推理證明的要求，教科書是按“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等分層次安排的。在這一章，不僅要求學生通過觀察、實驗、探究得出一些有關圖形的結論，還要求學生對這些結論進行證明，使推理證明成為學生探究得出結論的自然延續(xù)，進一步體會證明的必要性。
　　學過等腰三角形后，推理的依據(jù)逐漸多了，題目的復雜程度也增加了，因此，如何尋找證明的思路也成為本章教學的一個難點。教學時，要克服這一難點，關鍵是要加強證明題前分析的教學，幫助學生學會分析證題思路，找出證明的途徑。因為學過的定理多了，從已知出發(fā)可以有多種途徑選擇，分析問題時要結合結論一起考慮，采用“兩頭湊”，教學時可向學生介紹這種方法。
　　另外，以前學生證明問題時，主要考慮利用全等三角形，也總習慣于找全等三角形。雖然涉及利用等腰三角形性質的問題都可以利用全等三角形來解決，但要注意糾正這種不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢。可結合具體問題讓學生自己分析，尋找證明方法。對于可以直接利用等腰三角形性質、判定，垂直平分線的性質的問題，應當讓學生選擇簡便方法。在與等腰三角形有關的一些命題的證明過程中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線。雖然“三線和一”，但添加輔助線時，有時作那條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度也不同，需要具體問題具體分析，這一點要注意。
　　3．重視現(xiàn)代信息技術工具的應用
　　信息技術工具的使用能為學生的數(shù)學學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量功能，這也有利于我們在圖形的運動變化的過程中去發(fā)現(xiàn)其中的不變的位置關系和數(shù)量關系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質，這可以使得許多傳統(tǒng)的數(shù)學教學做不到或做不好的事情變得容易起來。
　　在這一章，信息技術工具是大有用武之地的，許多計算機軟件都有進行軸對稱變換的功能，利用這個功能，可以方便的做出軸對稱圖形，并研究它的性質，教科書也專門安排了一個“信息技術應用”的選學欄目，利用計算機軟件探索軸對稱的性質，探索軸對稱的點的坐標的特點，探索線段垂直平分線的性質，利用計算機軟件進行圖案設計等。有條件的學校，應盡可能多的使用計算機或圖形計算器等信息技術工具，幫助學生的數(shù)學學習。（實際演示）
【典型例題】
例15 （2008·浙江溫州）文文和彬彬在證明“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時，畫出圖形，寫出“已知”，“求證”（如圖），她們對各自所作的輔助線描述如下：
文文：“過點作的中垂線，垂足為”；
彬彬：“作的角平分線”．
數(shù)學老師看了兩位同學的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法需要訂正．”
（1）請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里．
（2）根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程．
例16 (2008·安徽省卷)已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB＝OC。
（1）如圖1，若點O在BC上，求證：AB＝AC；
（2）如圖2，若點O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；
（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示。
證明：
（1）過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足，由題意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC　∴∠B＝∠C，從而AB＝AC?！?分
（2）過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分別是垂足，由題意知，OE＝OF。在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFE。
∴∠OBE＝∠OCF，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD，
∴AB＝AC?！　　?分
（3）不一定成立。……………………10分
（注：當∠A的平分線所在直線與邊BC的垂直平分線重合時，有AB＝AC；否則，AB≠AC，如示例圖）
例17（2008·山東濱州）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：
① AD=BE；
② PQ∥AE；
③ AP=BQ；
④ DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的結論有______________（把你認為正確的序號都填上）． （1）（2）（3）（5）
例18 (漢陽區(qū)期中考試題)等邊△ABO在直角坐標系中的位置如圖13所示，BO邊在x軸上，點B的坐標為（－2，0）點，反比例函數(shù)y＝（x＜0）經(jīng)過點A．
（1）求這個反比例函數(shù)的解析式；
（2）略
（3）如圖15，點D為（1）中的等邊△ABO外任意一點，且∠ADO＝30°，連接AD，OD， BD，則AD2，OD2，BD2之間存在一個數(shù)量關系，寫出你的結論并加以證明．（條件弱化）
例19 （2008·黃陂區(qū)期中考試題）如圖，△AOB和△ACD是等邊三角形，其中AB⊥x軸于E點，點E的坐標為（，0），點C落在x軸上，且點C的坐標為（，0）．
（1）如圖7，求BD的長；
（2）如圖8，連接BD交x軸于F點，求證：∠OFA＝∠DFA；
（3）如圖9，若點P為OB上一個動點，過P向OA、AB作垂線段PM、PN，當P點在OB上運動時（不與點O、B重合），下列兩個結論：①PM＋PN的值不變，②PM－PN的值不變，其中有且只有一個是正確的，請找出這個結論，并求出其值．
例20（2008·黃岡市中考試題）如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，點在同一條直線上，連接，則的長為 ．
例21 (教材習題、漢陽區(qū)期末考試題)已知，如圖，等邊△ABC中，D為AC的中點， 延長BC至E，使CE＝CD．求證：BD＝DE．
變式1：如上圖，等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠BDE=120°，求證：BD=DE；
變式2：如圖1，等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠BDE=120°，將∠BDE繞D點順時針旋轉，則DE與DF還相等嗎？，BE、BF、BC之間有怎樣的數(shù)量關系？（BE+BF=）
變式3：如圖2，等邊△ABC中，D為AC的中點，若∠BDE=120°，將∠BDE繞D點順時針旋轉，則DE與DF還相等嗎？，BE、BF、BC之間有怎樣的數(shù)量關系？（BF－BE =）
第13章　《實數(shù)》分析
【重、難點】本章主要內(nèi)容包括算術平方根、平方根、立方根以及實數(shù)的有關概念和運算。本章的重點是算術平方根和平方根的概念和求法，本章難點是平方根和實數(shù)的概念。
　　教科書的第一節(jié)是平方根，本節(jié)先研究算術平方根，再研究平方根。要求學生自己歸納給出“正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負數(shù)沒有平方根”等這些數(shù)的平方根的特征。
　　教科書第二節(jié)是立方根。對于立方根，教科書采用了與討論平方根類似的方法進行討論。首先設置一個問題情景，從這個問題情景中抽象出數(shù)學問題，就是已知立方體的體積求它邊長的問題，這是一個典型的求數(shù)的立方根的問題。這樣教科書就從這個典型問題引出立方根的概念和開立方運算。接著，教科書類比著平方運算與開平方運算的互逆關系，探討了立方運算與開立方運算的互逆關系，并通過一個“探究”欄目，學習求數(shù)的立方根的方法。在這個“探究”欄目中，要求學生分別計算一些正數(shù)、負數(shù)和0的立方根，通過這些計算，一方面讓學生學習利用立方運算與開立方運算的互逆關系求立方根的方法，另一方面也為下面探討數(shù)的立方根的特征作準備。緊接著這個“探究”欄目，教科書設置了一個“歸納”欄目，由學生歸納給出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0”等這些數(shù)的立方根的特征。最后，教科書介紹了立方根的符號表示，并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質
學習了平方根、立方根以及開方運算后，教科書在第三節(jié)安排了實數(shù)。
首先，教科書通過探究在數(shù)軸上畫出表示和的點，說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示，并指出當數(shù)由有理數(shù)擴充到實數(shù)后，直線上的點與實數(shù)就是一一對應的、平面上的點與有序實數(shù)對也是一一對應的；接著，教科書通過設置思考問題，讓學生體會，在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的一些概念（如絕對值、相反數(shù)等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；最后，教科書結合具體例子說明，有理數(shù)的運算（如加、減、乘、除、乘方運算等），以及運算律、運算性質（如交換律、分配律、結合律等）在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，并且可以進行新的運算（如正數(shù)和0可以進行開平方運算、任何一個實數(shù)可以進行開立方運算）等。
　　與原教科書相比，本章內(nèi)容在原教科書“數(shù)的開方”一章的基礎上，適當增加了有關實數(shù)運算的內(nèi)容（實數(shù)的運算在本套書“二次根式”一章繼續(xù)學習），說明了平面內(nèi)點與有序實數(shù)對一一對應以及在實數(shù)范圍內(nèi)的平移變換等；從內(nèi)容安排上看，改變原教科書先講平方根，將算術平方根作為平方根一種特例的做法，而是從實際出發(fā)，先講算術平方根，再將平方根，加強了與實際的聯(lián)系；在教學目標方面，強調所有學生都應會使用計算器進行開方運算，加強對估算的要求等。
　?。ㄈ┱n程學習目標
1．了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的算術平方根、平方根、立方根；
例1（2008恩施自治州）9的算術平方根是( )
A. ±3 B. 3 C. －3 D.
例2（四川省資陽市）4的平方根是( )
A．4 B．2 C．－2 D．2或－2
例3（2008年南京市）2的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
例4 （2008年武漢市） 計算的結果是（　?。?br/>Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4．
2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根；
例5 (2008年安徽省)化簡=_________。
例6 （2008烏魯木齊）．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，有序實數(shù)對與平面上的點一一對應；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大到實數(shù)后，一些概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化；
4．能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。
例7 （2008年蕪湖市）估計的運算結果應在（　 ?。?br/>Ａ．6到7之間 Ｂ．7到8之間 Ｃ．8到9之間 Ｄ．9到10之間
例8 （2008年遵義市）如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點

例9 (2008年寧波市)比大的實數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
例10 (2008年揚州市)估計68的立方根的大小在 ( )
A、2與3之間 B、3與4之間 C、4與5之間 D、5與6之間
例11 (2008年永州) 下列判斷正確的是（　?。?br/>A． ＜＜2 B． 2＜＋＜3
C． 1＜－＜2 D． 4＜·＜5
　　二、本章編寫特點
　　（一）加強與實際的聯(lián)系
本章內(nèi)容與實際的聯(lián)系是非常密切的。例如，無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù)，開平方運算和開立方運算也是實際中經(jīng)常用到的兩種運算，用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到等等。因此，本章內(nèi)容在編寫時注意聯(lián)系實際，對于一些重要的概念和運算緊密結合實際生活展開，例如算術平方根是從已知正方形的面積求它邊長、立方根是從已知立方體的體積求它邊長等典型的實際問題引出的，再如用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小也是緊密結合實際進行的。編寫時，將本章內(nèi)容與實際緊密聯(lián)系起來，可以使學生在解決實際問題的過程中，認識實數(shù)的有關概念和運算。
例12 (2008年益陽) 一個正方體的水晶磚，體積為100cm3，它的棱長大約在( )
A. 4cm~5cm之間 B. 5cm~6cm之間 C. 6cm~7cm之間 D. 7cm~8cm之間
　　（二）加強知識間的縱向聯(lián)系
本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”這個領域，有關數(shù)的內(nèi)容，學生在七年級上冊已經(jīng)系統(tǒng)地學過有理數(shù)，對有理數(shù)的概念和運算等有了較深刻的認識，本章是在有理數(shù)的基礎上學習實數(shù)的初步知識，本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關內(nèi)容的延續(xù)和推廣，因此，本章編寫時，注意加強知識間的相互聯(lián)系，使學生更好地體會數(shù)的擴充過程中表現(xiàn)出來的概念、運算等的一致性和發(fā)展變化。例如，對于絕對值和相反數(shù)的概念，實數(shù)的運算法則和運算性質，平方與開平方、立方與開立方的互為逆運算關系等都是在有理數(shù)的基礎上展開的。另外，本章前兩節(jié)“平方根”“立方根”在內(nèi)容上基本是平行的，因此，編寫“立方根”這節(jié)時，充分利用了類比的方法，例如類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念，類比開平方運算給出開立方運算，類比平方與開平方運算的互逆關系研究立方與開立方運算的互逆關系等。這樣的編寫方法，有助于加強知識間的相互聯(lián)系，通過類比已學的知識學習新知識，使學生的學習形成正遷移。
　　（三）留給學生探索交流的空間
　　根據(jù)本章內(nèi)容的特點，對于一些重要的概念和結論，編寫時注意了讓學生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結論的過程。例如，對于平方根概念的引入，教科書首先通過一個問題情景，引出已知正方形的面積求邊長的問題，接著又讓學生通過填表的方式，計算幾個不同面積的正方形的邊長，使學生感受到這些問題與以前學過的已知正方形的邊長求面積的問題是一個相反的過程，并由此指出，這些問題抽象成數(shù)學問題就是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題，并在此基礎上給出算術平方根的概念，這樣就讓學生通過一些具體活動，在對算術平方根有些感性認識的基礎上歸納給出這個概念。再比如，在討論數(shù)的立方根的特征時，教材首先設置“探究”欄目，在欄目中以填空的方式讓學生計算一些具體的正數(shù)、負數(shù)和0的立方根，尋找它們各自的特點，通過學生討論交流等活動，歸納得出“正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)”的結論，這樣就讓學生通過探究活動經(jīng)歷了一個由特殊到一般的認識過程，在探究活動的過程中發(fā)展思維能力，有效改變學生的學習方式。
　　三、幾個值得關注的問題
　　（一）把握教學要求
本冊書對于某些內(nèi)容采用提前滲透、逐步提高的編寫方式。例如，對于平面直角坐標系，在第6章“平面直角坐標系”中研究了平面內(nèi)的點與有序數(shù)對的對應關系，其中點的坐標都是有理數(shù)，在本章將把點的坐標由有理數(shù)的情形擴展到實數(shù)范圍，并建立平面內(nèi)的點與有序實數(shù)對的一一對應關系，為后續(xù)學習函數(shù)的圖象、函數(shù)與方程和不等式的關系等打下基礎。
例13 （2007·青山區(qū)期末考試題）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向左滾動一周，圓上一點由原點到達點O′.
以下說法：①點O′表示的數(shù)是π；②若在數(shù)軸上表示－2的點為A，則點A在點O′與點O之間；③若在數(shù)軸上表示（－3）2的算數(shù)平方根的相反數(shù)的倍的點為B,則點B在點O′的左邊；④在數(shù)軸上表示－∣－π∣的點在原點的右邊且到原點的距離與點O′到原點的距離相等.其中說法正確的結論的個數(shù)有（ ）
（A）0個 （B）1個 （C）2個 （D）3個
對于平移變換，教課書在第5章“相交線與平行線”中安排了一節(jié)“平移”，探討得出“平移前后的兩個圖形的對應點的連線平行且相等”等平移變換的基本性質，又在第6章“平面直角坐標系”中安排了用坐標方法研究平移的內(nèi)容，從坐標的角度進一步認識平移變換，這時平移中遇到的坐標都是有理數(shù)的情況。在本章，由于建立了點與有序實數(shù)對的一一對應關系，本章又在實數(shù)范圍內(nèi)研究平移的內(nèi)容，為后續(xù)學習利用平移變換探索平面圖形的幾何性質以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉、軸對稱、相似等）進行圖案設計等打下基礎。
例14（2008·黃陂區(qū)期末考試題）如圖，在平行四邊形ABCO （AB＝OC）中，已知A、C兩點的坐標分別為A(，)、C(2，0)．
(1)將平行四邊形ABCO向左平移3個單位長度，所得四邊形的四個頂點的坐標是多少？
(2)求平行四邊形OABC的面積．
　　本章還通過一個例題學習了實數(shù)的簡單運算，安排這個例題的目的是要說明有理數(shù)的運算法則和運算性質等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立，關于實數(shù)的運算在后面的“二次根式”一章中還要繼續(xù)研究。
　　另外，本章也提前滲透了一些數(shù)學思想和方法。比如，本章的數(shù)學活動1，涉及到勾股定理的內(nèi)容，讓學生利用勾股定理，在數(shù)軸上畫出表示幾個無理數(shù)的點。這里只是結合無理數(shù)滲透了勾股定理，關于勾股定理以后還要進行專門的研究。
　　綜上所述，本章教學時要注意把握教學要求，以一種發(fā)展的、動態(tài)的觀點看待教學要求，不能要求一次到位。
　　（二）發(fā)揮計算器的作用，加強估算能力的培養(yǎng)
　　使用計算器進行復雜運算，可以使學習的重點更好地集中到理解數(shù)學的本質上來，估算是一種具有實際應用價值的運算能力。提倡使用計算器進行復雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學生的運算能力，是本章的一個教學要求。為了達到這個教學目的，本章專門安排了利用計算器求數(shù)的平方根和立方根以及利用有理數(shù)估計無理數(shù)的大致范圍等內(nèi)容。因此，教學中可以結合具體內(nèi)容，綜合利用各種途徑培養(yǎng)學生的運算能力。

小小計算器作用大大
武漢市翠微中學：陳 浩 (430050) 本文發(fā)表在《數(shù)理天地》雜志2007年第3期上
《新課程標準》指出：“應充分考慮計算器，計算機對數(shù)學學習內(nèi)容與方式的影響，把它們作為學生學習數(shù)學和解決問題的強有力的工具”。其實，使用計算器，可以縮短計算時間，提高計算效率，將低勞動強度。本文談談計算器在八年級年級上冊第十三章《實數(shù)》的幾點作用。
利用計算器發(fā)掘規(guī)律
【例1】1，，，…，，，如果從中選出若干個數(shù)，使它們的和大于3，那么至少要選出多少個數(shù)？
解：利用計算器將這組數(shù)1，，，…，，轉化為小數(shù)，1，0.7071，0.5774，0.5，0.4472，…，0.2236，這組數(shù)的特點是從1開始逐漸減少，其中前5個數(shù)之和最大
1++++=1+0.7071+0.5774+0.5+0.4472=3.2317>3，故至少要選5個數(shù)。
【例2】用計算器計算……，，，，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用計算器計算（保留4個有效數(shù)字）并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求，，的近似值。
解：=0.06， ＝0.6， =6， ＝60，由上面的計算觀察可知：被開方數(shù)擴大（縮小）1000倍，它的立方根對應地擴大（縮?。?0倍。由計算≈4.642，則可推出≈0.04642， ≈0.4642， ≈46.42
2．利用計算器驗證結論
【例3】下列計算對嗎？用計算器檢驗，再作猜想：①+=，-=②×=×=，
【例4】利用計算器計算，，，推算的結果是多少？
解：【例3】通過計算器驗證得到，+≠(a≥0，b≥O)，
×=(a≥0，b≥0)【例4】=5， ＝55，=555， 可以規(guī)律：＝
3．利用計算器求值
【例5】金庸的武俠小說《射鵰英雄轉》中有這樣的情節(jié)：黃蓉通過心算迅速計算得到，的值，這使“神算子”瑛姑大為震驚，立即對黃蓉刮目相看，請你利用計算器求出它們的值。（教材習題）
【例6】（2005年陜西省中考題）已知地球的儲水總量約為1.421018m3，而淡水的總量僅占地球儲水總量的2.53%，則地球上淡水的總量用科學記數(shù)法為 (用計算器計算)
【例7】（2005年杭州市中考題）設a=，b=，c=，則a，b，c的大小關系為（ ） (A) a>b>c (B) a>c>b (C) c>b>a (D) b>c>a
解：【例5】=235， ＝324，【例6】1.421018m3×2.53%=3.59261016m3
【例7】利用計算器可以得到：a≈0.3178，b≈0.2679，c≈0.2361，故選A。
4．利用計算器比較大小
【例8】利用計算器比較與7.9的大小
【例9】（2006年陜西省中考題）用計算器比較 （添“>”，“=”，“<”）
【例10】與最接近的兩個整數(shù)是多少？
解：【例8】≈7.8998，故<7.9，【例9】≈2.2240，≈2.2360
故<，【例10】≈16.4317， ，16<<17， 故與最接近的兩個整數(shù)分別是16，17.

（三）重視人文教育
　　無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學史上的第一次危機，是數(shù)學發(fā)展史上的重要里程碑。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了一個漫長而艱苦的過程，在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程中，體現(xiàn)了人類為追求真理而不懈努力的精神。因此，教學時可以結合無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，挖掘數(shù)學知識的文化內(nèi)涵，使學生感受豐富的數(shù)學文化，開闊他們的眼界，增長他們的見識。
　　另外，本章編寫時注意加強與實際的聯(lián)系，在選擇素材時，力求選取學生感興趣的和富有時代氣息的實際問題。例如，本章選擇了我國神舟5號載人飛船取得圓滿成功的素材，通過這個素材可以使學生從數(shù)學的角度更多地了解航天知識，培養(yǎng)學生的民族自豪感和愛國主義情操，激勵學生更加努力地學習，這樣使學生在學習數(shù)學的同時，也得到了人文方面的教育。
八年級數(shù)學上冊教材分析2
第14章　《一次函數(shù)》簡介
　　【學習內(nèi)容】本章的主要內(nèi)容包括：變量與函數(shù)的概念，函數(shù)的三種表示法，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念、圖象、性質和應用舉例，用函數(shù)觀點再認識一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組，以及以建立一次函數(shù)模型來選擇最優(yōu)方案為主要內(nèi)容的課題學習．
【重、難點】其中，14．1節(jié)是全章的基礎部分，14．2節(jié)是全章的重點內(nèi)容，14．3節(jié)是引申的內(nèi)容，起加強知識前后聯(lián)系的作用，14．4節(jié)是探究性學習的內(nèi)容，以課題學習的形式呈現(xiàn)，突出建立數(shù)學模型的實際意義和思想方法．
函數(shù)的概念是數(shù)學中極為重要的基本概念，它的抽象性較強，接受并理解它有一定難度，這也是本章的難點．
　　變化與對應的思想體現(xiàn)在函數(shù)概念之中，用運動變化的眼光，以函數(shù)為工具，從數(shù)量關系和圖象兩方面動態(tài)地分析問題，是本章學習的特點．
1．以探索實際問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律為背景，經(jīng)歷“找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實際問題”的過程，體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學模型；
例1（2008·成都）2008年5月12日，四川汶川發(fā)生8.0級大地震，我解放軍某部火速向災區(qū)推進，最初坐車以某一速度勻速前進，中途由于道路出現(xiàn)泥石流，被阻停下，耽誤了一段時間，為了盡快趕到災區(qū)救援，官兵們下車急行軍勻速步行前往，下列是官兵們行進的距離Ｓ（千米）與行進時間t（小時）的函數(shù)大致圖像，你認為正確的是（　　?。?br/>　　例2 （2006年仙桃市中考試題&漢陽區(qū)期末考試題）如圖，烏鴉口渴到處找水喝，它看到了一個裝有水的瓶子，但水位較低，且瓶口又小，烏鴉喝不著水，沉思一會后，聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，烏鴉喝到了水， 在這則烏鴉喝水的故事中，設從烏鴉看到瓶的那刻起向后的時間為x，瓶中水位的高度為y，下列圖象中最符合故事情景的是（ ）
y y
O A． x O B． x
y y
O C． x O D． x
第7題圖
2．結合實例，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會“變化與對應”的思想，了解函數(shù)的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法），能利用圖象數(shù)形結合地分析簡單的函數(shù)關系；
　?。ㄒ唬┝斜矸?br/>例1 （2007·甘肅白銀市）某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：
x （元）
15
20
25
…
y （件）
25
20
15
…
若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)．
（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；
（2）求銷售價定為30元時，每日的銷售利潤．
解：（1）設此一次函數(shù)解析式為
則 解得k＝1，b＝40．
即一次函數(shù)解析式為．
（2）每日的銷售量為y＝－30＋40＝10件， 所獲銷售利潤為（3010）×10＝200元
（二）解析式法
例2 （2008 ·泰州市）根據(jù)流程右邊圖中的程序，當輸入數(shù)值x為－2時，輸出數(shù)值y為( )
A．4 B．6
C．8 D．10
（三）圖象法
例3 (2008·常州市) 甲、乙兩同學騎自行車從A地沿同一條路到B地,已知乙比甲先出發(fā),他們離出發(fā)地的距離s(km)和騎行時間t(h)之間的函數(shù)關系如圖所示,給出下列說法:
(1)他們都騎行了20km;
(2)乙在途中停留了0.5h;
(3)甲、乙兩人同時到達目的地;
(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.
根據(jù)圖象信息,以上說法正確的有
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
3．理解正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫它們的圖象，能結合圖象討論這些函數(shù)的基本性質，能利用這些函數(shù)分析和解決簡單實際問題；
例1 （漢陽區(qū)期末考試題）一次函數(shù)與的圖象如上圖所示，則下列結論： ①，，b＞0；②不等式kx＋b＜0的解集是x＞4；③不等式x＋a＜kx＋b的解集是；④點p1（c1，d1），點p2（c2，d2）是一次函數(shù)y1＝kx＋b圖象上的兩個點，且c1＜c2，則d1＜d2．其中正確的結論有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4．通過討論一次函數(shù)與方程（組）及不等式的關系，從運動變化的角度，用函數(shù)的觀點加深對已經(jīng)學習過的方程（組）及不等式等內(nèi)容的認識，構建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識體系；
例1（2008·烏魯木齊市）一次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象如圖2所示，
則不等式的解集是（ ）
A． B．
例2（2008·沈陽市）一次函數(shù)的圖象如圖所示，當時，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例3 （2008·武漢市）如圖，直線經(jīng)過A（－2，－1）和B（－3，0）兩點，則不等式組 的解集為 ?。?br/>變式： x＋1＜kx＋b＜0 的解集為 　
例4（2009·武漢市5月調考）如圖，直線經(jīng)過A(－1，2)和B(－3，0)兩點，則不等式組的解集是 。
例5 （2009·武漢市4月調考）如圖，直線y＝kx＋b經(jīng)過A（1，2）和B（－2，0）兩點，則不等式組－x＋3≥kx＋b＞0的解集為__________
例5圖 例6圖
例6（2009·武漢市）如圖，直線經(jīng)過，兩點，則不等式的解集為 ．
　　5．在課題學習中，以選擇方案為問題情境，進行探究性學習，進一步體會建立數(shù)學模型的方法與作用，提高綜合運用函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力．
例1 （2008·武漢市5月）某縣今年水果大豐收，A村有柑桔20噸，B村有蘋果30噸.果農(nóng)了解到市內(nèi)C，D兩超市如下信息:C超市需柑桔，蘋果共24噸，D超市需柑桔，蘋果共26噸，且每個超市需要的蘋果數(shù)量多于柑桔數(shù)量;從A村運往C，D兩超市的費用分別為200元/噸和250元/噸，從B運往C，D兩超市的費用分別為150元/噸和180元/噸.設從A村運往C超市的柑桔重量為x噸(x為整數(shù))，將A，B兩村的柑桔，蘋果運往C，D兩超市總的運輸費用為y元.
(1)求出y與x之間的函數(shù)關系式;
(2)要將這批柑桔，蘋果運到C，D兩超市，共有幾種方案符合要求?哪種方案能使兩村所花運費之和最小?在此基礎上設計一種使A，B兩村合理分擔運費的方案.
　　
例2（漢陽區(qū)期末考試題）2008年元月期間，我國華中地區(qū)的市．市因雪災道路結冰，急需要化冰鹽分別為90噸和60噸．現(xiàn)有兩個臨近城市的倉庫和倉庫分別庫存有100噸和50噸，全部調運給市、市．已知從倉庫運鹽到、市的運費分別為35元/噸和30元/噸．從倉庫運鹽到、市的運費分別為40元/噸和45元/噸，求從倉庫運往市的化冰鹽是多少噸時總運費為最低，最低運費是多少？
三個難點：1、畫出示意圖，列出函數(shù)的表達式；2、確定自變量的取值范圍；3、根據(jù)k值得到函數(shù)的增減性，確定函數(shù)的最（大）小值。
?。ǘ┯煤瘮?shù)觀點回顧與審視相關內(nèi)容，加強知識體系的構建
在學習過程中，人們需要不斷地提高認識問題的水平，這包括對過去已認識過的事物的再認識，也包括對新認識的事物與已認識的事物之間的聯(lián)系的認識．這種認識水平的提高，是構建知識體系的過程中不可缺少的．
一次函數(shù)知識要點及例題解析
[數(shù)學名言]
“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”. －－－華羅庚
1.知識結構
確定一次函數(shù)表達式
一次函數(shù)的圖像

函數(shù)
一次函數(shù)
一次函數(shù)圖像的應用

2.有關概念
2.1函數(shù)（fun_ction）定義：
設在一個變化過程中，有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應就確定了一個y的值，就說y是x的函數(shù)．x是自變量，y是因變量.
要理解函數(shù)的概念需要注意兩點：
第一、自變量x必須要在“特定意義范圍內(nèi)取值”，如表達式是：
1.整式，x取一切實數(shù)；
2.分式，x取分母不為零的數(shù)；
3.二次根式，x取使被開方數(shù)為非負數(shù)的數(shù)，三次根式，則x取一切實數(shù)；
4、冪函數(shù)，底數(shù)是不為0的數(shù)；
5、實際問題則根據(jù)實際需要來確定。
例1 （2009·武漢市）函數(shù)中自變量的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
解析：二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0．則由題意可知， 2x－1≥0，解得x≥，故選B．
例2 （2009·大興安嶺市）函數(shù)中，自變量的取值范圍是 ．
解析：由已知條件可知x≥0且x－1≠0，則自變量的取值范圍是x≥0且x≠1．
例3 （2009·廣州市）下列函數(shù)中，自變量的取值范圍是≥3的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
解析：答案為D，注意冪函數(shù)的底數(shù)不為0.
例4（2008·武漢市）某商品的進價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調查反映：如果每件的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設每件漲價元（為非負整數(shù)），每星期的銷量為件．
⑴求與的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；（根據(jù)自變量的實際意義）
第二、函數(shù)關系是變量x與y的一種特殊對應關系（呈現(xiàn)方式可以是表達式、圖象或表格），而且對自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應．所謂“唯一”就是有一個且只有一個．
一次函數(shù)的圖象和性質
一、知識要點：
1、一次函數(shù)：形如y＝kx＋b (k≠0， k， b為常數(shù))的函數(shù)．
注意：（1）k≠0，否則自變量x的最高次項的系數(shù)不為1；
　 　（2）當b＝0時，y＝kx，y叫x的正比例函數(shù)．
2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，
（1）兩個常有的特殊點：與y軸交于（0，b）；與x軸交于（－，0）
（2）由圖象可以知道，直線y＝kx＋b與直線y＝kx平行，例如直線：y＝2x＋3與直線y＝2x－5都與直線y＝2x平行．
3、性質：
　(1)圖象的位置: 　 　　　　
　(2)增減性
　　k＞0時，y隨x增大而增大
　　k＜0時，y隨x增大而減小
例1（漢陽區(qū)期末考試題）直線y＝2x－1不經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2（2008·郴州市）一次函數(shù)不經(jīng)過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例3（2008·茂名）已知反比例函數(shù)＝(≠0)的圖象，在每一象限內(nèi)，的值隨值的增大而減少，則一次函數(shù)＝－＋的圖象不經(jīng)過（ ）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
例4（2008·福州）一次函數(shù)的圖象大致是（ ）

例5 (2008年西寧市，漢陽區(qū)期末考試選用) 已知函數(shù)中，時，隨的增大而增大，則的大致圖象為（ ）

2.4一次函數(shù)圖象的應用：
為了更好地生存，我們必須在理財、購物、貿(mào)易、車房、抗害、戰(zhàn)爭等領域進行風險分析和預測，我們通常利用物量的線性關系（即一次函數(shù)關系）進行理性地決策，通過對一次函數(shù)知識研究，能夠提升分析問題和解決問題的能力.
例（漢陽區(qū)期末考試題）如圖，小亮早晨從家騎車去學校，先走下坡，后走上坡，去時的行程情況如圖所示，若返回時，他的下坡和上坡的速度仍然保持不變，小亮從學校按原路回家的時間是（ ）
A．32分鐘 B．34分鐘 　　C．36分鐘 D．40分鐘
1.如何掌握一次函數(shù)的概念
例題1 已知：是一次函數(shù)，求的值.
解：由題意得：0，且
，或（舍去）
因此，.
解后反思：
（1）一次函數(shù)中：≠0，自變量的最高次項的次數(shù)為1.
（2）易錯點：忽視0這一限制條件而出錯.
變式：一次函數(shù)中，如何確定函數(shù)值的增減性？如果把本題改為是一次函數(shù)，且隨著的增大而減小，請你求的值．
[例題2] 已知，直線與平行，且過點（1，－2），請問直線不經(jīng)過哪個象限？
解： 由題意得： ， ；
又： －2＝3×1＋， ；
即直線不經(jīng)過第一象限.
解后反思：
（1）直線y＝＋與直線y＝平行，即，反之亦然；
（2）直線經(jīng)過點（），或點（）在直線上，則滿足關系式，就是.
（3）題中直線中，.
（4）易錯點：本題提到的直線有三條，要搞清是對哪條直線提出問題；另外，有的同學審題粗心易回答成經(jīng)過的象限.
例題3 如圖所示，已知直線交軸于點B，交軸于點A，求：
（1）與的函數(shù)關系式；（2）AOB的周長和面積。
解析：（1）直線中，設：， 點A（0，2）在直線上，；
又B（3，0）在直線上，；因此，.
（2）從圖象觀察得，OA＝2，OB＝3，由勾股定理得，，
AOB的周長為：OA＋OB＋AB＝5＋（單位長度）；
AOB的面積為：S（單位平方）
解后反思：（1）確定一次函數(shù)的表達式，就是求待定系數(shù)，．一般已知直線上兩雙不同對應值，可以得到兩個方程，求出，.
（2）第二小題，是涉及函數(shù)與幾何的綜合題，根據(jù)勾股定理、三角形有關性質等知識，運用數(shù)形結合的思想求得.
（3）易錯點：用坐標表達線段長度時，要注意加絕對值符號，如P（0，－7），則OP＝|－7|＝7
變式：如果本題改為直線交軸于點A，交軸于點B，且AOB的面積為3，求的值.
二、衣食住行離不開數(shù)學，我們?nèi)绾螌W以至用？
例題4 衣的問題：媽媽在用洗衣機洗滌衣服時，經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y(升)與時間x(分鐘)之間的關系
如折線圖所示：根據(jù)圖象解答下列問題：
1.洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？
2.已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升；求排水時與之間的關系式．②如果排水時間為2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量．
解：觀察圖象得：
洗衣機的進水時間是4分鐘，清洗時洗衣機中的水量是40升；
2.（1）排水時與之間的關系式為：
＝；（15≤≤）
（2），×17＋325＝2（升），即洗衣機中剩下2升水.
解后反思：
（1）其實進水過程，即0≤≤4，；清洗時過程，即10≤≤15時，；
（2）易錯點：本題容易對的含義產(chǎn)生誤解，錯把當排水時間，從而寫成：.
例1 (2008·寧波市)如圖，某電信公司提供了兩種方案的移動通訊費用（元）與通話時間（元）之間的關系，則以下說法錯誤的是（ ）
A．若通話時間少于120分，則方案比方案便宜20元
B．若通話時間超過200分，則方案比方案便宜12元
C．若通訊費用為60元，則方案比方案的通話時間多
D．若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分
例2 （2008·襄樊市）我國是世界上嚴重缺水的國家之一．為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費辦法收費．即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費，超過10噸的部分，按每噸元（）收費．設一戶居民月用水噸，應收水費元，與之間的函數(shù)關系如圖13所示．
（1）求的值；某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元？
（2）求的值，并寫出當時，與之間的函數(shù)關系式；
（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4噸，兩家共收水費46元，求他們上月分別用水多少噸？
例3（2009· 黑龍江大興安嶺）一個水池接有甲、乙、丙三個水管，先打開甲，一段時間后再打開乙，水池注滿水后關閉甲，同時打開丙，直到水池中的水排空．水池中的水量與時間之間的函數(shù)關系如圖，則關于三個水管每小時的水流量，下列判斷正確的是 （ ）
A．乙>甲 B． 丙>甲 C．甲>乙 D．丙>乙
例題5 住的問題：朝陽居民小區(qū)按照分期付款的福利售房方式購房，政府給予一定的貼息.王林家購得一套現(xiàn)款價值120000元的房子，購房時首期（第一年）付款30000元，從第二年起，以后每年應付房款為5000元與上一年剩余欠款利息的和.（剩余欠款年利率為0.4%）
(1)若第()年小明家交付房款元，求與的函數(shù)關系式;
(2)求第三、第十年的應付房款值.
解析：(1)第一年付房款：30000元，
第二年付房款：5000＋（120000－30000）×0.4%元，
第三年付房款：5000＋（120000－30000－1×5000）×0.4%元，
第四年付房款：5000＋（120000－30000－2×5000）×0.4%元，
……
第年付房款：5000＋[120000－30000－（－2）×5000]]×0.4%元，
即＝5000＋[120000－30000－（－2）×5000]]×0.4%＝－20＋5400；
(2) ＝3時，＝＝－20×3＋5400＝5340元，第三應付房款值5340元；
＝10時，＝＝－20×10＋5400＝5200元，第十應付房款值5200元.
解后反思：
（1）住房問題是居民生活的熱門話題，也是需要用數(shù)學知識解決的實際問題；
（2）通過枚舉法，探索、歸納，最后總結規(guī)律，前、后年差別在5000前面的因數(shù)，通過對比發(fā)現(xiàn)，第年5000前面的因數(shù)是（－2）.
（3）易錯點：第年剩余欠款的規(guī)律不易找到.
三、求一次函數(shù)解析式的方法
　　求函數(shù)解析式的方法主要有三種：
一、由已知函數(shù)推導或推證
例1 已知y＝，其中＝(k≠0的常數(shù))，與成正比例，求證y與x也成正比例．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
證明：∵與成正比例，
　　設＝a(a≠0的常數(shù))，
　　∵y＝， ＝(k≠0的常數(shù))，
　　∴y＝·a＝akx，
　　其中ak≠0的常數(shù)，
　　∴y與x也成正比例．
二、由實際問題列出二元方程，再轉化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒有寫出函數(shù)解析式前無法（或不易）判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關系．
　例2 已知一次函數(shù)＝(n－2)x＋－n－3的圖象與y軸交點的縱坐標為－1，判斷＝(3－)是什么函數(shù)，寫出兩個函數(shù)的解析式，并指出兩個函數(shù)在直角坐標系中的位置及增減性．
　　解：依題意，得
　　解得 n＝－1，
　　∴＝－3x－1，
　　＝(3－)x， 　是正比例函數(shù)；
　?。剑?x－1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，隨x的增大而減??；
　?。?3－)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨x的增大而增大．
　　說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關鍵是構造關于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項就是圖象與y軸交點縱坐標”來構造方程．
　　
三、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
　　“待定系數(shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉化為方程（組）來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構造方程一般有下列幾種情況：
　　①利用一次函數(shù)的定義
　　
　　構造方程組．
利用一次函數(shù)y＝kx＋b中常數(shù)項b恰為函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標，即由b來定點；直線y＝kx＋b平行于y＝kx，即由k來定方向
利用函數(shù)圖象上的點的橫、縱坐標滿足此函數(shù)解析式構造方程
④利用題目已知條件直接構造方程．
一次函數(shù)的解析式的新面孔

武漢市翠微路中學 陳浩 430050
一次函數(shù)的解析式為y＝kx＋b（k≠0，k，b為常數(shù)），要確定一次函數(shù)的解析式，就是在給定的條件下，確定k，b的值，現(xiàn)根據(jù)給出的條件分類，將確定一次函數(shù)解析式的題型分類透視，供同學們學習時參考．
一、給出一次函數(shù)的定義．
【例1】（2006·黃岡市） 已知函數(shù)是一次函數(shù)，求其解析式．
解析：由一次函數(shù)定義知，由（2）知m＝±1，當m＝－1時，m2－2m＋3＝0，舍去，∴當m＝1時，一次函數(shù)的解析式為y＝2x－5．
友情提示：利用定義求一次函數(shù)y＝kx＋b解析式時，要保證k≠0．如本例中應保證m2－2m＋3≠0．
二、給出開放的條件．
【例2】 （2008·泉州市）已知一次函數(shù)的圖象過點（1，－4），且y隨x的增大而減小，請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)解析式．
解析：（1）由條件知，從特殊的角度出發(fā)，該函數(shù)為正比例函數(shù)，設為y＝kx，過（1，－4），代入解析式中的k＝－4，則該函數(shù)的解析式為y＝－4x．（2）根據(jù)條件畫出草圖，逆向思維，大膽反推，由于該函數(shù)y隨x的增大而減小，不妨令k＝－1，則設該函數(shù)的解析式為y＝－x＋b，該函數(shù)的圖象過（1，－4），則有－4＝－1＋b，b＝3，則該函數(shù)的解析式為y＝－x＋3．
友情提示：由于開放型問題的條件放得很開，我們只需逆向思考，從最簡單的情形出發(fā)，畫出符合條件的直線，認真推敲，細心檢驗，可以很快從中找到一個符合條件的一次函數(shù)．
三、給出一次函數(shù)的圖象上的兩個點的坐標．
【例3】（2008·上海市） 已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過點（－1，6），（4，－4）兩點，求這個函數(shù)的解析式．
解析：一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過點（－1，6），（4，－4）兩點，∴，解得，故這個一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋4．
【例4】（2008·棗莊市）已知某個一次函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為__________．
解析：設一次函數(shù)解析式為y＝kx＋b，由圖可知一次函數(shù)的圖象過點（0，－2）、（3，1），∴，∴，故這個一次函數(shù)的解析式為y＝x－2．
四、給出k的值與某點的坐標．
【例5】過點（2，1）的一次函數(shù)的圖象與y＝－2x＋3平行，則這個函數(shù)的解析式為_____________．
解析：設一次函數(shù)解析式為y＝kx＋b，∵該一次函數(shù)的圖象與y＝－2x－13平行，故k＝－2，又∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1），∴－2×2＋b＝1，∴b＝5．故這個一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋5．
五、給定b的值與一點的坐標．
【例6】已知一次函數(shù)y＝kx＋b，當x＝1時，y＝－2，且它的圖象與y軸交點的縱坐標為－5，求出該函數(shù)的解析式．
解析：一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與y軸焦點的縱坐標為－5，∴b＝－5，則一次函數(shù)的解析式為y＝kx－5，當x＝1時，y＝－2，代入該函數(shù)的解析式中，k－5＝－2，解得k＝3，故直線的解析式為y＝3x－5．
六、給出某直線將其平移．
【例7】把直線y＝7x－8向上平移10個單位得到的圖象解析式為___________．
解析：設函數(shù)解析式為y＝kx＋b，∵直線y＝7x－8向上平移10個單位得到的直線的解析式為 y＝7x－8＋10，即：y＝7x＋2．
友情提示：一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象向上平移m（m≥0）個單位后的解析式為y＝kx＋b＋m．向下平移n（n≥0）個單位后的解析式為y＝kx＋b－n．
七、給出實際問題
【例8】某油箱中存油20升，滿載50升，現(xiàn)向油箱中均勻加油，加油流速為0.2升/分鐘，則油箱中油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數(shù)關系式為___________．
解析：由題意得Q＝20＋0.2t， ∵20≤Q≤50，∴20≤20＋0.2t≤50，求得0≤t≤150．
友情提示：求實際應用型問題的函數(shù)關系式要寫出自變量的取值范圍．
（六）結合課題學習，提高實踐意識與綜合應用數(shù)學知識的能力
本節(jié)的教學應特別關注引導學生獨立思考，分析實際問題中所包含的變量及其關系，并以函數(shù)形式表示它們，即建立函數(shù)模型．在獨立思考的基礎上，可以進行合作交流式的學習活動，深化對問題的認識．本節(jié)的教學形式應與一般例題教學有所區(qū)別，要更強調學生的主動性，使他們通過研究問題進一步感受建立數(shù)學模型的思想方法，切實提高實踐意識與綜合應用數(shù)學知識的能力．

一次函數(shù)的超級鏈接（本文發(fā)表在《數(shù)理天地》雜志上）
武漢市翠微路中學：陳浩 430050
原題 如圖，直線AB與x軸，y軸的交點為A，B兩點，
點A，B的縱坐標、橫坐標如圖所示．求直線AB的解析式
及△AOB的面積．
解析：設直線AB的解析式為y＝kx＋2，因為直線AB
過（4，0）點，所以4k＋2＝0，則k＝－，則直線
AB的解析式為y＝－x＋2，．
變式1：當x滿足什么條件時，y＞0；y＝0；y＜0；0＜y＜2?
解析：當x＜4時，y＞0；x＝4時，y＝0；x＞4時，y＜0；當0＜x＜4時，0＜y＜2．
變式2：在x軸上是否存在一點P，使＝3？若存在，求出點p的坐標，若不存在，說明理由．
解析：存在這樣的點P，使＝3
∵
∴PB＝3，
∴
∴＝1或＝7
則點P的坐標為（1，0）或（7，0）．
點評：以上三個小題涉及了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與不等式的關系，一次函數(shù)與一元一次方程的關系，點到x軸的距離與該點的縱坐標的關系以及三角形的面積等綜合知識，值得關注的是的第（3）小題中△PAB中，OB邊上的高為點A的縱坐標的絕對值，則．
變式3：如圖，在直線上有一點C，且xC＝0.4，求點C的坐標及．
解析：∵點C在直線AB上，故點C的坐標（xC，yC）滿足直線AB的解析式y(tǒng)＝－x＋2
∴yc＝－xc＋2＝－×0.4＋2＝1.8．
則點c在坐標為（0.4，1.8）
．
變式4：如圖，直線AB上有一點D，且yD＝1.6，求點D的坐標．
解析： ∵點D在直線AB上，故點D的坐標（xD，yD）滿足直線AB的解析式y(tǒng)＝－x＋2
yd＝－0．5xd＋2
即：1.6＝－xD＋2，xD＝0.8．
則點D在坐標為（0.8，1.6）．
點評：以上兩題在已知直線解析式與直線上一點的橫（縱）坐標時，可以利用代入或解方程的辦法求出該點點縱（橫）坐標，同時值得關注的是第（4）小題△AOC中，OA邊上的高為點C的橫坐標的絕對值，則．
變式5： 在（5）的情況下，求直線OD的解析式，
解析：由于直線OD經(jīng)過坐標原點，則直線OD應是
正比例函數(shù)，設直線OD的解析式為y＝ax，因為直線OD
經(jīng)過點（0.8，1.6），∴1.6＝0.8a， ∴a＝2，
∴直線OD的解析式為y＝2x．
變式6：在直線AB上是否存在一點E，使E到x軸的距離為1.5，若存在，求出點E的坐標，若不存在，說明理由．
解析：存在這樣的點E，使點E到x軸的距離為1.5．若點E到x軸的距離為1.5
則有＝1.5，∴＝1.5或－1.5．
① 當＝1.5時，
－xE＋2＝1.5，
求得，xE＝1，
② 當＝－1.5時，
－xE＋2＝－1.5，
求得，xE＝7．
∴存在這樣的點E，使點E到x軸的距離為1．5，點E的坐標為（1，1．5）或（7，1．5）．
變式7：在直線AB上是否存在一點F，使F到y(tǒng)軸的距離為0．6，若存在，求出點F的坐標，若不存在，說明理由．
解析：存在這樣的點F，使點F到y(tǒng)軸的距離為0.6．
若點F到y(tǒng)軸的距離為0.6，則有＝0.6，∴＝0.6或－0.6．
① 當＝0.6時，
yF＝－xF＋2＝－×0.6＋2＝1.7，
② 當＝－0.6時，
yF＝－xF＋2＝－×（－0.6）＋2＝2.3．
∴存在這樣的點F，使點F到y(tǒng)軸的距離為0.6，點F的坐標為（0.6，1.7）或（－0.6，2.3）．
變式8：在直線AB上是否存在一點G，使，若存在，求出點G的坐標，若不存在，說明理由．
解析：∵
∴＝2，
∴
∴，以下解答過程參考鏈（7）的解答，答案為G（2，1）或G（6，－1）．
變式9：在直線AB上是否存在一點H，使，若存在，求出點H的坐標，若不存在，說明理由．
解析：∵
∴＝1，
∴
∴，以下解答過程參考鏈（8）的解答，正確的答案為H（1，1.5）或H（－1，2.5）．
變式10：若直線AB上有兩動點P（m，n），Q（u，v），當點P、Q在直線AB上運動時，給出下列兩個結論：①的值不變，②的值不變，其中有且只有一個結論是正確的，請你找出這個結論并求出其值．
解析：將結論①化簡得，
．
將結論②化簡得，
．
∵P（m，n），Q（u，v）是直線AB上的兩點，
∴∴
∴∴
由此得結論②是正確的，其值為：．
總評：這是由課本習題改變而來的習題，涉及用“待定系數(shù)法”確定一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式，點到x軸，y軸的距離與點的縱坐標、橫坐標的關系，三角形的面積，一次函數(shù)與一元一次方程，一元一次不等式的關系，因式分解等相關知識點，滲透了類比聯(lián)想，分類討論的數(shù)學思想方法．這樣的習題，多歸納總結，多分析感悟，定能起到事半功倍的學習效果．
例 2（漢陽區(qū)期末考試壓軸題）如圖1，直線y＝－2x＋4分別與x軸、y軸相交于點A和點B，以B為頂點在第一象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點C的坐標；
（2）在y軸上是否存在一點M，使得MA＋MC最小，如果存在，請求出的點M的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若P點為y軸正半軸上一個動點，分別以AP、OP為腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，連接CD交y軸于N點，當點P在y軸上移動時，下列兩個結論：①CD－CP的值不變；②PN的長度不變．其中有且只有一個是正確的，請選擇，并求其值．
例3（武漢市江岸區(qū)期末考試題壓軸題）如圖1，已知直線y＝2x＋2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，以B為直角頂點在第二象限作等腰Rt△ABC．
（1）求點C的坐標，并求出直線AC的關系式；
（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點D，連接AD，若AD＝AC，求證：BE＝DE；
（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于M，P(，k)是線段BC上一點，在線段BM上是否存在一點N，使直線PN平分△BCM的面積？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
第15章　《整式的乘除與因式分解》
一、本章的知識概況
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二、本章的教學要求及重難點
重點：整式的乘除法 難點：乘法公式的靈活運用
三、基本公式
?1、冪的運算性質（四個）
? aman＝am＋n； (am)n＝amn； (ab)n＝anbn； am÷an＝am－n
一個規(guī)定：a0＝1（a≠0）
?2、特殊的一次二項式乘法公式： (x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab
?3、乘法公式：? (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2
??????推廣 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
?4、變形：?a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ；?a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
四、本章的主要知識點
1．本章學習的主要性質——冪的運算性質
（1）對于同底數(shù)冪除法性質的理解及應用中應注意的問題是：
? ①任何性質都有適用范圍及適用條件。
如：am÷an＝am－n(a≠0，m、n為正整數(shù)，且m>n)
? ?②分清同底數(shù)冪的除法性質的條件和結論。
條件：同底數(shù)冪，相除。如：－a5÷(－a)5 就不能直接運用性質計算，結論是：底數(shù)不變，指數(shù)相減。
???③底數(shù)a仍具廣泛意義。
a不僅可代表一個數(shù)或一個字母，也可能是一個整式。
如(x－y)m÷(x－y)、(ab)8÷(ab)1－k
例1（漢陽區(qū)期末考試題） 若am＝2，an＝3，ap＝5，則的值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1 D． 0
例2（2009·泰安市）若（ ）
（A） （B）－2 （C） （D）
例3（2009·安徽?。┫铝羞\算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例4（2009·桂林市）下列運算正確的是（ ）．
A． B． 　 C．·＝ 　　D．
④能靈活運用同底數(shù)冪的除法性質來解題。
例：若10a＝20，10b＝，試求9a÷32b的值。???????? ???
解：∵10a＝20?? 10b＝?????? 又∵9a÷32b＝9a÷9b＝9a－b
??? ∴10a÷10b＝20÷???????? ∴9a÷32b＝92
??????? ??10a－b＝102?????????????????? ＝81
?????????? a－b＝2
（2）對于同底數(shù)冪的乘法性質的理解和應用。
與對同底數(shù)冪除法性質的要求有相似之處外，還要注意與合并同類項的區(qū)別。
例如、－2a2＋a2與－2a2×a2不同點有三:
①運算性質不同，前者是整式加法，后者是同底數(shù)的乘法。 ②計算方法不同。③結果不同。－2a2＋a2＝－a2，－2a2×a2＝－2a4。
（3）積的乘方、冪的乘方（略）。
（4）關于冪的運算
? ①冪的運算實際可轉化為指數(shù)運算；
? ②指數(shù)運算比冪的運算低一級，即冪相乘，指數(shù)相加；冪相除，指數(shù)相減;冪乘方，指數(shù)相乘；
? ③運算過程中底數(shù)不變，指數(shù)有正整數(shù)擴充到整數(shù)范圍后，冪的各個運算性質仍舊適用；
? ④四條性質均可直接用、逆向用、綜合用。
例1　　已知(xyz)2·M＝x2n＋2yn＋3z4÷5x2n－1yn＋1z，且自然數(shù)x、z滿足2x·3z－1＝72，求M的值。
?? 解：∵(xyz)2·M＝x2n＋2yn＋3z4÷5x2n－1yn＋1z
?? ∴x2y2z2·M＝x3y2z3
????????? ????M＝xz
又∵自然數(shù)x、z滿足2x·3z－1＝72
? ∴2x·3z－1＝23·32
?∴x＝3? z＝3
? ∴M＝×3×3＝
　　　例2 （漢陽區(qū)期末考試題）先化簡，再求值，其中a＝1004，b＝2.
2、本章的兩個特別規(guī)定
（1）a0＝1(a≠0)，也就是任何一個不等于0的數(shù)的零次冪都等于1。這是同底數(shù)冪相除被除式與除式指數(shù)相同時，根據(jù)除法意義推導出來的。對于零指數(shù)的意義，我們要從以下幾方面理解：
為什么課本上說是一種規(guī)定呢？規(guī)定:a0不能理解成0個a相乘；? ?
② 這種規(guī)定的合理性除了可用同底數(shù)冪除法性質解釋外，還可以用乘除法的逆運算來說明?！遖m·a0＝?am? ∴a0＝am÷am＝1；
?? ③ 當?shù)讛?shù)的值不能確定時要注意討論；
????? ④規(guī)定的拓展：如這種變換對于我們今后簡化有關負整數(shù)次冪的計算有很大幫助。
例1 若a＝－0.32，b＝－3－2，c＝(－)－2，d＝(－)0，則a、b、c、d從大到小排列____
?解：∵a＝－0.32＝－0.09， b＝－3－2＝－()2＝－， c＝(－)－2＝(－3)2＝9， d＝(－)0＝1，∴c>d>a>b。
規(guī)定了零指數(shù)和負指數(shù)冪的意義后，指數(shù)觀念由正整數(shù)擴充到整數(shù)范圍后，冪的各個運算性質仍舊適用。
3、本章學習的主要法則
一、計算整式的乘除，要注意以下幾點：
⑴運用冪的運算性質時，系數(shù)、底數(shù)、指數(shù)及符號問題是易錯的地方，運用時一要準確、二要小心謹慎。
⑵多項式相乘時，首先不要盲目運用多項式相乘的法則，要觀察分析給定多項式的結構特征，能運用乘法公式簡化計算的一定要用乘法公式。
⑶一個題目往往不是單一運算，而是多種運算的總合，因此計算時首先要確定運算順序努力做到用法合理，步驟簡捷明了。
4、乘法公式
二、學習乘法公式要注意
(1)把握公式的結構特征
（2)理解公式的幾何意義
例1 試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：
（3）掌握公式的常見變形　　
平方差公式的常見變形：
位置變化：(a＋b)(－b＋a)＝________； 符號變化：(－a－b)(a－b)＝_______； 系數(shù)變化：(3a＋2b)(3a－2b)＝______； 指數(shù)變化：(a3＋b2)(a3－b2)＝_____； 項數(shù)變化：(a＋2b－c)(a－2b＋c)＝______； 連用變化：(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝______. 完全平方公式的常見變形：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；　 (a＋b)2－(a－b)2＝4ab．
例1（漢陽區(qū)期末考試題）下列式子可以使用平方差公式的是（ ）
A．（x＋y）（x＋y） B．（x－y）（x－y）
C．（－x－y）（－x＋y） D．（y－x）（x－y）
例2（漢陽區(qū)期末考試題）已知x2＋kxy＋4y2是一個完全平方式，則k的值是（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
三、乘法公式運用
　?。?）直接套用
例1 計算
解：原式
　 （2）合理運用
　　例2 計算
分析：若直接運用完全平方公式展開后再相減，運算量大，若把與分別視為平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，則運算簡便。
例3（2008·大連）若，則xy的值為（ ）
A． B． C． D．
例4計算
分析：若先平方展開后再相乘將很繁雜，倒不如逆用積的乘方法則，再用乘方公式計算顯得簡捷。
解：原式
?。?）創(chuàng)條件用
例5 計算(1) (2x－3y－1)(－2x－3y＋5)；
(2) (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．
　　解：(1)原式＝(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)
　　 ＝[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]
　　 ＝(2－3y)2－(2x－3)2
　　 ＝9y2－4x2＋12x－12y－5．
　　 (2)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
　　 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
　　 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1
　　 ＝(28－1)(28＋1)＋1
　　 ＝216－1＋1＝216．
　?。?）逆向運用
　　例6 計算 （1）
　 (2) 1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655．
　　解 ：分母＝199819962－1＋199819982－1
　?。?9981997×19981995＋19981999×19981997
　?。?9981997×[(19981995＋2)＋(19981999－2)]
　?。?×199819972．
　　
(2) 1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655
＝1.23452＋2×1.2345×0.7655＋0.76552
　　 ＝(1.2345＋0.7655)2
　　 ＝22＝4．
　　（5）變形運用
　　例7 已知a－b＝4，ab＝5，求a2＋b2的值．
　　　　解 ∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab，
　　∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝42＋2×5＝26．
　　
例8（漢陽區(qū)期末考試題）（1）計算：（a＋b－c）（a－b＋c）；（2）分解因式：．
（6）綜合運用
　　所謂綜合運用公式，就是把幾個乘法公式采用某種運算合起來，得出一個派生公式，利用這個派生公式往往可以巧妙地解決一類問題．例如，把完全平方和與完全平方差公式相加則有
　　(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) (1)
　　把完全平方和與完全平方差公式相減則有
　　(a＋b)2－(a－b)2＝4ab (2)
　　例9 計算(a＋b＋c－d)2＋(b＋c＋d－a)2．
　　簡析 本題若按一般方法，很復雜，但是，若巧妙地將兩個括號變形為[(b＋c)＋(a－d)]和[(b＋c)－(a－d)]，再注意公式(1)的運用，則可簡解如下：
　　解 原式＝[(b＋c)＋(a－d)]2＋[(b＋c)－(a－d)]2
　　 ＝2[(b＋c)2＋(a－d)2]
　　 ＝2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋4bc－4ad．
因式分解中的新題型
　　 　　　　　　　　　
武漢市翠微中學 陳浩 430050 [email protected] 15071360011
近年來的因式分解類中考試題，新題型不斷涌現(xiàn)，層出不窮，這些試題新穎別致，魅力四射，宛如一顆顆明珠，閃爍著耀眼的光芒．現(xiàn)具體分類解析如下．
一、開放型
例2 （2009年吉林省中考試題）在三個整式中，請你任意選出兩個進行加（或減）運算，使所得整式可以因式分解，并進行因式分解
解析：
或
或
或
例3 （2009年衢州中考試題）給出三個整式a2，b2和2ab．
(1)　當a＝3，b＝4時，求a2＋b2＋2ab的值；
(2)　在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進行加法或減法運算，使所得的多項式能夠因式分解．請寫出你所選的式子及因式分解的過程．
解析：(1) 當a＝3，b＝4時， a2＋b2＋2ab＝＝49；
(2) 答案不唯一，例如，若選a2，b2，則a2－b2＝(a＋b)(a－b)；若選a2，2ab，則a2±2ab＝a(a±2b)．
二、圖示型
例4 (2009年四川省內(nèi)江市中考試題) 在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形（＞）（如圖甲），把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：用不同形式的代數(shù)式來表示同一部分的面積，故選C。
三、新定義型
例1 （2006年浙江省中考試題）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平分差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：， ， ，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”．
?。?）28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？
　（2）設兩個連續(xù)偶數(shù)為2k＋2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？
　（3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方數(shù)（取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？
解析：（1）＝4×7＝28； ＝4×503＝2012，所以是神秘數(shù)；（2）因此由2k＋2和2k構造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)；（3）由（2）知神秘數(shù)可表示為4的倍數(shù)但一定不是8的倍數(shù)因為兩個連續(xù)奇數(shù)為2k＋1和2k－1，則，即兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)．
四、規(guī)律型
例5 （2008年巴中市，略有改動）大家一定熟知楊輝三角（Ⅰ），觀察下列等式（Ⅱ）
根據(jù)前面各式規(guī)律，則＝　　　　　　　?。?br/>解析：依據(jù)題意不難得到試題的答案為（a＋b）5．
由于時間倉促，在書寫的過程中一定不足之處，歡迎大家批評斧正！請致電：15071360011
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謝謝大家！

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