資源簡介

分析規(guī)律抓本質 培養(yǎng)能力促進發(fā)展
——近年來數學學科高考的認識與思考
主要內容框架
1 背景思考
1.1 高考命題歷程的簡單回顧
1.2 當前的基本形勢
1.2.1 “一點四面”
1.2.2 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)
2 說明解讀
2.1 考試性質
2.2 命題原則及指導思想
2.3 考試內容（含考核目標與考查要求）
2.3.1 知識要求
2.3.2 能力要求
2.3.3 數學方法與數學思想要求
2.3.4 個性品質要求
3 特點分析
3.1 立足優(yōu)良傳統(tǒng)，兼顧傳承創(chuàng)新
3.2 強化主干內容，突出基礎聯系
3.3 深化能力考查，突出思想方法
3.4 注重實踐應用，強調數學素養(yǎng)
3.5 注重區(qū)分功能，突出考試性質
4 異同對比
4.1 探尋共性，繼承傳統(tǒng)
4.1.1 遵循考綱，注重基礎
4.1.2 全面考查，注重聯系
4.1.3 能力立意，注重算理
4.1.4 強化思想，注重應用
4.2 思考差異，明確方向
4.2.1 試卷結構相互有異
4.2.2 內容范圍覆蓋不同
4.2.3 難度設置層次有別
4.2.4 內容設計各有千秋
5 教學建議
5.1 基本理念
5.1.1 關注改革、促進發(fā)展
5.1.2 立足基礎、挖掘背景
5.1.3 依據學生、切合思維
5.2 教學策略
5.2.0 明確高考要求
5.2.1 繼承優(yōu)良傳統(tǒng)
5.2.2 重視基礎知識
5.2.3 加強能力培養(yǎng)
5.2.4 注重思想方法
5.2.5 強化教學落實

1 背景思考
1.1 高考命題歷程的簡單回顧
1.2 當前的基本形勢
1.2.1 “一點四面”
2016年開始，自主命題的省份大量轉變?yōu)槭褂萌珖恚ㄖ貞c以教委的名義發(fā)文對試題進行相關的說明，并在文件中提出：普通高考命題工作將把握正確的政治方向，增強看齊意識，堅持以“立德樹人”為核心，持續(xù)深化“一點四面”的考查）．
① 一點：以立德樹人為核心，強化高考考試內容改革的育人導向
使廣大青年學生在民族精神和時代精神的教育中，接受中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，正確認識中華民族的歷史和未來，積極構筑理想和道德支撐；結合德育為先的育人方向，推動中國特色社會主義法治理論進入頭腦，培養(yǎng)造就熟悉和堅持中國特色社會主義法治體系的法治人才及后備力量；在落實立德樹人的根本任務中實現“育德”和“增智”的彼此交融和共同促進，塑造出知行合一、具有社會責任感、創(chuàng)新精神和實踐能力的社會建設者．
緊緊圍繞立德樹人的根本任務，落實《實施意見》對考試內容改革的要求，高考命題工作要更加注重科學設計考試內容，增強基礎性、綜合性和應用性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力．同時，牢牢把握立德樹人的根本任務，找準各學科考試內容改革的突破口，細化學科考查方案，探索把學科能力考查與思想道德滲透結合起來的方式方法，通過精心設計、科學命制試題來實現考查考生能力和水平的目的，提升命題質量，實現考試內容改革在新常態(tài)下跨越式發(fā)展．
② 四面：四個方面加強考查
● 加強社會主義核心價值觀的考查，指引學生培養(yǎng)正確的世界觀、人生觀和價值觀
高考試題中要增加反映我國政治、經濟、文化、社會、科技等領域發(fā)展進步的內容，考查學生對我國社會現狀、時事政策的了解、思考和把握，考查學生對國家層面、社會層面、個人層面等價值準則的理解；要從貼近學生的現實生活中選取踐行社會主義核心價值觀的感人事跡，考查學生對生活和社會現象所反映的價值判斷、價值選擇和相關行為進行分析和評價的能力，引導學生辨析社會主義核心價值觀與西方價值觀之間的本質區(qū)別，使學生深刻理解并努力踐行社會主義核心價值觀．
考查社會主義核心價值觀，語文和文科綜合等科目更具優(yōu)勢．在文科加強考查的基礎上，其他學科也要在試題中滲透社會主義核心價值觀，充分發(fā)揮高考對學生的引導和教育作用．
● 加強依法治國理念的考查，引導學生樹立憲法意識和法治觀念
教育部明確指出教育要體現依法治國的理念，并“將憲法法律納入升學考試”，幫助和引導學生樹立正確的權利和義務觀念，將廣大青少年學生培養(yǎng)成為真誠信仰憲法、自覺維護憲法尊嚴、具有社會主義法治觀念的建設者和接班人，這是我們各級教育部門全面貫徹黨的方針、實現立德樹人的根本任務．
高考命題要圍繞法治教育的目標，將中學教學中法治理念培養(yǎng)和法律知識教育的內容提煉、整合出來，使法治理念的考查能夠貫徹到有關學科的試題中去．
● 加強中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，引導學生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神，樹立民族自信心和自豪感
在高考命題中，要高度重視傳統(tǒng)文化對于立德樹人的獨特功能，弘揚和考查中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，體現高考為國選材的重大使命．各學科在試題中都要對中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有所體現．
考查中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，不是簡簡單單地考查死記硬背的知識，而是要遵循繼承、弘揚、創(chuàng)新的發(fā)展路徑，注重傳統(tǒng)文化在現實中的創(chuàng)造性轉化和創(chuàng)新性發(fā)展，從而實現考試的社會意義和現實目的．
例 各學科的考查思路
語文、政治等科目可以考查學生對中華民族歷史傳承中的愛國主義、民族精神等人文精神的理解，考查學生運用中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化內容，進行思考、體悟的能力．
歷史可以考查對中華文明長期歷史進程中的事實觀點、思想思潮的理解和判斷等．
地理可以考查對鄉(xiāng)土意識、環(huán)境保護等理念的掌握．
在數學和理科綜合等科目中，也可以適當增加對中國傳統(tǒng)文化進行考查的內容，如將四大發(fā)明、勾股定理等所代表的中國古代科技文明作為試題背景材料，體現中國傳統(tǒng)科技文化對人類發(fā)展和社會進步的貢獻．
試題例析——秦九韶算法：
1 試題
① 2016全國卷甲理科第8題．
中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，右圖是實現該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x＝2，n＝2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s＝
(A) 7 (B) 12
(C) 17 (D) 34
立意：考查程序框圖的基本邏輯結構、算法基本語句等基本知識．
解答：第1次循環(huán)：，；第2次循環(huán)：，；第3次循環(huán)：，，結束循環(huán)，答案為(C)．
② 2016四川卷理科第7題．
秦九韶是我國南宋時期的數學家，普州(現四川省安岳縣)人，他在所著的《數書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n，x的值分別為3，2，則輸出v的值為
(A) 9 (B) 18
(C) 20 (D) 35
2 解答思路
思路1：根據框圖可知，經過3次循環(huán)即輸出v值：第一次循環(huán)，，第二次循環(huán)，，第三次循環(huán)，．答案為(B)．
思路2：根據框圖可知，相應的多項式為，當時，．答案為(B)．
3 試題評析
以教材必修3第37頁案例2、第38頁例2為背景改編，考查程序框圖的三種基本邏輯結構等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力和應用意識．
秦九韶（約1202—1268）是我國南宋時期的數學家，普州（現四川省安岳縣）人．其著作《數書九章》成書于1247年，書中提出的“正負開方術”，將增乘開方法發(fā)展成一種完整的高次多項式方程的數值解法，是中國數學史上的重要成就．在教材必修3第1.3節(jié)《算法案例》的案例2及隨后的例題中，全面介紹了用循環(huán)結構來實現多項式求值的秦九韶算法的過程與實例．本題以此為背景設置問題，程序框圖的算法思路源于秦九韶算法，要求考生通過閱讀程序框圖，理解程序框圖的邏輯結構和它所表示的算法，從而能夠依據程序輸入的相關數據，并按程序框圖所示依次執(zhí)行相應的功能框，最終給出運算結果（思路1）；解答時，考生還可以根據秦九韶算法，由程序框圖寫出其中的多項式，代入x的值計算得出結果．
隨著信息技術的飛速發(fā)展，解決問題的算法思想與演繹推理一樣，已經成為現代人應具備的一種數學修養(yǎng)．因此熟練掌握某些常用算法應該成為考生必備的基礎知識．該題的設計面向全體學生，準確地把握了算法教學的能力要求，要求考生在解決具體數學問題的過程中理解程序框圖的基本邏輯結構，并據此決定執(zhí)行各功能框的先后次序，進而加深理解算法思想并在實踐中自覺運用．
本題體現了四川地方元素，能夠引導考生感受中國古代優(yōu)秀數學文化傳統(tǒng)，深刻地認識到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠流長，體會數學知識與方法在認識現實世界中的重要作用，激發(fā)考生的民族自豪感，增強學好數學和研究數學的自信心，可以促進考生意識到傳承中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化既任重道遠又義不容辭，進而更寄望于他們創(chuàng)造出無愧于偉大時代的成就，突出了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要性與必要性，較好展現了數學文化內涵整體育人的功能．
4 產生背景
高考內容改革、命題的“一點四面”；
教材內容——必修3：
● 加強創(chuàng)新能力的考查，提升高考對創(chuàng)新教育與人才培養(yǎng)工作的促進作用
高考作為教育的重要手段和必要環(huán)節(jié)，要有利于創(chuàng)新人才的培養(yǎng)和選拔，要把考查獨立思考、創(chuàng)新精神和實踐能力作為重要的考試內容．在命題中各學科應聯系實際，深入探索考試的內容創(chuàng)新、形式創(chuàng)新、方法創(chuàng)新和手段創(chuàng)新，引導學生進行獨立思考和創(chuàng)新實踐，考查學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新素養(yǎng)，發(fā)揮高考在創(chuàng)新人才培養(yǎng)和選拔中的積極作用．創(chuàng)新能力考查在理科試題中要更充分地體現出來．
鏈接：國務院——關于深化考試招生制度改革的實施意見
鏈接：教育部——關于全面深化課程改革、落實立德樹人根本任務的意見
鏈接：考試中心（姜鋼）——堅持以立德樹人為核心，深化高考考試內容改革
1.2.2 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)
繼2016年年初征求意見稿之后，《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》總體框架9月13日發(fā)布．中國核心素養(yǎng)體系采取了“學生發(fā)展核心素養(yǎng)”與“學科核心素養(yǎng)”雙線并行的模式，且“學生發(fā)展核心素養(yǎng)”居于上位．
① 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架
學生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學生應具備的，能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力．
中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)總體框架
三個
方面
六大
核心
素養(yǎng)
十八個
基本
要點
具體內涵
文
化
基
礎
人
文
底
蘊
人文
積淀
具有古今中外人文領域基本知識和成果的積累；能理解和掌握人文思想中所蘊含的認識方法和實踐方法等．
人文
情懷
具有以人為本的意識，尊重、維護人的尊嚴和價值；能關切人的生存、發(fā)展和幸福等．
審美
情趣
具有藝術知識、技能與方法的積累；能理解和尊重文化藝術的多樣性，具有發(fā)現、感知、欣賞、評價美的意識和基本能力；具有健康的審美價值取向；具有藝術表達和創(chuàng)意表現的興趣和意識，能在生活中拓展和升華美等．
科
學
精
神
理性
思維
崇尚真知，能理解和掌握基本的科學原理和方法；尊重事實和證據，有實證意識和嚴謹的求知態(tài)度；邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為等．
批判
質疑
具有問題意識；能獨立思考、獨立判斷；思維縝密，能多角度、辯證地分析問題，做出選擇和決定等．
勇于
探究
具有好奇心和想象力；能不畏困難，有堅持不懈的探索精神；能大膽嘗試，積極尋求有效的問題解決方法等．
自
主
發(fā)
展
學
會
學
習
樂學
善學
能正確認識和理解學習的價值，具有積極的學習態(tài)度和濃厚的學習興趣；能養(yǎng)成良好的學習習慣，掌握適合自身的學習方法；能自主學習，具有終身學習的意識和能力等．
勤于
反思
具有對自己的學習狀態(tài)進行審視的意識和習慣，善于總結經驗；能夠根據不同情境和自身實際，選擇或調整學習策略和方法等．
信息
意識
能自覺、有效地獲取、評估、鑒別、使用信息；具有數字化生存能力，主動適應“互聯網+”等社會信息化發(fā)展趨勢；具有網絡倫理道德與信息安全意識等．
健
康
生
活
珍愛
生命
理解生命意義和人生價值；具有安全意識與自我保護能力；掌握適合自身的運動方法和技能，養(yǎng)成健康文明的行為習慣和生活方式等．
健全
人格
具有積極的心理品質，自信自愛，堅韌樂觀；有自制力，能調節(jié)和管理自己的情緒，具有抗挫折能力等．
自我
管理
能正確認識與評估自我；依據自身個性和潛質選擇適合的發(fā)展方向；合理分配和使用時間與精力；具有達成目標的持續(xù)行動力等．
社
會
參
與
責
任
擔
當
社會
責任
自尊自律，文明禮貌，誠信友善，寬和待人；孝親敬長，有感恩之心；熱心公益和志愿服務，敬業(yè)奉獻，具有團隊意識和互助精神；能主動作為，履職盡責，對自我和他人負責；能明辨是非，具有規(guī)則與法治意識，積極履行公民義務，理性行使公民權利；崇尚自由平等，能維護社會公平正義；熱愛并尊重自然，具有綠色生活方式和可持續(xù)發(fā)展理念及行動等．
國家
認同
具有國家意識，了解國情歷史，認同國民身份，能自覺捍衛(wèi)國家主權、尊嚴和利益；具有文化自信，尊重中華民族的優(yōu)秀文明成果，能傳播弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和社會主義先進文化；了解中國共產黨的歷史和光榮傳統(tǒng)，具有熱愛黨、擁護黨的意識和行動；理解、接受并自覺踐行社會主義核心價值觀，具有中國特色社會主義共同理想，有為實現中華民族偉大復興中國夢而不懈奮斗的信念和行動．
國際
理解
具有全球意識和開放的心態(tài)，了解人類文明進程和世界發(fā)展動態(tài)；能尊重世界多元文化的多樣性和差異性，積極參與跨文化交流；關注人類面臨的全球性挑戰(zhàn)，理解人類命運共同體的內涵與價值等．
實
踐
創(chuàng)
新
勞動
意識
尊重勞動，具有積極的勞動態(tài)度和良好的勞動習慣；具有動手操作能力，掌握一定的勞動技能；在主動參加的家務勞動、生產勞動、公益活動和社會實踐中，具有改進和創(chuàng)新勞動方式、提高勞動效率的意識；具有通過誠實合法勞動創(chuàng)造成功生活的意識和行動等．
問題
解決
善于發(fā)現和提出問題，有解決問題的興趣和熱情；能依據特定情境和具體條件，選擇制訂合理的解決方案；具有在復雜環(huán)境中行動的能力等．
技術
運用
理解技術與人類文明的有機聯系，具有學習掌握技術的興趣和意愿；具有工程思維，能將創(chuàng)意和方案轉化為有形物品或對已有物品進行改進與優(yōu)化等．
鏈接：中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)
② 數學學科核心素養(yǎng)
以高中課程標準修訂作為切入點，正式提出數學學科的核心素養(yǎng)．在《高中數學課程標準（修訂）》中，提出了數學學科六個核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析．
鏈接：對數學課程及內容的共識
數學學科與課程
數學是研究數量關系和空間形式的科學．數學與人類生活和社會發(fā)展緊密相連．隨著現代科學技術和計算機科學的迅猛發(fā)展，人們獲取數據和處理數據的能力得到大幅度增強，特別是伴隨著大數據時代的到來，人們對網絡、文本、聲音、圖象等信息載體進行數字化處理，使數學的研究領域與應用領域得到極大拓展，數學直接為社會創(chuàng)造價值，推動社會生產力的發(fā)展．
現代數學的發(fā)展表明，數學的研究源于對現實世界的抽象，通過基于抽象結構的符號運算、形式推理、一般結論，理解和表達現實世界中事物的本質、關系與規(guī)律．正因為如此，數學已經成為自然科學、工程技術和社會科學的重要基礎，數學的應用已經滲透到現代社會的各個方面．數學不僅是運算和推理的工具，數學還是表達和交流的語言，數學承載著思想和文化，數學是現代文明的重要組成部分．
數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用．數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)．數學教育承載著基于時代要求的整體育人功能，它不僅使學生掌握現代生活和學習所必需的數學知識、技能、思想和方法，更發(fā)揮著數學在培養(yǎng)人的思維能力、創(chuàng)新意識、以及形成正確的世界觀方面的特有功能，促進學生全面發(fā)展，為學生終身學習奠定基礎．
數學學科的課程總目標
在義務教育階段學習的基礎上，通過高中數學課程的學習，進一步提高作為現代社會公民所應具備的數學素養(yǎng)，特別是數學核心素養(yǎng)，促進全面、可持續(xù)發(fā)展．使學生
1. 獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（四基）．
2. 提高從數學角度發(fā)現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（四能）．
3. 在數學學習的過程中，逐步學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達現實世界（三用）．
4. 提高數學表達和交流能力；發(fā)展應用能力及創(chuàng)新意識；掌握合理的數學學習方式，養(yǎng)成良好的數學學習習慣．
5. 提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，樹立敢于質疑、勤于思考、實事求是、一絲不茍的科學精神．認識數學的科學價值、應用價值和人文價值，體會、欣賞數學的美，進一步樹立辯證唯物主義世界觀．
數學核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中表現．它在學生自主發(fā)展中發(fā)揮不可替代的作用，是在數學學習過程中逐步形成的．數學核心素養(yǎng)包含具有數學基本特征的思維品格和關鍵能力，是數學知識、技能、思想、經驗及情感、態(tài)度、價值觀的綜合體現．
數學學科的核心素養(yǎng)
數學核心素養(yǎng)既反映課程內容的主線，聚焦課程目標要求，也是學業(yè)質量標準的集中反映．高中階段包括：
抽象能力——抽象能力與關聯
邏輯推理——邏輯推理與交流
數學建模——建模能力與反思
幾何直觀——幾何直觀與想象
運算能力——運算能力與模式
數據分析——數據分析與知識獲取
更一般地，還包括學會學習、數學應用、創(chuàng)新意識．
數學學科的課程內容
主要變化：
突出知識主線：函數、代數與幾何、統(tǒng)計與概率；結構的變化：將必修的五個模塊合并為三個模塊；將原來選修1、2的模塊合并為三個模塊（模塊邏輯）；刪除的內容：三視圖、算法、推理與論證；解析幾何內容調整到選修（課時過緊）；增加了準備知識（初高中銜接）；整體難度在文理之間（高考文理不分科）．
內容標準表述方式：
重要數學概念：通過什么樣的教學情境，運用什么樣的教學手段，經歷什么樣的過程，獲得什么樣的知識、技能、思想和經驗，形成什么樣的核心素養(yǎng)．如導數概念（舉例）：通過典型實例（物理、幾何、經濟）的分析，運用幾何圖形和數學軟件，經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，抽象出導數概念，借助特殊極限感悟一般極限的思想，把握平均變化率與瞬時變化率的關系，理解導數的意義，積累抽象數學概念的經驗．
在每部分內容之后，都提出了相應的基本素養(yǎng)、素養(yǎng)要求和水平劃分．
課程內容中的“大概念”及關系：
確定原則：
貫穿高中數學始終；承載著數學核心素養(yǎng)；本身具有深刻的思想內涵；在數學和數學應用中重要．
初步結果：
函數、運算、幾何、數據．
例 科學精神背景下的數學核心素養(yǎng)及相關的教學理解
學生發(fā)展核心素養(yǎng)中，與數學學科有更為直接關系的是：① 科學精神．主要是學生在學習、理解、運用科學知識和技能等方面所形成的價值標準、思維方式和行為表現．具體包括理性思維、批判質疑、勇于探究等基本要點．② 學會學習．主要是學生在學習意識形成、學習方式方法選擇、學習進程評估調控等方面的綜合表現．具體包括樂學善學、勤于反思、信息意識等基本要點．③ 實踐創(chuàng)新．主要是學生在日常活動、問題解決、適應挑戰(zhàn)等方面所形成的實踐能力、創(chuàng)新意識和行為表現．具體包括勞動意識、問題解決、技術應用等基本要點．
可以說，科學精神是與數學核心素養(yǎng)關系最為密切的綜合核心素養(yǎng)．具體到數學核心素養(yǎng)，包括：
義教課標中提出了十個“核心概念”：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創(chuàng)新意識
高中課程標準（修訂）提煉的數學學科六個核心素養(yǎng)：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析．
教學中應該做到：
（1）用數學的眼光觀察世界，發(fā)展數學抽象、直觀想象素養(yǎng)．
（2）用數學的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數學運算素養(yǎng)．
（3）用數學的語言表達世界，發(fā)展數學建模、數據分析素養(yǎng)．
“抽象”“想象”“分析”是上述表達的關鍵詞，同時，推理、運算這兩個“數學的命根子”的核心都是邏輯思維活動，這表明數學素養(yǎng)中統(tǒng)領全局的是思維，特別是邏輯思維．
數學核心素養(yǎng)雖然被劃分為三個方面（六個關鍵詞），但是實則是一個整體．用數學的眼光觀察世界，即人從外界輸入信息；用數學的思維分析世界，即人自身處理信息；用數學的語言表達世界，即人向外界輸出信息．數學核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現．
數學課改的核心任務是提升學生的數學學科核心素養(yǎng)，通過具體的教學措施，把數學學科核心素養(yǎng)的培育落實在數學教育的各個環(huán)節(jié)．
數學是思維的科學，數學教學是思維的教學，數學學科育人的根本體現在思維發(fā)展上．數學對于發(fā)展學生的思維至關重要．
由此，我們可以分析數學測試中應該如何體現對數學核心素養(yǎng)的考查．
2 說明解讀
考試說明基于普通高中課程標準和考試大綱編寫，對高考的考試性質、命題原則及指導思想、考試內容、考試形式與試卷結構進行說明，并給出題型示例．考試說明是命題最直接的依據．
2.1 考試性質
普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生和具有同等學力的考生參加的選拔性考試．高等學校根據考生成績，按已確定的招生計劃，德、智、體全面衡量，擇優(yōu)錄取．因此，高考應具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當的難度．
2.2 命題原則及指導思想
原則：有利于科學選拔人才，有利于促進學生健康發(fā)展，有利于維護社會公平．
指導思想：以能力測試為主導，在考查考生基本知識、基本能力的同時，注重考查考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力和科學探究能力，突出考查學科意識、學科思維、科學素質和人文素養(yǎng)，力求做到科學、準確、公平、規(guī)范．
2.3 考試內容（含考核目標與考查要求）
注重考查中學數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及應用意識、創(chuàng)新意識，體現對中學數學主要的思想方法的考查，滲透對個性品質的考查．
2.3.1 知識要求
知識是指《課程標準》所規(guī)定的必修課程、選修課程中的數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算，處理數據、繪制圖表等基本技能．
對知識的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個層次(分別用A、B、C表示)，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求．
數學基礎知識的考查既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內容，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體．考查應注重學科的內在聯系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面．從學科的整體高度和思維價值的高度設計問題，在知識網絡交匯點設計試題，使對數學基礎知識的考查達到必要的深度．
例 2016四川卷理科第2題．
設i為虛數單位，則的展開式中含的項為
(A) (B) (C) (D)
解答：的展開式中，含的項為．答案為(A )．
評注：本題以教材選修2-3第31頁例2為背景改編，考查二項式定理及其簡單應用、組合數公式、復數代數形式的四則運算等基礎知識．屬于“了解”層次的組合．
試題以二項式定理、復數的簡單運算為背景設計，檢測考生對二項式定理展開式的通項公式、組合數計算及虛數單位i的運算這些最基本知識的掌握情況，體現了課程標準對相關知識的要求。盡管試題從不同知識間的交匯處切入，但要求適度，絕大多數學生都可以順利、快速解答，能夠有效消除考生的緊張情緒，促使考生進入良好的答題狀態(tài)．
二項式定理的考查，各地的模擬試題一般未出現與復數交匯考查的情況。但二項式定理中字母的取值，完全可以在復數集內，正如教材所言：“實際上，既可以取任意實數，也可以取任意多項式，還可以是別的．我們可以根據具體問題的需要靈活選取的值．”
例 2014全國卷乙理科第6題．
如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函數，則=在[0,]上的圖象大致為
立意：考查三角函數的定義、圖象等基礎知識，考查抽象概括能力，考查數形結合思想．
解析：在Rt△OMP中，，且|OP|=1．而當時，|MP|=sinα，|OM|=|cosα|，所以，．由此可知，答案為C．
評注：三角函數的定義．幾何圖形、函數圖象．背景與設問．
例 2016全國卷甲理科第3題．
已知向量，且，則m＝
(A)－8 (B)－6 (C) 6 (D) 8
立意：本題考查向量的加法、數量積的含義及坐標表達式、求平面向量的數量積等基本知識，考查學生運算求解的數學能力．
例 2015全國卷甲理科第4,5題．
① 等比數列滿足a1＝3，a1+ a3+ a5＝21，則a3+ a5+ a7＝
(A) 21 (B) 42 (C) 63 (D) 84
② 設函數則
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12
例 2014全國卷甲理科第15題．
已知偶函數在單調遞減，．若，則的取值范圍是__________.
立意：考查函數的性質等基礎知識，考查抽象概括能力，考查屬性結合思想．
解析：因為為偶函數，函數在單調遞減，故函數在單調遞增．因為，由知，所以，即．答案為．
評注：掌握．分類與整合、數形結合．
2.3.2 能力要求
對數學能力的考查以數學知識為載體，從問題入手，把握學科的整體意義，用統(tǒng)一的數學觀點組織材料，體現對考生各種數學能力的要求．
高考的數學命題，強調“以能力立意”，側重體現對知識的理解和應用，尤其是綜合和靈活的應用，以此來檢測考生將知識遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生個體理性思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能．能力的考查以推理論證能力和抽象概括能力的考查為核心，全面涉及各種數學能力，并要切合考生實際，強調其科學性、嚴謹性、抽象性，強調探究性、綜合性和應用性．對空間想象能力的考查主要體現在對文字語言、符號語言及圖形語言的互相轉化上；對運算求解能力的考查主要是對算法和推理的考查，考查以代數運算為主；對數據處理能力的考查主要是考查運用概率統(tǒng)計的基本方法和思想解決實際問題的能力．
① 運算求解能力．會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.
例 2014全國卷甲理科第21題．
已知函數=．
(Ⅰ) 討論的單調性；
(Ⅱ) 設，當時，，求的最大值；
(Ⅲ) 已知，估計ln2的近似值(精確到0.001)．
立意：考查函數的性質、導數的運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查分類與整合思想、創(chuàng)新意識．
解析：(Ⅰ) =，等號僅當時成立．
所以在單調遞增．
(Ⅱ) =，
==．
( i ) 當時，，等號僅當時成立，所以在單調遞增．而=0，所以對任意．
( ii ) 當時，若滿足，即時，
＜0．而=0，因此當時，＜0，不滿足題意．
綜上，b的最大值為2.
(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，.
當b=2時，＞0；＞＞0.6928；
當時，，
=＜0，＜＜0.6934．
所以的近似值為0.693．
評注：設問的方式．運算能力的深刻考查．
運算求解能力是思維能力和運算技能的結合．運算包括對數字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形和幾何量的計算求解等，運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.
對運算能力的考查，數值計算、字符運算和各種式子的變換都是重要內容，其考查要求可概括為“準確、熟練、快捷、合理”.在突出考查算理和算法的同時，對運算的靈活性和實用性也有一定要求，還要求能夠恰當運用估算、圖算和近似計算.運算能力與學生的知識水平、推理論證能力和心理因素都密切相關.
② 推理論證能力．根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題的真實性的初步的推理能力．
推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結論的一連串的推理過程. 推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法 .一般運用合情推理進行猜想，再運用演繹推理進行證明 .
例 2016全國卷乙理科第8題．
若，，則
(A) (B)
(C) (D)
立意： 不等式的基本性質、指數函數、對數函數的性質，考查了化歸與轉化等數學思想，以及推理論證運算求解的能力．
解答：由于，則，選項(A)錯誤；由，則，選項(B)錯誤；由，，且，則，選項(C)正確；由于，，，則，選項(D)錯誤，故答案為(C)．
例
① 2016全國卷甲理科第15題．
有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是__________.
立意：本題考查了邏輯等基本知識，考查了考生推理論證能力以及創(chuàng)新意識．
解答：根據甲與乙的卡片上相同的數字不是2，知甲和乙可能是1和2，1和3，或者1和3，2和3；乙與丙的卡片上相同的數字不是1，知乙與丙可能是1和2，2和3，或者1和3，2和3；由于丙的卡片上的數字之和不是5，知丙的卡片為1和2，或1和3．若丙為1和3，則乙的卡片是2和3，甲的卡片是1和3，不符題意，若丙為1和2，則乙的卡片是2和3，甲的卡片是1和3，滿足條件，答案為1和3．
② 2014全國卷乙理科第14題．
甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，
甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；
乙說：我沒去過C城市；
丙說：我們三人去過同一城市.
由此可判斷乙去過的城市為______________．
推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結論的一連串的推理過程. 中學數學的推理論證能力主要是根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題真實性的初步的推理能力 .
③ 空間想象能力．能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質．
空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想象能力.識圖是指觀察研究所給圖形幾何元素之間的相互關系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或對圖形進行各種變換；對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志.
空間想象能力是基本的、重要的數學能力.考查中強調的是對圖形的認識、理解和應用，要求考生既會用圖形表現空間形體，也能由圖形想象出直觀的形象；既會觀察、分析各種幾何要素(點、線、面、體)的相互位置關系，又能對圖形進行變換分解和組合.教學中應注意強化空間觀念，培訓直覺思維的習慣，結合抽象思維和形象思維解決問題.
④ 抽象概括能力．對具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能將其用于解決問題或做出新的判斷．
例 2015全國卷甲理科第10題．
如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則f(x)的圖象大致為
例 2016年全國卷丙理科第12題．
定義“規(guī)范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數列”共有
(A) 18個 (B) 16個 (C) 14個 (D) 12個
立意：本題考查分類加法計數原理和分步乘法計數原理等基本知識，考查了考生化歸與轉化的數學思想以及抽象概括的能力和創(chuàng)新意識．
⑤ 數據處理能力．會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷、解決給定的實際問題．數據處理能力主要依據統(tǒng)計中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題．
例 2015全國卷甲理科第18題
某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：
A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(Ⅰ) 根據兩組數據完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)；
(Ⅱ) 根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個不等級：
滿意度評分
低于70分
70分到89分
不低于90分
滿意度等級
不滿意
滿意
非常滿意
記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立．根據所給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率．
⑥ 應用意識．能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題；能應用相關的數學方法解決問題進而加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明.
應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決.
對應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式．應用問題的命題要堅持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，試題設計要充分考慮中學數學教學的實際和考生的年齡特點，并結合考生具有的實踐經驗，使數學應用問題的難度符合考生的實際水平．
例 2012全國課標卷理科第18題．
某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(Ⅰ)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，)的函數解析式；
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列，數學期望及方差；
(2)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由.
立意：考查統(tǒng)計概率相關基礎知識，考查統(tǒng)計與概率思想．
解析：(Ⅰ)當日需求量時，利潤．
當日需求量時，利潤．
所以y關于n的函數解析式為：．
(Ⅱ)(1)可能的取值為，，，并且
．
的分布列為
的數學期望為：
．
的方差為：
．
(2)答案一：
花店應購進16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的數學期望為：
．
Y的方差為：
DY=
=112.04．
由以上的計算結果可以看出，DX答案二：
花店應購進17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為
Y
55
65
75
85
P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y的數學期望為：
．
由以上的計算結果可以看出，EX評注：歷史資料、信息處理、統(tǒng)計觀念、決策依據、應用意識．
⑦ 創(chuàng)新意識．能發(fā)現問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．
對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查．在考試中通過創(chuàng)設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題進行考查．試題設計注重問題的多樣化，體現思維的發(fā)散性，著眼數學主體內容、體現數學素質；試題主要以反映數、形運動變化及其相互聯系的問題出現，主要為研究型、探索型、開放型等類型的問題．
鏈接：數學核心素養(yǎng)與課程目標
2.3.3 數學方法與數學思想要求
●數學方法主要包括歸納推理、類比推理、演繹推理、綜合法、分析法、反證法等．
（1）歸納推理：歸納推理就是從個別事實中推演出一般性的結論，依據特殊現象推斷出一般現象，從已知的特殊的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題等的推理．簡言之，歸納推理是由特殊到一般的推理．
（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．
（3）演繹推理：演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的一種推理模式，是一種必然性推理．演繹推理的主要形式，就是由大前提、小前提推出結論的三段論式推理．
（4）綜合法：綜合法就是利用已知條件和數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的證明方法．即PQ1→Q1Q2→Q2Q3 →…→QnQ（其中P表示已知條件，Q表示結論）．綜合法是“執(zhí)因導果”，從已知出發(fā)，順著推理，逐漸地靠近結論．
（5）分析法：分析法就是從結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等）的證明方法．分析法是“執(zhí)果索因”，從要證的結論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知．
（6）反證法：反證法就是假設原命題不成立，經過正確的推理，得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法．它是從反面的角度思考問題的證明方法，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得，主要步驟是：否定結論→ 推導出矛盾→ 結論成立．
●數學思想主要包括函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般、有限與無限思想等．
（1）函數與方程的思想：函數思想就是利用運動變化的觀點分析和研究具體問題中的數量關系，通過函數的形式把這種數量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲解．方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程問題，然后通過解方程（組）使問題獲解．函數與方程的思想既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想．
（2）數形結合的思想：數形結合的思想就是充分運用“數”的嚴謹和“形”的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法．數形結合思想是數學的規(guī)律性與靈活性的有機結合，通過“以形助數，以數輔形”，變抽象思維為形象思維，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數學問題的本質，有利于達到優(yōu)化解題的目的．
（3）分類與整合的思想：分類與整合就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答．分類與整合就是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學思想．
（4）化歸與轉化的思想：化歸與轉化的思想是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某些數學知識，將問題進行等價轉化，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化、未知問題已知化等，進而達到解決問題的數學思想．
（5）特殊與一般的思想：特殊與一般的思想就是通過對問題的特殊情形（如特殊函數、特殊數列、特殊點、特殊位置、特殊值、特殊方程等）的解決，尋求一般的、抽象的、運動變化的、不確定的等問題的解決思路和方法的數學思想．
（6）有限與無限的思想：有限與無限的思想就是通過對有限情形的研究和解決，使無限情形的問題得以解決；反之當積累了解決無限問題的經驗之后，也可以將有限問題轉化成無限問題來解決，即無限化有限，有限化無限的解決問題的數學思想．
對數學方法與數學思想的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查．考查時，必然要與數學知識相結合，從數學學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，從而反映考生對數學方法與數學思想的掌握程度．
對數學思想與方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查．考查時，必然要與數學知識相結合，從數學學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，從而反映考生對數學思想與數學方法的掌握程度．
函數與方程思想
例 2014四川卷文科第7題．
已知，，，，則下列等式一定成立的是
(A) (B) (C) (D)
立意：本題考查對數的概念，對數的運算性質，對數換底公式等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力．
評注：變形思路的選擇．以教材必修1第82頁復習參考題A組第3題為背景改編．
② 化歸與轉化思想
例 2016全國卷甲理科第16題．
若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ln(x＋1)的切線，則b＝_____.
立意：本題考查了求簡單函數的導數、導數的幾何意義等基本知識，考查了考生推理論證、運算求解等能力和創(chuàng)新意識以及化歸與轉化等數學思想．
解答：設直線y＝kx＋b與y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)相切的切點分別為，，則曲線y＝lnx+2在點的切線方程為；曲線y＝ln(x+1)在點的切線方程為，于是，，所以，則，所以，于是，答案為．
③ 數形結合思想
例 2013全國卷甲理科第21題．
已知函數f (x)=-ln(x+m).
(Ι) 設x=0是f (x)的極值點，求m，并討論f (x)的單調性；
(Ⅱ)當m≤2時，證明f (x)>0.
立意：考查函數的性質、導數的簡單運用等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，考查數形結合思想．
解析：(Ⅰ)f '(x ) = - 
x = 0是f (x )的極值點 ? f '(0) = 0 ? m = 1.
此時，f '(x ) =  - 在(-1, +∞)上是增函數，又知f '(0) = 0，
所以x ∈(-1, 0)時, f '(x ) < 0；x ∈(0, +∞)時, f '(x ) > 0.
所以f (x )在(-1, 0)上是減函數，在(0, +∞) 上是增函數.
(Ⅱ)如圖所示，當m ≤2時，x + 1≥x + m – 1,只需證明≥x + 1，且ln(x + m) ≤x + m- 1,再指出“=”不能成立即可.
設g (x ) = - (x +1)，g '(x ) = -1.x1 = 0是g (x )的極小值點，也是最小值點，即g (x ) ≥ g (0) = 0 ?≥x + 1.
設h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1), 則 = -1.
x2 = 1-m是h (x )的極大值點，也是最大值點，即
g (x ) ≤ h (1-m) = 0 ? ln(x + m) ≤x + m -1?≥ln(x + m) ?f (x ) ≥ 0，“=”成立的條件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1．
即m =1且m =2(矛盾)，所以f (x ) > 0．
評注：數形結合．轉化化歸．
④ 特殊與一般思想
例
如圖，橢圓E：() 的離心率是，過點P(0，1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點．當直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為．
(Ⅰ) 求橢圓E的方程；
(Ⅱ) 在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
第(Ⅱ)小題解答：
當直線l與x軸平行時，設直線l與橢圓相交于C，D兩點．
如果存在定點Q滿足條件，則有，即．
所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為(0，)．
當直線l與x軸垂直時，設直線l與橢圓相交于M，N兩點，
則M，N的坐標分別為，．
由，有，解得，或．
所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點坐標只可能為(0，2)．
下面證明：對任意直線l，均有．
當直線l的斜率不存在時，由上可知，結論成立．
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為，A，B的坐標分別為
(，)，(，)．
聯立 得．
其判別式，
所以，，．
因此．
易知，點B關于y軸對稱的點的坐標為(，)．
又，
，
所以，即Q，A，三點共線．
所以．
故存在與P不同的定點Q(0，2)，使得恒成立．
深刻考查特殊與一般、數形結合思想．
2.3.4 個性品質要求
個性品質是指考生個體的情感、態(tài)度和價值觀.
數學的高考，要求考生具有一定的數學視野，認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數學的美學意義．
就考試而言，要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，體現鍥而不舍的精神．
數學學科的系統(tǒng)性和嚴密性決定了數學知識之間內在聯系的深刻性，包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系．數學學科的考試要從本質上體現這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數學試卷的框架結構．
數學學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查，展現數學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性，重視試題間的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力體現對考生綜合數學素養(yǎng)和數學學習現狀及潛能的考查．
鏈接：2015年普通高考考試大綱與考試說明
3 特點分析
近年的數學學科的命題，遵循《考試大綱》及《考試說明》要求，結合中學數學教學實際，體現課程改革理念，堅持平穩(wěn)推進、適度創(chuàng)新，在充分考查基礎知識、基本方法的同時，深化能力立意，突出對數學思維、數學思想方法和數學素養(yǎng)的考查．試題命制立足于學科核心和主干，融知識、能力和素養(yǎng)為一體，通過適度聯系與綜合等方式，在知識交匯處考查學生的數學視野、探究意識和學習潛能彰顯了數學的科學價值和人文價值．
2016年全國卷數學試題堅持社會主義核心價值觀，堅持立德樹人，關注社會發(fā)展，關注考生社會責任的培養(yǎng)，體現時代特征，很好地實現了課程標準和考試大綱的內容和要求，體現能力立意，弘揚數學文化．試卷在總體結構、難易分布、考查內容等方面保持相對穩(wěn)定，符合高中學生的認知特點和認知水平，并在基礎性、思想性、創(chuàng)新性等方面做出了積極的探索．三套試題突出對創(chuàng)新應用能力的考查，深入考查考生的邏輯思維能力和實踐能力，注重體現數學的理性價值和科學價值，注重對數學通性通法的考查，準確區(qū)分考生．
從考試結果看，試卷有利于科學選拔人才、有利于深化課程改革、有利于促進社會公平，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力，提升學生核心素養(yǎng)的數學課程教學改革有積極的導向作用．試題難度設置總體符合高中學生數學學習現狀，區(qū)分度、信度和效度的控制符合高考考試性質，有利于準確測試不同考生的學習水平．
3.1 立足優(yōu)良傳統(tǒng)，兼顧傳承創(chuàng)新
立足優(yōu)良傳統(tǒng)，即所謂傳承．首先是文化上的傳承. 如2015年數學理科試卷甲卷第(8)題和乙卷第(6)題的立意都源于我國古代數學名著《九章算術》（《九章算術》是中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化瑰寶，系統(tǒng)地總結了我國古代先民們的優(yōu)秀數學思想）；2016年的秦九韶算法.試卷通過這些試題，向廣大考生展現了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，激發(fā)他們的民族自豪感．其次是在試卷整體難度、題型和試題的設問方面的傳承. 近年來的數學試卷在提煉、題型、難度和試題的設問等方面與往年相比，均保持穩(wěn)定.
在穩(wěn)定的基礎上適度創(chuàng)新，在繼承的前提下兼顧創(chuàng)新，是命題不變的旋律．如2015年數學理科試卷的試題設計不落俗套，在問題情境和解題方法等方面都有所創(chuàng)新.甲卷第(3)題的背景是2004年至2013年我國二氧化硫年排放量，第(18)題的背景是調查用戶對某公司產品的滿意度.乙卷第(4)題的背景是學校的投籃測試，第(19)題的背景是公式的營銷.甲卷的第(10)、(12)、(21)題，乙卷的第(10)、(11)、(16)題的解題方法均有所創(chuàng)新.
3.2 強化主干內容，突出基礎聯系
國務院《關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出深化高考考試內容改革的方向，“依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力”．
近年的數學試卷重視基礎知識的全面考查，所涉及的知識點覆蓋了整個高中數學的所有知識板塊，全面考查了考生在高中階段所學的基本內容，并對主干知識進行了重點考查．例如，試題2015年的選擇題、填空題涉及了集合、復數、統(tǒng)計、數列、函數及其導數、三視圖、圓與直線關系、算法初步、立體幾何、向量、線性規(guī)劃、二項式公式等知識點；解答題重點考查了解三角形、概率與統(tǒng)計、圓錐曲線、導數及其應用；選答題考查了幾何證明、坐標系與參數方程、不等式的證明．2016年高考數學試題所考查的知識點、數學思想與方法既有注重基礎，又有創(chuàng)新，注重從知識交匯點處設計，突出對基礎知識和基本能力的考查．
以主干內容對高中畢業(yè)生的數學基礎和素養(yǎng)進行重點測試，重視對基礎知識和通性通法的考查，能夠有效保證試卷的內容效度，體現了數學本質．
例 2016全國卷甲理科第17題：
為等差數列的前n項和，且．記，其中表示不超過x的最大整數，如，.
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 求數列的前1000項和.
立意：本題考查等差數列的概念、等差數列通項公式與前n項和等基礎知識，考查化歸與轉化數學思想以及運算求解能力．
解答：(Ⅰ) 設的公差為d，據已知有，解得．
所以數列的通項公式．
，，．
(Ⅱ) 因為
所以數列的前1000項和為．
本題引入新概念取整函數[x]，與等差數列的基礎知識有機相結合，考查考生閱讀數學素材的能力．題目中以“舉例說明”的方式，幫助考生理解新概念[x]．第（Ⅰ）問，要求考生求出3個具體項的值，既是對考生理解、應用新概念[x]的考查，也是為考生解決第（Ⅱ）問時在知識、方法上做一點提示與鋪墊，同時也是要求考生將習得的解決問題的經驗，有效遷移到更為深入或更為復雜的問題情境中去．在求bn=f (n) 的過程中，確定分段函數的“分段”節(jié)點，n=10，n=100，n=1000不僅是對運算求解能力的考查，更主要的是對推理能力和算理的考查．試題難度不大，但綜合地考查了考生的基礎知識、基本技能以及基本活動經驗．
一道數學試題往往考查多種能力、多種思想方法，并蘊含數學文化．例如全國Ⅲ卷理科第9題給出了斜四棱柱的“三視圖”，要求考生由“三視圖”構造出相應的“幾何體”，在考查基本概念的同時，重點考查了空間想象能力和邏輯推理能力．又如全國Ⅱ卷理科第（21）題考查了化歸與轉化、分類討論的思想方法，揭示了如何利用輔助函數研究函數零點性質的方法．再如全國Ⅱ卷第8題取材于我國南宋時期數學家秦九韶所著的數學名著《數書九章》中研究的“多項式值的算法”，將中國古代數學文化融入到試題中，引導考生傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、弘揚愛國主義精神．
3.3 深化能力考查，突出思想方法
數學是一門思維的科學，思維能力是數學能力的核心．試題中的思維量體現了對考生思維能力的要求，思維強度低的試題要求考生對已知條件進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；思維強度高的試題要求考生能用演繹、歸納和類比進行推理，并能夠準確、清晰、有條理地進行表述．
近年的數學試題堅持以能力立意設計，在多角度、多層次考查數學能力的基礎上，特別突出對數學思維的全面、深刻考查，對數學思想的考查深入、充分．有的試題在考查應用意識、運算求解能力的同時，還考查觀察、估算等直覺思維；有的試題考查閱讀理解、自主學習、數學的理性思考和創(chuàng)新意識，從不同角度考查數學思維；有的試題要求考生具備高水平的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和思維的深刻性，全面考查多種數學思想與方法．
如2014年的數學試題以能力立意，堅持多角度、多層次地考查考生的數學能力．理科甲卷第(1)、(2)、(8)、(9)、(13)、(20)題，理科乙卷第(1)、(2)、(4)、(5)、(13)、(17)題考查了運算求解能力；理科甲卷第(4)、(6)、(18)題，理科乙卷第(12)、(15)、(19)題考查了空間想象能力；理科甲卷第(3)、(4)、(7)、(10)、(14)、(15)、(17)題，理科乙卷第(3)、(7)、(10)、(11)、(14)、(16)等題考查了邏輯思維能力；理科甲卷第(19)題，理科乙卷第(18)題考查了數據處理能力．在全面考查的同時，突出對數學思想方法的考查．如理科甲卷第(12)題以三角函數的圖象及解析幾何的有關知識為背景，考查了考生分析問題和解決問題的能力；理科甲卷第(15)題考查了函數與方程思想；理科乙卷第(6)、(9)、(11)題考查了數形結合思想；理科甲卷第(21)題考查了分類與整合的思想．
2015年數學理科試卷注重對考生能力的考查.甲卷的第(6)、(9)、(19)題考查了空間想象能力；第(3)、(10)題考查了抽象概括能力；第(5)、(8)、(15)、(16)、(20)、(21)題考查了推理論證能力；第(1)、(2)、(4)、(13)、(14)、(24)題考查了運算求解能力；第(3)、(18)題考查了數據處理能力.乙卷的第(6)、(11)、(18)題考查了空間想象能力；第(3)、(9)、(12)題考查了抽象概括能力；第(18)、(20)、(21)、(22)、(24)題考查了推理論證能力；第(1)、(7)、(13)、(15)、(17)題考查了運算求解能力；第(9)、(19)題考查了數據處理能力.與此同時，也加強了對高中教材中的通則通法的考查.例如甲卷第(1)、(3)、(14)、(21)、(24)題，乙卷的第(5)、(15)、(24)題考查了不等式及不等式組的求解和證明方法；例如甲卷第(7)、(10)、(11)、(13)、(17)、(22)題，乙卷第(5)、(7)、(14)、(15)、(16)、(20)題考查了數形結合的方法；甲卷第(12)、(21)題，乙卷第(20)、(21)題考查了函數求導的方法.
例 2015全國卷乙理科第16題．
在平面四邊形中，，，則的取值范圍是________．
3.4 注重實踐應用，強調數學素養(yǎng)
數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學．數學與人類生活和社會發(fā)展緊密關聯，數學源于生活與實踐，數學知識是解決實際問題的有力工具，數學能力是每個考生應具備的數學素養(yǎng)．近年高考數學試題緊密結合社會實際和考生的現實生活，體現了數學在解決實際問題中的重要作用和應用價值，體現了高考改革中加強應用性的特點．
如2014年數學試題涉及監(jiān)測空氣質量，參加公益活動等背景，這些試題接地氣，貼近考生現實生活，讓考生深切感受到數學就在我們身邊，生活中充滿了數學氣息．同時，命題中還重視現實社會中的熱點問題，考查考生應用數學工具和方法解決實際問題的能力．例如理科甲卷第(19)題以“農村居民家庭人均純收入” 這一社會熱點問題為背景命制，要求考生應用統(tǒng)計與概率的方法對2015年的收入進行預測，使考生領會數學在實踐中的應用價值．
2016年的試題涉及公司班車、志愿者活動、旅游城市、續(xù)保人的保費、高科技企業(yè)產品利潤、企業(yè)的成本控制、生活垃圾無害化處理量等背景，體現了數學與社會的密切聯系，展現了數學在解決實際問題中的巨大威力．試題情景豐富，貼近考生，貼近生活，具有濃厚的時代氣息，引導考生關注社會發(fā)展、關注數學的應用價值．
例 2016全國卷丙理科第4題．
某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃．下面敘述不正確的是
(A) 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
(B) 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
(C) 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
(D) 平均氣溫高于20℃的月份有5個
立意：本題考查了統(tǒng)計圖的特點，并從中提取基本的數據特征，考查了利用統(tǒng)計的方法解決一些簡單實際問題，考查了考生的數據處理能力．
解答：由圖組知0℃在虛線框內，則各月的平均氣溫都在0℃以上，(D)正確；右圖在七月的平均溫差大于7.5℃，一月的平均溫差小于7.5℃，則七月的平均溫差比一月的平均溫差大，(B)正確；三月和十一月的平均最高氣溫基本相同，(C)正確；由圖可知，平均氣溫高于20℃的月份有2個或3個，(D)不正確，答案為(D)．
本題引用新穎的統(tǒng)計圖，考查考生學習新知識、解決新問題的能力．試題選取考生熟知的實際生活問題，要求考生讀懂該統(tǒng)計圖并回答問題，以考查考生對新知識的學習和理解能力．試題通過給出課本中沒有出現過的統(tǒng)計圖——雷達圖，要求考生讀懂統(tǒng)計圖的內容，并在此基礎上，對雷達圖提供的信息進行加工、整理，分析、比較題目提供各種結論，得出正確的判斷．
例 2016全國卷甲理科第18題．
某險種的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度的出險次數的關聯如下：
上年度出險次數
0
1
2
3
4
≥5
保 費
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下：
一年內出險次數
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
(Ⅰ) 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；
(Ⅱ) 若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
(Ⅲ) 求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.
立意：本題主要考查隨機事件的概率、互斥事件、條件概率、隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查運用概率與統(tǒng)計的知識與方法分析和解決實際問題的能力．
解答：(Ⅰ) 設A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險的次數大于1，故
．
(Ⅱ) 設B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險的次數大于3，故．
又，故
．
因此所求的概率為．
(Ⅲ) 記續(xù)保人本年度的保費為X，則X的分布列為
X
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
P
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
EX＝．
因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23．
本題以日常生活中車輛保險問題為原型背景，精心編制與設問．試題第Ⅰ問設計為求一較為復雜的事件概率，考查考生處理較為實際問題的能力以及對事件的關系與運算、概率性質的理解與掌握；第Ⅱ問設計為求條件概率的問題，考查考生對條件概率概念的理解與掌握以及計算能力；第Ⅲ問設計為數學期望的問題，考查考生對隨機變量數學期望的理解及運算求解能力．本題具有較強實際應用背景，考查了統(tǒng)計與概率的基礎知識、基本思想和方法，考查考生對事件的關系、運算的理解，利用簡單的事件表達較為復雜的事件的能力；對概率運算性質的理解與掌握，對條件概率、數學期望的理解和運算求解能力．本題考查了考生綜合運用所學知識解決實際問題的能力，用時也感悟到數學的應用之美．
高考數學試題體現數學的核心素養(yǎng)（包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析），對深化課程改革、引領數學教學起到積極的導向作用．提升考生的核心素養(yǎng)，必須關注立德樹人，關注提升學習的能力，關注學生走向社會在未來發(fā)展中所需的知識和能力．在2016年的數學試卷中，注重創(chuàng)新題型設計，綜合、靈活地考查數學素養(yǎng)．試題的問題情境更加豐富，設問方式更加新穎，既有利用應用生活情境、素材和語言考查考生邏輯思維能力的邏輯題，也有利用數學原理說明所采用方法合理的說明題，還有利用數學知識建立模型解決實際問題的應用題．
例 2016全國卷乙理科第12題．
已知函數，為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調，則的最大值為
(A) 11 (B) 9 (C) 8 (D) 7
立意：本題考查了的圖象、正弦函數的圖象和性質、函數的零點等基本知識，考查了化歸與轉化、數形結合等數學思想以及推理論證、運算求解、抽象概括等數學能力和創(chuàng)新意識．
解答：由題，即，所以，又因為在單調，所以，即，由此的最大值為9.答案為(B)．
本題的題干設計，給出了正弦型三角函數的零點、對稱軸及一個單調區(qū)間，考生要建立正弦型三角函數各種性質之間的關聯．在建立關聯的過程中，要把正弦型三角函數的性質用圖象直觀地表示出來．考生首先需要認識到正弦型三角函數的對稱軸對應的自變量取值就是正弦型三角函數的最值點，進而利用已知的y =sinx 中零點與最值點的幾何位置關系，推廣到一般正弦型函數中零點與最值點的幾何位置關系，把幾何位置關系用等式關系表示，再根據幾何直觀“正弦型三角函數的任意一個單調區(qū)間，都應該在半個周期內”，把這個結果用不等式表示出來，就可以得到ω 的大致范圍．
例 2016全國卷甲理科第16題．
某高科技企業(yè)生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時，生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業(yè)現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元．
立意：本題考查了二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題，會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，考查了化歸與轉化、抽象概括、運算求解等能力．
解答：設生產產品A、產品B分別為x、y件，利潤之和為z元，
那么即目標函數過點時，z取得最大值21600，答案為21600．
本題是帶有實際背景的線性規(guī)劃問題，題目的背景帶有廣泛的現實意義，即企業(yè)的生產安排使得利潤最大．為了問題的簡單化，本題僅以企業(yè)的利潤為生產安排的唯一決策依據．假設生產產品A和產品B的數量分別為x 和y，本題除明顯給出關于x 和y 的約束條件（甲材料和乙材料的數量以及工時限制）之外，還有自然約束條件x ≥0 和y ≥0 ．通過確定可行區(qū)域，計算目標函數z =2100x +900y 在可行區(qū)域邊界所對應的四個交點處的函數值，即可以求得目標函數的最大值．
3.5 注重區(qū)分功能，突出考試性質
高考數學是為高校選拔合格的新生，必須測試其必備的數學基礎，也要測試考生已有的和潛在的學習能力．近年的數學試卷從學科整體和思維價值的高度設置問題情境，注重知識間的內在聯系與交匯．一些試題知識、方法、思維的綜合性強并且能力要求高，全面考查數學思想方法，解答這些問題，需要具有較強的分析問題、探究問題和解決問題的能力，具有一定的難度，對考生思維的靈活性、批判性、創(chuàng)造性提出了較高要求，有利于更好地區(qū)分不同學習水平層次的考生，更有效地體現高考考試性質．
如2015年數學試卷的解答題與選答題均分步設問，合理鋪墊，由易入難，逐步推進，考查由淺入深，重點突出，既能較好地達到考查目的，也能兼顧不同層次的考生，有利于選拔人才．同樣第，2016年高考數學試題注重體現數學的本質，在關注學生未來發(fā)展、關注選拔功能方面進行了精心設計．試題延續(xù)了由易到難的排列順序，各種題型相互配合，全面考查考生的數學素養(yǎng)．多數試題設置了2~3個問題，第1問較容易，后面的問題則對考生能力要求較高，第1問為后面幾問構建基礎、做好鋪墊，體現入手容易深入難的特點，增強考生信心，讓考生在考場上以平和的心態(tài)進入最佳狀態(tài)，同時為能力強的考生提供發(fā)揮的空間，為高水平大學選拔新生提供有效的依據．
例 2016全國卷丙理科第12題．
定義“規(guī)范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數不少于1的個數．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數列”共有
(A) 18個 (B) 16個 (C) 14個 (D) 12個
立意：本題考查分類加法計數原理和分步乘法計數原理等基本知識，考查了考生化歸與轉化的數學思想以及抽象概括的能力和創(chuàng)新意識．
解答：由題意知，，列出該數列，如下表
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
則不同的“規(guī)范01數列”共有14個，答案為(C)
本題通過給出“規(guī)范01數列”這一新概念，既考查考生對新知識的認知能力，也考查考生在遇到陌生、復雜的問題時，所具有的分析問題和解決問題的能力．試題以組合數學中“卡塔蘭數”這一著名數列為背景，設計巧妙，避開解題套路與現成的公式，深入考查了邏輯推理能力和創(chuàng)新能力，對不同層次的考生特別是高水平考生進行了區(qū)分．
例 2016全國卷乙理科第21題．
已知函數有兩個零點．
(Ⅰ) 求a的取值范圍；
(Ⅱ) 設，是的兩個零點，證明：．
立意：本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想．
解答：(Ⅰ) ．
(ⅰ) 設，則，只有一個零點．
(ⅱ) 設，則當時，；當時，．
所以在單調遞減，在單調遞增．
又，，取b滿足且，則
，
故存在兩個零點．
(ⅲ) 設，由得或．
若，則，故當時，，因此在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．
若，則，故當時，；當時，．因此在單調遞減，在單調遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．
綜上，a的取值范圍為．
(Ⅱ) 不妨設，由(Ⅰ)知，，，在單調遞減，所以等價于，即．
由于，而，
所以．
設，則．
所以當時，，而，故當時，．
從而，故．
本題將函數導數、函數零點與不等式知識結合，考查函數零點的概念，考查導數公式和導數運算法則，考查考生靈活運用導數工具分析和解決問題的能力，綜合考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力和推理論證能力以及分類討論的思想．本題分步設問，第（Ⅰ）問討論函數 f (x)存在兩個零點的條件，為第（Ⅱ）問作鋪墊，逐步推進．第（Ⅱ）問將函數與不等式有機結合，為考生解答提供廣闊的想象空間．試題的設置需要考生打破常規(guī)思路，利用化歸與轉化的思想，將x1+x2< 2 轉化為f(x1) >f(2-x2)，進而通過構造輔助函數、研究輔助函數的單調性得到問題的證明．本題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高，考查層次分明，區(qū)分度較高，使考生充分展示理性思維的廣度和深度，突出選拔功能．
總之，近年（尤其是2016年）的數學試題很好地體現了“立德樹人”的理念，關注考生的社會責任感、創(chuàng)新能力和實踐能力；很好體現了數學的科學性、應用性和創(chuàng)造性；體現了對“核心素養(yǎng)”的考查，有效區(qū)分了各類考生，有利于高校選拔優(yōu)秀人才，對引領中學數學教學改革發(fā)揮了積極的作用．
4 異同對比
數學學科2006年至2016年間的四川自主命題，在體現數學學科高考的數學價值、評價功能和教學價值等方面，形成了自己的特色，得到教育部考試中心、高校和中學數學界的廣泛肯定．四川省卷在繼承傳統(tǒng)的基礎上，貫徹數學學科命題指導思想，落實命題原則，設置合理的難度、區(qū)分度，有效體現高考的考試性質，依據考試大綱、學科本質命制，與全國卷的命題共性突出，體現出相同的特點和規(guī)律．
4.1 探尋共性，繼承傳統(tǒng)
4.1.1 遵循考綱，注重基礎
試卷設計緊扣考試大綱，貼近教學實際，從考生熟悉的基礎知識入手，多數題目都屬于基本試題，無論是必修內容，還是選修內容，許多題目都注重對數學基礎的考查．
（對基礎、教材的理解）
4.1.2 全面考查，注重聯系
試卷全面考查了考試大綱所規(guī)定的考試內容，具有較好的覆蓋面．集合、復數、常用邏輯用語、線性規(guī)劃、向量、算法等內容在選擇題、填空題中得到了有效的考查；三角函數（數列）、概率統(tǒng)計、立體幾何、解析幾何、函數與導數等主干知識在解答題中得到了考查．選修4系列的內容以選做題的形式出現，體現了新課程的選擇性．
堅持在知識交匯處設計試題的傳統(tǒng)，注重考查知識間的內在聯系，反映數學學科的綜合性．
（對覆蓋面、冷熱點的理解）
4.1.3 能力立意，注重算理
試題設計突出能力立意，全面考查學生的數學能力．運算能力在試卷中的考查比重較大，但考查重點不是單純計算，而是注重對算理的考查．
（多種能力的全面考查、運算能力與推理論證能力，運算能力的考查）
4.1.4 強化思想，注重應用
突出考查對圖形、圖表的運用水平，注重對數學思想方法的考查．試題保持對應用意識的考查力度，問題背景貼近實際生活，具有現實意義，強調培養(yǎng)學生應用意識、提升學生解決實際問題的能力，體現了新課程注重情感態(tài)度與價值觀，過程、實踐與應用的教學理念．
（應用問題的考查與試題設計、數學思想的考查設計）
4.2 思考差異，明確方向
4.2.1 試卷結構相互有異
卷別
選擇題
填空題
解答題
四川卷
共10題，每題5分，滿分50分，均為必做
共5題，每題5分，滿分25分，均為必做
共6題，前4題每題12分，第5題13分，第6題14分，滿分75分，均為必做
全國卷
共12題，每題5分，滿分60分，均為必做
共4題，每題5分，滿分20分，均為必做
共6題，前5題每題12分，第6題10分，滿分70分．其中前5題為必做題，第6題為選做題（從平面幾何證明、坐標系與參數方程、不等式證明3題中選做1題）
4.2.2 內容范圍覆蓋不同
全國卷
四川卷
理科：必修1-必修5，選修2-1,2-2,2-3，選修4-1,4-4,4-5（三選一考試）
文科：必修1-必修5，選修1-1,1-2,選修4-1,4-4,4-5（三選一考試）
理科：必修1-5，選修2-1,2-2,2-3（選修2-2中，不含“導數及其應用”中“（4）生活中的優(yōu)化問題舉例”、“（5）定積分與微積分基本定理”及“（6）數學文化”及“推理與證明”；選修2-3中，不含“統(tǒng)計與概率”（1）中“④通過實例，理解取有限值的隨機變量方差的概念，能計算隨機變量的方差，并能解決一些實際問題”、“⑤通過實際問題，借助直觀，認識正態(tài)分布的特點及其所表示的意義”及（2）“統(tǒng)計案例”．上述內容總課時數26-36，其中推理與證明10課時內容未直接上，但考試中有所涉及）
文科：必修1-必修5，選修1-1,1-2（選修1-1中，不含“導數及其應用”中的“（4）生活中的優(yōu)化問題舉例”；選修1-2中，不含“統(tǒng)計案例”．上述內容總課時數約11課時．）
4.2.3 難度設置層次有別
2013-2015年四川卷文科數據
題型
題號
平均分
難度系數
區(qū)分度
2013
2014
2015
2013
2014
2015
2013
2014
2015
全卷
69.100
68.425
66.894
0.461
0.456
0.446
0.580
0.500
0.500
選擇題
32.230
32.599
29.192
0.650
0.652
0.584
0.500
0.418
0.392
1
4.660
4.426
4.369
0.930
0.885
0.874
0.210
0.375
0.329
2
4.390
3.961
4.186
0.880
0.792
0.837
0.320
0.296
0.464
3
3.290
3.660
4.578
0.660
0.732
0.916
0.670
0.628
0.169
4
3.540
3.712
3.013
0.710
0.742
0.603
0.500
0.630
0.684
5
3.180
3.977
2.724
0.640
0.795
0.545
0.820
0.438
0.623
6
3.290
3.789
3.416
0.660
0.758
0.683
0.740
0.492
0.690
7
3.230
2.386
2.730
0.650
0.477
0.546
0.560
0.514
0.560
8
2.860
3.143
2.562
0.570
0.629
0.512
0.520
0.488
0.478
9
2.890
2.354
0.356
0.580
0.471
0.071
0.500
0.250
-0.015
10
0.900
1.193
1.258
0.180
0.239
0.252
0.120
0.071
-0.060
填空題
11.370
12.069
9.133
0.460
0.483
0.365
0.680
0.589
0.580
11
2.980
3.085
2.993
0.600
0.617
0.599
0.790
0.864
0.853
12
3.360
3.547
3.108
0.670
0.709
0.622
0.570
0.752
0.817
13
2.020
2.662
1.752
0.400
0.532
0.350
0.860
0.733
0.710
14
2.110
2.136
0.821
0.420
0.427
0.164
0.850
0.535
0.432
15
0.910
0.639
0.460
0.180
0.128
0.092
0.310
0.061
0.087
解答題
25.500
23.757
28.569
0.340
0.317
0.381
0.600
0.529
0.549
16
6.480
7.957
5.971
0.540
0.663
0.498
0.920
0.637
0.930
17
5.090
4.233
7.225
0.420
0.353
0.602
0.890
0.698
0.398
18
7.540
5.082
7.362
0.630
0.424
0.614
0.650
0.826
0.589
19
3.090
2.611
3.304
0.260
0.218
0.275
0.560
0.505
0.729
20
1.770
2.314
3.342
0.140
0.178
0.257
0.350
0.332
0.476
21
1.540
1.560
1.365
0.110
0.111
0.097
0.290
0.240
0.230
2013-2015年四川卷理科數據
題型
題號
平均分
難度系數
區(qū)分度
2013
2014
2015
2013
2014
2015
2013
2014
2015
全卷
93.970
81.329
88.183
0.626
0.542
0.588
0.460
0.430
0.410
選擇題
36.610
36.366
34.237
0.730
0.727
0.685
0.320
0.321
0.379
1
4.740
4.779
4.488
0.950
0.956
0.898
0.140
0.123
0.199
2
4.230
4.569
4.500
0.850
0.914
0.900
0.390
0.273
0.301
3
4.880
4.058
4.343
0.980
0.812
0.869
0.070
0.441
0.380
4
4.120
4.524
3.686
0.830
0.905
0.737
0.390
0.210
0.591
5
4.240
4.518
3.723
0.850
0.904
0.745
0.430
0.245
0.462
6
4.290
4.252
3.690
0.860
0.850
0.738
0.370
0.394
0.514
7
4.240
3.764
3.620
0.850
0.753
0.724
0.290
0.521
0.550
8
3.070
2.553
3.410
0.610
0.511
0.682
0.600
0.337
0.493
9
2.140
1.704
1.557
0.430
0.341
0.311
0.360
0.490
0.172
10
0.670
1.644
1.218
0.130
0.329
0.244
0.150
0.176
0.133
填空題
15.750
12.394
13.272
0.630
0.496
0.531
0.500
0.371
0.449
11
4.560
4.370
4.190
0.910
0.874
0.838
0.300
0.316
0.455
12
4.130
3.870
3.968
0.830
0.774
0.794
0.350
0.554
0.518
13
3.580
2.777
3.242
0.720
0.555
0.648
0.640
0.603
0.629
14
1.870
0.468
1.142
0.370
0.094
0.228
0.770
0.236
0.482
15
1.620
0.909
0.730
0.320
0.182
0.146
0.440
0.148
0.159
解答題
41.610
32.569
40.674
0.560
0.434
0.542
0.530
0.525
0.422
16
8.890
7.192
9.435
0.740
0.599
0.786
0.430
0.532
0.613
17
8.540
7.654
9.601
0.710
0.638
0.800
0.780
0.586
0.498
18
8.700
6.348
10.737
0.730
0.529
0.895
0.560
0.685
0.296
19
7.990
5.296
3.838
0.670
0.441
0.320
0.650
0.721
0.529
20
4.370
3.350
5.094
0.340
0.258
0.392
0.430
0.387
0.354
21
3.120
2.729
1.968
0.220
0.195
0.141
0.380
0.288
0.270
2013年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
68.24
0.455
28.78
0.8580
2013年普通高考數學分數分布直方圖（課標甲卷·理科）
2013年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
78.21
0.5521
27.31
0.8664
2013年普通高考數學分數分布直方圖（課標乙卷·理科）
2013年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.658
0.883
0.896
0.859
0.664
0.736
0.593
0.378
0.6787
0.788
0.526
0.474
0.408
區(qū)分度
0.857
0.397
0.362
0.428
0.426
0.523
0.384
0.458
0.461
0.430
0.361
0.266
0.145
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.337
0.482
0.532
0.271
0.064
0.326
0.516
0.487
0.297
0.140
0.192
0.225
0.373
0.147
區(qū)分度
0.794
0.552
0.587
0.594
0.363
0.917
0.766
0.762
0.684
0.638
0.699
2013年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.731
0.872
0.703
0.928
0.911
0.965
0.786
0.793
0.718
0.700
0.589
0.561
0.245
區(qū)分度
0.879
0.456
0.467
0.206
0.447
0.241
0.591
0.405
0.392
0.423
0.524
0.497
0.245
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.381
0.641
0.622
0.246
0.016
0.360
0.463
0.524
0.405
0.150
0.260
0.404
0.632
0.447
區(qū)分度
0.788
0.542
0.631
0.561
0.111
0.916
0.663
0.743
0.725
0.649
0.677
2014年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
68.86
0.459
29.33
0.8758
2014年普通高考數學分數分布直方圖（課標甲卷·理科）
2014年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
84.33
0.562
30.93
0.8896
2014年普通高考數學分數分布直方圖（課標乙卷·理科）
2014年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.616
0.945
0.597
0.749
0.472
0.382
0.659
0.783
0.660
0.798
0.262
0.670
0.418
區(qū)分度
0.894
0.321
0.437
0.553
0.362
0.461
0.379
0.394
0.627
0.369
0.389
0.522
0.211
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.506
0.719
0.603
0.409
0.293
0.311
0.299
0.530
0.311
0.185
0.151
0.125
0.462
0.430
區(qū)分度
0.795
0.558
0.525
0.616
0.410
0.923
0.762
0.782
0.673
0.695
0.655
2014年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.717
0.842
0.853
0.820
0.687
0.779
0.682
0.931
0.737
0.700
0.679
0.394
0.505
區(qū)分度
0.906
0.355
0.462
0.446
0.619
0.471
0.486
0.338
0.441
0.528
0.583
0.340
0.452
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.667
0.552
0.963
0.688
0.465
0.399
0.455
0.432
0.428
0.433
0.244
0.273
0.500
0.230
區(qū)分度
0.786
0.632
0.146
0.553
0.579
0.937
0.751
0.741
0.730
0.743
0.743
2015年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
77.44
0.516
28.28
0.8700
2015年普通高考數學分數分布直方圖（課標甲卷·理科）
2015年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
科目
平均分
難度
標準差
alf信度
理科
81.2
0.541
31.38
0.8839
2015年普通高考數學分數分布直方圖（課標乙卷·理科）
2015年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標甲卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.698
0.920
0.939
0.782
0.834
0.801
0.620
0.688
0.935
0.685
0.439
0.365
0.369
區(qū)分度
0.869
0.338
0.373
0.390
0.382
0.494
0.446
0.451
0.332
0.417
0.428
0.316
0.472
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.510
0.724
0.731
0.433
0.154
0.362
0.419
0.587
0.501
0.145
0.164
0.384
0.415
0.455
區(qū)分度
0.803
0.567
0.540
0.542
0.520
0.928
0.766
0.724
0.748
0.679
0.679
　
　
　
2015年普通高考數學試卷統(tǒng)計表（課標乙卷·理科）
題號
一
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
分值
60
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
難度
0.717
0.844
0.860
0.922
0.679
0.576
0.682
0.725
0.698
0.818
0.634
0.845
0.317
區(qū)分度
0.896
0.501
0.519
0.328
0.499
0.574
0.414
0.582
0.571
0.310
0.512
0.433
0.204
題號
二
13
14
15
16
三
17
18
19
20
21
22
選做
23
選做
24
選做
分值
20
5
5
5
5
70
12
12
12
12
12
10
10
10
難度
0.509
0.593
0.534
0.866
0.043
0.400
0.624
0.332
0.349
0.306
0.192
0.457
0.825
0.480
區(qū)分度
0.781
0.548
0.643
0.438
0.254
0.943
0.797
0.693
0.684
0.778
0.684
　
　
　
2013-2015四川卷與全國卷平均分難度系數統(tǒng)計表
理 科
年份
四川卷平均分
四川卷難度
全國卷平均分
全國卷難度
2013年
94.17
0.6278
Ⅰ卷78.21
Ⅱ卷68.24
Ⅰ卷0.521
Ⅱ卷0.455
2014年
81.54
0.5436
Ⅰ卷84.33
Ⅱ卷68.86
Ⅰ卷0.5622
Ⅱ卷0.4591
2015年
88.38
0.5892
Ⅰ卷81.15
Ⅱ卷77.40
Ⅰ卷0.541
Ⅱ卷0.516
文 科
年份
四川卷平均分
四川卷難度
全國卷平均分
全國卷難度
2013年
69.19
0.4613
Ⅰ卷69.67
Ⅱ卷49.59
Ⅰ卷0.464
Ⅱ卷0.331
2014年
68.49
0.4566
Ⅰ卷69.76
Ⅱ卷61.11
Ⅰ卷0.4649
Ⅱ卷0.4074
2015年
67.02
0.4468
Ⅰ卷66.15
Ⅱ卷61.80
Ⅰ卷0.441
Ⅱ卷0.412
說明：四川卷為全員數據，全國卷為抽樣數據．
2013-2015年不同題型難度統(tǒng)計表
2013
四川卷
全國甲
全國乙
2014
四川卷
全國甲
全國乙
2015
四川卷
全國甲
全國乙
0.887
0.772
0.861
0.89
0.634
0.777
0.815
0.816
0.761
1-6
4.417
1-6
4.45
1-6
4.072
0.73
0.593
0.7
0.632
0.626
0.762
0.703
0.687
0.719
7-8(7-10)
3.655
7-8(7-10)
3.159
7-8(7-10)
3.515
0.28
0.441
0.403
0.335
0.544
0.45
0.278
0.367
0.581
9-10(11-12)
1.405
9-10(11-12)
1.674
9-10(11-12)
1.388
0.82
0.507
0.632
0.734
0.661
0.758
0.76
0.728
0.564
11-13(13-14)
4.09
11-13(13-14)
3.672
11-13(13-14)
3.8
0.345
0.168
0.131
0.138
0.351
0.577
0.187
0.294
0.455
14-15(15-16)
1.745
14-15(15-16)
0.689
14-15(15-16)
0.936
0.725
0.502
0.494
0.619
0.415
0.444
0.793
0.503
0.478
16-17(17-18)
8.715
16-17(17-18)
7.423
16-17(17-18)
9.518
0.7
0.297
0.405
0.485
0.311
0.428
0.608
0.501
0.349
18-19(19)
8.345
18-19(19)
5.822
18-19(19)
7.288
0.288
0.166
0.205
0.234
0.168
0.339
0.272
0.155
0.249
20-21
3.745
20-21
3.04
20-21
3.531
22
0.225
0.404
22
0.125
0.273
22
0.384
0.457
23
0.373
0.632
23
0.462
0.5
23
0.415
0.825
24
0.147
0.447
24
0.43
0.23
24
0.455
0.48
由此可以簡單得出在難度設置方面體現的基本特點：
四川卷的全卷難度與全國卷難度總體相當．
② 根據四川民族眾多、教育發(fā)展不均衡的現狀，四川卷試題的起點難度低于全國卷，容易題相對簡單，中等難度試題略少于全國卷．
由于四川招生比例不大，尤其是一本指標很低，在難度設計上，較難題的難度較全國卷更大．
不同體型的難度設置方式略有差別．
4.2.4 內容設計各有千秋
① 教材挖掘．
② 材料選擇．
應用考查．
5 教學建議
5.1 基本理念
5.1.1 關注改革、促進發(fā)展
關注課程改革的深化，關注數學教學的發(fā)展，加強對知識的理解和應用的教學，在教學中強化學科特點，注意科學性、嚴謹性、抽象性、探究性、綜合性和應用性，培養(yǎng)考生將知識、方法遷移到不同情境的能力．
5.1.2 立足基礎、挖掘背景
在教學中重視教材、深刻理解教材，貫徹課程改革理念，注重支撐學科體系的主干與核心內容，重視通性通法，培養(yǎng)數學素養(yǎng)，回歸數學本質．
5.1.3 依據學生、切合思維
依據學生合理選擇素材，體現思維價值，鼓勵學生積極、主動、探究地學習，在數學教學中注重提高學生的思維能力．
5.2 教學策略
5.2.0 明確高考要求
數學學科高考及試題的研究，應從課程改革理念、教學理念、數學課程目標、數學學習評價與測試等方面入手，通過分析課程標準、考試大綱和考試說明展現的教學要求、命題原則與指導思想、知識能力與思想方法考查要求進行．全面而深入地思考試卷總體結構、難度與區(qū)分度設計、試題功能(數學價值、教學價值、評價價值)等要素，有利于明確高考改革方向、總結試題命制規(guī)律．
鏈接 通過試題分析高考要求的基本途徑與方式
1 宏觀認識高考數學——背景、特色與規(guī)律
關注考查目標、問題背景、解決方法、評價分析、發(fā)展規(guī)律、教學反思．
1.1 學習標準，研究說明，明確方向
1.2 縱橫聯系，分類比較，顯現特色
例 ① （四川卷2014-13）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于_______ｍ．
（用四舍五入法將結果精確到個位．參考數據：，，，，）
② （全國卷2012-12）設點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為( )
(A)
(B)
(C)
(D)
1.3 對應考點，理清層級，凸顯目標
鏈接：2013-2015年全國卷考點匯總統(tǒng)計
1.4 挖掘材料，展現背景，總結規(guī)律
從考查要求、認知水平劃分；從知識板塊和專題劃分．
分析命題意圖（考查設計，知識、能力，問題解決與思維方法）．
例 ① (全國卷Ⅱ2014-文17)
已知四邊形的內角與互補，，，．
(Ⅰ)求和；
(Ⅱ)求四邊形的面積.
② (全國卷乙2015-理16)在平面四邊形中，，，則的取值范圍是______．
③ (全國卷Ⅱ2015-理17題)
在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面積的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ) 若AD=1，DC=，求BD和AC的長．
1.5 研究解法，分?

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