資源簡介

第24章 《圓》教材分析
一.本章的地位和作用
(一)從知識角度看
本章在小學學過的一些圓的知識和上一章學習了旋轉的知識的基礎上來進一步研究圓的一些問題,是前面學習直線型有關知識的再應用。通過本章的學習為進一步在高中階段圓的學習以及其它學科的研究打下基礎。
(二)從能力角度看
本章進一步培養學生的合情推理能力，發展學生的邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的教學，進一步培養學生綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力，同時對學生進行辯證唯物主義世界觀的教育。
(三)從方法角度看
圓是初中學習的唯一的一種曲線形知識,它具有與直線型完全不同的圖形、性質，因此從完善對幾何知識的認識的角度看：圓提供了一種新的認識與研究圖形的方式（如用反證法證明切線的性質定理）。
二. 課程學習目標
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概 念；理解弧、弦、圓心
角的關系，探索并了解點與圓的位置關系。
（2）探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分 弦以及弦所對的兩條弧。
（3）探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其推論。圓周角的度數等
于它所對弧上圓心角度數的一半；直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；圓內
接四邊形的對角互補。
（4）了解直線和圓的位置關系，掌握切線的概念，探索切線與過切點的半徑的關系，能判定一條
直線是否為圓的切線，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線。探索并證明切線長定理：過圓外一點所
畫的圓的兩條切線長相等。
（5）了解三角形的內心和外心，會利用基本作圖作三角形的外接圓、內切圓。
（6）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的 關系，會利用基本作圖作圓的內接正方形和正六邊
形。
（7）會計算圓的弧長、扇形的面積。
（8） 結合相關圖形性質的探索和證明，進一步培養合情推理能力，發展推理能力；進一步培養綜
合運用所學知識，分析問題、解決問題的能力。
三. 知識結構框圖
四. 課時安排
課時建議（16課時）
24.圓的有關性質 5課時24.2 點和圓、直線和圓有關的位置關系 2課時24.3 正多邊形和圓 2課時24.4 弧長和扇形面積 2課時復習 2課時
五. 各節教學建議
一．圓的相關概念
（一）知識點
1．從動態角度定義圓：
在平面內,線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓其中，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑，以O為圓心的圓，記作“⊙O” ，讀作“圓O”.
2. 從集合角度定義圓：
平面上到定點O的距離等于定長r的點的集合是以O為圓心、以r為半徑的圓.
3．與圓有關的概念：
（1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.
經過圓心的弦叫做直徑.
（2）弧：圓上兩點間的部分叫做圓弧，簡稱“弧”，用符號“ ”表示，以A、B為端點的弧記作 A B ,讀作“弧AB”.
弧的分類： 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每條弧都叫做半圓.
優弧：大于半圓的弧叫做優弧：如ABC .
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧：如 AC .
（3）等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓.
即：半徑相等的圓是等圓；同圓或等圓的半徑相等.
（4）等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．
（5）同心圓：圓心相同，半徑不相等的圓叫做同心圓.
（二）補充習題
1.（連云港市2016年）如圖，在網格中（每個小正方形的邊長均為1個單位）選取9個格點（格線的交點稱為格點）。如果以為圓心，為半徑畫圓，選取的格點中除點外恰好有3個在圓內，則的取值范圍為
A． B． C． D．
二 .垂徑定理及推論
（一）知識點
1．垂徑定理：
垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．
2.垂徑定理的推論：
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
﹡弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；
﹡平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．
常用基本圖形：
（二）補充練習
1． 根據條件求解：
（1）已知⊙O半徑為5，弦長為6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半徑為4，弦心距為3，求弦長和弓形高.
（3）已知⊙O半徑為5，劣弧所對的弓形高為2，求弦長和弦心距.
（4）已知⊙O弦長為2，弦心距為，求⊙O半徑及弓形高.
（5）已知⊙O弦長為8，劣弧所對的弓形高為2，求⊙O半徑及弦心距.
（6）已知⊙O弦心距為3，劣弧所對的弓形高為2，求⊙O半徑及弦長.
2. 如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點E，
若AE = 5,BE = 1,,求∠AED.

3. 若⊙O中，半徑OA平分弦BC，則可能的情況是（畫出草圖）

4. （2016海淀一模）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點C．若AB=8，OC=3，則⊙O的半徑長為________．
5.（2016年通州一模）如圖，在5×5正方形網格中，一條圓弧經過A，B，C三點，
已知點A的坐標是（-2，3），點C的坐標是（1，2），
那么這條圓弧所在圓的圓心坐標是
A．（0，0） B．（-1，1） C．（-1，0） D．（-1，-1）
4.（ 2016年?長沙）如圖，在⊙O中，弦AB=6，圓心O到AB的距離OC=2，則⊙O的半徑長為_____________.
5. （2016年?江蘇省宿遷市）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，則BD的長為 ．
6. （2016年福建福州）如圖所示的兩段弧中，位于上方的弧半徑為r上，下方的弧半徑為r下，則r上 ＜ r下．（填“＞“，”“＝”“＜”)
7.（2016年江蘇省無錫市）如圖，OA=2，以點A為圓心，1為半徑畫⊙A與OA的延長線交于點C，過點A畫OA的垂線，垂線與⊙A的一個交點為B，連接BC
（1）線段BC的長等于　　；
（2）請在圖中按下列要求逐一操作，并回答問題：
①以點　A　為圓心，以線段　BC　的長為半徑畫弧，與射線BA交于點D，使線段OD的長等于
②連OD，在OD上畫出點P，使OP得長等于，請寫出畫法，并說明理由．
連接CD，過點A作AP∥CD交OD于點P，P點即是所要找的點．
依此畫出圖形．
三．圓心角、弧、弦之間相等關系的定理、圓周角定理及推論
（一）知識點
1．弧、弦、圓心角關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
2．推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
即：同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．
4．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
5．圓周角定理推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．
6．圓周角定理推論2： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
7．圓周角定理推論3：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
8．圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補．
常用基本圖形：
（二）補充練習
1. （2016年長春市）如圖，在⊙O中，AB是弦，C是上一點.若∠OAB=25°,∠OCA=40°，則∠BOC的大小為 30 度．
2.（ 2016年山東省煙臺市）如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點與0刻度線的一端重合，∠ABC=40°，射線CD繞點C轉動，與量角器外沿交于點D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點D在量角器上對應的度數是（D　　）
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°
3.（2016北京）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數為B
(A)45°(B)55°(C)125°(D)135°
4.（2016年四川省達州市）如圖，半徑為3的⊙A經過原點O和點C（0，2），B是y軸左側⊙A優弧上一點，則tan∠OBC為（　C　）
A． B．2 C． D．
5.（2016年湖北宜昌）已知M，N，P，Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是( )．
A． B．
C．比大 D．與互補
6.（2016年湖北黃岡）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠AOB=70°，AB＝AC，則∠ABC＝______35°_________.
7.(湖北省咸寧市2016年)如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，連接BD、BE、CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的度數為__122°_________.
7.（2016西城一模）在數學實踐活動課中，小輝利用自己制作的一把“直角角尺”測量、計算一些圓的直徑．如圖，直角角尺中，，將點放在圓周上，分別確定，與圓的交點，，讀得數據，，則此圓的直徑約為（ ）
A．17 B．14 C．12 D．10
8.（2016年山東省濱州市）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F，則下列結論：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　D　）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
9.（湖北省咸寧市2016年）如圖，邊長為4的正方形ABCD內接于⊙O，點E是AB上的一動點（不與A、B重合），點F是BC上的一點，連接OE，OF，分別與AB，BC交于點G，H，且
∠EOF=90°，有下列結論：
①AE=BF； ②△OGH是等腰直角三角形；
③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化；④△GBH周長的最小值為４＋.
其中正確的是___：①②._______.
（把你認為正確結論的序號都填上）.
四．點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系（切線的判定定理、性質定理、切線長定理）
（一）知識點
1．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，
點P在圓外d>r；點P在圓上d=r；點P在圓內d2．經過三角形的三個頂點可以做一個圓,并且只能畫一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓．
外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心．
三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等.
3．設⊙O的半徑為r，圓心到直線L的距離為d，則
（1）直線L和⊙O相交d＜r，如圖（a）所示；
（2）直線L和⊙O相切d＝r，如圖（b）所示；
（3）直線L和⊙O相離d＞r，如圖（c）所示．
4．切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
5．切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.
6．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
7．內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓.
內心：內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心.
常用基本圖形：
（二）補充練習
1.（2016年四川省攀枝花市）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為　　．
2.（株洲市2016年）△ABC的內切圓的三個切點分別為D、E、F，∠A=75°，∠B=45°，
則圓心角∠EOF= 120 度.
3. （2016年江蘇省無錫市）如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于A，BC交⊙O于點D，若∠C=70°，則∠AOD的度數為（　D　）
A．70° B．35° C．20° D．40°
4.（山東省泰安市2016年）如圖，半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點D，交OB于點C，連接CD交直線OA于點E，若∠B=30°，則線段AE的長為　　．
5.（2016年南充市）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分線交BC于點O，OC=1，以點O為圓心OC為半徑作圓.
(1)求證：AB為⊙O的切線；
(2)如果tan∠CAO=，求cosB的值.（）
6. （2016年浙江省衢州市）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD的延長線交于點F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線．
（2）若CD=2，OP=1，求線段BF的長．
7.（寧波市2016年）如圖，已知⊙O的直徑AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE⊥AC交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求DE的長．（4）
8.（2016年四川省達州市）如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點，連接AC，BC，過點O作OD⊥AC于點D，過點A作半圓O的切線交OD的延長線于點E，連接BD并延長交AE于點F．
（1）求證：AE?BC=AD?AB；
若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長．（）
9.（揚州市2016年）如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC.
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（等腰三角形）
（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=，求⊙O的半徑和BF的長.（半徑=2，BF=）
10.（2016年臨沂市）如圖，A、P、B、C是圓上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，AP、CB的延長線相交于點D.
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的長.（4）
11. （2016年山東省煙臺市）如圖，△ABC內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，B為切點，OP⊥BC，垂足為E，交⊙O于D，連接BD．
（1）求證：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半徑為1，PD=3DE，求OE及AB的長．
（OE=，AB=2OE=）
12. （2016年房山一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且∠CAB=30°，點D為弧AB的中點，AC=.求CD的長.

13. （2016年門頭溝一模）如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE為⊙O的切線．
（1）求證：DE⊥BC；
（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．
14. （2016年豐臺一模） 如圖，在△ABC中，AB = AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，過點B 作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．
（1）求證：；
（2）連接BD，AE交于點H，若AB = 5，，
求BH的長．
15. （2016年朝陽一模）如圖，點D在⊙O上，過點D的切線交直徑AB延長線于點P，DC⊥AB于點C．
(1) 求證：DB平分∠PDC；
(2) 若DC=6， ，求BC的長．
16．（2016石景山一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線，交AB于點E，交CA的延長線于點F．
（1）求證：EF⊥AB；
（2）若∠C=30°，，求EB的長．
17.（2016年通州一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE⊥PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．
（1）求證：AB=BE；
（2）連結OC，如果PD=，∠ABC=，求OC的長．
18．（2016年通州一模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點D，過點B作BE⊥PD，交PD的延長線于點C，連接AD并延長，交BE于點E．
（1）求證：AB=BE；
（2）連結OC，如果PD=，∠ABC=，求OC的長．
19. （2016年懷柔一模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，，弦CF與OB交于點E，過點F，A分別作⊙O的切線交于點H，且HF與AB的延長線交于點D．
（1）求證：DF=DE;
（2）若tan∠OCE＝，⊙O的半徑為4，求AH的長．
（七）正多邊形和圓
知識點
1、多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心．
2、正多邊形的半徑：外接圓的半徑．
3、正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角．
4、正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離．
常用基本圖形：
例1. 正六邊形的邊長a，半徑R，邊心距r的比a∶R∶r=_______．
例2. （2016年西城一模）已知，如圖所示．
（1）求作的內接正方形（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若的半徑為4，則它的內接正方形的邊長為_______________．
例3.（ 2016年四川省巴中市）如圖，將邊長為3的正六邊形鐵絲框ABCDEF變形為以點A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細）．則所得扇形AFB（陰影部分）的面積為　18　．
例4. （株洲市2016年）如圖正六邊形ABCDEF內接于半徑為3的圓O，則劣弧AB的長度為 π
（八）弧長與扇形面積、圓錐的側面展開圖
知識點
1.圓周長：C＝2R。
2.弧長：。注意：n不帶單位，且n表示1o的倍數。
3.扇形面積：＝。
4.圓錐側面積S＝rL
5.計算圓錐全面積的計算方法S=rL＋r2．
例題與練習
（2016年長沙）如圖，在⊙O中，弦AB=6，圓心O到AB的距離OC=2，則⊙O的半徑長為_____________.
（2016年湖南省常德市）如圖，△ABC是⊙O的內接正三角形，⊙O的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是　3π　．
如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，則的長為（ B ）
(A) (B) (C) (D)
4. （2016年山東省濱州市）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2，分別以A，B，C為圓心，以2為半徑作弧，則圖中陰影部分的面積是　2π﹣3　．
5.（2016年四川省廣安市）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，則S陰影=（　　）
A．2π B．π C．π D．π
6.（樂山市2016年） 如圖，在中，，,以點為圓心，的長為半徑畫弧，與邊交于點,將 繞點旋轉后點與點恰好重合，則圖中陰影部分的面積為___ ；
7.（四川省內江市2016年）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，則圖中陰影部分的面積為( C )
A．π－4 B．π－1 C．π－2 D．π－2
8．（2016年山東省德州市）如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對折后半圓弧的中點M與圓心O重合，則圖中陰影部分的面積是　﹣　．
9.（2016年江蘇省泰州市）如圖，⊙O的半徑為2，點A、C在⊙O上，線段BD經過圓心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，則圖中陰影部分的面積為　π　．
10. （山東省泰安市2016年）如圖，是一圓錐的左視圖，根據圖中所標數據，圓錐側面展開圖的扇形圓心角的大小為（　B　）

A．90° B．120° C．135° D．150°
11.（ 2016年山東省煙臺市）如圖，C為半圓內一點，O為圓心，直徑AB長為2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉至△B′OC′，點C′在OA上，則邊BC掃過區域（圖中陰影部分）的面積為　π　cm2．
12. （2016年棗莊市）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，則陰影部分的面積為D
A．2π B．π C. D.
13.（2016年湖北黃石）如圖所示，正方形對角線所在直線上有一點，，將正方形繞點順時針旋轉，在旋轉過程中，正方形掃過的面積是__________.
14.（2016年荊門）如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上剪出一個圓心角為90°的扇形ABC，使點A，B，C在圓周上．將剪下的扇形作為一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓的半徑是( )
A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
七. 專題舉例
（九）與圓有關的作圖
1.請用尺規將已知弧二等分
2.在圓內做一個正方形，使這個
正方形的四個頂點都在圓上.
3. 有一個未知圓心的圓形工件(如圖). 現只允許用一塊直角三角板（注：不允許用三角板上的刻度）畫出該工件表面上的直徑并定出圓心. 要求在圖上保留畫圖痕跡，寫出畫法.
4.過已知圓上一點做圓的切線.
5. 過已知圓外一點做圓的切線
6.尺規作圖：做出圖中三角形的內切圓.
7.（2016年江蘇省無錫市）如圖，OA=2，以點A為圓心，1為半徑畫⊙A與OA的延長線交于點C，過點A畫OA的垂線，垂線與⊙A的一個交點為B，連接BC
（1）線段BC的長等于　　；
（2）請在圖中按下列要求逐一操作，并回答問題：
①以點　A　為圓心，以線段　BC　的長為半徑畫弧，與射線BA交于點D，使線段OD的長等于
②連OD，在OD上畫出點P，使OP得長等于，請寫出畫法，并說明理由．
（十）與圓有關的最值
例1.已知：如圖，圓心A（5，0），⊙A的半徑為2，與x軸交于點C、D.
若點B為⊙A上的一個動點，則線段OB的最大值為______．
若點P為y軸上的一個動點，過P作⊙A的切線，切點為E,則PE的最小值為______．
例2、（2016年河北）如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在AQ（弧）上且不與A點重合，但Q點可與B點重合.
發現 AP（弧）的長與QB（弧）的長之和為定值l，求l；
思考 點M與AB的最大距離為_______，此時點P，A間的距離為_______；點M與AB的最小距離為________，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.
探究 當半圓M與AB相切時，求AP（弧）的長.
（注：結果保留π，cos 35°=，cos 55°=）

第25題圖 備用圖
例3、（2016年浙江省）如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P，Q分別是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是（C）
A. 6 B. C. 9 D.

八.中考回顧
（2011北京）
20．如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點、，點在的延長線上，且.
⑴ 求證：直線是的切線；
⑵ 若，，求和的長.
（2012北京）
20．已知：如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點作的切線，交 的延長線于點，連結．
（1）求證：與相切；
（2）連結并延長交于點，
若，求的長．
（2013北京）
20．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E。
（1）求證：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的長。
25．對于平面直角坐標系O中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關聯點。
已知點D（，），E（0，-2），F（，0）
（1）當⊙O的半徑為1時，
①在點D，E，F中，⊙O的關聯點是__________；
②過點F作直線交軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（，）是⊙O的關聯點，求的取值范圍；
若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯點，求這個圓的半徑的取值范圍。
（2014北京）
21．如圖，是⊙O的直徑，是的中點，的切線交
的延長線于點，是的中點，的延長線交切線
于點，交于點，連接.
（1）求證：；
（2）若，求的長.
（2015北京）
24．（2015?北京）如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線
BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且=，連接AC，AD，延長
AD交BM于點E．
(1）求證：△ACD是等邊三角形；
(2）連接OE，若DE=2，求OE的長．
29．（2015?北京）在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P′，滿足CP+CP′=2r，則稱P′為點P關于⊙C的反稱點，如圖為點P及其關于⊙C的反稱點P′的示意圖．
特別地，當點P′與圓心C重合時，規定CP′=0．
(1）當⊙O的半徑為1時．
①分別判斷點M（2，1），N（，0），T（1，）關于⊙O的反稱點是否存在？若存在，求其坐標；
②點P在直線y=﹣x+2上，若點P關于⊙O的反稱點P′存在，且點P′不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍；
(2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣x+2與x軸、y軸分別交于點A，B，若線段AB上存在點P，使得點P關于⊙C的反稱點P′在⊙C的內部，求圓心C的橫坐標的取值范圍．
（2016?北京）
25. （2016?北京）如圖，AB為的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交于點D，
過點D作的切線，交BA的延長線于點E.
求證：AC∥DE；
連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路.

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