資源簡介

教無涯 學無涯
——“點到直線的距離公式”的教學案例
上海市楊浦高級中學 張立華
金秋的十月，美麗的楊浦高級中學迎來了五十華誕，青青的草地，婀娜的楊柳，磚紅的建筑，燦爛的笑容，青春的倩影為喜慶增添了無限的嫵媚、吉祥。筆者有幸參加這次校慶課的展示活動，在課的準備過程中，在聽取專家的意見時，在課堂里與學生實際互動中， “閃現”，“碰撞”出了一些揮之不去的“個例”，在我的腦海里小心地“珍藏”，我常想：能不能把這些“個例”編成富有探究價值的“案例”，并運用它開展課堂教學探究，達到拋磚引玉的作用，豈不美哉！現拾取幾則，或許以饗讀者。
一、課題背景
點到直線的距離公式在以往的教學過程中遇到的最大困難是：思路自然的則運算很繁，而運算較簡單的解法則思路又很不自然，這樣就造成了教學中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學生的思維得不到應有的訓練，學生的主體作用也不能充分體現出來。為避免這個問題，探討 “點到直線的距離公式”的教學如何更合理，怎樣把教學過程變成師生共同探索、發現公式的過程，怎樣使推導過程自然而簡練，是這一節課必須解決好的問題。
本節課是直線部分最后一個內容，有意識地涉及到兩直線垂直、兩直線的交點等知識，既幫助學生整理、復習已學知識的結構，也讓學生在新授知識時，在原認知結構中找到生長點，自然地引出新問題，符合學生的認知規律，有利于學生形成合理、完善的認知結構，在這過程中展示了數學知識產生的思維過程，學生能夠自覺地、主動地參與進來。
二、曲徑通幽處
最初的“引入與展開”
問題1：已知點P(-1，2)，和直線l：x-5=0，求P點到直線l的距離.

問題2：已知點P(-1，2)，和直線l：y-10=0，求P點到直線l的距離.
問題1、2得到Ax+By+C=0 A、B中有一個為零的距離公式
問題3：已知點P(-1，2)，和直線l：2x+y-10=0，求P點到直線l的距離.
問題3得到Ax+By+C=0 A、B不為零
問題4：已知直線l：（Ax+By+C=0 A、B不為零）和直線外一點P(，求點P到l的距離d.
可用問題3的方法，但運算非常復雜.能否換一角度去解決這個問題.(啟發學生從最基本的概念入手分析)
由問題1，問題2的構圖想到：
變圖1：可聯想：利用平面幾何中的射影定理，使PQ成為一直角三角形斜邊上的高.通過解直角三角形使問題得到解決.
（變圖1）
變圖2：通常線段的長要利用三角形來求解.（如何構造一個含所求線段又易于求解的三角形是解決這個問題的關鍵.）（將上圖簡化）
利用問題3先讓學生解決具體問題，再啟發進行一般性的公式推導
（變圖2）
變圖3：突破口2的改進：我們知道，平面上點到直線的距離等于過這個點與已知直線平行的平行線直線的距離，這樣就可以將所求線段平行移動之后放在最佳的位置.）
過P點作與l平行的直線l′，l與l′的距離即為所求(如圖)。可利用兩平行線與y軸交點間的線段構造三角形.
（變圖3） （變圖5）
變圖4：先推導平行線間的距離公式，再推導點到直線的距離公式
變圖5：（向量證明）事實上點到直線的距離就是求過點向已知直線所引垂線段的長（找垂足Q）
最初構思的特點：①由4個具體問題完成了從特殊化（直線與坐標軸平行情形）到一般化（Ax+By+C=0）的過渡，而且肯定一些方法在具體數據的情況下也是有效的 ② 圖形的變式非常能啟發學生深層次地思維，有師生互動的平臺，能激趣與質疑 ③ 公式推導的主要方法都已經出現（略為改進的有二十多種方法）
專家指導：方法多是好的，能達到復習與運用舊知，又能完成公式推導的教學任務，但“向量方法的推導”是本節的亮點，如果按上面授課，課題應為“點到直線的距離公式的推導”。最好方法應有側重。
如何“點亮”是關鍵，如何處理好眾多的推導方法是要解決的首要問題，為此專家認為應采取：
削枝強干：①發揮我校的資源優勢，學校期刊室與網絡的優勢，把學生平時養成的預習習慣給予利用，布置預習的題目：“求已知點P(-1，2)，和直線l：2x+y-10=0，求P點到直線的距離”、“已知直線l：Ax+By+C=0 （A、B不為零）和直線外一點P(，求點P到l的距離d ” ② 重點是考慮如何“平滑無痕”地過渡到向量方法的推導。
這樣一來：既把學習的自主權交給學生，充分地相信學生，又節約了課堂上寶貴的時間，幾種非向量推導法改為：
唯有源頭活水來（學生上臺講）：學生思路和推導成果用液晶投影儀展示并歸納為：“①過已知點確定直線的垂線，②求線與線的交點，③轉化為兩點間的距離”引出需推導點到直線距離公式的必要性（前面的一些思路簡單但運算非常復雜。）
在教學過程中應特別注意糾正學生回答問題時的“口誤”，還要抓住時機肯定學生的“閃光點”，如何把向量方法的推導“點亮”是攻堅戰
平滑無痕地過渡：若：=(a,b) ,=(
a (=|cos0 （與同向）
a (=|cos （與反向）
向量方法的推導必須要引出上面的兩公式，在與專家的討論過程中，都感覺到有幾個“棱角”要“磨平”，特別是| cos0中，所求量是，如何過渡？專家指出這是“內積公式”，何嘗不可以看著“方程”，那么只需尋找等式兩邊的“已知與未知”，用方程的觀點過渡，不是很合理嗎！真是云中拔霧，這樣引出這個式子比較自然，而且前面一節內容“推導兩直線的夾角公式”就是用的內積公式的“求角功能”，而它還有“求模功能”，且“模”、“長度”、“距離”是有關系的，大的問題得到解決。但總覺得還有一些問題，拿出來“底氣不足”！到底是哪里不舒服呢？想與專家談，又怕見面，見了面又無話可說，幾次下來，專家似乎看出了我的心思，他說：“我時常習慣這樣問自己，‘是什么？’、 ‘為什么？’、‘還有什么？’”一席話還真把幾天的想法激活了，縈繞的問題迸發出一點小“靈感”。
為什么？還有什么？由直線方程可以得到法向量，方向向量，為什么要取法向量，而不取方向向量？因為，否則的話在方向向量上的投影是零，無法求距離，故只能取法向量。 還有什么呢？點積運算是兩個向量，是當然入選，就這樣引入學生也應該好思考了，因為Q是垂足，是距離。難道非取垂足Q點嗎？實質上取直線上任何一點（都可以，因為距離a (= |cos
就是cos，是 在上的投影。把這些問題都想清楚了，上課的信心就足了。實際上上課時，這部分的確形成了一個高潮。
既使是這樣，公式推導成功的最后一個關口：=C的整體代換也是學生理解上的一個難點，在這里我們是這樣設計的：
借東風：a (=|cos0中全部分析完后，發現一個方程中有三個未知量，根本無法求，眼看推導就要失敗。原來在這里的設計比較單調，不能激發學生的求知欲。而這里不亞于周郎火燒赤壁中“萬事具備，只欠東風”的失落，恰當地提問：誰來“借東風”？活躍了氣氛，又給學生留下了深刻印象。 公式推導出后運用的問題緊接而來，根據以往的經驗是學生在老師設計好的訓練體系中進行，由于平時我所教的班一直在進行變式教學，有一定的基礎，在繼續延伸專家“方程”思想的基礎上，我們設想：
套用公式？還是活用方程？此公式中涉及到日的有三個幾何量：①點②直線③距離，訓練學生學會知二求三，把這個想法告訴專家時，專家認為是否將提法更明確一些，因為由“點、直線、求距離”是不會出現問題的，但由“直線、距離求點”，“點、距離求直線”時，學生會不會出現點的橫縱坐標都不給，直線中的量全不給的情形呢？如果這樣，點、直線是不定的。后來通過討論，我們共同認為：不怕學生出錯，而且在討論過程中發現，橫縱坐標都不給定，正好軌跡是兩條平行線，非常平滑地引出了“平行線間的距離公式”，而且直線中的量全不給定的情形，正好是直線包絡出“圓”，又正是緊接下一章要學的內容，既可以展示數學美，又承上啟下，真是一箭雙雕。用多媒體演示（如下），既形象又直觀，給學生留下了非常深刻的印象。

在最初的構思中想用“點到直線的距離公式”解決實際問題：“最小二乘法”進行線性擬合直線方程。但點太多、計算復雜，又不便找到規律，而且又沒有成形的東西，最后大家認為把點減到三個，問題為“一個工廠里有三個加工點，如何修一條路，三個加工點距離這條路的距離相等?”,在構思的過程中,認為這樣的路不僅存在，而且有三條，而且是“最公平”的路，那么有沒有“最優的路”，這樣進一步設問，何為“最優”？把問題引向深入。本來是想用“最小二乘法”進行線性擬合直線方程，最后成形問題已經“面目全非”了。后來發現學校內就有鮮活的素材，于是：
修亭子？還是修路？
　　把學校的平面圖我們用數碼相機拍下，將“綜合體育館”、“學生公寓”、“荷花池”設計為三個點，學生有親切感，在作圖時，學生出現了作三角形“外心”作為問題的圖解，這實際上找到了一個距三點距離相等的點，問題是修路，而學生卻修了一個亭子！進一步啟發下，學生很快獲得圖解。而實際上的路并不是“最公平的路”，我們天天走的這一條圖中的“紅路”有什么特點，實際量一量，進一步的提問將學生的思緒繼續拓展。
三、反思
　　這次教學備課活動無疑給了我有益的啟示：
善于運用數學的觀點、思想、方法指導教學設計，中學數學建立在現代數學的思想基礎上，用現代數學的觀點、思想、方法、風格和語言進行中學數學教學，使學生的思維向現代數學的思維方向發展。。
通過對推導出的公式進行變式訓練， “變”能引起學生的思維欲望和最佳思維定向。變式訓練，是創造性思維教學的關鍵。數學教學中，適當運用變式，啟發學生從多角度、多方向、多層次思考問題，鼓勵學生不受現有知識有局限，不受傳統觀念的束縛，大膽假設，求新求異，開拓創造性思維。
問題寓于情景之中，要新異生動、教學要能觸發學生積極思索的心向，讓我們的備課與教學活動在圍繞課題的前題下，進行討論和爭辯中產生出“火花”，拓寬學生的視野，同時，培養學生和我自己良好的思維習慣，
由于本課題處在知識交匯點的位置，所蘊含的數學思想方法較為豐富，教學中體現了方程的觀點，數形結合的數學思想，教材一般寫的都符合“簡潔性原則”，在教學中應充分挖掘，主動進行探索，切不可人云亦云。
培養高層次數學學習人才，教師是關鍵，是主導。如果教師本身不具備開放的教學思想，強烈的創造意識，勇敢的創新精神，較高的創新能力，即使擁有最優越的教學環境，最新穎的教材體系，也無法培養出大批合格人才，更談不上是高層次的優秀人才了。所以，除了具有崇高的敬業精神，全面的知識結構，教師還必須具備先進的教學觀念，要在開放性、科學性、民主性、靈活性、獨特性原則的指引下，加強與同事的合作，加強與學生的合作。努力為學生創造良好的學習環境，積極引導學生學會學習與思考，學會實踐與創造，在培養學生的同時，不斷完善自己，增強自己的創造力。這樣師生互為動力，在共同營造的寬松自由、活潑愉快的氛圍中教學相長，追求新的創造。
感謝：
本次公開課得到了許多老師的幫助和指導，在此感謝特級教師康士凱導師的悉心指導，區教研員劉大秀老師和朱新程老師，特級教師崔永富老師，常生龍老師、張進興老師、許蓓蓉老師、沈莉老師、巫江明老師、江海濤老師、于海闊老師、金益裕老師、興梅老師、老師的幫助，難忘數學組所有老師的支持，難忘高二（16）班全體同學的精彩表現。
參考文獻：
＂高中幾何創新教學設計＂ 學苑音像出版社 北京師聯教育科學研究所編

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