資源簡介

高考大題中的通解思維
當前教學上喜歡講究一題多解，因為這樣能夠鍛煉學生的做題思維和技巧，但是搏眾高考中心今天我們要反其道而行之，那就是一解多題。
數學大題表面上是很難，但是通過多年的教學積累和經驗總結，我們發現數學整個學科的解題思維基本上趨于一致，能夠形成通解，使我們在數學教學上大幅的簡化，甚至不需要刻意的思考。我們借助一下歷年高考真題，看看是不是能夠用一種方法或一種思維進行解答。這里，我們全部采用05~08全國I卷的最后一題，發現是數列、函數或不等式題，沒關系，題型不一樣，看看是否能用固定的思維解法，解題步驟中存在什么樣的共性：
（05全國卷）已知函數
（Ⅰ）求的單調區間和值域；
（Ⅱ）設，函數。若對于任意總存在，使得成立，求a的取值范圍。
解析：本題看似式子復雜，但是第一問直接可根據定義去做，這個分數必須拿到。根據定義得出以下式子：
解：（I）對函數求導，得到這步幾乎大家都會，題目問的是的單調區間和值域，很多人看到這個式子不敢往下分析，其實仍舊跟據定義： 令解得然后做表分析即可。【思考：憑什么令？】
當變化時，的變化情況如下表：
所以，當時，是減函數；當時，是增函數.
當時，的值域為[－4，－3].
第二問很多人看題目就暈菜了，其實這道題即使你不會分析，大膽的往下做，就能把題目做對，我們思考下，題目給的條件和我們要求的差距點是什么？這道題的差距點雖然較大，但是用這種求差值的思想是能一步步走下去的，題目給的是g(x),x1和x0,并且給了范圍，要我們求解a的范圍，要想求a的值，就必須列出a的表達式，a的表達式想要列出，就必須從g（x）入手，題目給的信息除了區間就沒有其他能利用的條件了。既然題目給的是區間，因此我們不妨對函數求導，得【思考：憑什么進行求導？目的是什么？】到了這一步，由于題目告訴我們，所以當時，
因此當時，為減函數，從而當時有這個就是我們所要的缺失條件。到這里可能同學們清楚了為什么要進行求導，因為題目給了我們取值區間，要想求出a值，只要判斷這個函數的增減性就行了，這就是條件差異彌補的推導思想。由于知道函數的增減性，就容易了，馬上可列出a的表達式：
又即當時有有人說這個不是表達式，還是個未知數，沒關系，我們再用同樣的思想去走，發現現在能利用的條件也異常清楚了（因為就這個沒用上了）：
任給，，存在使得，
則
即
解得 ；
又，故a的取值范圍為
評析：這道題式子復雜，05年高考時候正確率非常之低，但是其中的解題過程并不復雜，思維方向也十分明確，只是考題將多個概念進行轉換，條件隱蔽的相對較深。數學題的核心就是知識點與邏輯能力的結合，但是總的思想是異常相似的，幾乎全部的解答題都可以用一個思維來做，就是“條件差異彌補法”和“必要性思維”。所謂的“必要性思維”指的是要想獲取某個結果，必須獲得的前提是什么，多屬于逆推，兩者的道理是一樣的。
這里我們總結出這道題的思維步驟和解題步驟：
全部的思維步驟：
嚴格按照題目的要求，判斷要我們干什么
找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么
利用“找后補”或“找前提”的方式彌補出這個差距
最終聯系條件得出這個結論
固定的解題步驟：
直接根據課本定義得出結論（某類題注意取值分析）
用求同存異的思想進行條件轉換
函數用式子變形推出結果（引申：若是證明，數列用數學歸納法）
我們來看下道題，是否能夠套用以上結論：
（06全國卷）設數列的前項的和
，
（Ⅰ）求首項與通項；
（Ⅱ）設，，證明：
解析：題目直接要求我們求首項和通項，由于我們知道通項和Sn公式，就能直接根據定義來做。
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,… ②
將①和②相減得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …做到這一步相信大家都會，那么我們要求an公式，通過這個式子，我們發現差距點在an－an－1，同時可以2n+1－2n也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 這個就是我們所彌補的缺失點。因而數列{ an+2n}是首項為a1+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …, 做到這里，我們要問自己憑什么這么轉化，我們所求的an和得到的結果(an與an－1)存在差異點，要想把這個差異點彌補，就把他們之間的關系列出，就能得出結論。
第二問是數學證明，首先可以考慮數學歸納法證明，但是這題題設與我們得到的結論差距較少，直接求解較快，如果為求穩妥，建議用數學歸納法。看看直接求解的思路：
題目讓干嘛就干嘛，別多想，直接用定義。題目給的是這個式子，那么必須求出Sn。
(Ⅱ)將an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 +  = ×(2n+1－1)(2n+1－2) 【請思考】
= ×(2n+1－1)(2n－1) ，然后求出Tn和（問題與題目的差距點，并想辦法補上）
Tn= = × = ×( － )
所以, =  － ) = ×( － ) < 
評析：這題本身難度不高，但是第一步的難度較大，但是用上必要性思維和求差距思想，要想獲得an通項，必須結合起來解答，全部的難點僅此而已。總體而言，全部的解題思維是驚人的趨于一致的。不信？看下道題：
（07全國卷）已知數列中，，．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）若數列中，，，
證明：，．
（07全國卷）解析：發現這題的做法思路完全和06年的一致，顯然不能一步到位，還是先求出an與某個數的關系式，題目告訴我們，說明差距體現在 上，用這個式子來決定我做題的方向：
解（Ⅰ）由題設：
， ．
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
，即的通項公式為，．
這道題難在第一步不知道如何去想，題目告訴我們的條件似乎比較棘手，但是用這種“追求差異”并想法彌補的思維定式去做，很容易就將題目解答出來了。對于高考，方法越簡單越實用越好，尤其是第二步給出了個看似復雜的式子，我們沒有必要花費過多的精力推導，直接用數學歸納法即可（過程略）。
評析：整體難度其實不大，但是看起來比較有難度。我們只要沿用這種求同存異的“補差”思想，還是非常容易做的，甚至連計算都不難。
看到這里，大家應該能用這種思維去做其他題了吧，我們日常遇見的題型雖然各有差異，其實總的做題思維真的沒有太多差距，并且在解題步驟上也十分類同。大家不妨用這種思維去看看08的最后一題。
（08全國卷）設函數．數列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數在區間是增函數；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，整數．證明：．
簡要解析：看看08高考題型結合函數了，依舊用同一個思想，第一步，依舊是題目讓干嘛就干嘛，求函數增減性，直接用定義，要證明，數學歸納法。
解：第一步（略），第二步證明，發現第一步函數的增減性可以直接利用，直接用數學歸納法。
第三步較為復雜，沒關系，這題表面是數列，其實考察的是不等式，無論是哪類題型，其根本點還是從條件中尋求差異，要我們證明，給的條件是設，整數，依舊是以“必要性思維”來思考，要想獲得這個結論，必須列出他們的表達，要想列出他們的表達，必須利用有這兩個字母的條件，我們發現題目有和，然后就能輕松的得出結論：由． ，到了這里，幾乎全部出來了。
若存在某滿足，則由第二步可知：
若對任意都有，則
，即成立.
解析：這道題出的十分經典，即考察定義，又綜合了多個知識點，同時式子看起來比較能夠“嚇唬”人，思維跳躍過程很大，但是計算本身并不復雜，這題失分率非常之高，第一步的過程就把很多學生難倒，這是不應該的，其實無論多難的數學題，解題的根本方法是從題目本身入手，題目讓干嘛就干嘛，要我們做什么就自然而然的做，而不是看到題就聯系知識點套用，那樣只能做簡單的題，對付這類靈活多變的綜合題，我們要在做題過程中形成這種相對固定的解題思路，達到用一招就能化解多題，做一題，會百題的效果。
縱觀近年數學考題，幾乎都可以用這種思維拿下，當然這是站在數學的理解基礎上，核心原則是以題做題，挖掘各類題型思維的共性，這樣才能在數學考試上戰無不勝，攻無不克。
09試題的題型雖然比較獨特，但是看看能否用這種思維來作出這道題呢？我們看看：設函數在兩個極值點，且
（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點的區域；
(II)證明：
解析：不管這道題的問法是什么，拿到題后還是先關注題目讓我們干什么。題目意圖是讓我們畫出關于f（x）成立bc的條件范圍，我們什么都不要想，直接順著題意來：
由題意知方程有兩個根
則有故有
這個不等式組全部轉化為c的表達式，出來后就能通過坐標系畫圖，它們圍起來的區域就是所得的區域。之所以要求導，是因為導數=0時是極值點，這個就是直接根據定義得來的，符合我們說的通解思維。（具體圖不畫了）
第(II)問很多考生就不會做了，因為有一定的區分度，更主要原因是含字母較多，不易找到突破口。來看我們的思想原則：首先找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么，然后利用“找后補”或“找前提”的方式彌補出這個差距，題目讓我們干嘛就干嘛。本題讓我們證明，既然是要求x2，我們不妨想辦法列出f（x2）的表達，從題目給的極值和x2的取值范圍，我們不妨根據定義對求導，得出，有了這個式子，我們看看還有什么條件沒用上？轉化一步，寫成，那么直接消去b得，為什么要消去b呢？因為由第一步大家畫的區域可以知道b，c的取值范圍，我們只有將轉為b或c的表達式，才能得出結果，這是由題目條件的差異來決定的，當考生拿到題的時候，第一時間要朝著“能利用”的方向轉化，要想證明這個式子，必須列出表達式，表達式列出后，存在兩個字母，要想能夠得出結論，當然要消去一個字母，這就是通解中求差異的必要性思維。其實無論消去b或者消去c，都能根據第一步的結論得出證明結果，只是消去b省事一些而已。
又，且，所以有，又有
最后管衛東總結一下，以后碰上數學大題，千萬不要慌亂，直接照著題目意思來，堅信自己能夠做下去并且做對。因為高考很難遇到熟悉的題型，所以大家在訓練的時候一定把握住上面說的特點：1、題目讓干嘛就干嘛；2、找出問題和條件的差距點；3、但凡卡住的時候找“前提”或“后補”。
這里只是借用數學高考試題，題型可以說幾乎都不一樣，但總體的思路卻有其相似之處。縱觀題海，其實理科大多數學科都能夠總結出這類通解方法。當然，作為一個考生，我們沒有必要去花費太多時間和精力去刻意整理，但是這種道理應當要有所意識。希望大家在復習過程尤其是做題，最好多花一點時間多看題，多總結，多思考；少盲目做題，少抓瞎訓練。這樣才能夠提高效率，在考試中任何大題都成為自己奪分的籌碼。

展開更多......

收起↑