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中學極顯然重大錯誤：將兩異集誤為同一集
——再論實數與已知實數軸的點遠不可一一對應
（發表在《科技信息》2010/7）
黃小寧（通訊：廣州市華南師大南區9-303 郵編510631）
[摘要]“一一配對”常識反復證明：存在用而不知的最大自然數和無窮大自然數，此無窮序列{n}的項可多（少）于彼{n}的項。非常形象直觀地揭示中學數學有一系列搞錯了變量的變域的重大錯誤。幾百年解析幾何一直將y=x軸與人們未知的y=2x軸等無窮多各根本不同的數軸誤為同一軸。從而使康脫推出極荒唐“革命發現”：線段所包含的點可與其一部分的點一樣多。揭示點集與數集有根本區別，實數與書上實數軸的點遠不可一一對應。
[關鍵詞]最大自然數；標準及非標準無窮大數；假自然數列；前所未知的數軸；推翻百年集論；變量的變域；保序變換
世界數學大師歐拉在一片反對聲中超越前、后人地“頑固”堅信：任何級數不管是否發散都有一個確定的和或值。（張文修《數林漫步》25頁，陜西科技出版社，1984。）顯然若歐拉猜想“∑1是一無窮大自然數或超自然數”被證實則是數學發展史上的重大轉折與飛躍。
一、居高臨下的科學思維方法使數學由幾千年“肉眼”階段一下子質變到“慧眼”階段
設俯視圖1：{①，②，③，...}=A表示一給定的有無窮多雙項（一雙項組成一組大項）的立體序列由上、下兩子序列A1與A2組成，立體自然數都“懸浮”在“圍棋白子”○上。類似有B：
{...，⑥，④，②，①，③，⑤，...}
的左（右）半邊的數是偶（奇）數。A（B）的所有數組成正自然數集N+。A中正自然數列A1的下面是棋子○序列A2={○}～N+（表示A2的○可與N+的數一一配對）。
肉眼不能將A的項都看到，但人有邏輯推理能力，慧眼能洞察A的所有項是否都有“配偶”而不被目光太短淺而無力認識與把握“無窮”的肉眼所騙。肉眼不能察覺此桶水僅比那桶水多一個水分子，但慧眼能洞察此無窮集{n}比那{n}多（少）含一個數。注！符合實際的思想才能產生慧眼，否則產生傻眼陷入“不可知論”“科學終結論”泥坑。
A的各數都由n變為n+1后再增添新首項1得圖2：
{1，②，③，④，...}（1下無○）=M
M各數與A2的○不可一一配對而總有一數下無○，表明M中：數比（A2～N+中的）○多一個——意味M比N+～A2多包含一個數——意味M中有超自然數>一切自然數！可見形如{1，2，...，n，...}的集不一定是N+！即存在似是而非的假N+！小學生也能看圖1識“字”：
在A中：單獨粉碎（增添）n個數后立刻就有n個○上（數下）沒數（○）與之配對，不論怎樣重新配對。原因是A比原來少（多）了n個數，即上下兩序列的任一列一旦單獨增減項就必打破原來數與○一樣多的格局。故圖1顯示有
h定理1：任何序列與級數增（減）n個項后必比原來多（少）n個項。
[1]證明了 h定理2：對等的兩無窮集F～G的任一集增（減）元后就再也不能～另一集了。
故此{n}的項可多（少）于彼{n}的項。自識自然數多得寫不完的5千年來一直無人認識此革命真象使康脫誤入百年歧途。?? ?圖2的M各數都不動而各○都左移一個位置得{①，②，③，...}，“肉眼”就以為其中的數與○一樣多。殊不知在無窮遠處必有一數下無○。A的項也作此變動得{○，①，②，③，...}——百年假象：部分
○可與全部數一一配對。希爾伯特：數學是研究無窮的科學。然而幾千年“肉眼”階段的數學恰恰對無窮的認識太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
符合實際的思想：不增減項的序列各項不論如何
改變位置都不能改變項的多少。顯然有換偶原理：已一一配對的無窮多對“夫妻”之間互相任意“換妻”必還是可一一配對。這是起碼邏輯學常識。
故凡～N+的集G的元都必可有“配偶”∈N+，一個不漏！故G=N+～N+的各非1元n+1都有配偶n∈N+（所有配偶n=1，2，…組成U）的同時G的1元也必可有配偶t∈N+。極顯然：t是U外的最大自然數！t+1是超自然數。同理在以下兩都是N+（～N+的上N+的元都有自然數配偶）的
{…，3，1，（2，4，…，2n，…}
{…，a2，a1，（1，2，…，n，…}
中，一目了然：下N+小括號左邊的數都是無窮大自然數>右邊的一切n。詳論見[2]。
以上居高臨下俯瞰全局的科學思維“解毒藥”使在康脫康健離脫的病態“樂園”內陶醉了百年的數學一下子清醒過來：化學曾被錯誤燃素說統治百年，數學也被極荒唐的集論統治百年。
二、提出數容器概念推翻百年集論及發現革命數——
有正實數>（<）x軸的一切正數
無窮集C～D而不～E的原因是C與D分別包含同樣多元素而至少比E多或少含一個元，稱D與C等容（兩集容量相等）。兩集不對等即不等容就更談不上相等。
如[3]所述，設有專門容納數（點）集的容器，可簡稱為容，如集合可簡稱為集一樣。各非空集G都充滿在相應的容器G內。如裝水分子集的容器必占宇宙的一定空間一樣，任何非空數（點）集的容器必占數（點）宇宙的一定空間。各容器的大小是固定的。
其實，數軸由容納點的容器（即位置）與器內點兩部分組成，去掉點就剩下位置容器；挖去復平面的一個點就留下了一個“洞”——只容一點的容器。
容器D容納不下比集D多元素的集。容器[1，2）容納不下集[1，2]。顯然有革命事實：容D的容量=集D的容量。極顯然：任何無窮集D的任何一部分d都不可占滿容D（挖去集D的一部分，剩下的不可充滿容D）——一目了然地表明D的容量必>d的容量——百多字推翻了百多年“人類最偉大創造之一”（胡作玄《引起紛爭的金蘋果》27頁，福建教育出版社，1993.）的集論！相應有由長度為1的點組成的自然數軸：
◎①②③④...→N軸
其中只裝一數的數容○是N軸容器的元。去掉N軸全部偶數2n>n=1，2，…（所有n組成Q）得◎①○③○...，顯然因自然數集N的全部偶數不可充滿容器N，故Q={1，2，...，n，...}也不可充滿N軸——石破天驚地表明Q不是正自然數集N+而只是其一部分！昭示Q外還有無窮多無窮大自然數！且其可與N的奇數一一配對。自識自然數5千年來一直無人認識此類革命數使康脫推出：N的真子集可～N。
兩不交且非空的無窮集U、V的并記為U+V。U增一元a得其真擴集K=U+｛a｝就比U多了個U所沒有的數a。顯然U容容不下K集——表明K的元必多于U的元。這一目了然地表明有[4]中的
h定理3（真擴集定理）：任何可有真擴集的非空集G的容量必<其真擴集K(G的容量。
h定理4：若A各元x>0都有對應y>x，則所有y組成的B不可包含A而必至少有一x∈A證：參見[3]的第六節。表達式：B的任何（一切）元y（x）>x∈A一目了然地直接表達A中有數x同理“對于書上x軸的一切正數x都有對應實數x/2x” 顯然表示有正實數2x>x軸的一切正數x！
定義域為D=（0，1）的y=10x的值域Z真的=（0，10）=D+[1，10）=K嗎？
D各元均由x>0變為 y=10x得以y為元的Z～D，D
內有多少個x，Z內也有多少個y。故容Z=容D（兩容器的大小相等）。⑴據h定理2,Z～D不可～D的真擴集K(D從而更≠K!（K中：D的元與Z～D的元一一配對后，K-D的元x都不可有配偶∈Z，緣于K的元x多于Z的元10x）⑵據h定理4,Z不可包含K 的一部分D表明Z≠K! ⑶Z～D只能布滿容D而不可布滿容K——石破天驚地表明容K>容Z=容D——非常形象直觀地表明Z～D 與D一樣都只是K的一小部分！
關鍵是“Z一切元y=10x>y/10∈D(K”正確，而“K一切元x>x/10∈D(K”是病句：K有數x/10故中學“Z=K”（及“Q=N+”）是將兩異集誤為同一集。搞錯變量變域是導致全盤皆錯的最重大根本錯誤。
形如y=10（y/10）=10x>x>0的數y都有對應正數y/10=x,稱這類數為般正數。K內形如y=10x>x∈D的正數y的全體組成了Z即K內全部般數組成Z。
Z=K（般數）（K內所有般數組成的集）才是正確的，
去掉“（般數）”就是中學重大錯誤：將K的一小部分：Z，誤為K。使康脫推出…。真正建立在此重大錯誤上的理論必是錯上加錯的更重大錯誤。不及時糾正會使人在錯誤的泥坑里越陷越深以致無力自拔。
“筆下線段不斷變長就是可變點集包含的點不斷增多。”?非常形象直觀地...。數學返樸歸真的意義極其重大。
三、y=x軸與y=2x軸、y=x/2軸、…等無窮多各根本不同的數軸不可誤為同一軸：y=x軸
同序數概念：數軸A的各數x在軸內分別都有一定的大小“名次”。 A各數均由x保序變換為y=g（x）（變量y是增函數）就得A的保序變換集B=g（A），x∈A在A中的大小名次與g（x）∈B在B中的大小名次是一樣的，稱y與x互為同序數。據有序數集E的特點：若E=H則其各元必可由小到大一一對應相等，顯然有
h定理5：有序集A保序變換為B=g（A）～A，A=B的充要條件是恒有x=g（x）（凡同序數必相等）。
x>0的變域E各數x（設都有對應數10x或x/10）
均保序變換為f（x）=10x或x/10得f（E）=F，h定
理5表明中學的“E=10x或x/10的變域F”等等是重大錯誤。
如[5]所述，x軸A各點均由x變為點y=x，x軸就變換為以點y=x為元的y=x軸點集B=A；A各點均由x保序變換為點y=10x，A就變換為以點y=10x為元的y=10x軸點集C。據h定理5，C≠A，因為x=10x（x的同序數）不可恒成立；且據h定理4A有正數x故x軸的線段h：0 1（珍珠直徑）各點均由x變為點y=10…0x=kx得以點y為元的y=kx軸的L：
0 … k（地球直徑）～h
，≠h～y=x軸的L′：0 … k，且顯然～h的L的元10…0x不可與L′的元x一一配對也表明L≠L′！緣于它們的組成成員不同：y=x軸的元是點x而y=kx軸的元卻是點10…0x，正如銅線與鐵線根本不同一樣。最關鍵是[5][6]指出：點集與數集有根本區別，點集中的“點”有大小且有大點與小點之分。
如[5]所述，幾百年解析幾何一直將y=x數軸與人們未知的y=2x軸、y=x/2軸、…等無窮多各不同的數軸誤為同一軸：y=x軸，就搞錯了變量的變域，使康脫推出病態的：線段可～它的一小部分。
當且僅當點集Z的點z與W的點w=2z可一一對應相等才可有Z=W。復平面z=x+iy的x軸z=x+0的點均由z=x保序映射為w=2z=2x就得平面w=2z=u+iv的u=2x軸。復變函數論認為兩軸可重合為一軸。如上所述，這是如將棉線與鐵線混為一談那樣地將不同的兩直線混為一談。應為“可重疊在一起”。下圖：
___0_x_____...→x軸
___0__2x___...→u=2x軸
顯示x軸的元x>0與u=2x軸的元2x根本不可上下一一對應相等使兩軸根本不可相等。
四、結語
如[7]所述，在一片叫好聲中，1908年著名數學和
物理學家龐加萊超越時代地清醒堅信：不合實際違反科學常識的集論必是危害科學的病態理論——即使整整一代人都沒有推翻此舉世公認“真理”的回天力。這不能不令人感嘆龐是智慧超群的天才大師！
“時間就是金錢，…”百年集論百年來浪費了多少億人的多少時間與精力啊！造成多少億元的損失？更要命的是它的重大誤導作用！
參考文獻　　[1]黃小寧，極顯然：自然數集增或減一元就變為非可數集了——中學重大錯誤：將兩異集誤為同一集[J]，科技信息，2009（26）；　　[2]黃小寧，不識最大自然數等使課本有一系列重大根本錯誤[J]，科技信息，2009（32）.
[3]黃小寧，百字推翻五千年數學“常識”：無最小正數[J]，科學咨詢，2007年10月第2期：29。
[4]黃小寧，百年集論確是"疾病"之理由——試議著名數學家龐加萊百年前的預見[J]，科學中國人，2009（4）； [5]黃小寧，極淺顯常識揭示數學有極重大根本錯誤——非創立全新數學不可的原因，見：中國學校教育與科研·數學·計算機卷[C]，北京：中國農業科技出版社，2003.5:7。
[6]黃小寧，一眼看出有最小、大正數一下子推翻百年集合論、破解2500年芝諾著名世界難題，發明與創新增刊[C]，2006：125。
[7]黃小寧，驅5千年迷霧現統治數學的集論百年病魔原形——破解2500年芝諾著名運動世界難題[J]，今日科苑,2009（16）:267
[8]黃小寧，憑傻瓜數學獲重大發現：有正數x≠
100…0（x/100…0）[J]，科學咨詢，2007年8月第4期。
電聯:13178840497
E-mail：[email protected]（hxl中的l是英文字母）

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