資源簡介

2017年高考數學文化內容預測一：回文數
一、高考考試大綱數學大綱分析及意義：
2017年普通高考考試大綱數學修訂,加強了對數學文化的考查。針對這一修訂提出以下建議：
建議教師對數學文化這一概念認真學習，結合教材內容學習，特別是教材中滲透數學文化的內容要充分重視，重點研究；結合近年新課標試題中出現的與數學文化有關的試題進行學習，重點關注題源、考法命題形式。
其主要意義為：
（1）增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用.
（2）能力要求：經命題專家精細加工，再滲透現代數學思想和方法；在內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求.
二、通過往年新課標高考實例解析及做2017年數學文化考試預測：
分析一、古代數學書籍《九章算術》、《數書九章》等為背景
近年來在全國高考數學試題中，從《九章算術》中選取與當今高中數學教學相映的題材背景．
（1）2015年高考全國卷Ⅰ，文化題源于《九章算術》卷第五《商功》之[二五]，將古代文化“依垣”和現代教育元素“圓錐”結合．
（2）2015年高考全國卷Ⅱ，文化題源于《九章算術》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．問約之得幾何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也．以等數約之”，后人稱之為“更相減損術”．
（3）2015年高考湖北卷，文化題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五]．今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺．問積幾何；之[一六]今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣，高七尺．問積幾何．考題將“陽馬”，“鱉臑”相結合，以《選修2－1》P109例4為源進行有機整合．巧妙嫁接，精典設問，和諧優美的考題呼之即出.
分析二：課后閱讀或課后習題阿波羅尼圓為背景
從2005-2013年多次涉及考題，全國卷2011年16題以此為命題背景的其他省市：江蘇：2008年13題、2013年17題.2009-2013年湖北高考連續出現等等.
數學文化題型背景預測：
預測一：古代數學書籍《九章算術》、《數書九章》等數為背景的數學文化類題目.
預測二：高等數學銜接知識類題目.
微積分、初等數學和高等數學的橋梁，由高中向大學的知識過渡銜接.
預測三：課本閱讀和課后習題的數學文化類題目
必修3中：輾轉相除法、更相減損術、秦九韶算法、二進制、割圓術等。。。
預測四：中外一些經典的數學問題類題目
如：回文數、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七橋問題、四色猜想等問題值得注意。
三、直擊高考經典
12年湖北理科第13題——回文數
（2012?湖北）回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數．如22，，11，3443，94249等．顯然2位回文數有9個：11，22，33…，99.3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．則：
（Ⅰ）4位回文數有　90　個；
（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數有　9×10n　個．
【考點】計數原理的應用。
【分析】：（I）利用回文數的定義，四位回文數只需從10個數字中選兩個可重復數字即可，但要注意最兩邊的數字不能為0，利用分步計數原理即可計算4位回文數的個數；
（II）將（I）中求法推廣到一般，利用分步計數原理即可計算2n+1（n∈N+）位回文數的個數
【解答】（I）4位回文數的特點為中間兩位相同，千位和個位數字相同但不能為零，第一步，選千位和個位數字，共有9種選法；第二步，選中間兩位數字，有10種選法；
故4位回文數有9×10=90個
故答案為 90
（II）第一步，選左邊第一個數字，有9種選法；
第二步，分別選左邊第2、3、4、…、n、n+1個數字，共有10×10×10×…×10=10n種選法，
故2n+1（n∈N+）位回文數有9×10n個
故答案為9×10n
【點評】本題主要考查了分步計數原理的運用，新定義數字問題的理解和運用，歸納推理的運用，屬基礎題
四、數學文化領悟
回文數
定義：“回文”是指正讀反讀都能讀通的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字游戲，如“我為人人，人人為我”等。在數學中也有這樣一類數字有這樣的特征，成為回文數。
設n是一任意自然數。若將n的各位數字反向排列所得自然數n1與n相等，則稱n為一回文數。例如，若n=1234321，則稱n為一回文數；但若n=1234567，則n不是回文數。
注意：1.偶數個的數字也有回文數1244212.小數沒有回文數
1千以內的回文數
在自然數中，最小的回文數是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.
平方回數
定義：一個回文數，它同時還是某一個數的平方，這樣的數字叫做平方回數。例如：121。
100以上至1000以內的平方回數只有3個，分別是：121、484、676。
其中，121是11的平方。
484是22的平方，同時還是121的4倍。
676是26的平方，同時還是169的4倍。
舉例說明
任意某一個數通過以下方式相加也可得到
如：29+92=121 還有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992
不過很多數還沒有發現此類特征（比如196,下面會講到）
另外個別平方數是回文數
1的平方=1
11的平方=121
111的平方=12321
1111的平方=1234321
……
……
依次類推
3×51=153
6×21=126
4307×62=267034
9×7×533=33579
上面這些算式,等號左邊是兩個(或三個)因數相乘,右邊是它們的乘積。如果把每個算式中的“×”和“=”去掉，那么，它們都變成回文數，所以，我們不妨把這些算式叫做“回文算式”。還有一些回文算式，等號兩邊各有兩個因數。請看：
12×42=24×21
34×86=68×43
102×402=204×201
1012×4202=2024×2101
不知你是否注意到，如果分別把上面的回文算式等號兩邊的因數交換位置，得到的仍是一個回文算式，比如：分別把“12×42=24×21”等號兩邊的因數交換位置，得到算式是：
42×12=21×24
這仍是一個回文算式。
還有更奇妙的回文算式，請看：
12×231=132×21（積是2772）
12×4032=2304×21（積是48384）
這種回文算式，連乘積都是回文數。
四位的回文數有一個特點，就是它決不會是一個質數。設它為abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。
六位的也一樣，也能被11整除
還有，人們借助電子計算機發現，在完全平方數、完全立方數中的回文數，其比例要比一般自然數中回文數所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是回文數。
研究現狀
人們迄今未能找到自然數(除0和1)的五次方，以及更高次冪的回文數。于是數學家們猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然數)形式的回文數。
在電子計算器的實踐中，還發現了一樁趣事：任何一個自然數與它的倒序數相加，所得的和再與和的倒序數相加，……如此反復進行下去，經過有限次步驟后，最后必定能得到一個回文數。
這也僅僅是個猜想，因為有些數并不“馴服”。比如說196這個數，按照上述變換規則重復了數十萬次，仍未得到回文數。但是人們既不能肯定運算下去永遠得不到回文數，也不知道需要再運算多少步才能最終得到回文數。
回文數算法
隨意找一個十進制的數，把它倒過來成另一個數，再把這兩個數相加，得一個和數，這是第一步;然后把這個和數倒過來，與原來的和數相加，又得到一個新的和數，這是第二步。照此方法，一步步接續往下算，直到出現一個“回文數”為n。例如:28+82=110,110+011=121，兩步就得出了一個“回文數”。如果接著算下去，還會得到更多的“回文數”。這個過程稱為“196算法”。
對回文數的探索過程
上而提到的196這個數，是第一個可能的“利克瑞爾數”，因而它受到了最多的關注。由于目前還不可能證明一個數永遠不能形成“回文數”，所以“196和其他那些(看起來)不能形成回文數的數是利克瑞爾數”這一命題僅是猜想而非已獲證明。能證明的僅是那些反例，即如果一個數最終能形成“回文數”，則它不是“利克瑞爾數”。
在電子計算機尚未問世的1938年，美國數學家萊默(D. Lehmer,1905-1991)計算到了第73步，得到了一個沒有形成“回文數”的35位的和數。至今挑戰此題的數學愛好者從沒有間斷過，并隨著計算機科技的發展，不斷有發燒友編寫不同的程序對此題發起挑戰。據筆者最新調查，領軍人W.V.Landingham到2006年2月已經計算到了699萬步，得到了一個2.89億位以上的和數，之間的結果仍未出現“回文數”。
另外介紹一個關于達到“回文數”需要計算步數的世界記錄。它是一個19位數字1,186,060,307,891,929,990,算出“回文數，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程序于2005年11月30日發現的。下表列舉的是各位數字中，到達“回文數”花費步數最多的代表性數字。

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