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發現數學規律題”的解題思想
數學題，可以分為兩大類，一類是應用數學規律題，一類是發現數學規律題。應用數學規律題，指的是需要學生應用以前學習過的數學規律解答的題目。發現數學規律題，指的是與學生以前學習的數學規律沒有什么關系，需要學生先從已知的事物中找出規律，才能夠解答的題目。學生所做數學題，絕大多數屬于第一類。
由于發現數學規律題，能夠增強學生的創造意識，提高學生的創新能力。因此，近幾年來，人們開始逐漸重視這一類數學題。尤其是最近兩年，全國多數地市的中招考試，都有這類題目。研究發現數學規律題的解題思想，不但能夠提高學生的考試成績，而且更有助于創新型人才的培養。
一、 要善于抓主要矛盾
有些題目看上去很大、很復雜，實際上，關鍵性的內容并不多。對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關鍵的內容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了。
例如、觀察下列數表：
根據數列所反映的規律，第行第列交叉點上的數應為 .（樂山市2006年初中畢業會考暨高中階段招生統一考試）
這一題，看上去內容比較多，實際很簡單。題目條件里的數構成一個正方形。讓我們求的是左上角至右下角對角線上第n個數是多少。我們把對角線上的數抽出來，就是
1，3，5，7，……。
這是奇數從小到大的排列。于是，問題便轉化成求第n個奇數的表達式。即2n-1。
還有，邵陽市2006年初中畢業學業考試試題卷（課改區）的數學試題“圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤……，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為_____________。”也可以按照這個思想求解。
二、 要抓題目里的變量
找數學規律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規律，多數情況下，是指變量的變化規律。所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵。
例如，用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚 塊，第個圖形中需要黑色瓷磚 塊（用含的代數式表示）.（海南省2006年初中畢業升考試數學科試題（課改區））
這一題的關鍵是求第個圖形中需要幾塊黑色瓷磚？
在這三個圖形中，前邊4塊黑瓷磚不變，變化的是后面的黑瓷磚。它們的數量分別是，第一個圖形中多出0×3塊黑瓷磚，第二個圖形中多出1×3塊黑瓷磚，第三個圖形中多出2×3塊黑瓷磚，依次類推，第n個圖形中多出（n-1）×3塊黑瓷磚。所以，第n個圖形中一共有4+（n-1）×3塊黑瓷磚。
云南省2006年課改實驗區高中（中專）招生統一考試也出有類似的題目：“觀察圖（l）至（4）中小圓圈的擺放規律，并按這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小圓圈的個數為m，則，m= （用含 n 的代數式表示）.”
三、 要善于比較
“有比較才有鑒別”。通過比較，可以發現事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規律。
找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。揭示的規律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。
例如，觀察下列各式數：0，3，8，15，24，……。試按此規律寫出的第100個數是 。”
解答這一題，可以先找一般規律，然后使用這個規律，計算出第100個數。我們把有關的量放在一起加以比較：
給出的數：0，3，8，15，24，……。
序列號： 1，2，3， 4， 5，……。
容易發現，已知數的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是n2-1，第100項是1002-1。
如果題目比較復雜，或者包含的變量比較多。解題的時候，不但考慮已知數的序列號，還要考慮其他因素。
譬如，日照市2005年中等學校招生考試數學試題“已知下列等式：
① 13＝12；
② 13＋23＝32；
③ 13＋23＋33＝62；
④ 13＋23＋33＋43＝102 ；
…… ……
由此規律知，第⑤個等式是 ．”
這個題目，在給出的等式中，左邊的加數個數在變化，加數的底數在變化，右邊的和也在變化。所以，需要進行比較的因素也比較多。就左邊而言，從上到下進行比較，發現加數個數依次增加一個。所以，第⑤個等式應該有5個加數；從左向右比較加數的底數，發現它們呈自然數排列。所以，第⑤個等式的左邊是13＋23＋33＋43＋53。再來看等式的右邊，指數沒有變化，變化的是底數。等式的左邊也是指數沒有變化，變化的是底數。比較等式兩邊的底數，發現和的底數與加數的底數和相等。所以，第⑤個等式右邊的底數是（1+2+3+4+5），和為152。
四、要善于尋找事物的循環節
有些題目包含著事物的循環規律，找到了事物的循環規律，其他問題就可以迎刃而解。
譬如，玉林市2005年中考數學試題：“觀察下列球的排列規律(其中●是實心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……
從第1個球起到第2004個球止，共有實心球 個。”
這些球，從左到右，按照固定的順序排列，每隔10個球循環一次，循環節是●○○●●○○○○○。每個循環節里有3個實心球。我們只要知道2004包含有多少個循環節，就容易計算出實心球的個數。因為2004÷10=200（余4）。所以，2004個球里有200個循環節，還余4個球。200個循環節里有200×3=600個實心球，剩下的4個球里有2個實心球。所以，一共有602個實心球。
五、要抓住題目中隱藏的不變量
有些題目，雖然形式發生了變化，但是本質并沒有改變。我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質規律。
例如，2006年蕪湖市（課改實驗區）初中畢業學業考試題“請你仔細觀察圖中等邊三角形圖形的變換規律，寫出你發現關于等邊三角形內一點到三邊距離的數學事實： 。”
在這三個圖形中，白色的三角形是等邊三角形，里邊鑲嵌著三個黑色三角形。從左向右觀察，其中上邊兩個黑色三角形按照順時針的方向發生了旋轉，但是形狀沒有發生變化，當然黑色三角形的高也沒有發生變化。左起第一個圖形里黑色三角形高的和是等邊三角形里一點到三邊的距離和，最后一個圖形里，三個黑色三角形高的和是等邊三角形的高。所以，等邊三角形里任意一點到三邊的距離和等于它的高。
六、要進行計算嘗試
找規律，當然是找數學規律。而數學規律，多數是函數的解析式。函數的解析式里常常包含著數學運算。因此，找規律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數學運算式子。所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規律題的好途徑。
例如，漢川市2006年中考試卷數學“觀察下列各式：0，x，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。試按此規律寫出的第10個式子是 。”
這一題，包含有兩個變量，一個是各項的指數，一個是各項的系數。容易看出各項的指數等于它的序列號減1，而系數的變化規律就不那么容易發現啦。然而，如果我們把系數抽出來，嘗試做一些簡單的計算，就不難發現系數的變化規律。
系數排列情況：0，1，1，2，3，5，8，……。
從左至右觀察系數的排列，依次求相鄰兩項的和，你會發現，這個和正好是后一項。也就是說原數列相鄰兩項的系數和等于后面一項的系數。使用這個規律，不難推出原數列第8項的系數是5+8=13，第9項的系數是8+13=21，第10項的系數是13+21=34。
所以，原數列第10項是34x9。
“條條道路通羅馬”。解答找規律這一類題的思路有許多條，這里只是把“常用”的解題思路做一個簡單的總結。有興趣的老師還可以從解方程組的角度、拉格郎日插值定理的角度、求函數解析式的角度進一步研究解決這一類問題的新途徑。

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