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8 數學廣角——數與形 教學實錄
一、談話導入
最近老師發現我有一項非常神奇的本領，什么本領呢？我發現只要是從1開始的連續奇數相加，比如：一加三，再比如一加三加五，像這樣的算式，我都算的特別的快，快到什么程度呢？只要你能說出算式，我差不多就能脫口而出算出結果，你們信嗎？不信也沒關系，我們就現場來比一比，找同學來出題，看看老師是不是如傳聞所說的那么快，行嗎？我找三個同學來出題。同時為了公平起見，我找兩個同學用計算器來計算，行嗎？生出題，快嗎，沒關系你們繼續算這個，我們繼續第二個，再來一個第三個，怎么樣這個方法快嗎，你們想不想像老師這樣也算的這么快，想不想掌握這個方法。直接告訴你們就不好玩了，但是我可以給你們一點點的提示，想聽嗎？我的提示是：我是借助圖形發現的這個方法：板書：形，今天這節課我們就一起來研究(板書：數與形)，那我是怎么借助圖形發現的呢？我先根據算式中的加數，拿出若干個圖形，比如：1+3，我就先拿出一個小正方形，再拿出三個小正方形，我發現這些數量的小正方形正好可以排成一個大正方形。（板貼）那我就把它們排成了一個更大的正方形，接著我觀察圖形和算式之間的關系，我就發現了這個方法，你們想不想自己試試看，復雜的問題先從簡單的開始，先來兩個加數的，再來三個加數的，請你在小組內先完成第一步，再完成第二步，看看哪個小組最先發現老師的方法。可以嗎？好開始。 老師現在調查一下有哪些小組發現了老師的方法。 我們組發現：這四個正方形可以拼成一個大正方形，通過觀察它的個數發現它正好是二的平方，也就是四個小正方形。那么1在哪，3呢？那也就是說這些小正方形的個數就是1+3的和，每行有幾個？一共有幾行？所以：1+3可以怎樣算：算成二的平方，或二乘二。我把他們的方法先寫在黑板上。哪個小組來說一說下一個算式：一個小正方形與兩個L，一在哪，三呢？五呢？每行有幾個，一共有幾行，所以等于三個平方。非常好，我把這一組同學的方法還原到黑板上（板貼），根據這組同學的匯報，他們認為1+3+5等于（三的平方）（板書）除了這兩組同學的發現，你們還有其它的發現嗎？ 生：我發現算式的結果等于加數個數的平方
你們認同他的想法嗎？那能不能舉個具體的例子來說一說：比如： 生舉例：1+3+5+7=（ ）2ppt 再比如：1+3+5+7+9=（ ）2 再來舉個例子 這些同學的猜想，他們認為加數有幾個，和也就是幾的平方，所有的算式都有這樣的規律嗎？都能這樣算嗎？認為可以這樣算的說說你的理由，認為不可以的也說說你的理由，可以嗎？在小組內互相說一說
生：我覺得不行，因為要連續奇數相加才可以用這個規律
他給提出了一條就是：一定是連續的奇數相加，還有補充嗎？生說
前提是一定從幾開始的？（從1）只要是從1開始的，那為什么它們就可以算呢？（舉手） 正方形的面積等于：邊長乘邊長
借助圖形來說理由我就明白了，我們從頭來看，一個小正方形可以看成一的平方，我這里剛好有一個小正方形。可以把它寫成1=12，想要拼成更大的正方形，ppt（夠嗎？）還要比前一個加數再增多幾個（三個）想要拼成更大的正方形，再增加三個夠嗎?三個是不夠了的，還要再多（兩個）此時是1+3+5，再往下要增加7個，才能拼成更大的正方形。依此類推，加到了9。就能排每行每列的個數是5的大正方形，也就是25個，那看來只要是從1開始的連續幾個奇數相加，就能排成每行每列個數是幾個大正方形，和也就是幾個平方。那現在老師再出題考考你，看看你們的速度是不是快了一點。Ppt 接下來老師這個題目有一點難了，要細心一點：ppt : 我們的練習紙上就有，做一做： 指名生說等于25 （為什么）
聽清楚了嗎，我想你到前面來指一指，可能有的同學沒聽清楚。
Ppt（1+3+5+7）他把它們分成都一組，它們可以拼成四的平方的正方形，剩下這些可以拼成三的平方的正方形。這樣一加就等于25。下一個誰來？ 我們同學都非常聰明，現在不但從一開始的連續奇數相加你能算的很快，變化一點你也能算的很快，現在你知道老師是用什么方法來算這些題的了吧？ 來再來一次（計算剛上課時的題目）
老師的這個方法算的快嗎？巧妙嗎？這么巧妙的方法我們是借助什么發現的？看來有的計算問題，借助圖形思考更容易。（板書：2）
就像這個題一樣，我們還發現更巧妙、更簡便的方法，對嗎？
計算問題能借助圖形思考，那圖形的問題會不會蘊藏著數的規律呢？
（ppt：做一做第二題）下面各個圖形各有幾個紅色的和藍色的小正方形？第一個藍色有幾個？（答案依次出現）
請你認真的思考和觀察，上面的圖形的數之間有什么規律？四人一小組交流一下： （師參與其中）指名匯報
生1：中間的藍色每增加一個，紅色就會增加兩個） 生2:每個圖形左右兩邊都是固定不變的三個小正方形。
師：剛才第一個同學說藍色的每次都增加了一個，紅色的每次都增加了兩個，為什么藍色的每次增加一個，紅色的會增加兩個呢？
生：紅色圖形要將藍色圖形給包圍住，多一個藍色圖形，要想將它包圍住就必須增加兩個小正方形。（在哪兒增加的呀，///增加的兩個紅色圖形在哪）
大家看清楚了嗎？解釋的非常清楚，我們一起來看一下，這是第一個圖形，想要增加一個藍色，上下就要各增加一個紅色的圖形才能將它包圍住。依此類推，第三個圖形比第二個增加了一個藍色，上下就要各增加一個紅色才能將它包圍住。接著下去，每增加一個藍色，紅色就增加了兩個。如果不讓你畫圖，照這樣畫下去，第六個和第十個圖形各有幾個紅色和藍色小正方形你們能寫出來嗎?在練習本上寫一寫試一試。
師：算出來了嗎？找人說一下，第六個圖形有多少個紅色，多少個藍色？
生：第六個圖形有 個紅色小正方形，有 個藍色小正方形。第十個圖形有 個 師：你們是怎么算出來的呢？能不能簡單解釋計算的道理？先說藍色行吧!
生：藍色的是依次加一。到第六個的話就是六個小正方形，第十個就有十個小正方形。 師：因為藍色圖形從第一個圖形開始就有一個藍色，后邊的依次加一，所以第幾個圖形就有幾個藍色。那紅色的你們又是怎么算出來的呢？能不能也解釋道理，在小組里互相說說你們是怎么算的。（生交流）
生：依次加二，這樣一直加下去。
師：這是第十個，如果個數更多的時候，這樣一個一個加，就比較麻煩，而且也可能更容易出錯，那有沒有更簡單的方法呢？ 生： 師：他是根據藍色小正方形個數是吧，再根據紅色小正方形和藍色小正方形的個數間的關系，再加上左右兩邊的六個，說的非常好，再找生說 師：我們來看看，第個圖形都有藍色的圖形是吧，上下，紅色的個數就等于藍色的個數乘二。再加上左右兩邊固定不變的六個，那也就是說想要求紅色個數，我們可以用藍色個數乘二再加上六（ppt：紅色個數=藍色個數*2+6）。即使個數很多的時候，我們仍然能夠算的很快。看來圖形問題確定也蘊藏著數的規律。板書：3。找到了他們的規律，解決問題就清晰、容易多了。其實數和形之間還有很多的規律，有的特殊的數和特殊的形之間還有著密切的聯系。比如：這是一個圓，它的數量是1.（練習二十二第二題，依次出現）上面有圖，下邊有數，請你再觀察和思考，圖和數之間又有什么規律？小組之間交流一下。 生：
師：比方第四個圖形有幾個，第一個行幾個，第二行有幾個
生：我發現第幾個圖形有幾行。第一個圖形有一行，第二個圖形有兩行， 依次類推。 生3：我發現第一個圖形到第二個圖形是增加兩個的，第二個圖形到第三個是增加三個的。依次類推 生4：
照這個規律往下畫的話，第五個、第六個、第七個能畫出來嗎？下面的數表示什么？那第五、第六、第七個圖形下面的數你能不能很快的寫出來？ 生：第五個圖形有五行，第五行有五個，在原來的基礎上加上五，就得到第五個圖形的個數，也就是十五。第六個圖形有六行，第六行有六個，在原來的回顧上加上六就得到二十一個。 師：現在如果不讓你畫圖，你能不能想像一下，第十個圖形是什么樣子的？一共有多少個小圓形，下面我們就算一算，第十個圖形下面的數是多少？ 生：55個，
師：你是怎么算的呢？其實我們就是用1+2+3+-------,，然后用的簡便方法來算的。我們來看一看，第十個圖形是這樣子嗎？每行分別有（1—9），然后把每行個數加起來，這兩個同學說的是這個算式的簡便方法。你發現了沒有，55個小圓形，它能排成一個什么圖形，而且這個三個形是從一加到幾的三角形？回過頭來看看，三能排成三角形嗎，六能嗎。十能嗎？我們發現，這些數量的小圓形剛好可以排成什么圖形？（三角形）在數學上我們把1、3、6、10、15、21、28還有剛才那個55就把它們叫做三角形數。那你們想想看，二十八下一下三角形數是多少？（36）
黑板上再看，1個圖形可以拼成正方形，4個圖形可以拼成正方形，9個圖形可以拼成正方形。16可以拼成？你有什么想法或疑問？ 生：它們可以叫做正方形數
師：想一想，16的下一個正方形數是多少？其實正方形數和三角形數之間還有著更神秘的聯系，想知道嗎？
師：仔細看一看，16是一個正方形數，它可以拆成兩個三角形數（ppt ）
師：不但能拆成兩個三角形數，而且這兩個三角形數還是相鄰的。任意一個正方形數都可以拆成兩個三角形數相加。看來數和形之間還有著千絲成縷的聯系，正是因為有了這樣的聯系，在我們以前的數學學習過程中，就有很多數形結合的例子。想想看，從幼兒園的時候就有了，想想看你的媽媽是怎么教你1+1=2（手指比劃）
生：分數也是通過數形結合來認識的，比如二分之一就是把一個圓平均分成兩份，其中的一份就是它的二分之一。
師：學習分數的時候畫了圓，還有嗎？
生：學習三角形的面積的時候，可以用兩個三角形拼成一個平行四邊形，所以三角形的面積就是平行四邊形面積的一半，也就是
師：也就是圖形的面積可以用數的運算來解決。我們這個學期有嗎？
生：學習圓的面積的時候，是把圓平均分成若干份，拼成一個近似的長方形。 師：圓的面積可以用數的計算來解決。
師：看來數形結合在我們小學的學習之中，有很多的時候都在應用，對嗎？今天這節課，我們一起研究了數與形，你有什么感受？誰想說？
下課！

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