資源簡介

第二單元 方程(組)與不等式(組)
第5講 一次方程(組)
知識清單梳理
知識點一：方程及其相關概念
關鍵點撥及對應舉例
1.等式的基本性質
(1)性質1：等式兩邊加或減同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c .
(2)性質2：等式兩邊同乘（或除）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．
(3)性質3：（對稱性）若a=b,則b=a.
(4)性質4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.
失分點警示：在等式的兩邊同除以一個數時，這個數必須不為0.
例：判斷正誤.
(1)若a=b,則a/c=b/c. (×)
(2)若a/c=b/c，則a=b. (√)
2.關于方程 的基本概念
(1)一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，且等式兩邊都是整式的方程．
(2)二元一次方程：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程．
(3)二元一次方程組：含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程．
(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解．
在運用一元一次方程的定義解題時，注意一次項系數不等于0.
例：若(a-2)是關于x的一元一次方程，則a的值為0.
知識點二 ：解一元一次方程和二元一次方程組
3.解一元一次方程的步驟
(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數，不要漏乘常數項；
(2)去括號：括號外若為負號，去括號后括號內各項均要變號；
(3)移項：移項要變號；
(4)合并同類項：把方程化成ax=-b(a≠0)；
(5)系數化為1：方程兩邊同除以系數a,得到方程的解x=-b/a.
失分點警示：方程去分母時，應該將分子用括號括起來，然后再去括號，防止出現變號錯誤.
4.二元一次 方程組的解法
思路：消元，將二元一次方程轉化為一元一次方程.
已知方程組，求相關代數式的值時，需注意觀察，有時不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組. 例： 已知則x-y的值為x-y=4.
方法：
(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；
(2) 加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數的方法.
知識點三 ：一次方程(組)的實際應用
5.列方程(組)
解應用題的一般步驟
(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；
(2)設未知數；
(3)列方程(組)：找出等量關系，列方程（組）；
(4)解方程(組)；
(5)檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；
(6)作答：規范作答，注意單位名稱．
（1）設未知數時，一般求什么設什么，但有時為了方便，也可間接設未知數.如題目中涉及到比值，可以設每一份為x.
（2）列方程（組）時，注意抓住題目中的關鍵詞語，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、幾倍、幾分之幾等.
6.常見題型及關系式
（1）利潤問題：售價=標價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價-進價，利潤率=利潤/進價×100%.
（2）利息問題：利息=本金×利率×期數，本息和=本金+利息.
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.
（4）行程問題：路程=速度×時間. ①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；
②追及問題：a.同地不同時出發：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.
第6講 一元二次方程
知識清單梳理
知識點一：一元二次方程及其解法
關鍵點撥及對應舉例
1. 一元二次方程的相關概念
(1)定義：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數項，a、b、c分別稱為二次項系數、一次項系數、常數項．
例：方程是關于x的一元二次方程，則方程的根為－1.
2.一元二次方程的解法
（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.
( 2 )因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：當一元二次方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時，也可以考慮用配方法．
解一元二次方程時，注意觀察， 先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知識點二 ：一元二次方程根的判別式及根與系數的關系
3.根的判別式
(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數根．
(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數根．
(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數根．
例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個不相等的實數根；方程的判別式等于－8，故該方程沒有實數根.
*4.根與系數的關系
（1）基本關系：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數關系的前提條件是△≥0.
（2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數式的值時，先把所求代數式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數的關系求解.
與一元二次方程兩根相關代數式的常見變形：
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.
失分點警示
在運用根與系數關系解題時，注意前提條件時△=b2-4ac≥0.
知識點三 ：一元二次方程的應用
4.列一元二次方程解應用題
（1）解題步驟：①審題；② 設未知數；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．
運用一元二次方程解決實際問題時，方程一般有兩個實數根，則必須要根據題意檢驗根是否有意義.
（2）應用模型：一元二次方程經常在增長率問題、面積問題等方面應用.
①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數，b表示變化n次后的量；
②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；
③傳播、比賽問題：
④面積問題：a.直接利用相應圖形的面積公式列方程；b.將不規則圖形通過割補或平移形成規則圖形，運用面積之間的關系列方程.
第7講 分式方程
知識清單梳理
知識點一：分式方程及其解法
關鍵點撥及對應舉例
1.定義
分母中含有未知數的方程叫做分式方程．
例：在下列方程中，①；②；③，其中是分式方程的是③.
2.解分式方程
基本思路：分式方程 整式方程
例：將方程轉化為整式方程可得：1－2＝2(x－1).
解法步驟：
(1)去分母，將分式方程化為整式方程；
(2)解所得的整式方程；
(3) 檢驗：把所求得的x的值代入最簡公分母中，若最簡公分母為0，則應舍去．
3.增根
使分式方程中的分母為0的根即為增根.
例：若分式方程有增根，則增根為1.
知識點二 ：分式方程的應用
4.列分式方程解應用題的一般步驟
(1)審題；(2)設未知數；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)檢驗： (6)作答．
在檢驗這一步中，既要檢驗所求未知數的值是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求未知數的值是不是符合題目的實際意義.
第8講 一元一次不等式(組)
知識清單梳理
知識點一：不等式及其基本性質
關鍵點撥及對應舉例
1.不等式的相關概念
（1）不等式：用不等號(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關系的式子.
（2）不等式的解：使不等式成立的未知數的值.
（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數的取值范圍.
例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為a－b≤1.
2.不等式的基本性質
性質1：若a＞b,則 a±c>b±c；
性質2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；
性質3：若a＞b,c<0，則ac牢記不等式性質3，注意變號.
如：在不等式－2x＞4中，若將不等式兩邊同時除以－2，可得x＜2.
知識點二 ：一元一次不等式
3.定義
用不等號連接，含有一個未知數，并且含有未知數項的次數都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.
例：若是關于x的一元一次不等式，則m的值為-1.
4.解法
（1）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數化為1.
失分點警示
系數化為1時，注意系數的正負性，若系數是負數，則不等式改變方向.
（2）解集在數軸上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
知識點三 ：一元一次不等式組的定義及其解法
5.定義
由幾個含有同一個未知數的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．
（1）在表示解集時“≥”，“≤”表示含有，要用實心圓點表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圓點表示．
（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數時，一般先視字母系數為常數，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.
如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，則a的取值范圍是a＜1.
6.解法
先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分
7.不等式組解集的類型
假設a＜b
解集
數軸表示
口訣
x≥b
大大取大
x≤a
小小取小
a≤x≤b
大小，小大中間找
無解
大大，小小取不了
知識點四 ：列不等式解決簡單的實際問題
8.列不等式解應用題
（1）一般步驟：審題；設未知數；找出不等式關系；列不等式；解不等式；驗檢是否有意義.
（2）應用不等式解決問題的情況：
a.關鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超過（＞）”、“不足（＜）”等；
b.隱含不等關系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據整數解，得出最佳方案
注意：
列不等式解決實際問題中，設未知數時，不應帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設未知數一致.

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