資源簡介

第六單元 圓
第21講 圓的基本性質(zhì)
知識清單梳理
知識點一：圓的有關(guān)概念
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)
（1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成
的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.
（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過
圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦.
（3）弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的
弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.
（4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.
（5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個
交點的角叫做圓周角.
（6）弦心距：圓心到弦的距離.
（1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條；
（2）3點確定一個圓，經(jīng)過1點或2點的圓有無數(shù)個.
（3）任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓.
知識點二 ：垂徑定理及其推論
2.垂徑定理及其推論
定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.
推論
(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
延伸
根據(jù)圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：
弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直徑.
只要滿足其中兩個，另外三個結(jié)論一定成立，即推二知三.
知識點三 ：圓心角、弧、弦的關(guān)系
3.圓心角、弧、弦的關(guān)系
定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．
圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立.
推論
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
知識點四 ：圓周角定理及其推論
4.圓周角定理及其推論
（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 如圖a,
∠A=1/2∠O.

圖a 圖b 圖c
( 2 )推論：
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.
直徑所對的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.
圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.
例：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，∠BAC=40°，則∠D的度數(shù)為130°．
第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系
知識清單梳理
知識點一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系
關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例
1.點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d.
(1)dr?點在⊙O外．
判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可.
2.直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系
相離
相切
相交
由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.
例：已知：⊙O的半徑為2，圓心到直線l的距離為1，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是1或3.
圖形
公共點個數(shù)
0個
1個
2個
數(shù)量關(guān)系
d＞r
d＝r
d＜r
知識點二 ：切線的性質(zhì)與判定
3.切線
的判定
（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）.
（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.
（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.
4.切線
的性質(zhì)
（1）切線與圓只有一個公共點.
（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.
（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題.
*5.切線長
（1）定義：從圓外一點作圓的切線，這點與切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長.
（2）切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，兩切線長相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角.
例：如圖，AB、AC、DB是⊙O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為2.
知識點四 ：三角形與圓
5.三角形的外接圓
圖形
相關(guān)概念
圓心的確定
內(nèi)、外心的性質(zhì)
內(nèi)切圓半徑與三角形邊的關(guān)系：
（1）任意三角形的內(nèi)切圓（如圖a），設(shè)三角形的周長為C，則S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的內(nèi)切圓（如圖b）
①若從切線長定理推導(dǎo)，可得r=1/2(a+b+c);若從面積推導(dǎo)，則可得r=.這兩種結(jié)論可在做選擇題和填空題時直接應(yīng)用.
例：已知△ABC的三邊長a=3，b=4，c=5，則它的外切圓半徑是2.5.
經(jīng)過三角形各定點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形
三角形三條垂直平分線的交點
到三角形的三個頂點的距離相等
6.三角形的內(nèi)切圓
與三角形各邊都相
切的圓叫三角形的
內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的
圓心叫做三角形的
內(nèi)心，這個三角形叫
圓的外切三角形
到三角形三條角平分線的交點
到三角形的三條邊的距離相等
第23講 與圓有關(guān)的計算
知識清單梳理
知識點一 ：正多邊形與圓
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.正多邊形與圓
（1）正多邊形的有關(guān)概念：邊長(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半徑(R))、邊心距(r),如圖所示①.

（2）特殊正多邊形中各中心角、長度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC為等邊△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
例：(1) 如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是5.
(2)半徑為6的正四邊形的邊心距為，中心角等于90°，面積為72.
知識點二：與圓有關(guān)的計算公式
2.弧長和
扇形面積
的計算
扇形的弧長l＝；扇形的面積S＝＝
例：已知扇形的圓心角為45°，半徑長為12，則該扇形的弧長為3π.
3.圓錐與
側(cè)面展開圖
（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長.
（2）計算公式：
,S側(cè)==πrl
在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補(bǔ)法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解.
例：如圖，已知一扇形的半徑為3，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積為

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