資源簡介

第10講 一次函數
知識清單梳理
知識點一 ：一次函數的概念及其圖象、性質
關鍵點撥與對應舉例
1.一次函數的相關概念
（1）概念：一般來說，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數叫做一次函數．特別地，當b ＝0時，稱為正比例函數．
（2）圖象形狀：一次函數y＝kx＋b是一條經過點（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地，正比例函數y＝kx的圖象是一條恒經過點（0,0）的直線.
例：當k＝1時，函數y＝kx＋k－1是正比例函數,
2.一次函數的性質
k，b
符號
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0
k<0，
b>0
k<0，
b<0
k<0，
b＝0
（1）一次函數y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點的位置.
（2）比較兩個一次函數函數值的大小：性質法，借助函數的圖象，也可以運用數值代入法.
例：已知函數y=－2x＋b，函數值y隨x的增大而減小(填“增大”或“減小”)．
大致
圖象
經過象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
圖象性質
y隨x的增大而增大
y隨x的增大而減小
3.一次函數與坐標軸交點坐標
(1)交點坐標：求一次函數與x軸的交點，只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點，只需令x=0,求出y即可.故一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；
(2)正比例函數y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(0，0)．
例：
一次函數y＝x＋2與x軸交點的坐標是（-2,0），與y軸交點的坐標是（0,2）.
知識點二 ：確定一次函數的表達式
4.確定一次函數表達式的條件
（1）常用方法：待定系數法，其一般步驟為：
①設：設函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)；
②代：將已知點的坐標代入函數表達式，解方程或方程組；
③解：求出k與b的值，得到函數表達式．
（2）常見類型：
①已知兩點確定表達式；②已知兩對函數對應值確定表達式；
③平移轉化型：如已知函數是由y=2x平移所得到的，且經過點（0,1），則可設要求函數的解析式為y=2x+b,再把點（0,1）的坐標代入即可.
(1)確定一次函數的表達式需要兩組條件，而確定正比例函數的表達式，只需一組條件即可.
(2)只要給出一次函數與y軸交點坐標即可得出b的值,b值為其縱坐標，可快速解題. 如:已知一次函數經過點（0,2），則可知b=2.
5.一次函數圖象的平移
規律：①一次函數圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過平移得到，則可知它們的k值相同.
②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.
例：將一次函數y=-2x+4的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象的函數關系式為y=-2x+2．
知識點三 ：一次函數與方程（組）、不等式的關系
6.一次函數與方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標.
例：
（1）已知關于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數y=ax+b與x軸的交點坐標為（1,0）.
（2）一次函數y=-3x+12中，當x ＞4時，y的值為負數．
7.一次函數與方程組
二元一次方程組 的解兩個一次函數y=k1x+b 和y=k2x+b圖象的交點坐標.
8.一次函數與不等式
（1）函數y=kx+b的函數值y＞0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函數y=kx+b的函數值y＜0時，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集
知識點四 ：一次函數的實際應用
9.一般步驟
（1）設出實際問題中的變量；
（2）建立一次函數關系式；
（3）利用待定系數法求出一次函數關系式；
（4）確定自變量的取值范圍；
（5）利用一次函數的性質求相應的值，對所求的值進行檢驗，是否符合實際意義；
（6）做答.
一次函數本身并沒有最值，但在實際問題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問題的一般思路：確定函數表達式→確定函數增減性→根據自變量的取值范圍確定最值.
10.常見題型
（1）求一次函數的解析式.
（2）利用一次函數的性質解決方案問題.
第11講 反比例函數的圖象和性質
知識清單梳理
知識點一：反比例函數的概念及其圖象、性質
關鍵點撥與對應舉例
1.反比例函數的概念
（1）定義：形如y＝(k≠0)的函數稱為反比例函數，k叫做比例系數，自變量的取值范圍是非零的一切實數．
（2）形式：反比例函數有以下三種基本形式：
①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k為常數，且k≠0)
例：函數y=3xm+1，當m=－2時，則該函數是反比例函數．
2.反比例函數的圖象和性質
k的符號
圖象
經過象限
y隨x變化的情況
（1）判斷點是否在反比例函數圖象上的方法：①把點的橫、縱坐標代入看是否滿足其解析式；②把點的橫、縱坐標相乘，判斷其乘積是否等于k.
失分點警示
（2）反比例函數值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內，若不在則不能運用性質進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.
k>0
圖象經過第一、三象限
（x、y同號）
每個象限內，函數y的值隨x的增大而減小.
k<0
圖象經過第二、四象限
（x、y異號）
每個象限內，函數y的值隨x的增大而增大.
3.反比例函數的圖象特征
（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；
（2）圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；
（3）圖象是中心對稱圖形，原點為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直角坐標系一、三象限和二、四象限的角平分線．
例：若(a，b)在反比例函數的圖象上，則(－a，－b)在該函數圖象上.(填“在"、"不在")
4.待定系數法
只需要知道雙曲線上任意一點坐標，設函數解析式，代入求出反比例函數系數k即可.
例：已知反比例函數圖象過點（－3，－1），則它的解析式是y=3/x.
知識點二 ：反比例系數的幾何意義及與一次函數的綜合
5.系數k的幾何意義
（1）意義：從反比例函數y＝(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點、一個垂足和原點為頂點的三角形的面積為1/2|k|.
（2）常見的面積類型：

圖見學練優RJ九數上前面四頁“方法、易錯”的此內容下的圖片
失分點警示
已知相關面積，求反比例函數的表達式，注意若函數圖象在第二、四象限，則k＜0.
例：已知反比例函數圖象上任一點作坐標軸的垂線所圍成矩形為3，則該反比例函數解析式為：或.
6.與一次函數的綜合
（1）確定交點坐標：【方法一】已知一個交點坐標為（a,b），則根據中心對稱性，可得另一個交點坐標為（-a,-b）.【方法二】聯立兩個函數解析式，利用方程思想求解.
（2）確定函數解析式：利用待定系數法，先確定交點坐標，再分別代入兩個函數解析式中求解
（3）在同一坐標系中判斷函數圖象：充分利用函數圖象與各字母系數的關系，可采用假設法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個選項符合要求即可.也可逐一選項判斷、排除.
（4）比較函數值的大小：主要通過觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結合交點坐標，確定出解集的范圍.
涉及與面積有關的問題時，①要善于把點的橫、縱坐標轉化為圖形的邊長，對于不好直接求的面積往往可分割轉化為較好求的三角形面積；②也要注意系數k的幾何意義.
例：如圖所示，三個陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.
知識點三：反比例函數的實際應用
.一般步驟
（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關系；
（2設出函數表達式；
（3）依題意求解函數表達式；
（4）根據反比例函數的表達式或性質解決相關問題.
第12講 二次函數的圖象與性質
知識清單梳理
知識點一：二次函數的概念及解析式
關鍵點撥與對應舉例
1.一次函數的定義
形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數.
例：如果函數y=(a－1)x2是二次函數，那么a的取值范圍是a≠0.
2.解析式
（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數的頂點坐標是（h,k）; ③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標.
（2）待定系數法：巧設二次函數的解析式；根據已知條件，得到關于待定系數的方程（組）；解方程（組），求出待定系數的值，從而求出函數的解析式.
若已知條件是圖象上的三個點或三對對應函數值，可設一般式；若已知頂點坐標或對稱軸方程與最值，可設頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，可設交點式.
知識點二 ：二次函數的圖象與性質
3.二次函數的圖象和性質
圖象
（1）比較二次函數函數值大小的方法：①直接代入求值法；②性質法：當自變量在對稱軸同側時，根據函數的性質判斷；當自變量在對稱軸異側時，可先利用函數的對稱性轉化到同側，再利用性質比較；④圖象法：畫出草圖，描點后比較函數值大小.
失分點警示
（2）在自變量限定范圍求二次函數的最值時，首先考慮對稱軸是否在取值范圍內，而不能盲目根據公式求解.
例：當0≤x≤5時，拋物線y=x2+2x+7的最小值為7 .
開口
向上
向下
對稱軸
x＝
頂點坐標
增減性
當x>時，y隨x的增大而增大；當x＜時，y隨x的增大而減小.
當x>時，y隨x的增大而減小；當x＜時，y隨x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系數a、b、c
a
決定拋物線的開口方向及開口大小
當a＞0時，拋物線開口向上；
當a＜0時，拋物線開口向下.
某些特殊形式代數式的符號：
a±b+c即為x=±1時，y
的值；②4a±2b+c即為x=±2時，y的值.
2a+b的符號，需判斷對稱
軸-b/2a與1的大小.若對稱軸在直線x=1的左邊，則-b/2a＞1，再根據a的符號即可得出結果.④2a-b的符號，需判斷對稱軸與-1的大小.
b
決定對稱軸（x=-b/2a）的位置
當a，b同號，-b/2a＜0，對稱軸在y軸左邊；
當b＝0時， -b/2a=0，對稱軸為y軸；
當a，b異號，-b/2a＞0，對稱軸在y軸右邊．
c
決定拋物線與y軸的交點的位置
當c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；
當c＝0時，拋物線經過原點；
當c＜0時，拋物線與y軸的交點在負半軸上.
b2－4ac
決定拋物線與x軸的交點個數
b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;
b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;
b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點
知識點三 ：二次函數的平移
4.平移與解析式的關系
注意：二次函數的平移實質是頂點坐標的平移，因此只要找出原函數頂點的平移方式即可確定平移后的函數解析式
失分點警示：
拋物線平移規律是“上加下減，左加右減”,左右平移易弄反.
例：將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是y=（x－2）2．
知識點四 ：二次函數與一元二次方程以及不等式
5.二次函數與一元二次方程
二次函數y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
當Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數根；
當Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數根；
當Δ＝b2－4ac＜0，無實根
例：已經二次函數y=x2-3x+m(m為常數)的圖象與x軸的一個交點為（1,0），則關于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個實數根為2,1.
6.二次函數與不等式
拋物線y= ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標均為負，所對應的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
第13講 二次函數的應用
知識清單梳理
知識點一：二次函數的應用
關鍵點撥
實物拋物線
一般步驟
若題目中未給出坐標系，則需要建立坐標系求解，建立的原則：①所建立的坐標系要使求出的二次函數表達式比較簡單；②使已知點所在的位置適當（如在x軸，y軸、原點、拋物線上等），方便求二次函數丶表達式和之后的計算求解.
據題意，結合函數圖象求出函數解析式；
②確定自變量的取值范圍；
③根據圖象，結合所求解析式解決問題.
實際問題中
求最值
分析問題中的數量關系，列出函數關系式；
研究自變量的取值范圍；
確定所得的函數；
④ 檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內，并求相關的值；
⑤解決提出的實際問題.
解決最值應用題要注意兩點：
①設未知數，在“當某某為何值時，什么最大（最小）”的設問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；
②求解最值時，一定要考慮頂點（橫、縱坐標）的取值是否在自變量的取值范圍內.
結合幾何圖形
根據幾何圖形的性質，探求圖形中的關系式；
根據幾何圖形的關系式確定二次函數解析式；
利用配方法等確定二次函數的最值，解決問題
由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問題的面積的最值問題通常會通過二次函數來解決.同樣需注意自變量的取值范圍.
第9講 平面直角坐標系與函數
知識清單梳理
知識點一：平面直角坐標系
關鍵點撥及對應舉例
1.相關概念
（1）定義：在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸構成平面直角坐標系．
（2）幾何意義：坐標平面內任意一點M與有序實數對(x，y)的關系是一一對應．
點的坐標先讀橫坐標(x軸)，再讀縱坐標(y軸).
2.點的坐標特征
( 1 )各象限內點的坐標的符號特征（如圖所示）：
點P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0；
點P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0；
點P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0；
點P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0.
坐標軸上點的坐標特征：
①在橫軸上?y＝0；②在縱軸上?x＝0；③原點?x＝0，y＝0.
（3）各象限角平分線上點的坐標
①第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；
②第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數
（4）點P（a,b）的對稱點的坐標特征：
①關于x軸對稱的點P1的坐標為(a，－b)；②關于y軸對稱的點P2的坐標為(－a，b)；
③關于原點對稱的點P3的坐標為(－a，－b)．
（5）點M（x,y）平移的坐標特征：
M（x,y） M1(x+a,y)
M2(x+a,y+b)
（1）坐標軸上的點不屬于任何象限.
（2）平面直角坐標系中圖形的平移，圖形上所有點的坐標變化情況相同.
（3）平面直角坐標系中求圖形面積時，先觀察所求圖形是否為規則圖形，若是，再進一步尋找求這個圖形面積的因素，若找不到，就要借助割補法，割補法的主要秘訣是過點向x軸、y軸作垂線，從而將其割補成可以直接計算面積的圖形來解決.
3.坐標點的距離問題
（1）點M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y軸的距離為|a|．
（2）平行于x軸，y軸直線上的兩點間的距離：
點M1(x1,0)，M2(x2,0)之間的距離為|x1－x2|，點M1(x1，y)，M2(x2，y)間的距離為|x1－x2|；
點M1(0，y1)，M2(0，y2)間的距離為|y1－y2|，點M1(x，y1)，M2(x，y2)間的距離為|y1－y2|．
平行于x軸的直線上的點縱坐標相等；平行于y軸的直線上的點的橫坐標相等.
知識點二：函 數
4.函數的相關概念
（1）常量、變量：在一個變化過程中，數值始終不變的量叫做常量，數值發生變化的量叫做變量．
（2）函數：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數．函數的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.
（3）函數自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實數；分式的分母不為零；二次根式的被開方數為非負數；使實際問題有意義．
失分點警示
函數解析式，同時有幾個代數式，函數自變量的取值范圍應是各個代數式中自變量的公共部分. 例：函數y=中自變量的取值范圍是x≥-3且x≠5.
5.函數的圖象
（1）分析實際問題判斷函數圖象的方法：
①找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；
②找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發生變化；
③判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向.
（2）以幾何圖形（動點）為背景判斷函數圖象的方法：
①設時間為t（或線段長為x），找因變量與t(或x)之間存在的函數關系，用含t(或x)的式子表示， 再找相應的函數圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.
讀取函數圖象增減性的技巧：①當函數圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態時，函數y隨x的增大而增大（減小）；②函數值變化越大，圖象越陡峭；③當函數y值始終是同一個常數，那么在這個區間上的函數圖象是一條平行于x軸的線段.

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