資源簡介

第四單元 圖形的初步認識與三角形
第14講 平面圖形與相交線、平行線
知識清單梳理
知識點一：直線、線段、射線
關(guān)鍵點撥
1.
基本事實
（1）直線的基本事實：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．
（2）線段的基本事實：兩點之間，線段最短．
例：在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要2枚釘子，依據(jù)的是兩點確定一條直線.
知識點二 ：角、角平分線
2.概念
（1）角：有公共端點的兩條射線組成的圖形．
（2）角平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線
例：
（1）15°25'＝15.5°；
37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''.
（2）32°的余角是58°，32°的補角是148°.
3.角的度量
1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
4.余角和補角
( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；
( 2 ) 補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角.
（3）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等．
知識點三 ：相交線、平行線
5.三線八角
（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯角：形如“Z”;(3)同旁內(nèi)角：形如“U”.
一個角的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角可能不止一個，要注意多方位觀察
6.對頂角、鄰補角
（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.
（2）性質(zhì)：對頂角相等，鄰補角之和為180°.
例：在平面中，三條直線相交于1點，則圖中有6組對頂角.
7.垂線
（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．
（2）性質(zhì)：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
②垂線段最短．
（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度
例：如圖所示，點 A到BC的距離為AB，點B到AC的距離為BD，點C到AB的距離為BC.
8.平行線
（1）平行線的性質(zhì)與判定
①同位角相等兩直線平行
②內(nèi)錯角相等兩直線平行
③同旁內(nèi)角互補兩直線平行
（2）平行公理及其推論
①經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
②平行于同一條直線的兩直線平行．
（1）如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過折點作已知直線的平行線.
（2）在平行線的查考時，通常會結(jié)合對頂角、角平分線、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，解題時注意這些性質(zhì)的綜合運用.
知識點四 ：命題與證明
9.命題與證明
（1）概念：對某一事件作出正確或不正確判斷的語句(或式子)叫做命題，正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題.
（2）命題的結(jié)構(gòu)：由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題常寫成"如果p，那么q"的形式，其中p是題設(shè)，q是結(jié)論.
（3）證明：從一個命題的題設(shè)出發(fā)，通過推理來判斷命題是否成立的過程.證明一個命題是假命題時，只要舉出一個反例署名命題不成立就可以了.
例：下列命題是假命題的有( ③ )
①相等的角不一定是對頂角；
②同角的補角相等；
③如果某命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題；
④若某個命題是定理，則該命題一定是真命題.
第15講 一般三角形及其性質(zhì)
知識清單梳理
知識點一：三角形的分類及性質(zhì)
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.三角形的分類
（1）按角的關(guān)系分類 （2）按邊的關(guān)系分類

失分點警示：
在運用分類討論思想計算等腰三角形周長時，必須考慮三角形三邊關(guān)系.
例：等腰三角形兩邊長分別是3和6，則該三角形的周長為15.
2.三邊關(guān)系
三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
3.角的關(guān)系
（1）內(nèi)角和定理：
①三角形的內(nèi)角和等180°；
②推論：直角三角形的兩銳角互余.
（2）外角的性質(zhì)：
①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和.
②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.
利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時，若所給條件含比例，倍分關(guān)系等，列方程求解會更簡便.有時也會結(jié)合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質(zhì)求解.
4.三角形中的重要線段
四線
性 質(zhì)
（1）角平分線、高結(jié)合求角度時，注意運用三角形的內(nèi)角和為180°這一隱含條件.
（2）當同一個三角形中出現(xiàn)兩條高，求長度時，注意運用面積這個中間量來列方才能夠求解.
角平分線
角平線上的點到角兩邊的距離相等
三角形的三條角平分線的相交于一點（內(nèi)心）
中線
將三角形的面積等分
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
高
銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部
中位線
平行于第三邊，且等于第三邊的一半
5. 三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結(jié)
如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；
如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；
如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；
如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A.
對于解答選擇、填空題，可以直接通過結(jié)論解題，會起到事半功倍的效果.
知識點二 ：三角形全等的性質(zhì)與判定
6.全等三角形的性質(zhì)
(1)全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等．
(2)全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等．
(3)全等三角形的周長等、面積等．
失分點警示：運用全等三角形的性質(zhì)時，要注意找準對應(yīng)邊與對應(yīng)角.
7.三角形全等的判定
一般三角形全等
SSS（三邊對應(yīng)相等）
SAS（兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）
ASA（兩角和它們的夾角對應(yīng)相等）
AAS（兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等）
失分點警示
如圖，SSA和AAA不能判定兩個三角形全等.
直角三角形全等
(1)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）
(2)證明兩個直角三角形全等同樣可以用 SAS,ASA和AAS.
8.全等三角形的運用
（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等銀行條件.
（2）全等三角形中的輔助線的作法：
①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.
②倍長中線法：用于證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得△ACD≌△EBD，則AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.
③截長補短法：適合證明線段的和差關(guān)系，如圖③、④.
例：
如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3.
第16講 等腰、等邊及直角三角形
知識清單梳理
知識點一：等腰和等邊三角形
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.等腰三角形
（1）性質(zhì)
①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高
互相重合;
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線AD是對稱軸.
（2）判定
①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立. 如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形.
失分點警示：當?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時，需分類討論. 如若等腰三角形ABC的一個內(nèi)角為30°，則另外兩個角的度數(shù)為30°、120°或75°、75°.
2.等邊三角形
（1）性質(zhì)
①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.
（2）判定
①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；
③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.
（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).
（2）等邊三角形有一個特殊的角60°，所以當?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時，會結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì)，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為9.
知識點二 ：角平分線和垂直平分線
3.角平分線
（1）性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.
（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平
分線上．
例：如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.
4.垂直平分線圖形
（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.
（2）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
知識點三：直角三角形的判定與性質(zhì)
5.直角三角形的性質(zhì)
(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；
斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.
勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關(guān)的求長度問題.
（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應(yīng)分類討論.
（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結(jié)合勾股定理來列方程解決.
6.直角三角形的判定
(1) 有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.
第17講 相似三角形
知識清單梳理
知識點一：比例線段
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
比例
線段
在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．
列比例等式時，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.
2.比例
的基本性質(zhì)
(1)基本性質(zhì)：? ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0）
(3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?
＝k.（b、d、···、n≠0）
已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中 的一個表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.
例：若，則.
3.平行線分線段成比例定理
（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線 段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.
利用平行線所截線段成比例求線段長或線段比時，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運用比例基本性質(zhì)求解.
例：如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于.
（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長 線)，所得的對應(yīng)線段成比例.
即如圖所示，若AB∥CD，則.
（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似．
如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.
4.黃金分割
點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么線段AB被點C黃金分割．其中點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．
例：把長為10cm的線段進行黃金分割，那么較長線段長為5(－1)cm．
知識點二 ：相似三角形的性質(zhì)與判定
5.相似三角形的判定
(1) 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似(AAA).
如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路：①條件中若有平行
線，可用平行線找出相等的角而判定；②條
件中若有一對等角，可再找一對等角或再找
夾這對等角的兩組邊對應(yīng)成比例；③條件中
若有兩邊對應(yīng)成比例可找夾角相等；④條件
中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證
明直角邊和斜邊對應(yīng)成比例；⑤條件中若有
等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對底角相等
或找底、腰對應(yīng)成比例.
(2) 兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似． 如圖，若∠A＝∠D，，則△ABC∽△DEF.
(3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性質(zhì)
(1)對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．
(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比．
例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長為3，△DEF的周長為2，則△ABC與△DEF的面積之比為9：4.
(2) 如圖，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，則AF:AG=1：2.
7.相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.
（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應(yīng)邊.然后，通過證明這兩個三角形相似，從而得出結(jié)果.
第18講 解直角三角形
知識清單梳理
知識點一：銳角三角函數(shù)的定義
關(guān)鍵點撥與對應(yīng)舉例
1.銳角三角函數(shù)
正弦: sinA＝＝
余弦: cosA＝＝
正切: tanA＝＝.
根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.
2.特殊角的三角函數(shù)值
度數(shù)
三角函數(shù)
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知識點二 ：解直角三角形
3.解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．
科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：
已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；
已知直邊求直邊，理所當然用正切；
已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；
已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；
已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；
已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.
例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，則c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用關(guān)系
(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；
(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；
(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，
tanA＝.
知識點三 ：解直角三角形的應(yīng)用
5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角
(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）
(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα. （如圖②）
(3)方向角：平面上，通過觀察點Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角．（如圖③）
解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：
疊合式 （2）背靠式
解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.
6.解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟
(1)弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；
(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；
(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；
(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．

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